专题04 点到直线的距离重难点题型专训（9大题型+15道提优训练）-2024-2025学年高二数学下学期重难点专题提升精讲精练（沪教版2020选择性必修第一册）

专题04 点到直线的距离重难点题型专训（9大题型+15道提优训练） 题型一 求点到直线的距离 题型二 直线围成图形的面积问题 题型三 已知点到直线距离求参数 题型四 求到两点距离相等的直线方程 题型五 求点关于直线的对称点 题型六 求两点的对称轴 题型七 光线反射问题(2)——直线关于直线对称 题型八 坐标法的应用——点到直线的距离 题型九 点到直线的距离将军饮马问题求最值 知识点01 点到直线的距离公式 点到直线的距离. 证明 过点作交直线与， 设，由，以及直线的斜率为，可得的垂线的斜率为， 因此，垂线的方程为，即， 解方程组 得直线与的交点坐标，即垂足的坐标为， 于是 因此点到直线的距离. 当或时，上述公式仍然成立. (也可以用向量的方法证明) 知识点02 点到直线距离公式的推导 对于直线方程Ax+By+C=0（A²+B²eq0），设点P(x0,y0)，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，则点P到直线l的距离就是线段PQ的长度。 当Aeq0时，可得。与直线l联立，可求出交点Q的坐标，进而根据两点间距离公式得到距离。 当A=0时，直线l的方程为By+C=0，此时点P到直线l的距离为。 综上，点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式为。 知识点03 点关于直线的对称点 对于点关于直线的对称问题，若点P关于直线l的对称点为，则直线l为线段的中垂线，于是有等量关系： ①（直线l的斜率存在且不为零）； ②线段的中点在直线l上； ③直线l上任意一点M到P，的距离相等，即． 常见的点关于直线的对称点： 1 点关于x轴的对称点； 2 点关于y轴的对称点； 3 点关于直线y=x的对称点； 4 点关于直线y=−x的对称点； ⑤点关于直线x=m（m≠0）的对称点； 5 点关于直线y=n（n≠0）的对称点． 【经典例题一 求点到直线的距离】 【例1】（23-24高二下·上海普陀·阶段练习）已知定点..和直线：，则点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定直线过定点，故点到直线的距离的最大值为，计算得到答案. 【详解】直线，整理得， 由，解得，故直线过定点 故点到直线的距离的最大值为. 故选：C 1．（23-24高二下·上海青浦·阶段练习）设，为不同的两点，直线，，以下命题中正确的序号为（    ） ①存在实数，使得点在直线上； ②若，则过、的直线与直线平行； ③若，则直线经过的中点； ④若，则点、在直线的同侧且直线与线段的反向延长线相交． A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】依次分析命题：①根据中的分母不为0，即可判断点不在直线上；②当时，分和两种情况考虑，当时，根据推出直线与直线平行；当时，根据，化简后得到直线与直线的斜率相等，且点不在直线上，进而得到两直线平行；③当时，化简后得到线段的中点在直线上；④根据，得到与同号且小于，进而得到点、在直线的同侧且直线与线段的反向延长线相交，综合可得答案. 【详解】①因为中，，所以点不在直线上，故①错误； ②当时，根据得到，化简得：，直线与直线的斜率不存在，都与轴平行，由①知点不在直线上，得到直线与直线平行；当时，根据，得到，化简得：，即直线的斜率为，又因为直线的斜率为，由①知点不在直线上，得到直线与直线平行；综上，当时，直线与直线平行，故②正确； ③当，得到，化简得，而线段的中点坐标为，所以直线经过直线的中点，故③正确； ④当，得到，即，所以得到点、在直线的同侧，且，得到点与点到直线的距离不等，所以直线与线段的反向延长线相交，故④正确， 故选：. 2．（24-25高二下·上海·单元测试）已知直线方程为，直线的一个单位法向量为，若点P是直线上任意一点，则 ，若点到直线的距离为1，则的值为 ． 【答案】 【分析】设点P的坐标为，求出单位法向量为的坐标，计算数量积即可，由点到直线的距离即可求出的值. 【详解】设点P的坐标为， ，； 点到直线的距离为， 所以， 故答案为：； 3．（24-25高二下·上海·课堂例题）如图，射线、所在直线的方向向量分别为，，点在内，于，于． (1)若，，求的值； (2)若，的面积是，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出以及直线，可求出点到直线的距离，再利用勾股定理可求得的值； （2）求出以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求出的值，可得出关于的方程，结合可求得的值. 【详解】（1）因为，则， 因为，则直线的一个方向向量为，所以，直线的方程为， 所以，点到直线的距离为， 所以，. （2）因为直线的一个方向向量为， 所以，直线的方程为，即. 点到直线的距离为，， ，可得或， 即或，因为，解得或. 【经典例题二 直线围成图形的面积问题】 【例2】（23-24高二下·浙江·阶段练习）如图，在矩形中，，动点满足，则点到两点距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得出动点在与平行且与的距离为2的直线上，作关于直线的对称点，连接，则的长就是所求的最短距离，然后在直角三角形中，由勾股定理求得的值，即的最小值. 【详解】设中的边上的高为， 因为，， 所以， 所以， 所以动点在与平行且与的距离为2的直线上， 如图所示： 作关于直线的对称点，连接， 则的长就是所求的最短距离， 在中， 因为，， 所以， 即的最小值为：. 故选：B. 1．（23-24高二下·上海嘉定·阶段练习）已知直线：，且与轴、轴分别交于、两点．若使的面积为的直线共有（   ）条 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用直线方程求得直线与两坐标轴的交点、，从而将的面积表示为斜率的函数，分和两种情况根据的面积为的条件计算，利用一元二次方程的解法运算即可得解. 【详解】解：    如上图，当时，则直线过定点， ∵与轴、轴分别交于、两点， ∴直线的斜率存在且不为， 且∵直线方程为， ∴当时，当时， ∴直线与轴交于点，直线与轴交于点， ∴，， ∵，则是直角三角形， ∴， （i）当时，， 由题意，的面积为，则， 即，解得：. （ii）当时，， 由题意，的面积为，则， 即，解得：. 综上知，使的面积为的直线共有3条. 故选：C. 2．（23-24高二下·上海·期末）已知直线，，，三条直线围成，则当面积取得最大时的值为 . 【答案】1 【分析】首先判断直线和的定点，判断的形状，再求直线与直线的交点，利用点到直线的距离表示边长，再求解三角形的面积，并利用基本不等式求最值. 