精品解析：四川省仁寿县铧强中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题

2026届高二期末考试 数学试题 考试时间：120分钟； 一、单选题（共40分） 1. 若曲线：表示圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（ ） A B. C. D. 3. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，是一部问题集，全书分为九章，共收有246个问题，每个问题都有问、答、术三部分组成，内容涉及算术、代数、几何等诸多领域，并与实际生活紧密相连，充分体现了中国人的数学观和生活观.书中第九卷勾股部分记录了这么一个问题：问：今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？术曰：半锯道自乘，如深寸而一，以深寸增之，即材径.如图，术曰所给出的求解公式为：，则答曰（ ） A. 二尺六寸 B. 二尺五寸 C. 一尺三寸 D. 一尺二寸 4. 下列命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 若给定命题：，使得，则：，均有 C. 若为假命题，则，均为假命题 D. 命题“若，则”的否命题为“若，则” 5. 储粮所用“钢板仓”，可以看成由圆锥和圆柱两部分组成的.现有一种“钢板仓”，其中圆锥与圆柱的高分别是1m和3m，轴截面中等腰三角形的顶角为120°，若要储存300的水稻，则需要准备这种“钢板仓”的个数是（ ） A. 6 B. 9 C. 10 D. 11 6. 已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（ ） A. B. C. 5 D. 6 7. 椭圆的焦点F1，F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是（ ） A. （﹣，） B. （﹣，） C. （﹣，） D. （﹣，） 8. 若椭圆的左、右焦点分别为、，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中不正确的是（ ） A. 当点P不在x轴上时，的周长是6 B. 当点P不在x轴上时，面积的最大值为 C. 存点P，使 D. 的取值范围是 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（   ） A. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 命题“”的否定是假命题 D. “集合”中只有一个元素是“”的必要不充分条件 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. ， B. ，， C. 若恰有2个零点，则 D. 若存在互不相等的实数，使得，则的最大值为25 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 若是上的增函数，则 B. 当时，函数有两个极值 C. 当时，函数有两零点 D. 当时，在点处的切线与只有唯一个公共点 三、填空题（共15分） 12. 若圆与圆有3条公切线，则正数a=___________. 13. 已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________． 14. 一个圆台上、下底面的半径分别为3cm和8cm，若两底面圆心的连线长为12cm，则这个圆台的母线长为______cm. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，用铁皮作一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥的母线与底面所在平面的夹角为45°，容器的高为10cm，制作该容器需要多少面积的铁皮？（不计耗损，结果精确到整数） 16. 如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点，求证： （1）平面； （2）平面平面. 17. 在正四棱柱中，已知，，E为棱中点． （1）求证：； （2）求与平面所成角余弦值． 18. 已知椭圆过点，椭圆以长轴为短轴，且与有相同的离心率． （1）求椭圆的方程； （2）已知为椭圆的两焦点，若点在椭圆上，且，求的面积． 19. 已知点，圆，点在圆上运动，的垂直平分线交于点. （1）求动点的轨迹的方程； （2）直线与曲线交于两点，且中点为，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026届高二期末考试 数学试题 考试时间：120分钟； 一、单选题（共40分） 1. 若曲线：表示圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的一般式变形为标准式，进而可得参数范围. 【详解】由， 得， 由该曲线表示圆， 可知， 解得或， 故选：B. 2. 已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断出的真子集，得到答案. 【详解】因为是的真子集，故是p的一个充分不必要条件，C正确； ABD选项均不是的真子集，均不合要求. 故选：C 3. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，是一部问题集，全书分为九章，共收有246个问题，每个问题都有问、答、术三部分组成，内容涉及算术、代数、几何等诸多领域，并与实际生活紧密相连，充分体现了中国人的数学观和生活观.书中第九卷勾股部分记录了这么一个问题：问：今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？术曰：半锯道自乘，如深寸而一，以深寸增之，即材径.如图，术曰所给出的求解公式为：，则答曰（ ） A. 二尺六寸 B. 二尺五寸 C. 一尺三寸 D. 