专题05 整式的乘法易错必刷题型专训（93题31个考点）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（湘教版2024）

专题05 整式的乘法易错必刷题型专训（93题31个考点） 【易错必刷一 用科学记数法表示数的乘法】 1．（23-24七年级下·湖南娄底·期末）下列运算结果正确的是（　　） A．105+103＝108 B．x3•x4＝x7 C．﹣a•a3＝a4 D．﹣a•（﹣a）2＝a3 2．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）计算式子的结果用科学记数法表示为 ． 3．（23-24七年级下·湖南湘潭·期末）世界上最大的金字塔——胡夫金字塔高达米，底边长米，用了约块大石块，每块重约千克，请问：胡夫金字塔总重约为多少千克？ 【易错必刷二 同底数幂相乘】 1．（23-24七年级下·湖南益阳·期末）计算，其结果是（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南邵阳·阶段练习）计算： ； 3．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）（1）若，，求的值． （2）已知，求的值． 【易错必刷三 同底数幂乘法的逆用】 1．（23-24七年级下·湖南永州·期中）已知，，则的值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．16 2．（23-24七年级下·湖南益阳·期末）若，则 ． 3．（23-24七年级下·湖南常德·期末）已知，． (1)当时，求的值； (2)当时，且是整数，试说明的值是偶数． 【易错必刷四 幂的混合运算】 1．1．（2024·湖南湘潭·三模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）计算：的结果是 ． 3．（23-24七年级下·江苏·周测）先化简，再求值： (1)，其中 (2)，其中 【易错必刷五 幂的乘方运算】 1．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知，，为自然数，且满足，则的取值不可能是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（24-25七年级下·全国·期末）计算： ； ． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1) (2)； (3)（m为正整数）． 【易错必刷六 幂的乘方的逆用】 1．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）已知，，，比较的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·湖南娄底·阶段练习） ． 3．（2024七年级下·全国·专题练习）阅读下列解题过程： 试比较与的大小． 解：，而． 请根据上述解题方法，比较的大小． 【易错必刷七 积的乘方运算】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）若，，则的值为（   ） A．1 B．2021 C． D． 2．（24-25七年级下·湖南常德·期中）如果成立，那么 ， ． 3．（24-25七年级下·湖南张家界·阶段练习）阅读下列各式：，，…… (1)发现规律：______，______． (2)应用规律： ①填空：______，______； ②计算：． 【易错必刷八 积的乘方的逆用】 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·湖南岳阳·阶段练习）计算的结果等于 ． 3．（24-25七年级下·湖南邵阳·阶段练习）下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算：． 解：原式． (1)计算： ①； ②； (2)若，请求出n的值． 【易错必刷九 计算单项式乘单项式】 1．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）做大小两个长方体纸盒，尺寸如下（单位：），则做这两个纸盒共用料（   ） 长 宽 高 小纸盒 a b c 大纸盒 A． B． C． D． 2．（2024七年级下·全国·专题练习）若表示，表示，则 ． 3．（2024七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【易错必刷十 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 1．（23-24九年级·全国·单元测试）若＝－10，则m－n等于（   ） A．－3 B．－1 C．1 D．3 2．（23-24七年级下·全国·假期作业）如果与相乘的结果是，那么 . 3．（23-24七年级下·广东河源·期末）某中学一寝室前有一块长为，宽为x的空地，学校向全校师生征集这块地的绿化设计方案并要求绿地面积不少于，如图是学生小明的设计方案，阴影部分是绿地．试问小明的设计方案是否合乎要求？为什么？    【易错必刷十一 计算单项式乘多项式及求值】 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）定义：表示，表示，则的结果为（　　） A． B． C． D． 2．（2024七年级下·全国·专题练习）一块长方形铁皮，长为，宽为，在它的四个角上都剪去一个边长为的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．这个无盖盒子的内表面积为 ． 3．（24-25七年级下·湖南岳阳·阶段练习）先化简，再求值：，其中m，n满足． 【易错必刷十二 单项式乘多项式的应用】 1．（23-24七年级下·重庆·期中）通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，下图可表示的代数恒等式是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南张家界·期中）已知长方体的长是4×104厘米，宽是1.5×103厘米，高是2×103厘米，那么它的体积是 立方厘米． 3．（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，用代数式表示图中阴影部分的面积，并求当时代数式的值是多少． 【易错必刷十三 利用单项式乘多项式求字母的值】 1．（23-24七年级下·湖南株洲·阶段练习）若，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 2．（23-24七年级下·湖南·期中）要使的展开式中不含项，则的值是 ． 3．（23-24七年级下·湖南湘潭·阶段练习）已知x（x﹣m）+n（x+m）＝+5x﹣6对任意数都成立，求m（n﹣1）+n（m+1）的值． 【易错必刷十四 计算多项式乘多项式】 1．（24-25七年级下·湖南娄底·阶段练习）一块矩形的田地被分割成了四个小矩形播种不同的农作物，它们的边长如图所示，则大矩形的面积表示错误的是（        ） A． B． C． D． 2．（2024七年级下·湖南·专题练习）甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是．则的值为 ． 3．（24-25七年级下·湖南·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【易错必刷十五 （x+p）（x+q）型多项式乘法】 1．（23-24七年级下·湖南永州·期中）若，则a、b的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25七年级下·湖南怀化·期中）观察下图两个多项式相乘的运算过程，若，根据你发现的规律，则a，b的值可能分别是 ．    3．（23-24七年级下·湖南·期末）型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子进行因式分解呢？我们先看特殊情况，当时，上式就为完全平方式，则，对于完全平方公式，我们既可以用整式乘法进行证明，也可以用图形的面积来说明．如图，就是说明．同样，根据整式乘法，，因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系，我们可得：，从而可以将型式子进行因式分解． (1)请你画出图形，利用图形面积来说明； (2)根据以上得到的方法，对下列多项式分解因式． ①；    ②． 【易错必刷十六 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 1．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）如果展开后的结果不含的一次项，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）已知的计算结果中不含项，则的值为 ． 3．