【详解】直线，即，恒过定点， 直线，即，也恒过定点， 所以直线与相交于定点， 由，解得，可知直线与直线相交于点， 又因为直线与直线相互垂直，所以是为直角的直角三角形， 因为点到的距离， 点到,的距离， 所以的面积， 时，的面积不可能取到最大值； 时，，当且仅当时，等号成立． 因此，当时，的面积有最大值． 故答案为：1 3．（23-24高二下·上海虹口·阶段练习）已知点，，，，过点D作斜率为k的直线l分别交线段和线段于P，Q两点，求的面积S关于k的函数. 【答案】 【分析】根据图象可确定，利用两点连线斜率公式求得临界值后即可得到所求范围,将方程与直线方程联立可得两点坐标，由两点间距离公式可求得，利用点到直线距离公式可求得原点到直线距离，代入三角形面积公式，化简得到结果. 【详解】若直线与线段，均有交点且交点不重合，则由图象可知：，    ，，的取值范围为， 设直线，即，， 又直线：；直线； 由得：，即，同理可得：， ， 又原点到直线距离， ，又，.    【经典例题三 已知点到直线距离求参数】 【例3】（24-25高二下·上海闵行·阶段练习）已知直线与平行，且、之间的距离与点到的距离均为，则在轴上的截距为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设直线的方程为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，化简直线的方程，即可得出结果. 【详解】因为直线与平行，设直线的方程为， 因为、之间的距离与点到的距离均为， 则，解得， 所以，直线的方程为，即， 故直线在轴上的截距为. 故选：B. 1．（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知直线经过定点且与直线平行，若点和到直线的距离相等，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据直线过的点以及平行关系设出直线方程，再由点到直线距离公式计算可得结果. 【详解】若直线经过定点且与直线平行可设直线的方程为； 点和到直线的距离相等可知， 解得或. 故选：C 2．（24-25高二下·天津·阶段练习）中，，边上的中线所在直线方程为：，的平分线方程为：，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】设点坐标，由中点在直线上，得到点坐标，从而得出直线方程，设直线方程，由角平分线的性质可以得到直线上任意一点到两边所在直线距离相等，由此建立方程，得出直线方程. 【详解】设，则中点， ∴，∴，∴， 则直线：， 设直线：，即， 取上一点 ，则点到直线和直线距离相等， 则，即， ∴或（舍去）， 故直线：. 故答案为： 3．（24-25高二下·上海长宁·期中）如图所示，面积为8的平行四边形，为坐标原点，坐标为，、均在第一象限． (1)求直线的方程； (2)若，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）由题设有，设，根据四边形面积易得点到的距离为，应用点线距离公式求参数，即可得直线方程； （2）根据两点距离公式、点在直线上列方程组求点的坐标. 【详解】（1）因为是平行四边形，所以，所以， 设直线的方程为，即． 因为四边形的面积为8，， 所以与的距离为，即点到的距离为， 于是，所以，由图知，， 所以，直线的方程为． （2）设坐标为，因为，所以． 所以，解得，或，． 所以点的坐标为或． 【经典例题四 求到两点距离相等的直线方程】 【例4】（23-24高二下·上海·期中）已知，，若，到直线的距离都等于，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】分别研究位于直线同侧以及位于直线两侧时的情况，即可得出答案. 【详解】当位于直线同侧时，只有时，且两平行线之间的距离为时，满足条件，这样的直线有2条； 又， 所以位于直线两侧时，只有当直线恰为直线的中垂线时，满足条件，此时的直线有1条. 综上所述，满足条件的直线共有3条. 故选：C． 1．（23-24高二下·上海崇明·阶段练习）已知过点的直线，且点与点到直线l的距离相等，则直线的方程为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据直线有无斜率，分类讨论，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与点到的距离为1，符合题意， 当直线的斜率存在时，设为， 则可设直线方程为：，即， 由于点与点到直线的距离相等， 则，解得， 故直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或． 故选：C． 2．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知x，y为实数，代数式的最小值是 ． 【答案】5 【分析】利用两点间的距离公式的几何意义，将代数问题转化为几何问题求解，即可得到答案. 【详解】即，几何意义为点与点的距离； 即，几何意义为点与点的距离； 即，几何意义为点与点的距离， 分别作关于轴的对称点，关于轴的对称点， 连接，则， ∴ ， 当且仅当分别为与轴，轴的交点时，等号成立， 故答案为：5. 3．（23-24高二下·上海金山·期中）已知直线与直线的交点为. (1)若直线过点，且点和点到直线的距离相等，求直线的方程； (2)若直线过点且与轴和轴的正半轴分别交于，两点，求面积的最小值及此时直线的方程. 【答案】(1)或 (2)； 【分析】（1）先求出交点，由两点到直线的距离相等，分直线与直线平行与相交两类情况求解即可； （2）设直线截距式方程，由直线过点得，利用基本不等式求最值，进而得面积的最值，再通过取等条件，求出直线方程. 【详解】（1）由解得，即交点， 由点和点到直线的距离相等，直线过的中点或， 当直线过的中点时，中点为，则直线； 当直线时，由的斜率， 得方程为，即. 故所求直线方程为或. （2）由题意知，直线的横、纵截距，都存在，且， 则可设直线，由直线过， 则，由基本不等式得，解得， 当且仅当，即时，等号成立. 则的面积，即面积的最小值为， 此时，直线方程为，即. 【经典例题五 求点关于直线的对称点】 【例5】（24-25高二下·上海松江·阶段练习）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出垂直于直线且过点的表达式，求出交点坐标，即可得出关于直线的对称点． 【详解】由题意， 在直线中，斜率为， 垂直于直线且过点的直线方程为，即， 设两直线交点为， 由，解得：， ， 点关于直线的对称点的坐标为， 即． 故选：D． 1．