精品解析：广东省实验中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

广东实验中学2024-2025学年（上）高一级期末考试 数学 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回. 第一部分 选择题（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若甲：，乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C 充要条件 D. 非充分也非必要条件 3. 弧度圆心角所对的弦长为2，这个圆心角所夹的扇形面积是（ ） A. B. C. D. 4. 已知角终边上一点坐标为，则角的最小正值为 A. B. C. D. 5. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 函数的最大值为 B. 函数的最小值为 C. 函数的最大值为 D. 函数的最小值为 6. 函数的单调递增区间为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 已知函数，，零点分别为，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 借助信息技术计算的值，我们发现当时的底数越来越小，而指数越来越大，随着n越来越大，会无限趋近于e（e=2.71828…是自然对数的底数），根据以上知识判断，当n越来越大时，会无限趋近于（ ） A. 0 B. 3 C. 6 D. 9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 已知函数，下列选项中正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 在上单调递增 C. 的图象关于点中心对称 D. 在上值域为 10. 已知函数，，．则下列说法正确的是（ ） A. 函数与函数互为反函数 B. 函数在区间内没有零点 C. 若a，b，c均为正实数，且满足，则 D. 若函数的图象与函数的图象和函数的图象在第一象限内交点的横坐标分别为，则 11. 设函数的定义域为D，如果，，使（C为常数）成立，则称函数在D上的均值为C.给出下列四个函数，则满足在其定义域上均值为1的函数是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（92分） 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数，则______. 13. 已知，是第三象限的角，则______. 14. 函数，若（其中均大于2），则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）判断在上的单调性，并用定义法证明； （2）已知在上的最大值为m，若正实数a，b满足，求最小值. 16. 已知. （1）化简，并写出使有意义的实数的集合； （2）求函数的周期及满足的实数的集合. 17. 已知定义在区间上的函数的图象关于直线对称，当时，函数. （1）求的函数表达式； （2）若且，求的值. 18. 幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图像是一族美丽的曲线（如图）.设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图像三等分，即有. （1）写出点M、N的坐标并求的值； （2）函数； （i）指明函数单调性和奇偶性（无需证明） （ⅱ）若对任意，，不等式：恒成立，求正数取值范围. 19. 已知函数（其中）. （1）当，求定义域为的函数的值域； （2）试讨论函数在区间上的零点的个数； （3）对于给定的正实数，有一个最小的负数，使得时，都成立，则当为何值时，最小，并求出的最小值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广东实验中学2024-2025学年（上）高一级期末考试 数学 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回. 第一部分 选择题（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系判断A、B；根据集合的性质判断C；根据集合之间的关系判断D； 【详解】A选项，不是整数，所以，A选项错误； B选项，是无理数，所以，B选项错误； C选项，集合元素的无序性，所以C选项正确； D选项，是点集，是数集，两者没有包含关系，故D错误. 故选：C 2. 若甲：，乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数和对数函数的性质求出每个命题，再判断它们的关系即可. 【详解】对于甲：，可化为，解得， 对于乙：，可化为， 解得或，故或， 则命题甲可以推出命题乙，命题乙推不出命题甲， 则甲是乙的充分非必要条件，故A正确. 故选：A 3. 弧度的圆心角所对的弦长为2，这个圆心角所夹的扇形面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设该扇形的半径为，依题意可得，再由扇形面积公式计算可得. 【详解】设该扇形的半径为，因为扇形的圆心角为，其所对的弦长为2，则， 则该扇形的面积为. 故选：C 4. 已知角的终边上一点坐标为，则角的最小正值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，角的终边上一点坐标为，即，所以，所以，所以角的最小正值为，故选C. 考点：三角函数的概念. 5. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 函数的最大值为 B. 函数的最小值为 C. 函数最大值为 D. 函数的最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】根据对勾函数的单调性以及三角函数的值域即可求解. 【详解】因为，令，则， 由于在单调递减，在单调递增， 故在单调递减， 故，即函数的最大值为， 当时，，函数无最小值， 故选：C． 6. 函数的单调递增区间为（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】先换元，求定义域再结合复合函数的单调性，最后根据正弦函数的单调性求解即可. 【详解】设，即，因为为增函数， 所以，要使单调递增，则需单调递增，且， 所以：，即， 解得：，故函数的单调递增区间为，. 故选：D 7. 已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数形结合求解即可. 【详解】令，即，令，即， 令，即， 则三个函数的零点即为对应两函数交点的横坐标， 分别作出，，和的图象， 如图所示： 由图象可知：. 故选：B 8. 借助信息技术计算的值，我们发现当时的底数越来越小，而指数越来越大，随着n越来越大，会无限趋近于e（e=2.71828…是自然对数的底数），根据以上知识判断，当n越来越大时，会无限趋近于（ ） A. 0 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】将变为，利用新定义得无限趋近，然后利用对数运算求解即可. 【详解】根据题意， 由于随着n越来越大，会无限趋近于， 则随着n越来越大，会无限趋近于，会无限趋近于1， 故会无限趋近，故会无限趋近于9. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 已知函数，下列选项中正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 在上单调递增 C. 的图象关于点中心对称 D. 在上值域为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据三角函数的性质逐项判断即可． 详解】当，即时，取最小值，故A错误； 当时，，故在上单调递增，故B正确； 当时，，， 则的图象关于点中心对称，故C错误； 当时，， 则当或，即或时，取最小值； 当，即时，取最大值3， 故在上值域为，故D正确． 故选：BD． 10. 已知函数，，．则下列说法正确的是（ ） A. 函数与函数互为反函数 B. 函数在区间内没有零点 C. 若a，b，c均为正实数，且满足，则 D. 若函数的图象与函数的图象和函数的图象在第一象限内交点的横坐标分别为，则 【答案】AD 【解析】 【分析】求函数的反函数，判断A，根据零点存在性定理判断B，取特殊值判断C，根据反函数的性质判断D. 【详解】函数的反函数为， 所以函数与函数互为反函数，A正确； 由已知， 因为当时，， 当时，， 所以函数在区间内至少有一个零点，B错误； 取，可得，，， 所以，，，故，C错误； 因为函数，互为反函数， 所以函数，的图象关于直线对称， 又函数图象关于直线对称， 又函数与函数的图象的交点为， 函数与函数的图象的交点为，且 所以点和点关于对称， 所以，故， 所以，D正确. 故选：AD. 11. 设函数的定义域为D，如果，，使（C为常数）成立，则称函数在D上的均值为C.给出下列四个函数，则满足在其定义域上均值为1的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意将问题转化为关于的方程是否存在有解问题，然后逐个分析判断即可. 【详解】由题意可得，则，即，将问题转化为关于的方程是否存在有解问题， 对于A，的定义域为，则对于任意，关于的方程为， 则，，方程一定有解，所以A正确， 对于B，的定义域为，则对于任意，关于的方程为， 当时，则，显然不成立，所以B错误， 对于C，的定义域为，值域为， 则对于任意，总存在，使得，所以C正确， 对于D，的定义域为，值域为，则对于任意， 关于的方程为， 则，，方程一定有解， 所以D正确. 故选：ACD 第二部分 非选择题（92分） 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意，推得，即可求得的值. 【详解】由题意，函数， 所以. 故答案为：. 13. 已知，是第三象限的角，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用，结合诱导公式得，结合角的范围，利用同角三角函数关系可求解. 【详解】因为， 所以， 又是第三象限的角，即， 所以， 由得， 所以. 故答案为：. 14. 函数，若（其中均大于2），则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由和对数的运算性质可得，再由基本不等式可得，再代入即可得出答案. 【详解】由得， 即， 即，则， 因为，所以， 于是 ， 当且仅当，即时取等， ． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）判断在上的单调性，并用定义法证明； （2）已知在上的最大值为m，若正实数a，b满足，求最小值. 【答案】（1）在上单调递增，证明见解析；（2）2. 【解析】 【分析】（1）令，作差通过运算判断符号得出结论； （2）由（1）知函数在上单调递增，最大值为即 根据基本不等式求解即可. 【详解】（1）函数在上单调递增. 证明如下： 令， . 因为，所以，， 所以， 所以，即， 所以函数在上单调递增. （2）由（1）知函数在上单调递增， 所以函数在上的最大值为， 即，所以， 所以， 当且仅当时等号成立. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 16. 已知. （1）化简，并写出使有意义的实数的集合； （2）求函数的周期及满足的实数的集合. 【答案】（1）， （2）. 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简原函数，结合正弦函数和余弦函数的性质求解集合即可. （2）利用正切函数的性质求解周期，再求出取值集合即可. 【小问1详解】 由题意得， 化简得， 由可得且，故集合为. 【小问2详解】 因为函数， 所以由正切函数性质得可得其周期为， 由（1）可知即：， 故，即，， 得到，， 故不等式的解集为：. 17. 已知定义在区间上的函数的图象关于直线对称，当时，函数. （1）求的函数表达式； （2）若且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，，由对称性可知，即可得解. （2）结合已知，利用化简得，利用将化为，代入求解即可，也可求出，代入求值即可. 【小问1详解】 当时，， 又函数的图象关于直线对称， ∴， ∴. 【小问2详解】 当，， ∴，， 由可得： ∴， ∴，∴，∴， ∴. 另解，由，得，，， ∴. 18. 幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图像是一族美丽的曲线（如图）.设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图像三等分，即有. （1）写出点M、N的坐标并求的值； （2）函数； （i）指明函数单调性和奇偶性（无需证明） （ⅱ）若对任意，，不等式：恒成立，求正数的取值范围. 【答案】（1），，. （2）（i）答案见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）先求出，，将点的坐标代入幂函数解析式，利用指对互化得，，再利用换底公式化简求值即可； （2）（i）结合指数函数的单调性，利用单调性的性质判断单调递增； 利用奇函数的定义判断即可； （ⅱ）利用函数单调性和奇函数性质将不等式恒成立问题转化为恒成立，利用正弦函数性质求得，利用基本不等式求得，进而，解不等式即可得解. 【小问1详解】 由图可得，， ∴，，∴，，∴. 【小问2详解】 （i）由（1）可知，定义域为 和都是上的单调递增函数 可知是定义在上的单调递增函数， 又，可知为奇函数. （ⅱ）是定义在上的单调递增的奇函数可知 恒成； 即恒成立； 即恒成立； 即恒成立； 即恒成立. 又，当且仅当时等号成立. 由可得：，∴， ∴当且仅当，或时等号成立， ∴恒成立等价于. ∴且，∴，解得. 19. 已知函数（其中）. （1）当，求定义域为的函数的值域； （2）试讨论函数在区间上的零点的个数； （3）对于给定的正实数，有一个最小的负数，使得时，都成立，则当为何值时，最小，并求出的最小值 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）时，取得最小值. 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的性质结合换元法求解值域即可. （2）利用换元法转化为二次函数零点问题，对参数分类讨论，求解不同情况的零点个数即可. （3）依据给定条件并对参数范围分类讨论把目标式用一元函数表示，结合自变量范围求解最值即可. 小问1详解】 由题意得，则 ∵，则， 令，故原式化为， 由二次函数性质得在上单调递减， 而，，故，即， ∴的值域. 【小问2详解】 ∵，∴， 令，则， 在单调递增且， 在单调递减且， 故， 则，. 而，由，所以，且 故，. ①当时，总有，，， 故时，在上仅有一个零点； 此时，对应在区间上有2个零点； ②当时，总有，，， 即时，在上有两个零点且，； 此时，对应在区间上有4个零点； ③当时，，，， 故时，在上有两个零点，，. 此时，对应在区间上有4个零点； 综上： 当时，区间上有2个零点； 当时，在区间上有4个零点. 【小问3详解】 由题意得， 显然，对称轴. ①当，即时，，且. 令，解得， 此时取较大的根，即， 由，则， ②当，即，，且. 令，解得， 此时取较小的根，即 ∵，则，当且仅当时，取等号. ∵， ∴当时，取得最小值. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据二次函数值域求参数范围，解题关键是利用给定条件求出的范围，然后确定的解析式，再得到所要求的最值即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$