（24-25七年级下·湖南株洲·阶段练习）计算（为常数）的值，把，的值代入计算时，粗心的小明把的值看错了，其结果等于9，细心的小红把正确的，的值代入计算，结果恰好也是9，为了探个究竟，小红又把的值换成了2024，结果竟然还是9，根据以上情况，探究其中的奥妙，并推断出的值． 【易错必刷十七 多项式乘多项式——化简求值】 1．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）若，，则的值是（     ） A．     B．1 C．5     D． 2．（24-25七年级下·湖南·阶段练习）已知，，则代数式的值是 ． 3．（23-24七年级下·湖南·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【易错必刷十八 多项式乘多项式与图形面积】 1．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）如图，某养鸡场老板准备用20米的篱笆围成一个边长为、的长方形场地，已知，则这个长方形场地的面积为（    ）平方米． A．32 B．24 C．16 D．12 2．（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为(a+2b)，宽为(2a+b)的大长方形，那么需要A类、B类和C类卡片的张数分别为 ． 3．（23-24七年级下·湖南岳阳·阶段练习）图1是一个长为，宽为的长方形纸片，先沿图中虚线用剪刀均剪成4个相同的小长方形，然后用这4个小长方形纸片拼成图2所示的正方形． (1)你认为图2中阴影部分的正方形的边长等于 （用含、式子表示）； (2)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积： 方法1： ；方法2： ； (3)观察图2，尝试写出、、 三个式子之间的等量关系式是： ； (4)根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知，求的值． 【易错必刷十九 多项式乘法中的规律性问题】 1．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）．    请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（    ） A． B．2021 C．4042 D． 2．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）A同学准确计算出下列各式： ①； ②； ③； 请通过观察．猜想．计算判断以下结论： ①； ②（其中n为正整数，且）； ③； ④； 其中正确的有 （填序号） 3．（24-25七年级下·湖南常德·期中）阅读下列材料，解决相应问题： 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“倒同数对”． 例如：，所以23和96与32和69都是“倒同数对”． (1)请判断43和68是否是“倒同数对”，并说明理由； (2)为探究“倒同数对”的本质，可设“倒同数对”中一个数的十位数字为m，个位数字为n，且；另一个数的十位数字为p，个位数字为q，且，请探究m，n，p，q的数量关系，并说明理由； (3)若有一个两位数，十位数字为x，个位数字为，另一个两位数，十位数字为，个位数字为，且这两个数为“倒同数对”，则x的值为______． 【易错必刷二十 整式乘法混合运算】 1．（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）如图，是型钢条截面，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）计算： ． 3．（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）对于任意的有理数a，b，c，d，我们规定．如，根据这一规定，解答下列问题： (1)化简； (2)若x，y同时满足，，求x，y的值． 【易错必刷二十一 计算单项式除以单项式】 1．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南永州·期中）计算： ． 3．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）计算： (1)； (2)． 【易错必刷二十二 多项式除以单项式】 1．（23-24七年级下·全国·假期作业）若多项式与单项式的乘积为，则多项式（    ） A． B． C． D． 2．（2024七年级下·全国·专题练习）计算： ． 3．（23-24七年级下·湖南湘潭·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【易错必刷二十三 整式四则混合运算】 1．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）如图，大正方形的边长为，小正方形边长为，如果，，那么阴影部分的面积是（    ）    A．15 B．17 C．20 D．22 2．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）将展开后，结果不含x的一次项，则m的值为 ． 3．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）计算： (1)； (2). 【易错必刷二十四 运用平方差公式进行运算】 1．（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）下列能用平方差公式直接计算的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南邵阳·阶段练习）求的值，可以采用下面方法： 解：令 由等式的基本性质二得： 由平方差公式得： 请仿照上面的推理，计算出： ．（补充：平方差公式：，例） 3．（23-24七年级下·湖南邵阳·阶段练习）计算： ① ② 【易错必刷二十五 平方差公式与几何图形】 1．（23-24七年级下·湖南怀化·期中）在数学实践课上，“智慧小组”将大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形，以下4幅拼法中，不能够验证平方差公式的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南郴州·期中）如图，若大正方形与小正方形的面积之差为20，则阴影部分的面积是 ． 3．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）图①、图②分别由两个长方形拼成． (1)图②中的阴影部分面积是：，那么图①中的阴影部分面积为 ； (2)观察图①和图②，请你写出代数式、、之间的等量关系式； (3)利用你发现的规律，求的值． 【易错必刷二十六 运用完全平方公式进行运算】 1．（2024·湖南·模拟预测）下列计算正确的是(    ) A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南永州·期末）设是从1，0，这三个数取值的一组数，若，，则中为0的个数是 ． 3．（23-24七年级下·湖南娄底·期末）求代数式的值： (1)先化简，后求值：，其中； (2)已知，，求的值． 【易错必刷二十七 通过对完全平方公式变形求值】 1．（23-24七年级下·湖南郴州·期中）已知，则的值（    ） A．12 B．6 C．3 D．0 2．（23-24七年级下·湖南张家界·期中）若，，则 ． 3．（23-24七年级下·湖南邵阳·阶段练习）为了纪念革命英雄夏明翰，衡阳市政府计划将一块长为米，宽为米的长方形（如图所示）地块用于宣传革命英雄事迹，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座夏明翰雕像． (1)试用含a，b的代数式表示绿化的面积是多少平方米？ (2)若，，请求出绿化面积． 【易错必刷二十八 完全平方公式在几何图形中的应用】 1．（2024·湖南岳阳·二模）我们可以用图形中的面积关系解释很多代数恒等式．能用下面图形的面积关系解释的代数恒等式是（     ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图，C为线段上的一点，分别以为边在的两侧作正方形和正方形．若，且两正方形的面积之和，图中阴影部分面积为 ． 3．（23-24七年级下·湖南郴州·期末）图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．    (1)请用两种不同的方式表示图2中的阴影部分的面积； (2)若，利用（1）的结论求的值． 【易错必刷二十九 求完全平方式中的字母系数】 1．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）若可以配成一个完全平方公式，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）若是完全平方式，则 ． 3．（23-24七年级下·湖南常德·期末）已知：整式，整式． (1)若是完全平方式，求a的值； (2)若可以分解为，求． 【易错必刷三十 完全平方式在几何图形中的应用】 1．