（24-25高二下·上海青浦·期末）在平面直角坐标系中，记动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】过点作点关于直线的对称点，则的最小值即为到轴的距离，故可求得最小值. 【详解】如图，过点作点关于直线的对称点，则. 设，则有，解得，所以. 设第一象限内的点，则，所以， 而，，所以点到轴的距离为， 所以可视为线段上的点到轴的距离和到的距离之和. 过作轴，显然有， 当且仅当三点共线时，和有最小值. 过点作轴，则即为的最小值，此时与重合. 又，所以的最小值为. 故选：B. 2．（2024高二下·全国·专题练习）已知点，在直线和轴上各找一点和，则的周长的最小值为 . 【答案】 【分析】根据点关于直线对称的性质进行求解即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则有， 点关于轴的对称点为，如图所示： 当四点共线时，的周长的最小， 最小值为. 故答案为： 3．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知直线：，：，直线与交于点 (1)求过点且与垂直的直线的方程； (2)点是直线上异于的一点，若为的角平分线，求点所在的直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出，再写出点斜式方程即可； （2）取点，求出其关于直线的对称点坐标，再利用点斜式方程即可. 【详解】（1）令，则，解得， 则，因为直线的斜率，则， 则直线的方程为，即. （2）取点，设其关于直线的对称点， 则，解得. 则点所在的直线的方程，即.    【经典例题六 求两点的对称轴】 【例6】（23-24高二下·上海静安·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意直线为线段的中垂线，先求出直线的斜率及中点坐标，再根据两直线垂直的性质得到直线的斜率，最后利用点斜式求出方程，化简即可得出. 【详解】因为点关于直线对称的点为，所以直线为线段的中垂线， 因为，中点为，且， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为即. 故选：D 1．（23-24高二下·上海普陀·期中）已知点 和圆 ，一束光线从点 出发，经过轴反射到圆的最短路程是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】先将圆化为标准方程,求出圆心和半径,再找出圆心关于轴对称的点,最短距离即和圆的圆心关于轴对称的点的距离再减去半径的距离. 【详解】解:由题可知，圆, 整理得,圆心,半径 最短距离即和圆的圆心关于轴对称的点的距离再减去半径的距离， 所以. 故选:C 【点睛】本题主要考查圆的方程和直线与圆的位置关系,考查两点间的距离公式,属于简单题. 2．（23-24高二下·上海徐汇·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标中，已知矩形的长为2，宽为1，边､分别在轴､轴的正半轴上，点与坐标原点重合，将矩形折叠，使点落在线段上，若折痕所在直线的斜率为，则折痕所在的直线方程为 .    【答案】 【解析】因为折叠的过程中，点落在线段上，特别的如果折叠后重合，这时折痕所在的直线斜率为0，然后根据点和对折后的对应点关于直线折痕对称，即可求出折痕所在的直线的方程. 【详解】当时，此时点和点重合，折痕所在的直线的方程， 当时，将矩形折叠后点落在线段上的点为，， 所以与关于折痕所在的直线对称，由，即，解得：， 故折痕所在的直线的方程. ，从而折痕所在的直线与的交点坐标为， 折痕所在的直线方程为， 即， 综上所述：折痕所在的直线的方程为：. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了点关于线段对称问题，考查了直线方程的求法，考查了两直线垂直关系的应用，属于中档题 3．（24-25高二下·上海·课后作业）如图，OAB是一张三角形纸片，，，，设与、的交点分别为、，将沿直线折叠后，使落在边上的点处．设，试用表示点到距离． 【答案】 【分析】利用点与关于直线对称，求直线的方程，再与直线方程联立，求点的坐标，即可求点到的距离. 【详解】以为原点，边所在的直线分别为轴、轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设，因为，所以． 连接，因为点与点对称，所以． 当时，直线的斜率不存在，此时直线的方程为，点到的距离为．当时，．因为的中点为， 从而直线的方程为， 即．① 又直线的方程为，② 由①②解得，即点的横坐标为， 所以点到距离为. 当时也满足上式． 所以点到距离为. 【经典例题七 光线反射问题(2)——直线关于直线对称】 【例7】（24-25高二下·上海嘉定·阶段练习）已知椭圆：，过点且方向向量为的光线，经直线反射后过的右焦点，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方向向量以及反射光线的性质可得，再由勾股定理可得，可得离心率. 【详解】设过点且方向向量为的光线，交直线的点为，右焦点为， 如下图所示： 因为方向向量的直线斜率为，则，直线AB的斜率为， 又由反射光线的性质可得的斜率为1，故， 所以为等腰直角三角形，且到的距离为， 又，故， 所以，则， 故，离心率. 故选：A 1．（23-24高二下·上海杨浦·期中）如图已知，若光线L从点射出，直线AB反射后到直线OB上，再经直线OB反射回原点P，则光线L所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点P关于y轴的对称点，设点P关于直线的对称点列方程组求出，，从而求出直线，联立，得M点坐标，由此能求出光线L所在的直线方程． 【详解】由题意知，过点和点的直线为，且点， 设光线分别射在AB、OB上的M、N处， 由于光线从点P经两次反射后又回到P点， 根据反射规律，则 作出点P关于OB的对称点，作出点P关于AB的对称点， 则 所以共线， 因为，所以， 点P关于y轴的对称点 设点P关于直线的对称点 ，解得 ∴直线，即 联立，得 ∴直线，即光线L所在的直线方程为 故选D． 【点睛】本题主要考查了直线方程的求法，考查点的对称、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． 2．（24-25高二下·上海青浦·期中）如图在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到点，如图所示，若光线经过的重心，则线段的长度是 ；直线的斜率为 .    【答案】 2 【分析】根据已知，利用对称性､重心的性质，求出对称点坐标，联立直线方程进行求解. 