一尺二寸 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意理解，分清楚“尺”与“寸”的关系，求出即可得出答案. 【详解】由题意可知​，“深一寸”是指为一寸，“锯道长一尺”是指为一尺，一尺为十寸，所以为十寸， 故为26（寸），即二尺六寸； 故选：A. 4. 下列命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 若给定命题：，使得，则：，均有 C. 若为假命题，则，均为假命题 D. 命题“若，则”的否命题为“若，则” 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用充分条件和必要条件的定义，存在量词命题的否定形式以及否命题的形式，逻辑联结词且复合型命题的真假与各个命题真假的关系，判断A、B、C、D的结论． 【详解】对于A：“”整理得：“”，故“”是“”的即不充分也不必要条件，故A错误； 对于B：若给定命题：，使得，则：，均有，故B正确； 对于C：若为假命题，则，均为假命题也可能为一真一假，故C错误； 对于D：命题“若，则”的否定为“若，则”，故D错误． 故选：B． 5. 储粮所用“钢板仓”，可以看成由圆锥和圆柱两部分组成的.现有一种“钢板仓”，其中圆锥与圆柱的高分别是1m和3m，轴截面中等腰三角形的顶角为120°，若要储存300的水稻，则需要准备这种“钢板仓”的个数是（ ） A. 6 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意求出一个“钢板仓”的体积，然后用300除以“钢板仓”的体积可得答案 【详解】因为圆锥的高为1，轴截面中等腰三角形的顶角为120°， 所以圆锥的母线长为2，底面半径为， 所以一个“钢板仓”的体积为 ， 因为 所以要储存300的水稻，则需要准备这种“钢板仓”的个数为10个， 故选：C 6. 已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的性质，结合两点间距离公式、配方法进行求解即可. 【详解】解：设圆的圆心为，则， 设，则， 所以 ，当且仅当时取得最大值， 所以． 故选：B． 7. 椭圆的焦点F1，F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是（ ） A. （﹣，） B. （﹣，） C. （﹣，） D. （﹣，） 【答案】C 【解析】 【分析】 设P（x，y），根据椭圆方程求得两焦点坐标，根据∠F1PF2是钝角推断出PF12+PF22＜F1F22代入P坐标求得x和y的不等式关系，求得x的范围． 【详解】解：设P（x，y），由椭圆方程得椭圆焦点坐标为为F1（﹣，0），F2（，0）， 且∠F1PF2是钝角⇔⇔（x+）2+y2+（x﹣）2+y2＜20 ⇔x2+5+y2＜10⇔x2+4（1﹣）＜5⇔x2＜．所以． 故选：C． 【点睛】结论点睛：本题考查椭圆的标准方程的应用，中，为锐角，为直角，为钝角． 8. 若椭圆的左、右焦点分别为、，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中不正确的是（ ） A. 当点P不在x轴上时，的周长是6 B. 当点P不在x轴上时，面积的最大值为 C. 存在点P，使 D. 的取值范围是 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆定义以及焦距即可判断选项A；当点位于上下顶点时，面积的最大即可判断选项B；当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大与比较即可判断选项C；当点为椭圆的左右顶点时取得最值，即可判断选项D. 【详解】由椭圆方程可知，，从而． 对于选项A；根据椭圆定义，，又，所以的周长是 ，故选项A正确； 对于选项B：设点，因为，则． 因为，则面积的最大值为，故选项B正确； 对于选项C：由椭圆性质可知，当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大． 此时，，又， 则为正三角形，， 所以不存在点，使，故选项C错误； 对于选项D：由椭圆的性质可知，当点为椭圆的右顶点时，取最大值，此时； 当点为椭圆的左顶点时，取最小值，此时，所以，故选项D正确． 故选：C 【点睛】结论点睛：椭圆中焦点三角形的有关结论 以椭圆上一点和焦点为顶点的中，若，则 （1）焦点三角形的周长为； （2）当点为椭圆短轴一个端点时，为最大； （3），当时，即点为椭圆短轴的一个端点时取最大值，为； （4）. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（   ） A. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 命题“”的否定是假命题 D. “集合”中只有一个元素是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，对和进行分类讨论即可判断；对于B，根据不等式的性质和充分必要条件的概念即可判断；对于C，根据易知命题“”的否定为真命题；对于D，对和进行分类讨论，结合充分必要条件的概念即可判断. 【详解】对于A，当时，恒成立，符合题意； 当时，则，解得. 综上，当时，不等式恒成立，则的取值范围是，故选项A正确； 对于B，若，当时可得或；当时可得， 即或或， 故“”是“”的充分不必要条件，选项B正确； 对于C，由于， 所以命题“”为假命题，其否定为真命题，故选项C错误； 对于D，当时，， 集合中只有一个元素，符合题意； 当时，若集合中只有一个元素， 则，解得 所以若集合中只有一个元素，则或. 故“集合”中只有一个元素是“”的必要不充分条件，选项D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. ， B. ，， C. 若恰有2个零点，则 D. 若存在互不相等的实数，使得，则的最大值为25 【答案】BD 【解析】 【分析】由时函数值域判断AB；探讨函数的性质，结合直线与函数的图象交点情况判断CD. 