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）如图，一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别为与的两个小圆．则剩下的钢板（阴影部分）的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南益阳·阶段练习）三种不同类型的长方形砖长宽如图所示，现有A类、C类各若干块，B类4块，小双用这些地砖拼成一个正方形（不重叠无缝隙），那么小双拼成正方形的边长是 ．（用含m，n的代数式表示）    3．（23-24七年级下湖南株洲·期末）如图所示，图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中的虚线剪成四个完全相同的小长方形，将四个小长方形按图2、图3摆放，分别拼成较大的长方形、正方形． (1)图1的面积为______；（用m与n的代数式表示） (2)在图2中，m与n的等量关系为______； (3)在图3中，若大正方形的面积为49，阴影小正方形的面积为24，请直接写出两个关于m，n的等式． 【易错必刷三十一 整式的混合运算】 1．（23-24七年级下·湖南岳阳·开学考试）已知，则代数式的值为（    ） A．2 B． C．6 D．4 2．（23-24七年级下·湖南岳阳·开学考试）4个数a、b、c、d排列，我们称之为二阶行列式，规定它的运算法则为，若，则 ． 3．（23-24七年级下·湖南常德·阶段练习）如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像． (1)求绿化的面积是多少平方米？（用代数式表示） (2)求出当，时的绿化面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 整式的乘法易错必刷题型专训（93题31个考点） 【易错必刷一 用科学记数法表示数的乘法】 1．（23-24七年级下·湖南娄底·期末）下列运算结果正确的是（　　） A．105+103＝108 B．x3•x4＝x7 C．﹣a•a3＝a4 D．﹣a•（﹣a）2＝a3 【答案】B 【分析】根据同底数幂的运算法则即可求出答案． 【详解】解：A、原式＝100×103+103＝101×103＝1.01×105，故A不符合题意． B、原式＝x7，故B符合题意． C、原式＝﹣a4，故C不符合题意． D、原式＝﹣a3，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查同底数幂的运算，解题的关键是熟练掌握同底数幂的运算法则． 2．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）计算式子的结果用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】首先根据单项式乘单项式的运算法则进行计算，然后将结果化为科学记数法的形式即可． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查单项式乘单项式及科学记数法，掌握单项式乘单项式的运算法则及科学记数法的形式是解题的关键． 3．（23-24七年级下·湖南湘潭·期末）世界上最大的金字塔——胡夫金字塔高达米，底边长米，用了约块大石块，每块重约千克，请问：胡夫金字塔总重约为多少千克？ 【答案】胡夫金字塔总重约为千克 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法运算，科学记数法的含义，根据同底数幂的乘法进行法则进行计算，将最后的结果写成科学记数法的形式即可得出答案． 【详解】解：由题意，得： （千克） 答：胡夫金字塔总重约为千克． 【易错必刷二 同底数幂相乘】 1．（23-24七年级下·湖南益阳·期末）计算，其结果是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同底数幂的乘法法则即可计算结果． 【详解】解：， 故选：． 【点睛】此题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加的应用， 2．（23-24七年级下·湖南邵阳·阶段练习）计算： ； 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法运算，解题的关键是熟练掌握同底数幂乘法运算法则，底数不变，指数相加． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）（1）若，，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）15（2） 【分析】（1）逆用同底数幂的乘法计算即可求解； （2）根据同底数幂的乘法运算法则求得a的值，再代入求解即可． 【详解】解：（1），， ； （2） ， ， ． ． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键． 【易错必刷三 同底数幂乘法的逆用】 1．（23-24七年级下·湖南永州·期中）已知，，则的值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据幂的运算公式：，进行逆用运算，即可求解． 【详解】解： ； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法公式的逆用，掌握公式用法是解题的关键． 2．（23-24七年级下·湖南益阳·期末）若，则 ． 【答案】32 【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆用．掌握同底数幂的乘法法则，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：32． 3．（23-24七年级下·湖南常德·期末）已知，． (1)当时，求的值； (2)当时，且是整数，试说明的值是偶数． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）把与代入中，根据整式的加减运算法则进行化简，再根据求出值即可； （2）已知等式利用幂的乘方与积的乘方运算法则变形，再利用幂相等的条件得到与的关系式，根据与为整数，表示出值，即可作出判断． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， 把代入得， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴ ， ∴的值是偶数． 【点睛】此题考查了整式的加减—化简求值，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【易错必刷四 幂的混合运算】 1．（2024·湖南湘潭·三模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据整数指数幂的性质分别求解后进行判断． 【详解】A.，与题意不符，故错误； B.，与题意不符，故错误； C.，与题意不符，故错误； D.，与题意相符，故正确； 故选 ：D． 【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握整数指数幂的性质、零指数幂、开立方根是解题关键． 2．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）计算：的结果是 ． 【答案】 【分析】根据整式的乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查整式的乘除运算，解题的关键是熟练运用整式的乘除运算法则，本题属于基础题型． 3．（23-24七年级下·江苏·周测）先化简，再求值： (1)，其中 (2)，其中 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先根据同底数幂乘法，积的乘方法则计算，再计算括号内的，然后计算除法，即可求解； （2）先根据幂的乘方，积的乘方法则计算，再计算计算乘法，然后计算加法，即可求解． 【详解】（1）解： 当时，原式； （2）解： 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了幂的混合运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 【易错必刷五 幂的乘方运算】 1．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知，，为自然数，且满足，则的取值不可能是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方，根据题意可得，从而得出，，再分情况讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，，为自然数， ∴当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 综上所述，的取值不可能是8， 故选：D． 2．