第十七章 勾股定理（基础+中等类型）-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

第十七章 勾股定理思维导图 【类型覆盖】 类型一、三边构成直角三角形 【解惑】下列以，，为三边长的三角形中，是直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【融会贯通】 1．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（   ） A．2，3，4 B．1，2，5 C．4，4，4 D．6，8，10 2．已知在正方形网格中的位置如图所示．设的余角为，则 ．（填“” “”或“”） 3．已知中，，，，且满足．则边上的高为 ． 类型二、勾股数问题 【解惑】下列各组数中，是勾股数的是（） A．1，，2 B．5，12，13 C．6，7，8 D．8，24，25 【融会贯通】 1．下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．6，8，10 D．5，11，13 2．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角都是直角三角形．若的边分别是，则最大的正方形的面积为 ． 3．勾股定理本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，，，…．分析上面勾股数组可以发现，，，，…分析上面规律，第4个勾股数组为 ． 类型三、已知两点坐标求距离 【解惑】在平面直角坐标系中，到原点的距离为5的点是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，已知点，点，在坐标轴上有一点P，且点P到A点和到B点的距离相等，则点P的坐标为（） A．或 B．或 C．或 D．或 2．在平面直角坐标系中，已知、，则 ． 3．已知直角坐标平面内三点和，，那么是 三角形． 类型四、勾股定理与无理数 【解惑】如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．以单位1为边长画一个正方形，以顶点A为圆心、对角线长为半径画弧，与数轴的交点为C（点C在点B左侧），设点C在数轴上表示的数是a，则点A在数轴上表示的数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在数轴上，点，点分别表示实数，2，过点作．且，连接．若以点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点对应的实数是 ． 3．如图所示，数轴上的点表示的实数为，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数是 ． 类型五、用勾股定理解三角形 【解惑】如图，在的三边摆放火柴，使火柴之间间隔相同且垂直于各边，则边应摆放火柴的根数为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，．根据尺规作图的痕迹，图中的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，在中，，，，的垂直平分线分别交，于点，，则的长为 ． 3．如图，是的高线，为上一点，连结，交于点，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若点是的中点，，，求的长． 类型六、用勾股定理逆定理求解 【解惑】在中，，，，则的面积为（    ） A．15 B．30 C．60 D．78 【融会贯通】 1．在 中， ，则 的面积为    （   ） A． B． C． D． 2．如图，已知在中，，，，平分，则的面积为 ．    3．【问题探究】 （1）如图1，为四边形的对角线，，若，，，，试求四边形的面积； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是某县一座全民健身中心的平面示意图，为三条走廊（点E和点F分别在边和上），米，米，米，米，．随着民众健康意识的不断增强，对科学健身也有了更多的需求，为满足民众不断增长的健身需求，该县计划对这座全民健身中心进行重新规划，在上取点H，并将区域修建为功能训练区，根据设计要求，应为等腰三角形，请你帮助设计人员计算出所有符合条件的的长． 类型七、赵爽弦图 【解惑】我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是29，每个直角三角形的较短直角边均为2，则中间小正方形（阴影部分）的周长为（   ） A．29 B． C．14 D．12 【融会贯通】 1．我国古代数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且对勾股定理进行理论证明．三国时期，赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法对勾股定理进行详细证明，这幅．“勾股圆方图”就是著名的“赵爽弦图”．如图，小明利用正方形纸张画出内接的“赵爽弦图”，正方形的各顶点均在正方形的边上．记正方形、正方形、正方形的面积分别为．若正方形的边长为，则 ． 2．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．在一次数学活动中，小明利用如图1所示的5个连排正方形，分割后拼成如图2所示的一个大正方形，就得到了“赵爽弦图”．若图1中的小正方形边长为1，则图中的大正方形的边长为 ． 3．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． (1)如图1，某同学制作了一个“赵爽弦图”纸板，设，，． ①请你利用图1验证：； ②若大正方形的边长为13，小正方形的边长为7，求． (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)已知在中，，，，求的面积． 类型八、梯子滑落问题 【解惑】为了让学生更好地学会用勾股定理，某校八年级数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践调查，并利用皮尺等工具采集了如下的实验数据． 