专题03 两条直线的位置关系重难点题型专训（8大题型+15道提优训练）-2024-2025学年高二数学下学期重难点专题提升精讲精练（沪教版2020选择性必修第一册）

专题03 两条直线的位置关系重难点题型专训（8大题型+15道提优训练） 题型一 由斜率判断两条直线平行 题型二 由斜率判断两条直线垂直 题型三 已知直线平行求参数 题型四 已知直线垂直求参数 题型五 直线围成三角形问题 题型六 两条直线的夹角问题 题型七 两条直线的位置与方程的综合应用 题型八 两条直线的位置关系的综合应用 知识点01 两条直线平行 对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有. 知识点02 两条直线垂直 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直，即. 知识点03 两条平行直线间的距离 1.两条平行直线间的距离 一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离. 2.两条平行直线间的距离公式 两条平行直线（其中A与B不同时为0，且）间的距离． 【经典例题一 由斜率判断两条直线平行】 【例1】（23-24高二下·上海浦东新·期末）设直线（、不同时为零），（、不同时为零），则“、相交”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 1．（23-24高二下·上海嘉定·期中）设、、分别是的对边长，则直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交 2．（24-25高二下·上海·课堂例题）已知，则直线：和直线：的位置关系为 ． 3．（23-24高二下·上海闵行·课后作业）分别根据下列各点的坐标，判断各组中直线AB与CD是否平行： (1)，，，； (2)，，，； (3)，，，； (4)，，，． 【经典例题二 由斜率判断两条直线垂直】 【例2】（23-24高二下·上海普陀·期中）设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，AB中点为Q，则的值为（　　） A． B． C． D．与m的取值有关 1．（23-24高二下·上海嘉定·期末）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（    ） A．4 B．10 C．5 D． 2．（24-25高二下·上海宝山·期中）设，过定点的直线与过定点的直线相交于点，则点坐标为 ，的最大值为 . 3．（2024高二·上海宝山·专题练习）判断下列直线与是否垂直： (1)的倾斜角为，经过，两点； (2)的斜率为，经过，两点； (3)的斜率为，的倾斜角为，为锐角，且； (4)经过点和，经过点和． 【经典例题三 已知直线平行求参数】 【例3】（2025·上海松江·一模）已知直线，直线，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C．或1 D．0 1．（24-25高二下·上海嘉定·期末）直线，则是的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高二下·上海·阶段练习）直线与直线平行，则 . 3．（24-25高二下·上海长宁·期中）已知坐标平面内三点． (1)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (2)若是线段上一动点，求的取值范围． 【经典例题四 已知直线垂直求参数】 【例4】 （24-25高二下·上海静安·期末）已知，直线，，若，则（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高二下·上海徐汇·期中），过定点的直线与过定点的直线交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·上海闵行·阶段练习）已知直线与直线互相垂直，则实数的值为 ． 3．（24-25高二下·上海松江·阶段练习）已知点，，点C在x轴上，且是直角三角形，． (1)求点C的坐标； (2)求的面积； (3)求斜边上的中线所在直线的方程． 【经典例题五 直线围成三角形问题】 【例5】（23-24高二下·上海金山·开学考试）已知，直线和直线与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为（    ） A． B． C． D．1 1．（24-25高二下·上海宝山·期中）若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25高二下·上海奉贤·课后作业）已知三条直线与不能围成三角形，则 . 3．（23-24高二下·上海徐汇·阶段练习）求适合下列条件的直线方程： (1)经过点，且在两坐标轴上的截距相同； (2)求平行于直线，且与两坐标轴围成的三角形面积为4的直线方程． 【经典例题六 两条直线的夹角问题】 【例6】 （23-24高二·上海静安·课后作业）若直线在x轴和y轴上的截距分别为3和1，直线：，则直线与的夹角为（    ） A． B．45° C．135° D．45°或135° 1．（23-24高二·上海闵行·课后作业）已知两条直线：，：，当、的夹角在内变动时，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·上海宝山·期中）已知直线经过点，与直线的夹角为.则直线的方程 . 3．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知点是直线上的一点，将直线绕点逆时针方向旋转角，所得直线方程是，若将它继续旋转角，所得直线方程是， (1)求直线的方程； (2)若直线过点，且直线与直线的夹角为，求直线的方程. 【经典例题七 两条直线的位置与方程的综合应用】 【例7】（24-25高二下·上海·阶段练习）若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高二下·上海崇明·阶段练习）已知直线过点，且直线与直线平行，与直线垂直，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·上海嘉定·期中）过点作直线，使它被两条相交直线和所截得的线段，恰好被点平分，则直线的方程为 . 3．（24-25高二下·上海宝山·期中）在平面直角坐标系中，的边所在直线方程为，边所在直线方程为，点在边上． (1)若是边上的高，求直线的方程； (2)若是边上的中线，求直线的方程． 【经典例题八 两条直线的位置关系的综合应用】 【例8】（2024高二下·上海长宁·专题练习）如图，正方形OABC的一个顶点O是平面直角坐标系的原点，顶点A，C分别在y轴和x轴上，P为边OC上的一个动点，且 ， ，当点P从点C运动到点O时，可知点Q始终在某函数图象上运动，则其函数图象是（     ）    A．线段 B．圆弧 C．抛物线的一部分 D．不同于以上的不规则曲线 1．（23-24高二下·上海静安·期末）数学家歌拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的三个顶点分别为，，，则的欧拉线方程是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高二·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的长为2，宽为1，边，分别在轴、轴的非负半轴上，点与坐标原点重合，将矩形折叠，使点落在线段上一点处，设折痕所在直线的斜率为，若，则折痕长的取值范围为 ．    3．（24-25高二下·上海·阶段练习）直线过点，且与轴， y轴正半轴分别交于，两点. (1)若直线的斜率为，求的面积； (2)若的面积满足，求直线的斜率的取值范围； (3)如图，若，过点做平行于轴的直线交轴于点，动点，分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点的坐标. 1．（24-25高二下·天津·期末）已知直线与平行，则实数的值为（    ） A．或0 B． C．或2 D．2 2．（23-24高二下·上海杨浦·期中）已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·上海·期末）已知直线，点、，设，，比下选项中命题都正确的为（   ） （1）若，则线段的中点在直线上 （2）若，则直线与直线平行 （3）若，则点、分布在直线的两侧 A．（1）（2）（3） B．（1）（2） C．（2）（3） D．（1）（3） 4．（24-25高二下·上海青浦·阶段练习）集合，集合，从A，B中各任意取一个数相加为，则直线与直线平行的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·上海嘉定·期中）如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点的坐标分别为（    ）    A．， B．， C．， D．， 6．（24-25高二下·上海闵行·期末）已知直线，若，则实数 . 7．（24-25高二下·上海青浦·期末）已知直线：与直线：平行，则 . 8．（23-24高二下·上海松江·期中）已知的顶点，AB边上的中线所在直线的方程为，若AC边上的高所在直线的方程为，则点B的坐标为 ． 9．（24-25高二下·上海长宁·阶段练习）在梯形中，，，点满足，则 ；若与相交于点，为线段延长线上的动点，则的最大值为 ． 10．（24-25高二下·上海徐汇·期中）数学家莱昂哈德▪欧拉在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的重心、外心、垂心在同一条直线上，这条直线被称为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则外接圆的半径 ，顶点的坐标为 . 11．（23-24高二下·上海·假期作业）若三条直线不能围成三角形，求实数的值． 12．（24-25高二·上海·课堂例题）在平面直角坐标系xOy中，四边形的顶点坐标分别为、、、，其中．试判断四边形的形状． 13．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知两条直线， (1)当为何值时，与相交; (2)与是两条不同直线，经过定点，当也经过点时，求的值. 14．（23-24高二·上海徐汇·课后作业）若两条相交直线，的倾斜角分别为，，斜率均存在，分别为，，且，若，满足______（从①；②两个条件中，任选一个补充在上面问题中并作答），求： (1)，满足的关系式； (2)若，交点坐标为，同时过，过，在（1）的条件下，求出，满足的关系； (3)在（2）的条件下，若直线上的一点向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，仍在该直线上，求实数，的值． 15．（2024高二·上海·专题练习）直线l过点P（3，2）且与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点． (1)若直线l的斜率为，求△的面积； (2)若的面积S满足，求直线l的斜率k的取值范围； (3)如图，若点P分向量所成的比的值为2，过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M，动点E、F分别在线段MP和OA上，若直线EF平分直角梯形OAPM的面积，求证：直线EF必过一定点，并求出该定点坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 两条直线的位置关系重难点题型专训（8大题型+15道提优训练） 题型一 由斜率判断两条直线平行 题型二 由斜率判断两条直线垂直 题型三 已知直线平行求参数 题型四 已知直线垂直求参数 题型五 直线围成三角形问题 题型六 两条直线的夹角问题 题型七 两条直线的位置与方程的综合应用 题型八 两条直线的位置关系的综合应用 知识点01 两条直线平行 对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有. 知识点02 两条直线垂直 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直，即. 知识点03 两条平行直线间的距离 1.两条平行直线间的距离 一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离. 2.两条平行直线间的距离公式 两条平行直线（其中A与B不同时为0，且）间的距离． 【经典例题一 由斜率判断两条直线平行】 【例1】（23-24高二下·上海浦东新·期末）设直线（、不同时为零），（、不同时为零），则“、相交”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】分均不为0和有且只有一个为0两种情况讨论，分别证得充分性和必要性即可得出结论. 【详解】当直线斜率都存在即均不为0时，若“、相交”，则两直线的斜率不相等，得，即，当直线斜率有一个不存在即有且只有一个为0时，也成立，故充分性成立； 反之，均不为0时，若“”，则，则两直线的斜率不相等，即、相交，有且只有一个为0时，、也相交，故必要性成立；综上，则“、相交”是“”的充要条件， 故选：C. 1．（23-24高二下·上海嘉定·期中）设、、分别是的对边长，则直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交 【答案】C 【分析】利用正弦定理化简即可直接判断. 【详解】由正弦定理可知，化为：，即. 所以直线与重合. 故选：C 2．（24-25高二下·上海·课堂例题）已知，则直线：和直线：的位置关系为 ． 【答案】垂直或重合 【分析】求出值，再代入方程并确定位置关系即得. 【详解】由，得或， 当时，：，：，，， 显然，所以直线与垂直； 当时，：，：，所以直线与重合． 故答案为：垂直或重合 3．（23-24高二下·上海闵行·课后作业）分别根据下列各点的坐标，判断各组中直线AB与CD是否平行： (1)，，，； (2)，，，； (3)，，，； (4)，，，． 【答案】(1)平行 (2)平行 (3)平行 (4)不平行 【分析】（1）求出，，斜率，再判断两直线不重合得平行； （2）由斜率相等，及不重合得结论； （3）由两直线斜率都不存在，且不重合得平行； （4）由斜率不相等得不平行． 【详解】（1），，，不共线，因此与平行． （2），，又两直线不重合，直线与平行， （3）直线，的斜率都不存在，且不重合，因此平行； （4）,，直线与不平行， 【经典例题二 由斜率判断两条直线垂直】 【例2】（23-24高二下·上海普陀·期中）设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，AB中点为Q，则的值为（　　） A． B． C． D．与m的取值有关 【答案】A 【分析】求解直线经过的定点，根据两直线垂直，即可根据直角三角形的性质求解. 【详解】由于经过的定点为，所以， 直线变形为， 所以经过定点，故， 因为，所以两直线垂直，如图， 因此为直角三角形， 所以， 故选：A 1．（23-24高二下·上海嘉定·期末）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（    ） A．4 B．10 C．5 D． 【答案】C 【分析】由题意可知两条动直线经过定点、，且始终垂直，有，利用勾股定理求出，再利用基本不等式求得答案. 【详解】由题意可知，动直线经过定点， 动直线即，经过定点， 因为，所以动直线和动直线始终垂直， 又是两条直线的交点， 则有，， 故（当且仅当时取“” ， 故选：C． 2．（24-25高二下·上海宝山·期中）设，过定点的直线与过定点的直线相交于点，则点坐标为 ，的最大值为 . 【答案】 【分析】将直线、的方程，可求出定点、的坐标，分析可知，，再利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】将直线的方程化为，由，可得， 所以，直线过定点， 将直线的方程化为，由，可得， 所以，直线过定点，且， 因为，所以，， 当点与点、不重合时，由勾股定理可得； 当点与点或点重合时，则有或， 此时，仍满足. 因为， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最大值为. 故答案为：；. 3．（2024高二·上海宝山·专题练习）判断下列直线与是否垂直： (1)的倾斜角为，经过，两点； (2)的斜率为，经过，两点； (3)的斜率为，的倾斜角为，为锐角，且； (4)经过点和，经过点和． 【答案】(1)垂直 (2)不垂直 (3)垂直 (4)当或时，直线，当且时，与不垂直． 【分析】（1）的斜率为，根据过两点的斜率公式可求的斜率，判断斜率的乘积是否为即可； （2）根据过两点的斜率公式可求的斜率，判断斜率的乘积是否为即可； （3）根据二倍角的正切公式求出的值，判断斜率的乘积是否为即可； （4）分的斜率是否存在进行分类讨论，当两条两条直线垂直，可以是一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0， 也可以是两条直线斜率均存在时，斜率之积为，从而确定直线与垂直时的值. 【详解】（1）由题意知，直线的斜率为， 直线的斜率为， 因为，所以． （2）由题意知，直线的斜率为，直线的斜率为， 而，所以与不垂直． （3）记的斜率为，因为，所以， 解得或， 又因为为锐角，所以． 因为的斜率为，且，所以． （4）由题意，直线的斜率一定存在，直线的斜率可能存在或不存在． ①当直线的斜率不存在时，，即，此时，满足． ②当直线的斜率存在时，，由斜率公式，得，． 若，则，即，解得． 综上所述，当或时，直线，当且时，与不垂直． 【经典例题三 已知直线平行求参数】 【例3】（2025·上海松江·一模）已知直线，直线，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C．或1 D．0 【答案】C 【分析】根据两直线平行时系数的关系求解即可. 【详解】根据两直线平行，可知，解得. 故选：C 1．（24-25高二下·上海嘉定·期末）直线，则是的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据直线平行的判定求参数，结合充分、必要性定义判断条件间的关系. 【详解】若，则，可得或， 时，，即两直线平行，符合； 时，，即两直线重合，不符. 所以，即是的充要条件. 故选：C 2．（24-25高二下·上海·阶段练习）直线与直线平行，则 . 【答案】1 【分析】由两直线平行可得解一元二次方程，然后检验即可； 【详解】由题意可得，解得或， 当时，直线即，直线即，两直线重合，不符合题意，舍去， 当时，符合题意， 所以. 故答案为：1 3．（24-25高二下·上海长宁·期中）已知坐标平面内三点． (1)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (2)若是线段上一动点，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1） 设，根据求解即可； （2） 因为表示直线的斜率，求出与点重合时，直线的斜率；与点重合时，直线的斜率，由此即可得答案． 【详解】（1）如图，当点在第一象限时，，    设，则，解得， 故点的坐标为. （2）由题意得为直线的斜率，如图，    当点与点重合时，直线的斜率最小，； 当点与点重合时，直线的斜率最大，． 故直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为． 【经典例题四 已知直线垂直求参数】 【例4】 （24-25高二下·上海静安·期末）已知，直线，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得，进而可得，进而可得. 【详解】由可得， 化简得，解得或（舍去） 又，得， 故选：B 1．（24-25高二下·上海徐汇·期中），过定点的直线与过定点的直线交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即和，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有；再利用基本不等式放缩即可得出的最大值． 【详解】由题意可知，动直线经过定点， 动直线即，经过点定点， 注意到动直线和动直线始终垂直， 又是两条直线的交点， 则有， ． 故当且仅当时取等 故选：C. 2．（24-25高二下·上海闵行·阶段练习）已知直线与直线互相垂直，则实数的值为 ． 【答案】或 【分析】利用斜率是否存在进行讨论分析，再由斜率之积为列方程求参数. 【详解】当时， 直线化为：， 直线化为， 此时两直线垂直，满足题意； 当时， 直线化为：， 直线化为， 此时两直线不垂直，不满足题意； 当且时， 直线的斜率为， 直线的斜率为， 因为两直线垂直，所以，解得， 综上可得：实数的值为或， 故答案为: 或. 3．（24-25高二下·上海松江·阶段练习）已知点，，点C在x轴上，且是直角三角形，． (1)求点C的坐标； (2)求的面积； (3)求斜边上的中线所在直线的方程． 【答案】(1) (2)10 (3)． 【分析】（1）设出C点坐标，利用垂直，转化为斜率之积为即可求出的值； （2）求出两直角边长，代入三角形面积公式即可； （3）写出AC中点E的坐标，利用直线的点斜式方程即可求出斜边中线所在直线方程． 【详解】（1）设．因为，所以， 显然，则． 因为，， 所以，解得，则． （2），， 的面积为． （3）记AC的中点为E，则． 直线BE的斜率为， 直线BE的方程为，即， 所以斜边上的中线所在直线的方程为． 【经典例题五 直线围成三角形问题】 【例5】（23-24高二下·上海金山·开学考试）已知，直线和直线与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】求出四边形四个顶点的坐标，表示出四边形面积，借助函数思想求最小值. 【详解】过定点，也过定点，如图所示， 在的方程中，令，则， 在的方程中，令，则， 则点，， ． 由二次函数性质可得，当时，S取得最小值． 故选：C. 1．（24-25高二下·上海宝山·期中）若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】分析可知直线与直线或直线平行，或直线过点，进而列式求解即可. 【详解】联立方程，解得， 可知：直线的斜率为，的斜率为，且直线、的交点为， 若三条直线不能围成三角形，则直线与直线或直线平行，或直线过点， 可知直线的斜率存在，且为， 可得或或，解得或或， 所以实数的取值最多有3个. 故选：B. 2．（24-25高二下·上海奉贤·课后作业）已知三条直线与不能围成三角形，则 . 【答案】 【分析】根据题意，分类讨论三条直线交于一点和三条直线有两条直线平行，即可得到答案. 【详解】当三条直线交于同一点时， ，即交点为. 将代入，得， 即，解得，因为，舍去； 当与平行，则； 当与平行，则，无解； 当与平行，则，因为，舍去. 故答案为：. 3．（23-24高二下·上海徐汇·阶段练习）求适合下列条件的直线方程： (1)经过点，且在两坐标轴上的截距相同； (2)求平行于直线，且与两坐标轴围成的三角形面积为4的直线方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设出直线的截距，分截距为0与不为0讨论即可得解； （2）根据平行关系设出直线，求出截距，根据面积建立方程即可得解. 【详解】（1）设直线在轴上的截距均为. 若，即过(0,0)及两点， 的方程为，即， 若，则设的方程为 过点，，解得， 的方程为. 综上可知，直线的方程为或. （2）设平行于直线的直线方程为， 令得，令得 又直线与两坐标轴围成的三角形面积为4， ，解得， 所以所求直线方程为. 【经典例题六 两条直线的夹角问题】 【例6】 （23-24高二·上海静安·课后作业）若直线在x轴和y轴上的截距分别为3和1，直线：，则直线与的夹角为（    ） A． B．45° C．135° D．45°或135° 【答案】B 【分析】根据题设有，，结合差角正切公式及直线夹角的范围确定夹角大小. 【详解】由题设，，不妨令， 所以， 而直线夹角范围为，故直线与的夹角为45°. 故选：B 1．（23-24高二·上海闵行·课后作业）已知两条直线：，：，当、的夹角在内变动时，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由的倾斜角为知倾斜角范围为，结合直线方程求m的范围. 【详解】由题设，的倾斜角为，故倾斜角范围为， 所以且，即. 故选：C 2．（23-24高二下·上海宝山·期中）已知直线经过点，与直线的夹角为.则直线的方程 . 【答案】或 【分析】设直线的倾斜角为，两直线夹角为，可得，分类讨论的斜率是否存在，结合两直线的夹角公式分析求解. 【详解】由题意可知：直线斜率为， 设直线的倾斜角为， 则，解得，或（舍去）， 设两直线夹角为，则， 可得，所以. ①当的斜率不存在，则， 此时，可得，符合题意； ②当的斜率存在，设的斜率为， 则，解得， 所以直线，即； 综上所述：的方程为或． 故答案为：或． 3．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知点是直线上的一点，将直线绕点逆时针方向旋转角，所得直线方程是，若将它继续旋转角，所得直线方程是， (1)求直线的方程； (2)若直线过点，且直线与直线的夹角为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】 （1）先求得点的坐标，然后根据点斜式求得直线的方程. （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，通过夹角公式求得直线的方程. 【详解】（1）由解得，故. 直线斜率为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为. （2）设直线与直线的夹角为，且，则为锐角，且， 所以， 直线的斜率为， 当直线的斜率不存在，即直线轴时，，符合题意，. 当直线的斜率存在时，设其斜率为， 则，解得， 所以直线的方程为. 所以直线的方程为或. 【经典例题七 两条直线的位置与方程的综合应用】 【例7】（24-25高二下·上海·阶段练习）若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据条件求，再根据两点确定一条直线，求直线方程，根据垂直关系，即可求中垂线方程. 【详解】由条件可知，，， 且，两式相加得， 即，得， 点是直线和的交点，所以， 所以点满足直线，即直线方程为， ，与直线垂直的直线方程的斜率为， 所以中垂线方程为，整理为. 故选：A 1．（24-25高二下·上海崇明·阶段练习）已知直线过点，且直线与直线平行，与直线垂直，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，利用垂直直线斜率关系，建立方程，结合点斜式方程，可得答案. 【详解】由题意得，直线与直线垂直， 则，解得， 故直线的方程为，即. 故选：B. 2．（24-25高二下·上海嘉定·期中）过点作直线，使它被两条相交直线和所截得的线段，恰好被点平分，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】设出直线与直线，的交点坐标、，然后根据中点坐标的相关性质得出，，再然后根据在上以及在上得出，解得的坐标，由直线的两点式方程即得. 【详解】设直线， 设直线夹在直线，之间的线段为（在上，在上）， 设、， 因为被点平分，所以，， 于是，， 由于在上，在上，则， 即解得，， 即的坐标是，则直线的方程是， 即． 故答案为：.    3．（24-25高二下·上海宝山·期中）在平面直角坐标系中，的边所在直线方程为，边所在直线方程为，点在边上． (1)若是边上的高，求直线的方程； (2)若是边上的中线，求直线的方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）联立直线、的方程，得出点的坐标，可得出直线的斜率，根据可得出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （2）设，则点关于的对称点为在直线上，可求出的值，可点的坐标，进而可求得直线的方程，即直线的方程. 【详解】（1）由得，所以，直线的斜率为， 因为，所以，直线的斜率为， 则直线的方程为，即. （2）点在直线上，设， 点关于的对称点为在直线上， 所以，解得，即点， 直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 【经典例题八 两条直线的位置关系的综合应用】 【例8】（2024高二下·上海长宁·专题练习）如图，正方形OABC的一个顶点O是平面直角坐标系的原点，顶点A，C分别在y轴和x轴上，P为边OC上的一个动点，且 ， ，当点P从点C运动到点O时，可知点Q始终在某函数图象上运动，则其函数图象是（     ）    A．线段 B．圆弧 C．抛物线的一部分 D．不同于以上的不规则曲线 【答案】A 【分析】首先设正方形的边长是a，则点B的坐标是，设点Q的坐标是，点P的坐标是;然后根据，，推得，再根据，可得，所以其函数图象是线段. 【详解】设正方形的边长是，则点的坐标是， 设点的坐标是，点的坐标是， ， ， ①， ， ， ②， 把①代入②，可得， 整理,可得， ，， ， ， ， ∴点Q在某函数图象上运动，则其函数图象是线段. 故选:A. 1．（23-24高二下·上海静安·期末）数学家歌拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的三个顶点分别为，，，则的欧拉线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的三个顶点坐标，先求解出重心的坐标，然后再根据三个点坐标求解任意两条垂直平分线的方程，联立方程，即可算出外心的坐标，最后根据重心和外心的坐标使用点斜式写出直线方程. 【详解】由题意可得的重心为．因为，，所以线段的垂直平分线的方程为．因为，，所以直线的斜率，线段的中点坐标为，则线段的垂直平分线的方程为．联立，解得，则的外心坐标为，故的欧拉线方程是，即． 故选：B. 2．（2024高二·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的长为2，宽为1，边，分别在轴、轴的非负半轴上，点与坐标原点重合，将矩形折叠，使点落在线段上一点处，设折痕所在直线的斜率为，若，则折痕长的取值范围为 ．    【答案】 【分析】当时，由图形直接求出直线方程得到折痕长度，当时，由点关于直线的对称点得到斜率关系，再由点斜式得到直线方程，最后结合两点间距离公式和二次函数求出结果； 【详解】当时，此时点和点重合，折痕所在的直线的方程，折痕的长为2． 当时，将矩形折叠后点落在线段上的点为， 所以与关于折痕所在的直线对称，由，即，解得， 故，从而折痕所在的直线与的交点坐标为， 故折痕所在的直线方程为，即， 因为直线的斜率为，所以当时，折痕端点在线段上，在线段上， 如图．当时，折痕所在的直线交于点，交轴于点， 所以， 又因为，所以，所以． 综上所述，折痕长的取值范围为． 故答案为：.    3．（24-25高二下·上海·阶段练习）直线过点，且与轴， y轴正半轴分别交于，两点. (1)若直线的斜率为，求的面积； (2)若的面积满足，求直线的斜率的取值范围； (3)如图，若，过点做平行于轴的直线交轴于点，动点，分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1)16 (2) (3)证明见解析， 【分析】（1）由题意可得直线的方程为，，，即可求解. （2）直线的方程为，，，表示出，再根据，解得. （3）由，可得，，梯形的面积为，梯形的面积为6，设，，可求得，代入直线的方程，得出直线过定点. 【详解】（1）由题意可得，直线的方程为，即， 令，解得，令，解得， 所以. （2）设直线的斜率为（），直线的方程为， 令，解得，令，解得， 则， 由，得， 由，成立， 由，解得， 综上，. （3）设，，因为，， 所以，可得，， ，则，， 梯形的面积为， 由题意，梯形的面积为6， 设，，可得，即， 由直线的方程为， 将代入上式可得， 由，解得，所以直线过定点. 1．（24-25高二下·天津·期末）已知直线与平行，则实数的值为（    ） A．或0 B． C．或2 D．2 【答案】D 【分析】由题意，得，或.当时，重合，不符合题意，当时，即得. 【详解】由题意，可得，或， 当时，，，此时重合，不符合题意； 当时，，，，符合题意. 故选：D 2．（23-24高二下·上海杨浦·期中）已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点C的坐标,再求出直线的斜率，则可求出直线的斜率和直线的倾斜角，联立方程组求出C的坐标； 【详解】设C点标为，直线AH斜率， ∴，而点B的横坐标为6，则， 直线BH的斜率， ∴直线AC斜率， ∴， ∴点C的坐标为． 故选:. 3．（23-24高二下·上海·期末）已知直线，点、，设，，比下选项中命题都正确的为（   ） （1）若，则线段的中点在直线上 （2）若，则直线与直线平行 （3）若，则点、分布在直线的两侧 A．（1）（2）（3） B．（1）（2） C．（2）（3） D．（1）（3） 【答案】D 【分析】根据条件，结合点与直线的位置关系，转化为坐标运算，即可判断选项. 【详解】对于（1），因为， 所以 ，即，所以（1）正确； 对于（2），当时，满足， 此时有，， 即，均在直线上，所以（2）错误； 对于（3），由，得到， 由直线分平面区域的点满足“同侧同号，异侧异号”，知选项D正确； 故选：D 4．（24-25高二下·上海青浦·阶段练习）集合，集合，从A，B中各任意取一个数相加为，则直线与直线平行的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据直线平行，求的值，再利用古典概型概率公式，即可求解. 【详解】从A，B中各任意取一个数相加，有种情况， 当直线时，，则，则， 当时，从中取一个数相加为的有，2种情况， 当时，从中取一个数相加为的有，2种情况， 所以满足条件的有4种情况，则满足条件的概率. 故选：B. 5．（23-24高二下·上海嘉定·期中）如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点的坐标分别为（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】求出点E关于直线以及y轴的对称点的坐标，即可确定当周长最小时的E，F的位置，求出直线的方程，联立即可得E点坐标，令，即可得F点坐标，即得答案. 【详解】设C关于直线的对称点为， 则，解得，即， C关于y轴的对称点为，    则的周长为， 当点在同一条直线上时，，即的周长最小； 此时的斜率为，故的方程为， 联立，解得，即， 对于，令，则，即， 故选：C 6．（24-25高二下·上海闵行·期末）已知直线，若，则实数 . 【答案】或1 【分析】根据给定条件，利用直线垂直的充要条件列式计算即得. 【详解】，则根据直线垂直的充要条件列式得到， 解得或. 故答案为：或. 7．（24-25高二下·上海青浦·期末）已知直线：与直线：平行，则 . 【答案】3 【分析】根据两直线平行的充要条件：且即可求解. 【详解】因为，由两直线平行的充要条件可得， 且， 解得. 故答案为； 8．（23-24高二下·上海松江·期中）已知的顶点，AB边上的中线所在直线的方程为，若AC边上的高所在直线的方程为，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】设，满足AC边上的高所在直线方程；将中点坐标代入方程；两方程联立可求得点坐标. 【详解】设，代入AC边上的高所在直线的方程得：， 的中点坐标为，代入方程为：， 即， 联立得，解得：，. 故答案为： 9．（24-25高二下·上海长宁·阶段练习）在梯形中，，，点满足，则 ；若与相交于点，为线段延长线上的动点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用向量的加减运算和数量积的定义化简计算即可求得；根据条件建立平面直角坐标系，设，运用向量数量积的坐标运算式，将化成关于的二次函数，利用其图象特征即得的最小值. 【详解】， 解得，因为，所以； 因为，，所以， 因为，所以为正三角形． 如图建立平面直角坐标系， 则， 所以直线的方程为：，即， 直线的方程为：，即， 两直线联立得，解得，即， 因为为线段延长线上的动点，故可设，则， 所以 ， 因为，所以当时，取得最大值． 故答案为：；． 10．（24-25高二下·上海徐汇·期中）数学家莱昂哈德▪欧拉在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的重心、外心、垂心在同一条直线上，这条直线被称为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则外接圆的半径 ，顶点的坐标为 . 【答案】 【分析】第一空，由欧拉线定义可得AB中垂线与其交点即为外心，然后由外心坐标可得外接圆半径；第二空，设，由重心坐标公式及欧拉线方程可得纵坐标，然后由外接圆半径可得横坐标. 【详解】第一空，因，，则AB中点坐标为，， 则AB中垂线方程为：， 则其与交点为，即外心坐标为， 则外接圆半径； 第二空，设，结合，，可得重心坐标为：， 因其在上，则，则.又，外心坐标为， 则或3（与B重合，舍去），则. 故答案为：； 11．（23-24高二下·上海·假期作业）若三条直线不能围成三角形，求实数的值． 【答案】或或 【分析】根据三条直线“至少有两条直线平行”或“三线共点”来求得的值. 【详解】依题意，任意两条直线不重合，若三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三线共点． 当有两条直线平行时，，则三条直线的斜率为， 若，则. 若，则.. 若三线共点，由解得，设， 将代入， 得， 综上所述，或或. 12．（24-25高二·上海·课堂例题）在平面直角坐标系xOy中，四边形的顶点坐标分别为、、、，其中．试判断四边形的形状． 【答案】四边形OPQR为矩形. 【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式计算判断即可. 【详解】依题意，直线的斜率，直线的斜率， 直线的斜率，直线的斜率， 显然，，在四边形中，，， 因此四边形为平行四边形，又，则， 所以四边形为矩形. 13．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知两条直线， (1)当为何值时，与相交; (2)与是两条不同直线，经过定点，当也经过点时，求的值. 【答案】(1)，且，且 (2) 【分析】（1）由求解； （2）过定点，又因为也经过点，代入求解，要注意检验． 【详解】（1）依题意，得， 得， 得，且，且． （2）， 得，得， 得过定点，又因为也经过点， 得，得． 当时，与重合，故舍去， 故． 14．（23-24高二·上海徐汇·课后作业）若两条相交直线，的倾斜角分别为，，斜率均存在，分别为，，且，若，满足______（从①；②两个条件中，任选一个补充在上面问题中并作答），求： (1)，满足的关系式； (2)若，交点坐标为，同时过，过，在（1）的条件下，求出，满足的关系； (3)在（2）的条件下，若直线上的一点向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，仍在该直线上，求实数，的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）依题意，，若选①利用诱导公式计算可得；若选②根据两直线垂直的充要条件得解； （2）首先表示出直线、，再将点代入方程，再结合（1）的结论计算可得； （3）按照函数的平移变换规则将直线进行平移变换，即可求出，从而求出直线的方程，即可求出，再根据（1）求出直线的方程，即可求出的值； 【详解】（1）解：依题意，，且，均不为或， 若选①，则，则，即； 若选②，则 （2）解：依题意直线：，直线：， 又过，所以且，即且，又过，所以且，即且； 若选①，则，所以，即且、； 若选②，则，所以，即且、； （3）解：直线：，将直线向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到， 即，所以，解得，此时直线：，所以，解得； 若选①，则，此时直线：，所以，解得； 若选②，则，此时直线：，所以，解得； 15．（2024高二·上海·专题练习）直线l过点P（3，2）且与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点． (1)若直线l的斜率为，求△的面积； (2)若的面积S满足，求直线l的斜率k的取值范围； (3)如图，若点P分向量所成的比的值为2，过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M，动点E、F分别在线段MP和OA上，若直线EF平分直角梯形OAPM的面积，求证：直线EF必过一定点，并求出该定点坐标． 【答案】(1)16 (2) (3)证明见解析，定点. 【分析】（1）由直线的点斜式方程可得直线l的斜率，分别求得直线l在坐标轴上的交点，运用三角形的面积公式可得所求值； （2）设直线l的斜率为k（k＜0），直线l的方程为y﹣2＝k（x﹣3），分别令x＝0，y＝0，求得l与坐标轴的交点，运用三角形的面积公式和二次不等式的解法，可得所求范围； （3）根据题意结合（2）得，设，，故直线的一般式方程为：，再根据得，进而得直线的式方程为：，再根据直线系方程即可得答案. 【详解】（1）因为直线的斜率为， 所以直线的方程为：， 整理得：， 所以直线与轴、轴正半轴的交点为、， 故的面积为. （2）根据题意，直线的斜率存在且， 所以直线的方程为：， 整理得： 所以直线与轴、轴正半轴的交点为、， 所以，解得 ， 所以的面积， 由于的面积满足， 所以，整理得：， 解不等式得：， 故直线的斜率的取值范围. （3）由（2）知、， 由于点分向量所成的比的值为2， 所以，由于， 所以，即. 所以、，， 故设，， 所以直线的一般式方程为：， 由于直角梯形的面积为， 直线平分直角梯形的面积， 所以直角梯形的面积为， 所以，即， 所以直线的式方程为：， 整理得：， 所以直线过直线与直线的交点， 所以直线过定点. 学科网（北京）股份有限公司 $$