（24-25七年级下·全国·期末）计算： ； ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和积的乘方，解答的关键是掌握同底数幂的乘法和积的乘方运算法则． 根据同底数幂的乘法和积的乘方的运算法则求解即可． 【详解】解：；． 故答案为：． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1) (2)； (3)（m为正整数）． 【答案】(1)0 (2) (3)0 【分析】此题考查了幂的乘方，同底数的乘法，积的乘方的逆运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算幂的乘方和同底数的乘法，然后合并即可； （2）首先计算同底数幂的乘法，然后合并即可； （3）首先计算幂的乘方和积的乘方的逆运算，然后合并即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 【易错必刷六 幂的乘方的逆用】 1．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）已知，，，比较的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，掌握幂的乘方法则是解决本题的关键．逆运用幂的乘方法则，把a、b、c都写成一个数的111次方的形式，比较底数得结论． 【详解】解：， ∵， ∴； 故选D． 2．（24-25七年级下·湖南娄底·阶段练习） ． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方和积的乘方公式，熟记公式并能逆运用是解题关键．逆运用同底数幂的乘方和积的乘方公式计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 3．（2024七年级下·全国·专题练习）阅读下列解题过程： 试比较与的大小． 解：，而． 请根据上述解题方法，比较的大小． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方，把各数化为指数相同、底数不同的形式，再根据指数底数大于，指数相同时，底数越大幂越大，即可得出答案，熟练掌握幂的乘方的运算是解此题的关键． 【详解】解：，，， 而， ， ． 【易错必刷七 积的乘方运算】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）若，，则的值为（   ） A．1 B．2021 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方的应用，根据题意得出，进而代入代数式，即可求解． 【详解】解：因为， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． 故选：C． 2．（24-25七年级下·湖南常德·期中）如果成立，那么 ， ． 【答案】 【分析】此题考查幂的乘方与积的乘方，解题关键在于掌握其性质．先根据积的乘方法则计算出等式左边的数，再与右边的数相比较即可得出结论． 【详解】解：， ， ，， 解得：，， 故答案为：，． 3．（24-25七年级下·湖南张家界·阶段练习）阅读下列各式：，，…… (1)发现规律：______，______． (2)应用规律： ①填空：______，______； ②计算：． 【答案】(1)， (2)①1，1；② 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，积的乘方的逆运算： （1）根据题意计算求解即可； （2）①利用积的乘方的逆运算求解即可； ②把原式变形为，进而求解即可． 【详解】（1）根据题意得，，； （2）①， ； ② ． 【易错必刷八 积的乘方的逆用】 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方和有理数的乘法，积的乘方，根据有理数的乘法运算律以及积的乘方的逆运用进行计算即可． 【详解】 ， 故选：D． 2．（24-25七年级下·湖南岳阳·阶段练习）计算的结果等于 ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方的逆用，逆用积的乘方进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 3．（24-25七年级下·湖南邵阳·阶段练习）下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算：． 解：原式． (1)计算： ①； ②； (2)若，请求出n的值． 【答案】(1)①1；②； (2)4 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则，积的乘方，幂的乘方的运算法则等相关知识，熟记对应法则是解题的关键． （1）①根据积的乘方及幂的乘方的运算法则得到正确结果；②积的乘方及幂的乘方的运算法则即可得到正确结果； （2）利用幂的乘方运算法则的逆用及同底数幂的乘法法则即可得到n的值． 【详解】（1）解：①； ② （2）解：∵ ∴， ∴ ∴， ∴， 解得：． 【易错必刷九 计算单项式乘单项式】 1．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）做大小两个长方体纸盒，尺寸如下（单位：），则做这两个纸盒共用料（   ） 长 宽 高 小纸盒 a b c 大纸盒 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式混合运算的应用，根据长方体表面积列出，进行运算即可求解；能正确进行整式混合运算是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：A． 2．（2024七年级下·全国·专题练习）若表示，表示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘单项式的知识．根据题意理解三角和方框表示的意义，然后即可求出要求的结果． 【详解】解：根据题意得： ． 故答案为： 3．（2024七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)﹣2m8n7 (2) 【分析】本题考查了整式的乘法运算，解题的关键是掌握相应的运算法则． （1）利用积的乘方，幂的乘方和单项式乘单项式乘法则进行计算即可； （2）利用积的乘方，幂的乘方和单项式乘单项式乘法则，先算乘方，再算乘法． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式＝ ＝ ＝． 【易错必刷十 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 1．（23-24九年级·全国·单元测试）若＝－10，则m－n等于（   ） A．－3 B．－1 C．1 D．3 【答案】B 【分析】首先根据单项式乘单项式的运算法则计算求出m，n的值，然后代入计算即可． 【详解】 ∴ ∴ 解得 ∴m－n=1-2=-1， 故选：B． 【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握单项式乘单项式的运算法则是关键． 2．（23-24七年级下·全国·假期作业）如果与相乘的结果是，那么 . 【答案】12 【解析】略 3．（23-24七年级下·广东河源·期末）某中学一寝室前有一块长为，宽为x的空地，学校向全校师生征集这块地的绿化设计方案并要求绿地面积不少于，如图是学生小明的设计方案，阴影部分是绿地．试问小明的设计方案是否合乎要求？为什么？    【答案】小明的设计方案符合要求，理由见解析． 【分析】直接利用长方形面积公式以及半圆面积求法进而得出阴影部分面积，再比较即可． 【详解】解：小明的设计方案符合要求．理由如下： 由题意可得：阴影部分的面积为： ． ∵，而 ， 故小明的设计方案符合要求． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算的应用，掌握单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键． 【易错必刷十一 计算单项式乘多项式及求值】 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）定义：表示，表示，则的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘多项式，读懂题意，列式，即可作答 ． 【详解】解：依题意，表示，表示， 则， 故选：B ． 2．（2024七年级下·全国·专题练习）一块长方形铁皮，长为，宽为，在它的四个角上都剪去一个边长为的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．这个无盖盒子的内表面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算的应用，根据题意列式，再计算即可． 【详解】解： ． 故答案为： 3．（24-25七年级下·湖南岳阳·阶段练习）先化简，再求值：，其中m，n满足． 【答案】，． 【分析】本题考查单项式乘多项式，解二元一次方程组．