【详解】   建立如图所示的平面直角坐标系，可得， 所以直线的方程为的重心的坐标为， 设点分别是点关于直线和轴的对称点， 连接，所以，设， 则有，解得，所以， 由光的反射原理可知，四点共线，所以，即， 解得，此时， 所以，直线的方程为， 联立直线的方程与的方程有：，解得，即， 所以直线的斜率为. 故答案为：；2. 3．（24-25高二下·上海海口·阶段练习）在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为. (1)求直线的方程； (2)求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂直的位置关系，算出直线的斜率为，利用直线方程的点斜式列式，化简整理即可得到直线的方程； （2）由边的高所在直线方程和，解出，从而得出直线的方程．由直线、关于直线对称，算出方程. 【详解】（1）由于所在直线的方程为，故的斜率为， 与互相垂直，直线的斜率为， 结合，可得的点斜式方程：， 化简整理，得，即为所求的直线方程． （2）由和联解，得, 由此可得直线方程为：，即.. ,关于平分线x轴对称，则倾斜角互补，斜率和y轴截距都互为相反数. 直线的方程为：. 【经典例题八 坐标法的应用——点到直线的距离】 【例8】（23-24高二下·上海·期中）已知直线，.则下列说法中正确的有（    ） ①存在实数，使，②存在实数，使； ③对任意实数，都有，④存在点到四条直线距离相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】令即可判断①；根据直线平行、垂直的判定即可判断②③；利用点线距离公式求原点到各直线距离判断④. 【详解】当时，，故，①对； 由，故不成立，②错； 由恒成立，即，③对； 由各直线方程知：坐标原点到各直线距离均为，④对. 所以共有3个正确. 故选：C 1．（23-24高二下·上海宝山·阶段练习）在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）．若光线经过的重心，则的长度等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，得出各顶点以及重心的坐标，设，.求出直线的方程，根据光的反射原理得出点关于以及轴的对称点的坐标，表示出的方程，代入重心坐标，求出的值，得出的方程.进而求出的坐标，即可根据两点间的距离公式得出答案. 【详解】   如图，建立平面直角坐标系，则，，，的重心坐标为，方程为，设，. 根据光的反射原理以及已知可知，点关于的对称点在的反向延长线上，点关于轴的对称点在的延长线上，即四点共线. 由已知可得点满足，解得， 所以. 易知. 因为四点共线， 所以有直线的斜率为， 所以，直线的方程为. 由于直线过重心， 所以有，整理可得， 解得或（舍去）， 所以直线的方程为，整理可得. 所以，点坐标为. 联立与的方程，解得，即， 所以，. 故选：B. 2．（23-24高二下·浙江·阶段练习）如图，在直角中，，，.，分别是边，上的点，，，若是直线上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】解法1：以为原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，根据题意表示出、、、四点的坐标，由求出点N的坐标，写出直线方程，则可设出点的坐标，最后通过向量数量积的坐标表示法求出，由一元二次函数的最值的求法，求得最终的结果； 解法2：同解法1建系，表示出各点的坐标，求出直线直线方程，设中点为，由极化恒等式将所求化为，再利用点到直线的距离公式求出的最小值，从而求出的最小值. 【详解】解析1：（建系） 设，，，的短轴长为4， 由于， 可得，即， 故，直线方程， 设， 则， 即的最小值为. 解析2：（极化恒等式建系） 设为中点，由于， 由解法1可得直线方程， 设，则， 所以，即的最小值为. 3．（2024高二·江苏·专题练习）已知点，直线，且点P不在直线l上． （1）求证：点P到直线l的距离； （2）当点在函数图像上时，（1）中的公式变为，请参考该公式求 的最小值． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】设，根据定义，点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长，设点P到直线l的垂线为，垂足为Q，求出PQ长即可，显然，时同样成立， 即可证得结论； 令，将问题转化为函数点到直线、的距离之和的倍，即可求得最小值． 【详解】证明：根据定义，P到直线l的距离是P到直线l的垂线段的长， 当时，设P到直线l的垂线为，垂足为Q，又知：的斜率为，则的方程：． ，解得：， ∴ ， ∴． 当时，，，此时， ∴，故 综上，． 令，， ∴表示函数图象上的点到直线的距离， 表示函数图象上的点到直线的距离， ∴目标式几何意义：半圆上的点到直线、的距离之和的倍，    ∴最小值为 ． 【经典例题九 点到直线的距离将军饮马问题求最值】 【例9】（23-24高二下·上海奉贤·阶段练习）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为5 【答案】B 【分析】由题意画出图形，则由三角形三边关系可知点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 三点共线满足题意，其中点为点关于直线的对称点，对于A，由根据被垂直平分求出的坐标进一步可求得方程对比即可；对于B，联立直线方程求解即可；对于C，由两点求出斜率，写出直线的点斜式方程，化简对比即可；对于D，根据两点间距离公式求解即可. 【详解】如图所示： 由题意可知在的同侧，设点关于直线的对称点为， 三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 则，解得，即， 对于A，直线的斜率为，所以将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是，即，故A正确； 对于B，联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为，故B正确； 对于C，由C选项分析可知点，直线的斜率为，所以直线的方程为，即，故C错误； 对于D，，即“将军饮马”走过的总路程为，故D错误. 故选：B. 1．（23-24高二下·上海崇明·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路最短？试求最小（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知变形设出，，则为点分别到点，的距离之和，则，即可根据两点间距离计算得出答案. 【详解】， ， 设，，， 则为点分别到点，的距离之和， 点关于轴的对称点的坐标为， 连接， 则， 当且仅当，，三点共线时取等号， 故选：B. 2．