【详解】对于A，函数的值域为R，A错误； 对于B，当时，，函数在上单调递增， 当时，，因此，，，B正确； 对于C，函数在上单调递减，函数值集合为， 在上单调递增，函数值集合为， 在上单调递增，函数值集合为R， 则当直线与函数的图象有两个交点时，或，C错误； 对于D，由选项C知，当直线与函数的图象有3个交点时，， 此时存在互不相等的实数，使得，不妨令， 则，，所以的最大值为25，D正确. 故选：BD 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 若是上的增函数，则 B. 当时，函数有两个极值 C. 当时，函数有两零点 D. 当时，在点处的切线与只有唯一个公共点 【答案】AB 【解析】 【分析】对A：借助导数，令导函数大于等于零恒成立即可得；对B：借助导数研究函数的单调性即可得；对C：举出反例即可得；对D：计算出在点处的切线方程后，联立，解出方程即可得. 【详解】对A：，由是上的增函数， 则有恒成立，即，解得，故A正确； 对B：由，则当时，， 故有两个不等实根，设这两个根分别为且， 则当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 故函数有两个极值，故B正确； 对C：令， 对，有，若，则， 此时有两个非零不等实根，即有三个零点，故C错误； 对D：当时，，则， ，由，则在点处切线为， 令，即有，解得或， 故在点处的切线与有两个公共点，故D错误. 故选：AB. 三、填空题（共15分） 12. 若圆与圆有3条公切线，则正数a=___________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据两圆外切半径之和等于圆心距即可求解. 【详解】两圆有三条公切线，则两圆外切，∴∴ 故答案为：3 13. 已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________． 【答案】 【解析】 分析】根据已知可得，设，利用勾股定理结合，求出，四边形面积等于，即可求解. 【详解】因为为上关于坐标原点对称的两点， 且，所以四边形为矩形， 设，则， 所以， ，即四边形面积等于. 故答案为：. 14. 一个圆台上、下底面的半径分别为3cm和8cm，若两底面圆心的连线长为12cm，则这个圆台的母线长为______cm. 【答案】13 【解析】 【分析】结合圆台的图形，利用勾股定理即可求得母线的长. 【详解】如图，由题意可得，，，，过点A作，交OB于点C.在中，，， ∴. 故答案为13 【点睛】本题考查圆台的结构特征，考查圆台母线的求法，属于基础题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，用铁皮作一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥的母线与底面所在平面的夹角为45°，容器的高为10cm，制作该容器需要多少面积的铁皮？（不计耗损，结果精确到整数） 【答案】需要的铁皮 【解析】 【分析】根据圆锥侧面积公式即可求解. 【详解】根据题意，圆锥的高， 又因为圆锥的母线与底面所在平面的夹角为45° 所以底面圆半径,母线长， 所以． 答：需要的铁皮． 16. 如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点，求证： （1）平面； （2）平面平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】(1)利用线面平行的判定定理即可证明；(2)利用面面平行的判定定理证明. 【小问1详解】 如图，连接，∵分别是的中点，∴. 又∵平面，平面，∴直线平面. 【小问2详解】 连接SD，∵分别是 的中点， ∴.又∵平面，平面， ∴平面，由(1)知，平面， 且平面，平面，， ∴平面∥平面. 17. 在正四棱柱中，已知，，E为棱的中点． （1）求证：； （2）求与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）要证明线线垂直，转化为证明线面垂直，即证明面； （2）首先证明平面平面，说明为所求角，再根据余弦定理求解. 【小问1详解】 连结AC交BD于点O，连结． 在正四棱柱中，面ABCD， 又∵ABCD，∴ ∵四边形ABCD为正方形，∴ 又∵，，面，∴面，又∵面 ∴ 【小问2详解】 由（1）知：面，又平面，∴平面平面， 又面面， ∴为直线与平面所成的平面角， ∵正四棱柱中，，， 分别在，，中， 解得，， 所以， 故与平面所成角的余弦值为． 18. 已知椭圆过点，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率． （1）求椭圆的方程； （2）已知为椭圆的两焦点，若点在椭圆上，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据点在椭圆上求得方程，结合椭圆、的关系求出椭圆的方程； （2）利用椭圆的定义及余弦定理可得，再由三角形面积公式求面积. 【小问1详解】 因为在上，则，可得， 所以椭圆的方程为，故长轴长为，离心率为， 设椭圆的方程为， 故中，且，则， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题意，在中，而， 又， 所以，故， 所以. 19. 已知点，圆，点在圆上运动，的垂直平分线交于点. （1）求动点的轨迹的方程； （2）直线与曲线交于两点，且中点为，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆的定义求解， （2）由点差法得直线斜率后求解， 【小问1详解】 由题可知， 则 由椭圆定义知的轨迹是以、为焦点，且长轴长为的椭圆， ∴，∴ ∴的轨迹方程为： 【小问2详解】 设,∵ 都在椭圆上， ∴ ，，相减可得， 又中点为，∴ ， ∴ ，即直线的斜率为， ∴直线的方程为，即, 因为点在椭圆内，所以直线与椭圆相交于两点，满足条件. 故直线的方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$