根据单项式乘多项式进行化简，再解二元一次方程组，求得m，n的值，再代入求解即可． 【详解】解： ， 解方程组， 得， ∴原式． 【易错必刷十二 单项式乘多项式的应用】 1．（23-24七年级下·重庆·期中）通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，下图可表示的代数恒等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知，长方形的面积等于长2a乘以宽（a+b），面积也等于四个小图形的面积之和，从而建立两种算法的等量关系． 【详解】解：长方形的面积等于：2a（a+b）， 也等于四个小图形的面积之和：a2+a2+ab+ab=2a2+2ab， 即2a（a+b）=2a2+2ab． 故选：B． 【点睛】本题考查了单项式乘多项式的几何解释，列出面积的两种不同表示方法是解题的关键． 2．（23-24七年级下·湖南张家界·期中）已知长方体的长是4×104厘米，宽是1.5×103厘米，高是2×103厘米，那么它的体积是 立方厘米． 【答案】1.2×1011 【分析】根据长方体的计算公式长×宽×高，列出代数式进行计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得， 长方体的体积为：4×104×1.5×103×2×103＝4×1.5×2×104×103×103＝1.2×1011． 故答案为：1.2×1011． 【点睛】本题主要考查了含乘方的有理数计算，长方形体积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 3．（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，用代数式表示图中阴影部分的面积，并求当时代数式的值是多少． 【答案】，32． 【分析】将图形进行补充，将得到的矩形面积减三个直角三角形面积即可． 【详解】解：如图： ． 当时， ． 【点睛】本题考查列代数式和代数式的求值，解题的关键是利用数形结合的思想找出所求问题需要的条件． 【易错必刷十三 利用单项式乘多项式求字母的值】 1．（23-24七年级下·湖南株洲·阶段练习）若，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式的计算法则求出的结果即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．（23-24七年级下·湖南·期中）要使的展开式中不含项，则的值是 ． 【答案】2 【分析】直接利用单项式乘以多项式运算法则即可求出答案. 此题主要考查了单项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键． 【详解】解： 的展开式中不含项， , 解得：． 故答案为：2． 3．（23-24七年级下·湖南湘潭·阶段练习）已知x（x﹣m）+n（x+m）＝+5x﹣6对任意数都成立，求m（n﹣1）+n（m+1）的值． 【答案】-7 【分析】把x（x﹣m）+n（x+m）去括号、合并同类项，然后根据与+5x-6对应项的系数相同，即可求得m、n的值，然后代入求值即可． 【详解】解：x（x﹣m）+n（x+m） ＝﹣mx+nx+mn ＝+（n﹣m）x+mn， ∴， 则m（n﹣1）+n（m+1）＝n﹣m+2mn＝5﹣12＝﹣7． 【点睛】此题考查单项式乘多项式和代数式求值，解题关键在于掌握运算法则． 【易错必刷十四 计算多项式乘多项式】 1．（24-25七年级下·湖南娄底·阶段练习）一块矩形的田地被分割成了四个小矩形播种不同的农作物，它们的边长如图所示，则大矩形的面积表示错误的是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的面积，整式的乘法运算，根据大矩形的面积的求法即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】、利用“长宽”，即可求出大矩形的面积为：，原选项不符合题意； 、根据大正方形面积两个矩形面积之和：，原选项不符合题意； 、不能表示大矩形的面积，原选项符合题意； 、根据大正方形面积四个矩形面积之和：，原选项不符合题意； 故选：． 2．（2024七年级下·湖南·专题练习）甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，掌握运算法则是解题的关键． 先根据题意得出，，再整体代入求解． 【详解】解：由题意得： ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·湖南·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键． （1）根据单项式乘单项式的运算法则计算即可得解； （2）先乘方，再计算单项式乘以多项式即可得出答案； （3）利用多项式乘以多项式的运算法则计算即可得解； （4）利用多项式乘以多项式、单项式乘单项式的运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【易错必刷十五 （x+p）（x+q）型多项式乘法】 1．（23-24七年级下·湖南永州·期中）若，则a、b的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查的是整式的乘法运算，熟练的利用多项式乘以多项式的法则进行运算是解本题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选B． 2．（24-25七年级下·湖南怀化·期中）观察下图两个多项式相乘的运算过程，若，根据你发现的规律，则a，b的值可能分别是 ．    【答案】和 【分析】本题考查多项式乘多项式，理解题例的运算过程并发现规律是解决本题的关键．从题例两个多项式相乘的运算过程中发现规律，利用规律求出、． 【详解】解：根据题意，知：，， ，的值可能分别是，， 故答案为：和 3．（23-24七年级下·湖南·期末）型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子进行因式分解呢？我们先看特殊情况，当时，上式就为完全平方式，则，对于完全平方公式，我们既可以用整式乘法进行证明，也可以用图形的面积来说明．如图，就是说明．同样，根据整式乘法，，因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系，我们可得：，从而可以将型式子进行因式分解． (1)请你画出图形，利用图形面积来说明； (2)根据以上得到的方法，对下列多项式分解因式． ①；    ②． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】此题考查了因式分解，弄清阅读材料中的规律是解本题的关键． （1）画一个长为，宽为的长方形即可． （2）仿照材料进行因式分解即可． 【详解】（1）解：如图为所画的图形； ; （2）解：① ； ② ． 【易错必刷十六 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 1．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）如果展开后的结果不含的一次项，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据整式的乘法运算，将，合并同类项后，将含的一次项的系数为零，即可求解． 【详解】解：， ∵结果不含的一次项， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查整式的混合运算，不含某项的计算方法，掌握以上知识是解题的关键． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）已知的计算结果中不含项，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式中不含某一项的系数特点，解题的关键是能够掌握做题方法，不含某一项，则多项式合并后，该项的系数为0．先计算的结果，不含的项，则合并后含的项的系数为0． 【详解】解： ∵已知的计算结果中不含的项， ∴ ∴ 故答案为：． 3．（24-25七年级下·湖南株洲·阶段练习）计算（为常数）的值，把，的值代入计算时，粗心的小明把的值看错了，其结果等于9，细心的小红把正确的，的值代入计算，结果恰好也是9，为了探个究竟，小红又把的值换成了2024，结果竟然还是9，根据以上情况，探究其中的奥妙，并推断出的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，先根据多项式乘以多项式的计算法则，单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，再根据题意可知的结果与y值无关，则，据此求解即可． 【详解】解： ， 根据题意可知的结果与y值无关， ∴， ∴． 【易错必刷十七 多项式乘多项式——化简求值】 1．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）若，，则的值是（     ） A．     B．1 C．5     D． 【答案】D 【分析】根据多项式乘多项式进行化简，然后再代值求解即可． 【详解】解：， ∵，， ∴原式=； 故选D． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式的化简求值，熟练掌握多项式乘多项式是解题的关键． 2．（24-25七年级下·湖南·阶段练习）已知，，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的化简求值，根据多项式乘以多项式的计算法则求出，再利用整体代入法代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·湖南·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式， 当时，原式． 【点睛】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【易错必刷十八 多项式乘多项式与图形面积】 1．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）如图，某养鸡场老板准备用20米的篱笆围成一个边长为、的长方形场地，已知，则这个长方形场地的面积为（    ）平方米． A．32 B．24 C．16 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用．由题意得，再由已知变形得到，即可求解． 【详解】解：由题意得（米），， ∴， 解得， ∴个长方形场地的面积为24平方米． 故选：B． 2．（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为(a+2b)，宽为(2a+b)的大长方形，那么需要A类、B类和C类卡片的张数分别为 ． 【答案】2，2，5 【分析】根据长乘以宽，表示出大长方形的面积，即可确定出三类卡片的张数． 【详解】解：∵(2a+b)(a+2b)=2a2+4ab+ab+2b2=2a2+5ab+2b2， ∴需要A类卡片2张，B类卡片2张，C类卡片5张． 故答案为2，2，5． 【点睛】此题考查了多项式乘多项式，弄清题意是解本题的关键．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 3．（23-24七年级下·湖南岳阳·阶段练习）图1是一个长为，宽为的长方形纸片，先沿图中虚线用剪刀均剪成4个相同的小长方形，然后用这4个小长方形纸片拼成图2所示的正方形． (1)你认为图2中阴影部分的正方形的边长等于 （用含、式子表示）； (2)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积： 方法1： ；方法2： ； (3)观察图2，尝试写出、、 三个式子之间的等量关系式是： ； (4)根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】本题主要考查整式乘法与图形面积的关系， （1）根据图示中图形的边长的关系即可求解； （2）根据几何图形面积的计算方法即可求解； （3）分别算出、，即可求解； （4）根据（3）中的结论进行计算即可求解． 【详解】（1）解：根据图示可得，图2中阴影部分的正方形的边长等于：， 故答案为：； （2）解：图2中阴影部分的面积表示如下： 方法一：；方法二：； 故答案为：，； （3）解：、， ∴， 故答案为：； （4）解：由（3）可得，， ∴，且， ∴ ． 【易错必刷十九 多项式乘法中的规律性问题】 1．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）．    请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（    ） A． B．2021 C．4042 D． 【答案】D 【分析】根据题意，得出规律第一项的系数为，第二项的系数为，然后写出展开式的第一项和第二项，即可得出答案． 【详解】解：根据题意，可得规律为：第一项的系数为，第二项的系数为， ∴第一项为：， 第二项为：， ∴展开式中含项的系数是． 故选：D． 【点睛】本题主要结合规律探究考查整式的计算，对题目规律的准确判断和熟练掌握整式的计算方法是解决本题的关键． 2．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）A同学准确计算出下列各式： ①； ②； ③； 请通过观察．猜想．计算判断以下结论： ①； ②（其中n为正整数，且）； ③； ④； 其中正确的有 （填序号） 【答案】①②④ 【分析】通过观察，总结规律，利用规律求解即可． 【详解】解：通过观察，总结规律得 （其中n为正整数，且）， 故②正确； ∴，故①正确； ，故③错误，④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式，根据等式发现规律． 3．（24-25七年级下·湖南常德·期中）阅读下列材料，解决相应问题： 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“倒同数对”． 例如：，所以23和96与32和69都是“倒同数对”． (1)请判断43和68是否是“倒同数对”，并说明理由； (2)为探究“倒同数对”的本质，可设“倒同数对”中一个数的十位数字为m，个位数字为n，且；另一个数的十位数字为p，个位数字为q，且，请探究m，n，p，q的数量关系，并说明理由； (3)若有一个两位数，十位数字为x，个位数字为，另一个两位数，十位数字为，个位数字为，且这两个数为“倒同数对”，则x的值为______． 【答案】(1)43和68是倒同数对，见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式和新定义“倒同数对”，根据多项式乘以多项式进行计算即可求解． （1）根据定义即可得到答案； （2）根据定义得：，化简得； （3）根据定义列等式，化简解方程可得的x值，从而得出答案． 【详解】（1）43和68是“倒同数对”，理由如下： ，， ∴43和68是“倒同数对” （2），理由见解析； ， ， ， 即 （3）由题得： 整理得： ， 解得： 故答案为： 【易错必刷二十 整式乘法混合运算】 1．（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）如图，是型钢条截面，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将图形分割成三部分，分别将三部分的面积表示出来，相加即可． 【详解】 将该图形如图分割，则该图形面积可表示为：=， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，将不规则图形分割成几个规则的图形是解题的关键． 2．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，先计算积的乘方及幂乘方，再利用单项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）对于任意的有理数a，b，c，d，我们规定．如，根据这一规定，解答下列问题： (1)化简； (2)若x，y同时满足，，求x，y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是自定义下的整式的加减乘除混合运算，以及解方程组，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意列式，然后再计算乘法，后算加减即可； （2）根据题意列出方程组，再解方程组即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，， ∴， 得：， 解得：， 把代入①得， 解得：， ∴方程组的解为：． 【易错必刷二十一 计算单项式除以单项式】 1．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式除以单项式，根据单项式除以单项式除法法则：把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，进行计算可得答案，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】， 故选：． 2．（23-24七年级下·湖南永州·期中）计算： ． 【答案】/ 【分析】根据单项式除以单项式进行计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了单项式除以单项式，熟练掌握单项式除以单项式的运算法则是解题的关键． 3．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据多项式乘多项式运算法则进行计算即可； （2）用单项式除以单项式运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了整式的运算，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式，单项式除以单项式运算法则，准确计算． 【易错必刷二十二 多项式除以单项式】 1．（23-24七年级下·全国·假期作业）若多项式与单项式的乘积为，则多项式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据题意得出，结合多项式除以单项式的运算法则计算即可得解． 【详解】解：由题意得：， 故选：D． 2．（2024七年级下·全国·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】根据多项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解：原式＝ ＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式除以单项式，其运算法则是：先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加． 3．（23-24七年级下·湖南湘潭·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的除法以及单项式乘多项式运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）根据单项式乘多项式运算法则即可求出答案； （2）根据整式的除法运算法则即可求出答案． 【详解】（1） ； （2） 【易错必刷二十三 整式四则混合运算】 1．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）如图，大正方形的边长为，小正方形边长为，如果，，那么阴影部分的面积是（    ）    A．15 B．17 C．20 D．22 【答案】B 【分析】根据三角形的面积公式求出阴影部分的面积，再利用整体思想，代入求值即可． 【详解】解：由图可知，阴影部分的面积为， ∵，， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查列代数式求值．解题的关键是正确的识图，准确的列出代数式． 2．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）将展开后，结果不含x的一次项，则m的值为 ． 【答案】/4.5/4 【分析】将式子正确展开，找出一次项，令其系数等于0 即可． 【详解】解：将式子展开后得： ∵结果不含x的一次项， ∴，解得：， 故答案为： 【点睛】本题考查多项式乘积不含某一项，求字母的值，整式的混合运算法则，解题的关键是掌握整式的混合运算法则，将式子正确展开． 3．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算积的乘方和幂的乘方，再算乘法； （2）根据多项式乘以多项式法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握整式相关运算的法则． 【易错必刷二十四 运用平方差公式进行运算】 1．（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）下列能用平方差公式直接计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特点是解此题的关键． 根据“两个数的和与两个数的差的积”能运用平方差公式直接计算，逐项分析即可得到答案． 【详解】解：A、满足“两个数的和与两个数的差的积”，能用平方差公式计算，故此选符合题意； B、不满足“两个数的和与两个数的差的积”，不能用平方差公式计算，故此选不符合题意； C、不满足“两个数的和与两个数的差的积”，不能用平方差公式计算，故此选不符合题意； D、不满足“两个数的和与两个数的差的积”，不能用平方差公式计算，故此选不符合题意； 故选：A． 2．（23-24七年级下·湖南邵阳·阶段练习）求的值，可以采用下面方法： 解：令 由等式的基本性质二得： 由平方差公式得： 请仿照上面的推理，计算出： ．（补充：平方差公式：，例） 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式，先把原式变形为，再利用平方差公式一步步进行计算即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·湖南邵阳·阶段练习）计算： ① ② 【答案】①；② 【分析】本题考查了平方差的应用，添项是解决此类问题的关键． ①添一个，从而和凑成平方差，然后再连续运用平方差公式进行计算即可． ②添加，然后根据平方差公式进行计算即可． 【详解】解：① ． ② ． 故选：A． 【易错必刷二十五 平方差公式与几何图形】 1．（23-24七年级下·湖南怀化·期中）在数学实践课上，“智慧小组”将大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形，以下4幅拼法中，不能够验证平方差公式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何图形的面积与平方差公式的应用，分别计算原图阴影部分面积与拼后图中阴影部分的面积，根据面积相等即可作出判断，从而确定结果． 【详解】解：A．原图阴影部分面积为，拼后新图是平行四边形，其中底为，底边上高为，则阴影部分面积为，则有，故可以验证； B．原图阴影部分面积为，拼后新图形中阴影部分是长方形，长为，宽为，阴影部分面积为，则有，故可以验证； C．原图阴影部分面积为，拼后新图是由两个相同的直角梯形组成的平行四边形，其底为，底边上高为，阴影部分面积为，则有，故可以验证； D．原图阴影部分面积为，拼后新图是由四个相同长方形组成的大长方形，长为，宽为，阴影部分面积为，则有，故不能验证． 故选：D． 2．（23-24七年级下·湖南郴州·期中）如图，若大正方形与小正方形的面积之差为20，则阴影部分的面积是 ． 【答案】10 【分析】本题考查利用平方差公式求图形的面积．熟练掌握平方差公式是解题的关键． 设大正方形的边长为，小正方形的边长为，得到，，再根据阴影部分的面积等于进行求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，由题意和图可知：，，，， ∴阴影部分的面积 ； 故答案为：10． 3．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）图①、图②分别由两个长方形拼成． (1)图②中的阴影部分面积是：，那么图①中的阴影部分面积为 ； (2)观察图①和图②，请你写出代数式、、之间的等量关系式； (3)利用你发现的规律，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握整式的乘法，从几何图形得到面积的代数式，进行解答． （1）根据图①阴影部分的面积为：两个正方形的面积差，即可； （2）由图①，图②可知，阴影部分面积相等，图②长方形阴影的面积为：，图①阴影部分的面积为：，即可； （3）由（2）得，，则，即可． 【详解】（1）∵图①阴影部分的面积为：两个正方形的面积差， ∴图①阴影部分的面积为：． 故答案为：． （2）由（1）得，图②长方形的阴影面积为：；图①阴影部分的面积为：， ∵图①，图②阴影部分面积相等， ∴代数式，，之间的数量关系式为：． （3）由（2）得，， ∴． 【易错必刷二十六 运用完全平方公式进行运算】 1．（2024·湖南·模拟预测）下列计算正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的混合运算，涉及同底数幂的乘法运算、去括号法则、单项式乘以多项式运算、完全平方和公式等知识，根据同底数幂的乘法运算、去括号法则、单项式乘以多项式运算、完全平方和公式等运算法则逐项验证即可得到答案，熟记整式混合运算各相关法则是解决问题的关键． 【详解】解：A、，计算错误，不符合题意； B、，计算正确，符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、，计算错误，不符合题意； 故选：B． 2．（23-24七年级下·湖南永州·期末）设是从1，0，这三个数取值的一组数，若，，则中为0的个数是 ． 【答案】22 【分析】本题考查了数字类变化规律、利用完全平方公式进行计算，由题意结合完全平方公式得出，设有个，个，个，则，由此即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 设有个，个，个， ， ， 中为0的个数为22个， 故答案为：22． 3．（23-24七年级下·湖南娄底·期末）求代数式的值： (1)先化简，后求值：，其中； (2)已知，，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了平方差公式，单项式乘以多项式和完全平方公式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算平方差公式，单项式乘以多项式和完全平方公式，然后代数求解即可； （2）利于完全平方公式的变形求解即可． 【详解】（1）解： ， 因为， 所以原式； （2）因为， 所以 ． 【易错必刷二十七 通过对完全平方公式变形求值】 1．（23-24七年级下·湖南郴州·期中）已知，则的值（    ） A．12 B．6 C．