（24-25高二下·上海·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 ． 【答案】 【分析】求出关于直线对称的点，结合图形，即可求解. 【详解】设点关于直线对称的点为， 则有，解得，所以， 则，所以“将军饮马”的最短总路程为，    故答案为：. 3．（24-25高二下·上海宝山·期中）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为． (1)求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程； (2)设“将军饮马”路程最短时的饮马点为，在△中，求边中线所在的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点关于直线对称可得对称点，即可根据两点距离公式求解， （2）根据两直线的方程可得交点，即可根据中点坐标可得，进而根据两点坐标求解直线方程. 【详解】（1）由题意可知在的同侧， 设点关于直线的对称点为三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 则，解得，即， 此时“将军饮马”走过的总路程为．    （2）由（1）知,故直线方程为， 故直线的方程是， 联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为， 边的中点，则，即， ∴直线斜率， ∴直线的方程为，整理得． ∴△中边中线所在的直线方程为． 1．（24-25高二下·上海·期中）已知点在直线上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】问题转化为直线上的点到点和的距离之和最小，利用对称点求解可得. 【详解】因为 表示到点和的距离之和. 又在直线上，关于的对称点为， 所以，三点共线时等号成立， 所以，所求最小值为：. 故选：B 2．（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知直线与直线垂直，点在直线上运动，且点，点，则的最大值是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由垂直求出，作点关于直线的对称点为，求出点坐标，由几何关系易知，当且仅当三点共线时等号成立，由此可知的最大值. 【详解】直线,直线， 因为与垂直，所以，解得， ， 设点关于直线的对称点为， 则的中点在直线上，且， 所以，解得， 当且仅当三点共线时等号成立 的最大值为, 故选：D. 3．（24-25高二下·上海·随堂练习）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据顶点坐标可得重心与外心的坐标，进而得欧拉线方程. 【详解】由重心坐标公式可得：重心，即. 由，，可知外心在的垂直平分线上， 所以设外心，因为， 所以， 解得，即：， 则， 故欧拉线方程为：， 即：， 故选：A. 4．（23-24高二下·河南·阶段练习）美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（    ） A．1.8cm B．2.5cm C．3.2cm D．3.9cm 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，求出直线的方程，利用点到直线距离公式进行求解 【详解】解：如图，以鼻尖所在位置为原点O，中庭下边界为x轴，垂直中庭下边界为y轴，建立平面直角坐标系，则，， 所以， 利用点斜式方程可得到直线：，整理为， 所以原点O到直线距离为， 故选:B 5．（23-24高二下·上海嘉定·阶段练习）在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发经BC，CA反射后又回到点P，若光线QR经过的重心，则的周长等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为坐标原点，,所在直线为轴，轴，建立如图所示的平面直角坐标系，通过对称光线的对称关系找到点关于，的对称点，，则即为的长. 【详解】解析：以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， 所以直线的方程为. 设，点关于直线的对称点为，点关于轴的对称点为， 易得，. 易知直线就是所在的直线. 所以直线的方程为. 设的重心为，则， 所以，即，所以（舍去）或， 所以，. 结合对称关系可知，， 所以的周长即线段的长度为： . 故选：A. 6．（24-25高二下·上海·随堂练习）若点到直线的距离为1，则实数a的值为 ． 【答案】或 【分析】利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】因为点到直线的距离为1， 所以解得：或 故答案为：或 7．（24-25高二下·上海奉贤·期中）已知点，在轴和直线上各取一点、，则的周长最小值为 ． 【答案】 【分析】作出图形，数形结合，由两点间距离公式求解即可； 【详解】 作点关于轴的对称点，和关于直线的对称点， 连接交轴于点，交直线于点， 此时的周长最小值，最小值为， 故答案为：. 8．（23-24高二下·上海黄浦·阶段练习）平面中两条直线、相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”．已知常数，，给出下列命题： （1）若，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个； （2）若，，则“距离坐标”为的点有且仅有2个； （3）若，则“距离坐标”为的点有且仅有4个． 以上命题中，正确的命题是 ． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】根据“距离坐标”的概念，结合图象，即可得出答案. 【详解】对于（1），只有当点M与点O重合时，满足题意.故（1）正确； 对于（2），不妨假设，则点在直线上. 又点到直线的距离为， 如图1，作的两条平行线，使得与的距离均为. 由定义结合图象可知，直线与的交点满足条件. 所以，“距离坐标”为的点有且仅有2个.故（2）正确； 对于（3），如图2，作的两条平行线，使得与的距离均为；作的两条平行线，使得与的距离均为. 由定义结合图象可知，满足条件的点有且仅有4个.故（3）正确. 故答案为：（1）（2）（3）. 9．（24-25高二下·上海·阶段练习）新定义：如图，圆与直线相离，过圆心作直线的垂线，垂足为，交圆于、两点（在、之间），我们把点称为圆关于直线的“近点”，把的值称为圆关于直线的“秘钥数”.