【采集数据】 如图，利用皮尺测量水平距离米，然后根据手中剩余风筝线的长度得出风筝线的长度米，最后测量放风筝的小康同学的身高米 【数据应用】 当点均在同一平面内，已知图中各点均在同一平面内，点，，，在同一直线上． (1)求此时风筝的垂直高度． (2)若站在点不动，想把风筝沿着的方向从点的位置上升18米到点的位置，则还需要放出风筝线多少米？ 【融会贯通】 1．【综合实践】 【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯长斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离，． 【独立思考】（1）求这架云梯顶部距离地面的长度． 【深入探究】（2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部下滑到位置上（云梯长度不改变），则底部沿水平方向向前滑动到位置上，若，求的长度． 2．如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时底端到墙角的距离为米． (1)此时，这架梯子的顶端距离地面有多高？ (2)如果梯子的底端向内移动米，则顶端沿墙向上移动多少米？ 3．小明和小亮同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的竖直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为；③牵风筝线的手离地面的高度为． (1)如图1，求风筝的竖直高度． (2)如图2，在（1）的高度下，小明回收风筝，在回收过程中，当测得风筝的仰角为时（即），的长为，求此时小明的风筝线收回了多少米． 类型九、旗杆高度问题 【解惑】2024年11月4日，神舟十八号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十八号载人飞行任务取得圆满成功！为此，某校组织了一次以“指尖上的航模•蓝天下的梦想”为主题的航模飞行表演．如图，小烨控制的无人机在距离地面18米高的点D处（米），空中点A处有一只风筝，无人机上的测距仪测得米，点A与点D之间的水平距离米，已知于点E，，请你求出风筝离地面的高度． 【融会贯通】 1．某兴趣小组在进行旗杆高度测量活动时，由《九章算术》中“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”启发，设计了如下测量方式：已知旗杆与地面垂直，将升旗的绳索自然下垂，测得绳索比旗杆长1米，拉直绳索，使绳索下端点A落在地面上，如图所示，测得点A与旗杆底端点B的距离为6米．请根据测量数据计算旗杆的高度． 2．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸莺”．又到了放风筝的最佳时节．如图，小亮的风筝在点C处，点A表示线轴所在的位置，已知引线的长度为10米，两处的水平距离为8米（风筝本身的长、宽忽略不计）．现要使风筝沿竖直方向上升9米至处，若位置不变，引线的长度应加长多少米？ 3．（1）如图，于点D，于点G，，试判断与的位置关系，并说明理由． （2）如图，王鹏将升旗的绳子拉到旗杆底部，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端6米处，发现此时绳子底端距离打结处约2米，求旗杆的高度． 类型十、大树折断问题 【解惑】如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量米，求这棵树的高度．（结果保留根号） 【融会贯通】 1．请解决我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子原来高9尺，从处折断，折断后竹子顶端点落在离竹子底端点3尺处，求折断处离地面（即）的高度是多少尺？ 2．《九章算术》中有一道题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”大致意思是：有一根长为10尺的竹子，中间折断后竹梢触底，如图，离开根部为3尺（），那么折断后段的高度为多少？ 3．【综合与实践】 如图，每个小方格的面积均为1，图（1）（2）（3）中以直线三角形三边向外作正方形A、B、C，图中正方形的面积如下： A B C 图（1） 4 4 8 图（2） ______ 9 13 图（3） 9 ______ 34 （1）在表格中的横线上填空． 【提出问题】 （2）根据图（1）（2）（3）中三个正方形的面积关系，若直角三角形两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，写出a，b，c之间的数量关系：______． 【解决问题】 （3）根据（2）中的发现，解决以下问题： 一个垂直于地面的木杆在离地面6米处被折断，木杆顶端落在离木杆底端8米处，木杆折断之前有多高？ 【一览众山小】 1．下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，，，连接，以点半径作弧，交轴于点，则点的横坐标为（   ）      A．3 B． C． D． 3．如图，每个四边形都是正方形，字母所代表的正方形的边长为（   ）    A．4 B．8 C．16 D．64 4．如图，在中，是斜边上的高，如果，，那么 ． 5．如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A对应的数是，，若以点A为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点E，则点E表示的数为 ． 6．如图，在中，，，，，，则的长度为 ． 7．某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，需要购买多少的地毯才能铺满所有台阶． 8．如图，已知中，于点，，，．判断的形状，并说明理由． 9．如图，在中，D为边上的一点，连接，过点A作交的延长线于点E．已知，，，． (1)求线段的长． (2)判断是什么特殊三角形，并说明理由． 10．阅读理解：在平面直角坐标系中，，，如何求的距离．若，，过点分别向轴，轴作垂线，垂足为， ， 如图，在， ， ． 因此，我们得到平面上任意两点，之间的距离公式为．根据上面得到的任意两点之间距离公式，解决下列问题：已知，，． (1)求边的长； (2)求边上的高． 6 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【详解】解：A．不是正整数，不是勾股数，错误，不符合题意； В．，正确，是勾股数，符合题意； C．