3 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，代数式求值，根据完全平方公式得到，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．（23-24七年级下·湖南张家界·期中）若，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了利用完全平方公式的变形进行计算，根据，代入数值进行计算即可，熟练掌握完全平方公式的变形是解此题的关键． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·湖南邵阳·阶段练习）为了纪念革命英雄夏明翰，衡阳市政府计划将一块长为米，宽为米的长方形（如图所示）地块用于宣传革命英雄事迹，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座夏明翰雕像． (1)试用含a，b的代数式表示绿化的面积是多少平方米？ (2)若，，请求出绿化面积． 【答案】(1) (2)31平方米 【分析】此题考查了整式的乘法的混合运算的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）绿化面积等于长方形的面积减去中间正方形的面积； （2）将变形为，然后代入求解即可． 【详解】（1）根据题意可得， 绿化的面积为： ； （2）∵， ∴(平方米)． 【易错必刷二十八 完全平方公式在几何图形中的应用】 1．（2024·湖南岳阳·二模）我们可以用图形中的面积关系解释很多代数恒等式．能用下面图形的面积关系解释的代数恒等式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，根据图形即可求解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：根据图形可知，解释的代数恒等式是， 故选：． 2．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图，C为线段上的一点，分别以为边在的两侧作正方形和正方形．若，且两正方形的面积之和，图中阴影部分面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．设，，可得，，根据完全平方公式求出即可． 【详解】解：设，， ∵， ∴， 又∵两正方形的面积之和为20， ∴， 由完全平方公式可得，， ∴， ∴， ∴． ∴阴影部分的面积为8． 故答案为：8． 3．（23-24七年级下·湖南郴州·期末）图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．    (1)请用两种不同的方式表示图2中的阴影部分的面积； (2)若，利用（1）的结论求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）确定小正方形的边长，求面积；用大正方形面积送去四围小长方形面积； （2）由（1）得，于是，可得． 【详解】（1）解：阴影部分（小正方形）边长为，面积为； 或阴影部分； （2）解：由（1） ∴． ∴． 【点睛】本题考查整式的乘法，代数式求值，具备一定的数形结合思想是解题的关键． 【易错必刷二十九 求完全平方式中的字母系数】 1．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）若可以配成一个完全平方公式，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方式，根据完全平方式得出，求出即可． 【详解】解：是一个完全平方式， ， 解得：， 故选：D． 2．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）若是完全平方式，则 ． 【答案】8或 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式的特征是解题的关键． 根据题意可得：，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， ， ， 解得：或， 故答案为：8或． 3．（23-24七年级下·湖南常德·期末）已知：整式，整式． (1)若是完全平方式，求a的值； (2)若可以分解为，求． 【答案】(1)或者 (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，因式分解、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答的关键． （1）先化简，再根据完全平方公式以及对应系数相等求得值即可； （2）先化简，再利用多项式乘以多项式展开使得对应系数相等求出值即可解答． 【详解】（1）解： ， 为完全平方式 ， 或； （2）解： ， ， ． 【易错必刷三十 完全平方式在几何图形中的应用】 1．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）如图，一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别为与的两个小圆．则剩下的钢板（阴影部分）的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由大圆面积减去两个小圆面积求出阴影部分面积即可． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 【点睛】此题考查了整式的混合运算，弄清题意是解本题的关键． 2．（23-24七年级下·湖南益阳·阶段练习）三种不同类型的长方形砖长宽如图所示，现有A类、C类各若干块，B类4块，小双用这些地砖拼成一个正方形（不重叠无缝隙），那么小双拼成正方形的边长是 ．（用含m，n的代数式表示）    【答案】或 【分析】设A类需用a块，C类需用c块，根据题意得拼成的正方形的面积为：是一个完全平方式，据此求解即可得． 【详解】解：设A类需用a块，C类需用c块， 这些地砖拼成的正方形的面积为：， 根据题意，是一个完全平方式，， 所以或者； 当，时，， 此时正方形的边长为：； 当，时，， 此时正方形的边长为：； 故答案为：或． 【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是理解题意，掌握完全平方公式的结构特征． 3．（23-24七年级下湖南株洲·期末）如图所示，图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中的虚线剪成四个完全相同的小长方形，将四个小长方形按图2、图3摆放，分别拼成较大的长方形、正方形． (1)图1的面积为______；（用m与n的代数式表示） (2)在图2中，m与n的等量关系为______； (3)在图3中，若大正方形的面积为49，阴影小正方形的面积为24，请直接写出两个关于m，n的等式． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题主要考查了整式的运算，面积的计算等，审清题意列式是解题的关键. （1）根据面积公式计算即可； （2）根据图形推导长方形的长与三个宽相等求出即可； （3）由图推出大正方形的边长和阴影小正方形的边长，再根据“大正方形的面积为49，阴影小正方形的面积为24”列出关系式即可． 【详解】（1）解：由长方形的面积公式可得：. 故答案为：； （2）由图可知：. 故答案为：； （3）由图可知：大正方形的边长为，阴影小正方形的边长为， 又∵大正方形的面积为49，阴影小正方形的面积为24 ∴两个关于m，n的等式为：，． 【易错必刷三十一 整式的混合运算】 1．（23-24七年级下·湖南岳阳·开学考试）已知，则代数式的值为（    ） A．2 B． C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查整式的混合运算、代数式求值，将变形为，再把变形为，然后整体代入即可． 【详解】解：∵， ∴， 又 ， ． 故选：B． 2．（23-24七年级下·湖南岳阳·开学考试）4个数a、b、c、d排列，我们称之为二阶行列式，规定它的运算法则为，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，涉及了平方差公式，多项式乘法，解一元一次方程等知识，正确弄清新定义的运算规则是解题的关键．按规定的运算可得关于x的方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·湖南常德·阶段练习）如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像． (1)求绿化的面积是多少平方米？（用代数式表示） (2)求出当，时的绿化面积． 【答案】(1) (2)63平方米 【分析】本题考查列代数式，整式混合运算的实际应用，代数式求值的应用．理解绿化的面积=长方形面积-中间小正方形面积是解题关键． （1）用长方形面积减去中间小正方形面积，结合整式的混合运算法则计算即可； （2）将，代入（1）所求式子，求值即可． 【详解】（1）解： ， 答：绿化的面积是平方米； （2）解：当，时，原式， 答：绿化的面积是63平方米． 学科网（北京）股份有限公司 $$