根据新定义解决问题：在平面直角坐标系中，直线经过点，点是坐标平面内一点，以为圆心，为半径作圆.若与直线相离，点是圆关于直线的“近点”，且圆关于直线的“秘钥数”是，则直线的表达式为 . 【答案】或 【分析】分析可知，点到直线的距离为，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，当直线的斜率不存在时，直接检验即可；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求出的值，综合可得出直线的方程. 【详解】设点到直线的距离为，因为圆关于直线的“秘钥数”是，且圆的半径为， 则根据题中定义可得，可得， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，点到直线的距离为，不合乎题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 根据题意可得，解得或， 所以，直线的方程为或. 故答案为：或. 10．（2024·上海徐汇·一模）某建筑物内一个水平直角型过道如图所示，两过道的宽度均为米，有一个水平截面为矩形的设备需要水平通过直角型过道．若该设备水平截面矩形的宽为米，则该设备能水平通过直角型过道的长不超过 米． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，利用直线的方程求得设备的长的表达式，再利用均值定理求得的最小值，进而得到该设备能水平通过直角型过道时不超过的值. 【详解】分别以所在直线为轴建立平面直角坐标系如图， 则，令， 则直线的方程为， 则在直线的上方，且到直线的距离为1， 即， 则， 整理得， 设，则， 则可化为， 令，则，则 , 由，得， 又在上单调递增， 则， 则（当且仅当时等号成立） 则该设备能水平通过直角型过道的长不超过米 故答案为： 11．（24-25高二下·上海·课堂例题）求证：直线l：与点的距离不等于3． 【答案】证明见解析 【分析】根据点到直线的距离公式，运用反证法，即可推得结论. 【详解】由点到直线距离公式得 ， 假设， 即， 整理得， 因为， 所以方程无实根， 所以，即直线l与点的距离不等于3． 12．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知a为实数，设直线：，：. (1)若，求a的值； (2)若，求与的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线的位置关系求出即可； （2）根据两直线的位置关系求出，检验并利用两平行线间的距离公式计算即可求解. 【详解】（1）由题意知，若， 则，解得. （2）若，则，即，解得或. 当时，，此时， 两平行线之间的距离为； 当时，，此时重合，不符合题意. 所以两平行线之间的距离为. 13．（23-24高二下·上海普陀·阶段练习）过点的直线分别交与于两点. (1)若直线的倾斜角为，求直线的一般式方程. (2)当最小时，求直线的方程； (3)已知为坐标原点，设的面积为，讨论这样的直线的条数. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）直接根据点斜式得到答案. （2）考虑斜率存在和不存在两种情况，计算交点坐标得到，得到最值和直线方程. （3）考虑直线斜率存在和不存在两种情况，计算，得到，，讨论得到答案. 【详解】（1）若直线的倾斜角为，则直线的方程为，即； （2）法一：当直线的斜率不存在时，； 当直线的斜率存在时，设直线，， 得，得， ， ， 所以， 综上所述：的最小值为3，此时直线的斜率不存在，直线方程为. 法二：前面部分同法一， 注意到，且反向， 所以， 综上所述：的最小值为3，此时直线的斜率不存在，直线方程为. （3）当直线斜率不存在时，，，； 当直线斜率存在时，，，， ， 即， 当时，方程有1解，此时； 当时，， 当时，，方程无解； 当时，，，方程有1解； 当时，，，对称轴，且，方程有两个大于1的解. 当时，，开口向下，，，方程有1个大于1的解，一个小于的解. 综上所述： 当时，0条；当时，1条；当时，2条. 14．（24-25高二下·上海·随堂练习）如图，已知，，，直线：． (1)求直线经过的定点坐标； (2)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分离参数，列方程可得直线过定点； （2）分别求点关于直线与的对称点与，进而可得，再根据对称性可得，即可得直线方程. 【详解】（1）由直线：，即， 令，解得， 故直线恒过定点； （2）设关于的对称点，则， 关于的对称点， 由直线的方程为，即， 所以，解得， 所以， 由题意得、、、四点共线，， 由对称性得， 所以入射光线的直线方程为， 即． 15．（23-24高二下·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的长AB为2，宽BC为1，，边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合，将矩形折叠，使点落在线段上，设此时为M. (1)若折痕的斜率为，求折痕所在的直线的方程； (2)若折痕所在直线的斜率为，（为常数），试用表示点M的坐标，并求折痕上任一点满足的等式； (3)当时，求折痕长的最大值. 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）若折痕的斜率为时，由于A点落在线段上，可得折痕必过点，即可得出； （2）分和两种情况，结合垂直关系求直线方程即可得出结果； （3）当时，折痕为2，当时，折痕所在直线交于点，交轴于，利用两点之间的距离公式、二次函数的单调性即可得出. 【详解】（1）因为折痕的斜率为时，A点落在线段上 可知折痕必过点 所以直线方程为. （2）①当时，此时A点与点重合，折痕所在的直线方程. ②当时，将矩形折叠后A点落在线段上的点记为，， 则A与关于折痕所在的直线对称，有，即. ∴点坐标为 从而折痕所在的直线与的交点坐标即线段的中点为， 折痕所在的直线方程，即. 综上所述，由①②得折痕所在的直线方程为：. （3）当时，折痕长为2. 当时，折痕所在直线交于点，交轴于. 因为 ， 则折痕长的最大值为. 综上所述，折痕长度的最大值为 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 点到直线的距离重难点题型专训（9大题型+15道提优训练） 题型一 求点到直线的距离 题型二 直线围成图形的面积问题 题型三 已知点到直线距离求参数 题型四 求到两点距离相等的直线方程 题型五 求点关于直线的对称点 题型六 求两点的对称轴 题型七 光线反射问题(2)——直线关于直线对称 题型八 坐标法的应用——点到直线的距离 题型九 点到直线的距离将军饮马问题求最值 知识点01 点到直线的距离公式 点到直线的距离. 证明 过点作交直线与， 设，由，以及直线的斜率为，可得的垂线的斜率为， 因此，垂线的方程为，即， 解方程组 得直线与的交点坐标，即垂足的坐标为， 于是 因此点到直线的距离. 当或时，上述公式仍然成立. (也可以用向量的方法证明) 知识点02 点到直线距离公式的推导 对于直线方程Ax+By+C=0（A²+B²eq0），设点P(x0,y0)，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，则点P到直线l的距离就是线段PQ的长度。 当Aeq0时，可得。与直线l联立，可求出交点Q的坐标，进而根据两点间距离公式得到距离。 当A=0时，直线l的方程为By+C=0，此时点P到直线l的距离为。 综上，点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式为。 知识点03 点关于直线的对称点 对于点关于直线的对称问题，若点P关于直线l的对称点为，则直线l为线段的中垂线，于是有等量关系： ①（直线l的斜率存在且不为零）； ②线段的中点在直线l上； ③直线l上任意一点M到P，的距离相等，即． 常见的点关于直线的对称点： 1 点关于x轴的对称点； 2 点关于y轴的对称点； 3 点关于直线y=x的对称点； 4 点关于直线y=−x的对称点； ⑤点关于直线x=m（m≠0）的对称点； 5 点关于直线y=n（n≠0）的对称点． 【经典例题一 求点到直线的距离】 【例1】（23-24高二下·上海普陀·阶段练习）已知定点..和直线：，则点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高二下·上海青浦·阶段练习）设，为不同的两点，直线，，以下命题中正确的序号为（    ） ①存在实数，使得点在直线上； ②若，则过、的直线与直线平行； ③若，则直线经过的中点； ④若，则点、在直线的同侧且直线与线段的反向延长线相交． A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④ 2．（24-25高二下·上海·单元测试）已知直线方程为，直线的一个单位法向量为，若点P是直线上任意一点，则 ，若点到直线的距离为1，则的值为 ． 3．（24-25高二下·上海·课堂例题）如图，射线、所在直线的方向向量分别为，，点在内，于，于． (1)若，，求的值； (2)若，的面积是，求的值． 【经典例题二 直线围成图形的面积问题】 【例2】（23-24高二下·浙江·阶段练习）如图，在矩形中，，动点满足，则点到两点距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高二下·上海嘉定·阶段练习）已知直线：，且与轴、轴分别交于、两点．若使的面积为的直线共有（   ）条 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高二下·上海·期末）已知直线，，，三条直线围成，则当面积取得最大时的值为 . 3．（23-24高二下·上海虹口·阶段练习）已知点，，，，过点D作斜率为k的直线l分别交线段和线段于P，Q两点，求的面积S关于k的函数. 【经典例题三 已知点到直线距离求参数】 【例3】（24-25高二下·上海闵行·阶段练习）已知直线与平行，且、之间的距离与点到的距离均为，则在轴上的截距为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知直线经过定点且与直线平行，若点和到直线的距离相等，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25高二下·天津·阶段练习）中，，边上的中线所在直线方程为：，的平分线方程为：，则直线的方程为 ． 3．（24-25高二下·上海长宁·期中）如图所示，面积为8的平行四边形，为坐标原点，坐标为，、均在第一象限． (1)求直线的方程； (2)若，求点的坐标． 【经典例题四 求到两点距离相等的直线方程】 【例4】（23-24高二下·上海·期中）已知，，若，到直线的距离都等于，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 1．（23-24高二下·上海崇明·阶段练习）已知过点的直线，且点与点到直线l的距离相等，则直线的方程为（　　） A． B． C．或 D．或 2．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知x，y为实数，代数式的最小值是 ． 3．（23-24高二下·上海金山·期中）已知直线与直线的交点为. (1)若直线过点，且点和点到直线的距离相等，求直线的方程； (2)若直线过点且与轴和轴的正半轴分别交于，两点，求面积的最小值及此时直线的方程. 【经典例题五 求点关于直线的对称点】 【例5】（24-25高二下·上海松江·阶段练习）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高二下·上海青浦·期末）在平面直角坐标系中，记动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 2． （2024高二下·全国·专题练习）已知点，在直线和轴上各找一点和，则的周长的最小值为 . 3．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知直线：，：，直线与交于点 (1)求过点且与垂直的直线的方程； (2)点是直线上异于的一点，若为的角平分线，求点所在的直线的方程． 【经典例题六 求两点的对称轴】 【例6】（23-24高二下·上海静安·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高二下·上海普陀·期中）已知点 和圆 ，一束光线从点 出发，经过轴反射到圆的最短路程是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（23-24高二下·上海徐汇·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标中，已知矩形的长为2，宽为1，边､分别在轴､轴的正半轴上，点与坐标原点重合，将矩形折叠，使点落在线段上，若折痕所在直线的斜率为，则折痕所在的直线方程为 .    3．（24-25高二下·上海·课后作业）如图，OAB是一张三角形纸片，，，，设与、的交点分别为、，将沿直线折叠后，使落在边上的点处．设，试用表示点到距离． 【经典例题七 光线反射问题(2)——直线关于直线对称】 【例7】（24-25高二下·上海嘉定·阶段练习）已知椭圆：，过点且方向向量为的光线，经直线反射后过的右焦点，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24高二下·上海杨浦·期中）如图已知，若光线L从点射出，直线AB反射后到直线OB上，再经直线OB反射回原点P，则光线L所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·上海青浦·期中）如图在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到点，如图所示，若光线经过的重心，则线段的长度是 ；直线的斜率为 .    3．（24-25高二下·上海海口·阶段练习）在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为. (1)求直线的方程； (2)求直线的方程. 【经典例题八 坐标法的应用——点到直线的距离】 【例8】（23-24高二下·上海·期中）已知直线，.则下列说法中正确的有（    ） ①存在实数，使，②存在实数，使； ③对任意实数，都有，④存在点到四条直线距离相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（23-24高二下·上海宝山·阶段练习）在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）．若光线经过的重心，则的长度等于（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高二下·浙江·阶段练习）如图，在直角中，，，.，分别是边，上的点，，，若是直线上的动点，则的最小值为 . 3．（2024高二·江苏·专题练习）已知点，直线，且点P不在直线l上． （1）求证：点P到直线l的距离； （2）当点在函数图像上时，（1）中的公式变为，请参考该公式求 的最小值． 【经典例题九 点到直线的距离将军饮马问题求最值】 【例9】（23-24高二下·上海奉贤·阶段练习）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为5 1．（23-24高二下·上海崇明·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路最短？试求最小（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·上海·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 ． 3．（24-25高二下·上海宝山·期中）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为． (1)求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程； (2)设“将军饮马”路程最短时的饮马点为，在△中，求边中线所在的直线方程． 1．（24-25高二下·上海·期中）已知点在直线上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知直线与直线垂直，点在直线上运动，且点，点，则的最大值是（） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海·随堂练习）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·河南·阶段练习）美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（    ） A．1.8cm B．2.5cm C．3.2cm D．3.9cm 5．（23-24高二下·上海嘉定·阶段练习）在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发经BC，CA反射后又回到点P，若光线QR经过的重心，则的周长等于（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·上海·随堂练习）若点到直线的距离为1，则实数a的值为 ． 7．（24-25高二下·上海奉贤·期中）已知点，在轴和直线上各取一点、，则的周长最小值为 ． 8．（23-24高二下·上海黄浦·阶段练习）平面中两条直线、相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”．已知常数，，给出下列命题： （1）若，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个； （2）若，，则“距离坐标”为的点有且仅有2个； （3）若，则“距离坐标”为的点有且仅有4个． 以上命题中，正确的命题是 ． 9．（24-25高二下·上海·阶段练习）新定义：如图，圆与直线相离，过圆心作直线的垂线，垂足为，交圆于、两点（在、之间），我们把点称为圆关于直线的“近点”，把的值称为圆关于直线的“秘钥数”.根据新定义解决问题：在平面直角坐标系中，直线经过点，点是坐标平面内一点，以为圆心，为半径作圆.若与直线相离，点是圆关于直线的“近点”，且圆关于直线的“秘钥数”是，则直线的表达式为 . 10．（2024·上海徐汇·一模）某建筑物内一个水平直角型过道如图所示，两过道的宽度均为米，有一个水平截面为矩形的设备需要水平通过直角型过道．若该设备水平截面矩形的宽为米，则该设备能水平通过直角型过道的长不超过 米． 11．（24-25高二下·上海·课堂例题）求证：直线l：与点的距离不等于3． 12．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知a为实数，设直线：，：. (1)若，求a的值； (2)若，求与的距离. 13．（23-24高二下·上海普陀·阶段练习）过点的直线分别交与于两点. (1)若直线的倾斜角为，求直线的一般式方程. (2)当最小时，求直线的方程； (3)已知为坐标原点，设的面积为，讨论这样的直线的条数. 14．（24-25高二下·上海·随堂练习）如图，已知，，，直线：． (1)求直线经过的定点坐标； (2)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程． 15．（23-24高二下·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的长AB为2，宽BC为1，，边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合，将矩形折叠，使点落在线段上，设此时为M. (1)若折痕的斜率为，求折痕所在的直线的方程； (2)若折痕所在直线的斜率为，（为常数），试用表示点M的坐标，并求折痕上任一点满足的等式； (3)当时，求折痕长的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $$