精品解析：2025年湖南省娄底市中考一模数学试题

2024年下学期九年级期末素养检测 数学 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在，，0，这四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 一张A4纸的规格为，它的面积约为平方千米．将数字用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若是一个锐角，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 下列等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题中错误的是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 有两边及一角对应相等的两个三角形全等 C. 两点确定一条直线 D. 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 9. 随机抽取一组数据，根据方差公式得：，则关于抽取的这组数据，下列说法错误的是（ ） A. 样本容量是 B. 平均数是 C. 中位数是 D. 的权数是 10. 如图，点 分别是的边的中点．①图中有三个平行四边形；②图中的四个小三角形的形状和大小完全一样；③四边形 的周长；④．下列选项中，正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 计算：______． 12. 在平面直角坐标系中，点到x轴的距离是__________ 13. 如图，分别以点、为圆心，以大于 的定长为半径画弧，两弧相交于点、，则四边形 是菱形的理由是______． 14. 已知关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣2，则另一个根为_____． 15. 在某次体育测试中，甲、乙两班成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定学生个人成绩大于90分为优秀，则甲、乙两班中优秀人数更多的是__________班． 人数 平均数 中位数 方差 甲班 45 82 91 19.3 乙班 45 87 89 5.8 16. 如图， ，，，则______ 17. 观察图形，若有六边形2024个，则需火柴棍______根． 18. 已知如图，在 中，，，，在直线的同侧分别以的三边作正方形、正方形 、正方形，、、、分别表示对应图形的面积，则的值为______． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算： 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 某校计划成立“爱心传递”、“音乐舞蹈”、“体育运动”、“美工制作”和“劳动体验”五个兴趣小组，要求每位学生都只选其中一个小组．为此，随机抽查了本校各年级部分学生选择兴趣小组的意向，将抽查结果绘制成如下统计图（不完整）．     根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）求本次被抽查学生的总人数和扇形统计图中表示“美工制作”的扇形的圆心角度数； （2）将条形统计图补充完整；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上） （3）该校共有1600名学生，根据抽查结果，试估计全校选择“爱心传递”兴趣小组的学生人数． 22. 已知：如图，点在同一条直线上，，，．求证： （1）； （2）四边形 是平行四边形． 23. 如图所示，在中，，， ，点沿边从点向终点以 的速度移动，同时点沿边从点向终点以 的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．请解答下列问题： （1）点 出发几秒后，可使的面积为？ （2）点 出发几秒后，？ 24. 如图，点是坐标原点，点在轴的正半轴上，点在第一象限．，，． （1）求点的坐标； （2）点P是轴上的一个动点，当点处于何位置时， 的值最小？ 25. 已知如图，直线与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求的值； （2）求点、点的坐标，并直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围； （3）求的面积． 26. 如图1，在矩形中，，，点E是线段上的动点（点不与点 重合），连接，过点作，交于点． （1）求证： ； （2）如图2，连接，过点作 ，垂足为，连接，点是线段的中点，连接 ． ①求 的最小值； ②当 取最小值时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下学期九年级期末素养检测 数学 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在，，0，这四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，正确运用比较大小的法则是解题的关键． 根据负数大的反而小，0大于一切负数，正数大于0即可比较大小． 【详解】解：， 这四个数中，最小的数是， 故答案为：A． 2. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．.是轴对称图形，但不是中心对称图形，符合题意； B．是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C．是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 3. 一张A4纸的规格为，它的面积约为平方千米．将数字用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可．本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键． 【详解】解：∵， 故选：B． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：掌握根的判别式是解题的关键． 利用一元二次方程根的判别式时，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，求解判断即可． 【详解】解： ∵ ∴一元二次方程的根的情况是无实数根， 故选：D． 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，利用数轴表示不等式组的解集，正确掌握一元一次不等式的解法是解题的关键 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 将解集表示在数轴上为： 故选：B 6. 若是一个锐角，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求角的余弦值，可根据题意作出直角三角形，根据三角函数的定义即可求解． 【详解】解：如图所示： 设 ， ∵， ∴， 设， 则， ∴． 故选：C． 7. 下列等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法、完全平方公式、熟记各运算法则是解题关键． 根据整式的乘法、完全平方公式逐项判断即可． 【详解】解：A． ，原式运算正确，故本选项不符合题意； B． ，原式运算正确，故本选项不符合题意； C． ，原式运算正确，故本选项不符合题意； D． ，原式运算不正确，故本选项符合题意； 故选：D． 8. 下列命题中错误的是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 有两边及一角对应相等的两个三角形全等 C. 两点确定一条直线 D. 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查真假命题的判断，熟练掌握线段、直线、垂线的性质，全等三角形的判定定理是解题的关键， 根据线段、直线的性质以及三角形全等的判定定理、垂线的性质，对选项逐一进行分析． 【详解】A．两点之间线段最短，这是线段的基本性质之一，所以本选项说法正确，故不符合题意； B．三角形全等的判定定理中，两边及一角对应相等分为两种情况： 两边及其夹角对应相等，此时两个三角形全等（判定定理）． 两边及其中一边的对角对应相等，此时两个三角形不一定全等． 所以本选项说法是错误的，故本选项符合题意； C．两点确定一条直线，这是直线的基本性质，是数学中的基本公理，所以本选项说法正确，故不符合题意； D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这是垂线的基本性质，所以本选项说法正确，故不符合题意； 故选：B． 9. 随机抽取一组数据，根据方差公式得：，则关于抽取的这组数据，下列说法错误的是（ ） A. 样本容量是 B. 平均数是 C. 中位数是 D. 的权数是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了方差的计算公式，平均数，中位数，样本容量，权数，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据可得出样本容量，平均数，中位数，权数的信息，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A. 样本容量是，正确，故该选项不符合题意； B. 平均数是，正确，故该选项不符合题意； C. 数据从小到大排列，第五和第六个数是，， 中位数是， 故该选项错误，符合题意； D. 的权数是，正确，故该选项不符合题意； 故选：C ． 10. 如图，点 分别是的边的中点．①图中有三个平行四边形；②图中的四个小三角形的形状和大小完全一样；③四边形 的周长；④．下列选项中，正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的性质与判定，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．根据三角形的中位线定理，可得 ， ，，， ，，得出四边形 、四边形 、四边形 都为平行四边形，可判断①；由平行四边形的性质可得，图中的四个小三角形为全等三角形，可判断②；利用平行四边形 的周长公式可判断③；利用中点的定义可判断④，即可得出结论． 【详解】解：点 分别是的边的中点， ， ，，， ，， 四边形 、四边形 、四边形 都为平行四边形，故①正确； 图中的四个小三角形为全等三角形，即形状和大小完全一样，故②正确； 四边形 为平行四边形， 四边形 的周长，故③正确； 点分别是边的中点， ，， ，故④正确； 综上所述，正确的是①②③④． 故选：D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算，正确运用运算法则是正确解答此题的关键． 把除法转化成乘法再计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，点到x轴的距离是__________ 【答案】2 【解析】 【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，即可求得． 【详解】解：点到x轴的距离是2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键． 13. 如图，分别以点、为圆心，以大于 的定长为半径画弧，两弧相交于点、，则四边形 是菱形的理由是______． 【答案】四边相等的四边形是菱形 【解析】 【分析】本题考查了作图——复杂作图及菱形的判定，解决本题的关键是掌握菱形的判定定理． 根据四条边都相等的四边形是菱形即可得四边形 一定是菱形． 【详解】解∶根据作图方法可知四边形 一定是菱形； 理由如下∶ 分别以点A，B为圆心，以大于 的定长a为半径画弧，两弧相交于C，D， ， 四边形 是菱形． 故答案为：四边相等的四边形是菱形． 14. 已知关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣2，则另一个根为_____． 【答案】-1 【解析】 【详解】试题分析：对于一元二次方程的两个根和，根据韦达定理可得：+=，即，解得： ，即方程的另一个根为-1． 15. 在某次体育测试中，甲、乙两班成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定学生个人成绩大于90分为优秀，则甲、乙两班中优秀人数更多的是__________班． 人数 平均数 中位数 方差 甲班 45 82 91 19.3 乙班 45 87 89 5.8 【答案】甲． 【解析】 【分析】班级人数相同，都为45人，中位数为班级分数排序以后的第23位同学的分数，甲班的91分高于乙班89分，则得出答案． 【详解】解：甲、乙两个班参赛人数都为45人，由甲、乙两班成绩的中位数可知，甲班的优生人数大于等于23 人，乙班的小于等于22人，则甲班的优生人数较多， 故答案为：甲． 【点睛】本题主要考查数据的分析，根据平均分、中位数、方差的特点进行分析，本题的解题关键在于掌握中位数的特点． 16. 如图， ，，，则______ 【答案】140 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，然后根据三角形内角和为即可解答． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：140 ． 17. 观察图形，若有六边形2024个，则需火柴棍______根． 【答案】10121 【解析】 【分析】本题考查探索与表达规律，列代数式，熟练掌握列代数式是解题的关键； 对于找规律的题目首先应找出发生变化的位置，并且观察变化规律，进而用式子表示一般规律．观察图形发现，然后可求出第个六边形需要根小棒，把代入求值即可． 【详解】解：∵有六边形个，需要火柴棒根数为， 有六边形个，需要火柴棒根数为， 有六边形个，需要火柴棒根数为， 有六边形个，需要火柴棒根数为， …… 有六边形个，需要根小棒， ∴有六边形2024个，需要火柴棒（根）． 故答案为：10121． 18. 已知如图，在 中，，，，在直线的同侧分别以的三边作正方形、正方形 、正方形，、、、分别表示对应图形的面积，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了以直角三角形三边为边长的正方形构成图形的面积，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，过作于，通过证明，依此即可求解，熟练掌握相关定理，证明全等三角形，将阴影面积转化为是解题的关键． 【详解】解：过作于，连接 ， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证：， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∴， 同理：，， ∴， ∴ ， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算． 先计算零次幂、二次根式、绝对值和特殊角的三角函数值，再计算加减． 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先将除法写成乘法，然后约分，最后计算减法，最后将代入计算即可，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解： = 当时， 原式 ． 21. 某校计划成立“爱心传递”、“音乐舞蹈”、“体育运动”、“美工制作”和“劳动体验”五个兴趣小组，要求每位学生都只选其中一个小组．为此，随机抽查了本校各年级部分学生选择兴趣小组的意向，将抽查结果绘制成如下统计图（不完整）．     根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）求本次被抽查学生的总人数和扇形统计图中表示“美工制作”的扇形的圆心角度数； （2）将条形统计图补充完整；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上） （3）该校共有1600名学生，根据抽查结果，试估计全校选择“爱心传递”兴趣小组的学生人数． 【答案】（1）200人，； （2） 补全条形统计图如图所示．     （3）400人． 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图、条形统计图及用样本估计总体． （1）运用选择“体育运动”兴趣小组人数除以所占的百分比求出样本总量，然后用乘以选择“美工制作”兴趣小组的占比解题即可； （2）求出选择“音乐舞蹈”兴趣小组人数，然后补全条形统计图即可； （3）运用全校人数乘以选择“爱心传递”兴趣小组的占比解题即可． 【小问1详解】 解：本次被抽查学生的总人数是 （人）， 扇形统计图中表示选择“美工制作”兴趣小组的扇形的圆心角度数是； 【小问2详解】 解：选择“音乐舞蹈”兴趣小组的人数为 （人）； 【小问3详解】 解：估计全校选择“爱心传递”兴趣小组的学生人数为 （人）． 22. 已知：如图，点在同一条直线上，，，．求证： （1）； （2）四边形 是平行四边形． 【答案】（1） 证明：∵点A，D，C，B在同一条直线上，， ∴ ， 即， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2） 证明：∵， ∴ ， ∴ ， 又∵， ∴四边形 是平行四边形． 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用 证明 与全等解答． （1）根据等式的性质得出，进而利用 证明与全等，进而利用全等三角形的性质和平行线的判定解答即可； （2）根据全等三角形的性质得出，进而利用证明三角形全等得出，从而可证明四边形 是平行四边形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图所示，在中，，， ，点沿边从点向终点以 的速度移动，同时点沿边从点向终点以 的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．