，错误，不是勾股数，不符合题意； D．，错误，不是勾股数，不符合题意． 故选：B． 【融会贯通】 1．下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．6，8，10 D．5，11，13 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数的知识，判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，不是勾股数，故本选项不符合题意； B、，不是勾股数，故本选项不符合题意； C、，是勾股数，故本选项符合题意； D、，不是勾股数，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角都是直角三角形．若的边分别是，则最大的正方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据正方形面积公式先求出、的值，再根据正方形的性质得到的值，最后利用勾股定理得，即得到正方形的面积，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：∵的边分别是，所有的三角都是直角三角形， ∴，， ∵所有的四边形都是正方形 ， ∴，， ∴利用勾股定理得，， ∴最大的正方形的面积为， 故答案为：． 3．勾股定理本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，，，…．分析上面勾股数组可以发现，，，，…分析上面规律，第4个勾股数组为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，由勾股数组：，，，…可知，，，，…可得第4个勾股数组中间的数为：，即可得出结论． 【详解】解：由，，，…第四个为， 第4组勾股数中间的数为，即勾股数组为， 故答案为：． 类型三、已知两点坐标求距离 【解惑】在平面直角坐标系中，到原点的距离为5的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的点到原点的距离和勾股定理，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：A.到原点的距离为，不符合题意； B.到原点的距离为，不符合题意； C.到原点的距离为，符合题意； D.到原点的距离为，不符合题意； 故选：C． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，已知点，点，在坐标轴上有一点P，且点P到A点和到B点的距离相等，则点P的坐标为（） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形及用勾股定理求两点间距离，熟练掌握坐标与图形及用勾股定理求两点间距离是解题的关键．若点P在轴上，设，可得，，再根据，列出方程，再求解，若点P在轴上，设，再同理求解即可． 【详解】解：若点P在轴上，设， ，， ，， ，即， ， ， ， 若点P在轴上，设， ，点， ，， ，即， ， ， ， 即或， 故选：A． 2．在平面直角坐标系中，已知、，则 ． 【答案】 【分析】本题考查求两点间的距离，作轴，轴，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图作轴，轴，则：， ∵、， ∴， ∴； 故答案为：． 3．已知直角坐标平面内三点和，，那么是 三角形． 【答案】等边 【分析】本题考查两点间的距离公式，等边三角形的判定，掌握两点间的距离公式是解题的关键． 由题意根据两点间的距离公式可得的长度，即可对的形状进行判断． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边． 类型四、勾股定理与无理数 【解惑】如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴与实数及勾股定理．根据图示，可得：点A是以为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，再根据两点间的距离的求法，求出a的值为多少即可． 【详解】解：由勾股定理得：， ∴， ∴点A是以为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，且在左侧， ∴． 故选：B． 【融会贯通】 1．以单位1为边长画一个正方形，以顶点A为圆心、对角线长为半径画弧，与数轴的交点为C（点C在点B左侧），设点C在数轴上表示的数是a，则点A在数轴上表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查实数与数轴，勾股定理，掌握勾股定理是解题关键． 由数轴可知正方形的边长为1，由勾股定理即可得出正方形的对角线长为，根据题意可得出，则可得出点表示的数． 【详解】解：由图可知正方形的边长为1， ∴正方形的对角线长为：， ∵顶点A为圆心、对角线长为半径画弧， ， ∴点表示的数是， 故选：B． 2．如图，在数轴上，点，点分别表示实数，2，过点作．且，连接．若以点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点对应的实数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴、勾股定理，熟练掌握数轴的性质是解题关键．设点对应的实数为，先求出，再根据勾股定理可得，从而可得，然后利用数轴的性质求解即可得． 【详解】解：设点对应的实数为， ∵在数轴上，点，点分别表示实数，2， ∴， ∵，， ∴， 由作图可知，， 又∵在数轴上，点表示实数，点在数轴的正半轴， ∴， ∴， 即点对应的实数为， 故答案为：． 3．如图所示，数轴上的点表示的实数为，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理．和均为半径，根据勾股定理求出的长，从而得到点表示的数． 【详解】解：如图， 在中，， ， 点表示的数为， 故答案为：． 类型五、用勾股定理解三角形 【解惑】如图，在的三边摆放火柴，使火柴之间间隔相同且垂直于各边，则边应摆放火柴的根数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设相邻两根火柴之间间隔的距离为，得到，，由题得，得到，即可得到答案． 【详解】解：设相邻两根火柴之间间隔的距离为， ，， ， ， 边应摆放火柴的根数为， 故选： B． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，．根据尺规作图的痕迹，图中的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据角平分线的性质得出，证明，得出，根据勾股定理得出，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出结果即可． 【详解】解：根据作图过程可知：，平分， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， ， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为5． 故选：C． 【点睛】本题考查了基本作图-作线段垂直平分线，角平分线，勾股定理，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线和角平分线的作法． 2．如图，在中，，，，的垂直平分线分别交，于点，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理和垂直平分线的性质，首先利用勾股定理求得的长度，再利用垂直平分线的性质得出，最后在中利用勾股定理解得的长度． 【详解】解：连接， 利用勾股定理可得， 是的垂直平分线， ； 设，则，； 在中，利用勾股定理可得：， 即，解得， 所以的长度为． 故答案为： 3．如图，是的高线，为上一点，连结，交于点，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若点是的中点，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形的内角和定理证得，，进而可得，最后依据等腰三角形的判定，即可得证； （2）过点作于点，根据点是的中点，可得，在中，根据勾股定理可得，进而证得，最后根据是等腰三角形，，即可求的长． 【详解】（1）证明：， ， 是的高线， ， ，， ， ， ， 是等腰三角形． （2）解：过点作于点， ， 点是的中点，， ， ，， ， ，，， ， ， 是等腰三角形，， ． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、勾股定理、对顶角的性质，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 类型六、用勾股定理逆定理求解 【解惑】在中，，，，则的面积为（    ） A．15 B．30 C．60 D．78 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理逆定理的应用．根据，，，证明是直角三角形，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：，，， ，，， ， ， 为直角三角形， ， 故选：B． 【融会贯通】 1．在 中， ，则 的面积为    （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．由勾股定理的逆定理得出，根据三角形的面积可得出答案． 【详解】∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴的面积为． 故选：D． 2．如图，已知在中，，，，平分，则的面积为 ．    【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键； 作于，根据，证明为直角三角形，进而求得的长，根据面积法求解即可； 【详解】解：如图，作于， ，，， ， ， 平分，，， ，设， ， ， ， ， ； 故答案为： 3．【问题探究】 （1）如图1，为四边形的对角线，，若，，，，试求四边形的面积； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是某县一座全民健身中心的平面示意图，为三条走廊（点E和点F分别在边和上），米，米，米，米，．随着民众健康意识的不断增强，对科学健身也有了更多的需求，为满足民众不断增长的健身需求，该县计划对这座全民健身中心进行重新规划，在上取点H，并将区域修建为功能训练区，根据设计要求，应为等腰三角形，请你帮助设计人员计算出所有符合条件的的长． 【答案】（1）；（2）18米或25米或30米 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质： （1）利用勾股定理求出，进而利用勾股定理的逆定理证明，再根据列式求解即可； （2）利用勾股定理求出，进而利用勾股定理的逆定理证明，再利用勾股定理求出的，最后分，，三种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴米， 当米时，则米， 当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴米； 当时，过点E作于M，则， ∵， ∴米， ∴米， ∴米； 综上所述，的长为18米或25米或30米． 类型七、赵爽弦图 【解惑】我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是29，每个直角三角形的较短直角边均为2，则中间小正方形（阴影部分）的周长为（   ） A．29 B． C．14 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理，设小正方形的边长为x，小三角形的长直角边长为，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设小正方形的边长为x，小三角形的长直角边长为， 根据题意得， 解得或（舍去）， ∴小正方形的周长为， 故选：D． 【融会贯通】 1．我国古代数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且对勾股定理进行理论证明．三国时期，赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法对勾股定理进行详细证明，这幅．“勾股圆方图”就是著名的“赵爽弦图”．如图，小明利用正方形纸张画出内接的“赵爽弦图”，正方形的各顶点均在正方形的边上．记正方形、正方形、正方形的面积分别为．若正方形的边长为，则 ． 【答案】21 【分析】本题考查勾股定理，完全平方公式，正确理解题意是解题关键．设8个全等的直角三角形的两条直角边分别为，根据题意，得到，由勾股定理得到，进行求解即可． 【详解】解：设8个全等的直角三角形的两条直角边分别为， 则：，， ∴； 故答案为：． 2．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．在一次数学活动中，小明利用如图1所示的5个连排正方形，分割后拼成如图2所示的一个大正方形，就得到了“赵爽弦图”．若图1中的小正方形边长为1，则图中的大正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了正方形的面积和边长、求算术平方根等知识，根据题意得到大正方形的面积为，利用正方形的面积和算术平方根即可求出答案． 【详解】解：根据题意可得，大正方形的面积为， ∴图中的大正方形的边长为， 故答案为： 3．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． (1)如图1，某同学制作了一个“赵爽弦图”纸板，设，，． ①请你利用图1验证：； ②若大正方形的边长为13，小正方形的边长为7，求． (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)已知在中，，，，求的面积． 【答案】(1)①见解析，② (2)新路比原路少千米； (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理的弦图、勾股定理的应用等知识点，灵活运用勾股定理成为解题的关键． （1）①用两种不同的方法去求正方形的面积，然后整理即可解答．②利用①中发现的结论求解即可； （2）设千米，则千米，然后运用勾股定理列方程可得，即千米，然后根据线段的和差即可解答； （3）如图：作，垂足为H，设，，然后运用勾股定理列方程求得，即；再运用勾股定理求得，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）①证明：中间小正方形的边长为， 四个直角三角形的面积为：， ， ． ②解：由①可知，， ， ， ， ． （2）解：设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ，解得，即千米， （千米）． 答：新路CH比原路CA少0.2千米． （3）解：如图：作，垂足为H， 设， ， ，，，， ∴在中，，在中，， ，即，解得：， ， ， ． 类型八、梯子滑落问题 【解惑】为了让学生更好地学会用勾股定理，某校八年级数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践调查，并利用皮尺等工具采集了如下的实验数据． 【采集数据】 如图，利用皮尺测量水平距离米，然后根据手中剩余风筝线的长度得出风筝线的长度米，最后测量放风筝的小康同学的身高米 【数据应用】 当点均在同一平面内，已知图中各点均在同一平面内，点，，，在同一直线上． (1)求此时风筝的垂直高度． (2)若站在点不动，想把风筝沿着的方向从点的位置上升18米到点的位置，则还需要放出风筝线多少米？ 【答案】(1)米 (2)14米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用： （1）根据题意可得米，再由勾股定理求出的长即可得到答案； （2）先求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，米，， 在中，由勾股定理得米， ∴米； ∴此时风筝的垂直高度为米； （2）解：由题意得，米， 在中，由勾股定理得米， ∵米， ∴还需要放出风筝线14米． 【融会贯通】 1．【综合实践】 【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯长斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离，． 【独立思考】（1）求这架云梯顶部距离地面的长度． 【深入探究】（2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部下滑到位置上（云梯长度不改变），则底部沿水平方向向前滑动到位置上，若，求的长度． 【答案】（1）；（2）的长度为 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键． （1）根据勾股定理即可求出； （2）先求出，根据勾股定理求出，进一步即可求出； 【详解】解：（1）在中，， 答：长为； （2）， ， 在中，， ， 答：的长度为． 2．如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时底端到墙角的距离为米． (1)此时，这架梯子的顶端距离地面有多高？ (2)如果梯子的底端向内移动米，则顶端沿墙向上移动多少米？ 【答案】(1)这架梯子的顶端到地面的距离为； (2)梯子的顶端沿墙向上移动了． 【分析】（）根据勾股定理即可得到结论； （）先求出，根据勾股定理求出的长，然后即可求解； 本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，勾股定理在直角三角形中的正确运用，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得， 即，所以， 即这架梯子的顶端到地面的距离为； （2）解：，， 在中，由勾股定理得， 即， ∴， ∴， 即梯子的顶端沿墙向上移动了． 3．小明和小亮同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的竖直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为；③牵风筝线的手离地面的高度为． (1)如图1，求风筝的竖直高度． (2)如图2，在（1）的高度下，小明回收风筝，在回收过程中，当测得风筝的仰角为时（即），的长为，求此时小明的风筝线收回了多少米． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质等知识．熟练掌握勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意知，，由勾股定理得，，根据，计算求解即可； （2）由题意知，，则，，由勾股定理得，，根据，计算此时小明的风筝线收回的长度即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 由勾股定理得，， ∴， ∴为； （2）解：由题意知，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴此时小明的风筝线收回了米． 类型九、旗杆高度问题 【解惑】2024年11月4日，神舟十八号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十八号载人飞行任务取得圆满成功！为此，某校组织了一次以“指尖上的航模•蓝天下的梦想”为主题的航模飞行表演．如图，小烨控制的无人机在距离地面18米高的点D处（米），空中点A处有一只风筝，无人机上的测距仪测得米，点A与点D之间的水平距离米，已知于点E，，请你求出风筝离地面的高度． 【答案】10米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得：米， ∴米， ∴米， ∴风筝离地面的高度为10米． 【融会贯通】 1．某兴趣小组在进行旗杆高度测量活动时，由《九章算术》中“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”启发，设计了如下测量方式：已知旗杆与地面垂直，将升旗的绳索自然下垂，测得绳索比旗杆长1米，拉直绳索，使绳索下端点A落在地面上，如图所示，测得点A与旗杆底端点B的距离为6米．请根据测量数据计算旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为17.5米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设旗杆的高度为x米，根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】解：设旗杆的高度为x米，则绳长为米， 是直角三角形， ， ， 解得. 答：旗杆的高度为17.5米． 2．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸莺”．又到了放风筝的最佳时节．如图，小亮的风筝在点C处，点A表示线轴所在的位置，已知引线的长度为10米，两处的水平距离为8米（风筝本身的长、宽忽略不计）．现要使风筝沿竖直方向上升9米至处，若位置不变，引线的长度应加长多少米？ 【答案】米 【分析】本题考查勾股定理的应用，由勾股定理求出线段长，再求出的长度即可解答，关键是读懂题意，作出图形，数形结合． 【详解】解：在中，米，米， 则（米）． 在中，米，米， 则（米）． 则引线的长度应加长米． 3．（1）如图，于点D，于点G，，试判断与的位置关系，并说明理由． （2）如图，王鹏将升旗的绳子拉到旗杆底部，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端6米处，发现此时绳子底端距离打结处约2米，求旗杆的高度． 【答案】（1），理由见解析（2）旗杆的高度为8米 【分析】本题考查平行线的判定和性质，勾股定理的实际应用： （1）根据垂直于同一条直线的两直线平行，得到，得到，进而得到，即可得出结论； （2）设旗杆的高度为米，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：（1），理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）旗杆的高度为米，由勾股定理，得：， 解得：； 答：旗杆的高度为8米． 类型十、大树折断问题 【解惑】如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量米，求这棵树的高度．（结果保留根号） 【答案】大树的高度为米 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键，根据勾股定理可得到，再由即为树高，进而得到答案. 【详解】解：由题可得：，， ∵， 在中，由勾股定理得：， ∴米. 答：大树的高度为米. 【融会贯通】 1．请解决我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子原来高9尺，从处折断，折断后竹子顶端点落在离竹子底端点3尺处，求折断处离地面（即）的高度是多少尺？ 【答案】4 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 先设，可得，再根据勾股定理得，求出解即可． 【详解】解：根据题意可知， 设，则，根据勾股定理得 ， 解得． 所以折断处离地面的高度是4尺． 2．《九章算术》中有一道题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”大致意思是：有一根长为10尺的竹子，中间折断后竹梢触底，如图，离开根部为3尺（），那么折断后段的高度为多少？ 【答案】折断后段的高度为尺 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，读懂题意，运用方程思想是解决问题的关键． 设尺，则斜边尺，根据勾股定理得：，解方程即可解决问题． 【详解】解：设尺，则斜边尺， 在中，， ， 解得：， 答：折断后段的高度为尺． 3．【综合与实践】 如图，每个小方格的面积均为1，图（1）（2）（3）中以直线三角形三边向外作正方形A、B、C，图中正方形的面积如下： A B C 图（1） 4 4 8 图（2） ______ 9 13 图（3） 9 ______ 34 （1）在表格中的横线上填空． 【提出问题】 （2）根据图（1）（2）（3）中三个正方形的面积关系，若直角三角形两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，写出a，b，c之间的数量关系：______． 【解决问题】 （3）根据（2）中的发现，解决以下问题： 一个垂直于地面的木杆在离地面6米处被折断，木杆顶端落在离木杆底端8米处，木杆折断之前有多高？ 【答案】（1）4；25；（2）；（3）16尺 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，勾股定理的证明： （1）根据网格的特点，结合正方形面积计算公式求解即可； （2）根据（1）所求得到，即； （3）根据（2）的结论求出的长即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意得，图（2）中正方形A的边长为2，则其面积为4； 图（3）中正方形B的边长为5，则其面积为25； 故答案为：4；25； （2）由（1）所求可得， ∴， 故答案为：； （3）如图所示，由题意得，尺，尺，， ∴， ∴尺或尺（舍去）， ∴木杆折断之前有尺， 【一览众山小】 1．下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理逐项判断即可求解，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴能作为直角三角形三边长，该选项符合题意； 、∵， ∴不能作为直角三角形三边长，该选项不合题意； 、∵， ∴不能作为直角三角形三边长，该选项不合题意； 、∵， ∴不能作为直角三角形三边长，该选项不合题意； 故选：． 2．如图，在平面直角坐标系中，，，连接，以点半径作弧，交轴于点，则点的横坐标为（   ）      A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，先由A、B的坐标得到，进而利用勾股定理求出的长，则可得到的长，再求出的长即可得到答案. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的横坐标为， 故选：B. 3．如图，每个四边形都是正方形，字母所代表的正方形的边长为（   ）    A．4 B．8 C．16 D．64 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．根据勾股定理，先得出字母A所代表的正方形的面积，再求出其边长即可． 【详解】解：由图可知，以长直角边为边长的正方形面积为225，则边长为15， 以斜边为边长的正方形面积为289，则斜边长为17， ∴字母A所代表的正方形的边长， 故选：B． 4．如图，在中，是斜边上的高，如果，，那么 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形面积的计算，根据勾股定理求出，根据等积法求出的值，最后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：在中，根据勾股定理得 ， ， ， ∵是斜边上的高， ∴， ∴． 故答案为：1． 5．如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A对应的数是，，若以点A为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点E，则点E表示的数为 ． 【答案】或 【分析】根据勾股定理，得，，设点E表示的数为，根据题意，得，解答即可． 本题考查了勾股定理，数轴上两点间距离，数轴上点表示的数，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由， 根据勾股定理，得，， 设点E表示的数为， 由点A对应的数是， 根据题意，得， 解得或． 故答案为：或． 6．如图，在中，，，，，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判断和性质，勾股定理的逆定理，三角形的内角和，三角形外角，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理得出，继而得到，是等腰三角形，得到，由，得到，即可得到答案． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 7．某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，需要购买多少的地毯才能铺满所有台阶． 【答案】(1)； (2)需要购买的地毯才能铺满所有台阶． 【分析】此题考查了平移的性质，勾股定理的应用． （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据题意，结合图形，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，进一步求出面积即可． 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）解：利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，地毯的长为， ∴地毯面积为， 答：需要购买的地毯才能铺满所有台阶． 8．如图，已知中，于点，，，．判断的形状，并说明理由． 【答案】是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理、勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理求出、的长，得出的长，在中利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可解答． 【详解】解：是直角三角形，理由如下： ， ， ，， ， 在中，， ， ， 是直角三角形． 9．如图，在中，D为边上的一点，连接，过点A作交的延长线于点E．已知，，，． (1)求线段的长． (2)判断是什么特殊三角形，并说明理由． 【答案】(1)25 (2)直角三角形，见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理． （1）在中利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理逆定理即可解答． 【详解】（1）解：在中，，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴是三角形． 10．阅读理解：在平面直角坐标系中，，，如何求的距离．若，，过点分别向轴，轴作垂线，垂足为， ， 如图，在， ， ． 因此，我们得到平面上任意两点，之间的距离公式为．根据上面得到的任意两点之间距离公式，解决下列问题：已知，，． (1)求边的长； (2)求边上的高． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了两点距离公式，三角形的高的定义，坐标与图形； （1）根据勾股定理计算即可求解； （2）过点作于点，过点作于点，根据等面积法即可求解． 【详解】（1）解： ， 答：的长为． （2）过点作于点，过点作于点， ，，   ，    答：边上的高为． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$