请解答下列问题： （1）点 出发几秒后，可使的面积为？ （2）点 出发几秒后，？ 【答案】（1）点P，Q出发1秒后，可使的面积为 （2）点P，Q出发2.4秒后， 【解析】 【分析】本题意考查了一元二次方程的应用，相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． （1）设点P，Q出发x秒，根据“的面积为”列方程求解即可； （2）设点P，Q出发y秒后，，可得，然后根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设点P，Q出发x秒后，的面积为． ∵点P沿边从点A向终点C以 的速度移动，同时点Q沿边从点C向终点B以 的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动． ∴，， 根据题意，得， 解得：， （舍去） 答：点P，Q出发1秒后，可使的面积为； 【小问2详解】 解：设点P，Q出发y秒后，， ∴， ∴， ∴= ∴y=2.4 答：点P，Q出发2.4秒后，． 24. 如图，点是坐标原点，点在轴的正半轴上，点在第一象限．，，． （1）求点的坐标； （2）点P是轴上的一个动点，当点处于何位置时， 的值最小？ 【答案】（1） （2）当点P运动到这个位置时， 的值最小 【解析】 【分析】（1）过点C作 轴交x轴于点E，证明，得出，解直角三角形得出， ，求出，即可得出答案； （2）作点B关于y轴的对称点为D，则，连接，与y轴交于点P，连接，根据两点之间线段最短，得出此时点P即为所求作的点，先求出直线 ，然后求出点P的坐标即可． 【小问1详解】 解：过点C作 轴交x轴于点E，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴点C的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，作点B关于y轴的对称点为D，则，连接，与y轴交于点P，连接， 根据轴对称可知：， ∴， ∴当最小时， 最小， ∵两点之间线段最短， ∴此时点P即为所求作的点， 设直线的解析式为：， 则 ， 解得： ∴ 当时， ∴当点P运动到这个位置时， 的值最小． 【点睛】本题主要考查了一次函数的几何综合，解直角三角形的相关计算，求一次函数解析式，轴对称的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握待定系数法，作出辅助线． 25. 已知如图，直线与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求的值； （2）求点、点的坐标，并直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围； （3）求的面积． 【答案】（1） （2），或 （3）4 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数的综合应用，正确求出表达式是解题的关键． （1）先求出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，将A、B坐标代入求出a、b的值即可； （2）根据一次函数解析式求出点C、D的坐标即可；根据函数图象求出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围即可； （3）根据求出的C、D点的坐标，结合函数图象，求出三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：∵直线与反比例函数的图象交于点和点， ∴ ， 解得： ， ∴， 解得：， ∴ 解得； 【小问2详解】 解：关于直线，当时，；当时，， ∴点C的坐标为， 点D的坐标为， 观察图形得：一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围为或． 【小问3详解】 解： ． 26. 如图1，在矩形中，，，点E是线段上的动点（点不与点 重合），连接，过点作，交于点． （1）求证： ； （2）如图2，连接，过点作 ，垂足为，连接，点是线段的中点，连接 ． ①求 的最小值； ②当 取最小值时，求线段的长． 【答案】（1） 证明：如图1， ∵四边形是矩形， ∴ ， ∴ ． ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）① 的最小值为5 ②当 取最小值时，线段的长为1 【解析】 【分析】（1）证明出 即可求解； （2）①连接，先证明 ．确定出点G在以点M为圆心，3为半径的圆上．当A，G，M三点共线时， ．此时， 取最小值．在 中利用勾股定理即可求出，则问题得解． ②过点M作 交 于点N，即有 ，进而有．设 ，则 ，．再根据 ，得到 ，得到，则有，解方程即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①解：如图2-1，连接AM． ∵ ， ∴ 是直角二角形． ∵点是线段的中点， ∴ ． 当A，G，M三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得： ， 当A，G，M三点共线时， ． 此时， 取最小值．在 中， ． ∴ 的最小值为5． ②如图2-2，过点M作 交 于点N， ∴ ． ∴． 设 ，则 ， ∴． ∵ ， ∴ ， ∴， 由①知 的最小值为5、即 ， 又∵ ， ∴ ． ∴，解得， 经检验，是分式方程的解， 即． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行的性质、勾股定理以及分式方程的应用等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $