精品解析：四川省广元市2024-2025学年高二上学期期末教学质量监测数学试题

广元市2024年秋季普通高中二年级期末教学质量监测 数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、座位号、班级和考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5.考试结束后，只将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 由双曲线的方程求出，然后由离心率公式求解. 【详解】因为双曲线， 所以，， 则， 所以. 故选：B 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率求法，属于基础题. 2. 某农场共有300头牛，其中甲品种牛30头，乙品种牛90头，丙品种牛180头，现采用分层抽样的方法抽取60头牛进行某项指标检测，则抽取甲、乙、丙三个品种牛的头数分别为（ ） A. 6，18，36 B. 6，20，34 C. 10，18，32 D. 10，20，30 【答案】A 【解析】 【分析】先求出抽样比例，进而求解. 【详解】由题意知，抽样比例为， 则， 所以抽取甲，乙，丙三个品种牛的头数分别为. 故选：A 3. 经过点且与直线垂直的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直关系确定直线的斜率，再应用点斜式写出直线方程. 【详解】与直线垂直的直线的斜率为，又直线过点， 所以直线方程为，整理得. 故选：C 4. 将一枚质地均匀的正四面体教具连续抛掷（，）次，第5次和第8次某一面朝下的概率分别记为，，则，的大小关系为（ ） A. ，的大小由确定 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由相互独立事件的概念判断求解即可. 【详解】质地均匀的正四面体，每次抛掷每个面朝下的概率均为，且每次抛掷相互独立， 故第5次和第8次某一面朝下的概率都是，即. 故选：D 5. 已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含 【答案】C 【解析】 【分析】求出两圆圆心距，利用几何法可判断两圆的位置关系. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 所以，两圆圆心距为， 则，故两圆相交. 故选：C. 6. 已知空间向量，，，若，，共面，则m的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件及向量相等的坐标运算，利用向量共面即可求出结果. 【详解】因为，，，且，，共面， 所以，又，得到，解得， 故选：D. 7. 已知空间向量，，，若，，共面，则m的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件及向量相等的坐标运算，利用向量共面即可求出结果. 【详解】因为，，，且，，共面， 所以，又，得到，解得， 故选：D. 8. 某地区今年举行了校园足球联赛，赛季结束后的数据显示：甲学校足球代表队（下称甲队）每场比赛平均失球数是，每场失球个数的标准差是；乙学校足球代表队（下称乙队）每场比赛平均失球数是，每场失球个数的标准差是.下列说法中正确的是（ ） A. 平均来说乙队比甲队防守效果好 B. 甲队比乙队技术水平更稳定 C. 甲队在防守中有时表现较差，有时表现又非常好 D. 甲队每场比赛必失球 【答案】C 【解析】 【分析】利用平均数和标准差的意义逐项判断即可. 【详解】对于A选项，因为甲队每场平均失球数小于乙队每场比赛平均失球数， 所以，平均来说甲队比乙队防守效果好，A错； 对于B选项，因为甲队每场失球个数的标准差大于乙甲队每场失球个数的标准差， 所以，乙队比甲队技术水平更稳定，B错； 对于C选项，由题意可知，甲队在防守中有时表现较差，有时表现又非常好，C对； 对于D选项，由题中信息可知，甲队未必每次都失球，D错. 故选：C. 9. 已知点集，分别表示曲线，，若，有四个公共点，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简曲线、的方程，分析可知，数形结合可知点在曲线外，且点在曲线内，可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】对于曲线，当时，该曲线的方程可化为，即， 当时，该曲线的方程可化为，即. 曲线的方程即为，即为， 当时，曲线的方程为，此时，两曲线只有一个公共点，不合乎题意， 所以，，如下图所示： 由图可知，只需点在曲线外，且点在曲线内， 所以，，解得或. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于化简两曲线的方程，抓住关键点与曲线的位置关系，列不等式（组）求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 10. 某人连续投篮三次，每次投一球，记事件为“三次都投中”，事件为“三次都没投中”，事件为“恰有二次投中”，事件为“至少有二次投中”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】设为三次投篮命中次，可得，，进而逐项分析判断. 【详解】设为三次投篮命中次， 则，可得， 所以，，，， 故ACD正确，B错误. 故选：ACD. 11. 下列说法中，正确的是（ ） A. 直线的一个方向向量为 B. ，，三点共线 C. 直线（其中）必过定点 D. 经过点，倾斜角为的直线方程为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A：根据直线方向向量的定义分析判断；对于B：根据斜率公式分析判断；对于C：整理可得，根据直线过定点分析求解；对于D：举反例说明即可. 【详解】对于选项A：因为直线的斜率不存在， 所以直线的一个方向向量为，故A正确； 对于选项B：因为， 即，所以，，三点共线，故B正确； 对于选项C：直线即为， 令，解得， 所以直线（其中）必过定点，故C正确； 对于选项D：例如，可知不存在，故D错误； 故选：ABC. 12. 在平面直角坐标系中，已知两定点、，动点满足直线与直线的斜率之积为，记的轨迹为，则下列描述正确的是（ ） A. 当时，曲线是以原点为圆心，半径为的圆 B. 当时，点所在曲线的焦点在轴上 C. 当时，过点的直线与曲线至少有一个公共点 D. 当时，直线与曲线有两个不同公共点，则 【答案】BD 【解析】 【分析】求出曲线的方程，利用圆的方程可判断A选项；利用双曲线的方程可判断B选项；利用直线与曲线的位置关系可判断CD选项. 【详解】由题意可得，其中， 整理可得， 对于A选项，当时，曲线的方程为， 此时，曲线是以原点为圆心，半径为的圆（除去点、），A错； 对于B选项，当时，点所在的曲线是除去顶点的双曲线，且其焦点在轴上，B对； 对于C选项，当时，曲线是去掉、的圆或椭圆， 因为时，即当时，点在曲线外， 此时，过点的直线与曲线不一定有公共点，C错； 对于D选项，当时，联立可得， 直线与曲线有两个不同公共点， 则，所以，，D对 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 13. 已知向量，，若与互相垂直，则实数的值为_______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的坐标表示、垂直关系的向量表示列式求出. 【详解】由向量，得，， 由与互相垂直，得，所以. 故答案为：2. 14. 已知直线与直线平行（其中为实数），则它们之间的距离为_________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据直线平行求得，即可求两平行线之间的距离. 【详解】因为直线与直线平行， 则，解得， 可知两直线分别为，，符合题意， 所以两直线的距离为. 故答案为：3. 15. 已知三棱柱，点在内，，，分别为三边的一个三等分点，为面的一个法向量，且.若到面的距离为2，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】过点作平面于点，可得，，再结合空间向量线性运算法则及数量积公式计算即可得. 【详解】过点作平面于点，则， 由三棱柱性质可得平面平面， 故，则， 由、、平面，故 又，，， 则 . 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用垂直的性质，其次是注意绝对值的考虑. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 已知椭圆（）长轴长为8，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）以的焦点为顶点，短轴为虚轴的双曲线记为，求的方程及其渐近线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求，即可得方程； （2）设，再根据题意得到，进而可得双曲线方程和渐近线方程. 【小问1详解】 由题意可知：，可得， 则，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 椭圆的焦点为，且短轴长为． 以为左，右顶点的双曲线的方程设为． 依题意得，所以双曲线的方程为． 其渐近线方程为． 17. 已知直线：，圆（点为圆心）. （1）若直线与圆相切，求实数的值； （2）当时，判断直线与圆是否相交于不同的两点？如果相交于不同两点，记这两点为，，并求的面积，如果不相交，请说明理由. 【答案】（1），或 （2）是， 【解析】 【分析】（1）利用圆心到直线的距离等于半径可得答案； （2）当时，利用圆心到直线的距离与半径比较大小可得直线与圆相交，再由及求出的面积. 【小问1详解】 圆，，半径， 若直线与圆相切，则，解得，或； 【小问2详解】 当时，直线的方程为， 由圆心到直线的距离为， 得直线与圆相交于不同两点， 所以， 所以. 18. 甲、乙两人在沙滩边进行连续多轮走步比赛，甲、乙各有一个不透明的盒子，甲的盒子里面有2个红球1个白球，乙的盒子里面有2个红球3个白球，这些球只有颜色不同.每一轮比赛的规则是：甲、乙同时各自从自己的盒子里面摸出一球，如果甲摸到红球，甲向前走一步，否则原地不动；如果乙摸到白球，乙向前走一步，否则原地不动.各自摸球后都放回自己的盒子中. （1）经过多轮比赛后，试估计甲、乙走步数谁多？说明理由？ （2）以频率作为概率，试求2轮比赛后，乙走的步数比甲走的步数多的概率. 【答案】（1）经过多轮比赛后，估计甲走的步数比乙多.理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）分析题意可知：甲摸到红球的概率为，乙摸到白球的概率为，故经过多轮比赛后，估计甲走的步数比乙多； （2）由题知符合条件的所有情况为：2轮比赛后，乙走2步数，甲走1步或0步；乙走1步数，甲走0步，共3中情况.分别求出概率，由概率乘法公式与加法公式即可求解. 【小问1详解】 经过多轮比赛后，估计甲走的步数多.理由如下： 由题知：甲摸到红球概率为，乙摸到白球的概率为. 由于，所以经过多轮比赛后，甲走的步数会更多. 【小问2详解】 设2轮比赛后，甲、乙走的步数分别为随机变量，. 由题知的所有可能取值为0，1，2. ，， 的所有可能取值为0，1，2. ，，. ∴2轮比赛后，乙走的步数比甲走的步数多的概率为：. 19. 如图，等腰梯形的高为2，，，是上靠近的三等分点，如图①所示，将沿折起到的位置，使得，如图②所示，点在棱上. （1）求证：直线平面； （2）若是的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若平面与平面所成的锐二面角为45°，求的值. 【答案】（1）证明见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，进而可得，结合线面垂直的判定定理分析证明； （2）建系标点，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角； （3）设，求平面的法向量，利用空间向量结合面面夹角运算求解. 【小问1详解】 在图①中，过作，垂足为， 则，可知点与点重合，即， 在图②中，可得， 又因为，，平面， 所以直线平面. 【小问2详解】 由（1）可知：直线平面，， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 若是的中点，则， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（2）可知：， 因点在棱上，设， 则， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 由题意可得：， 整理可得，解得或（舍去）， 所以. 20. 已知抛物线（）的焦点为，第一象限内的一点在抛物线上，且. （1）求抛物线的方程； （2）直线与抛物线的另一个交点为，求的面积（其中为坐标原点）； （3）斜率分别为，的两条直线都经过点，且与抛物线的另一个交点分别为，，若，求证：直线过定点. 【答案】（1） （2） （3）证明见详解 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义求出的值，由此可得出抛物线的方程； （2）求出点的坐标，进而可求出直线的方程，将直线的方程与抛物线方程联立，求出点的坐标，利用三角形的面积公式可求得的面积； （3）分析可知，直线不与轴垂直，设直线的方程为，设点、，将该直线方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，根据斜率公式以及可得出关于、所满足的关系式，化简直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标. 【小问1详解】 由抛物线的定义可得，解得， 所以，抛物线的方程为. 【小问2详解】 由在抛物线上，且在第一象限内，所以，，即点， 易知点，所以，直线的斜率为， 所以，直线的方程为，即， 联立可得，解得或， 则点、， 所以，. 【小问3详解】 若直线的斜率为零，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得，，可得， 由韦达定理可得，， ，同理可得， 因为， 可得，则， 所以，直线的方程为， 由可得， 因此，直线过定点. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广元市2024年秋季普通高中二年级期末教学质量监测 数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、座位号、班级和考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5.考试结束后，只将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 2. 某农场共有300头牛，其中甲品种牛30头，乙品种牛90头，丙品种牛180头，现采用分层抽样方法抽取60头牛进行某项指标检测，则抽取甲、乙、丙三个品种牛的头数分别为（ ） A. 6，18，36 B. 6，20，34 C. 10，18，32 D. 10，20，30 3. 经过点且与直线垂直的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 将一枚质地均匀的正四面体教具连续抛掷（，）次，第5次和第8次某一面朝下的概率分别记为，，则，的大小关系为（ ） A. ，的大小由确定 B. C. D. 5. 已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含 6. 已知空间向量，，，若，，共面，则m的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 7. 已知空间向量，，，若，，共面，则m的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 8. 某地区今年举行了校园足球联赛，赛季结束后的数据显示：甲学校足球代表队（下称甲队）每场比赛平均失球数是，每场失球个数的标准差是；乙学校足球代表队（下称乙队）每场比赛平均失球数是，每场失球个数的标准差是.下列说法中正确的是（ ） A. 平均来说乙队比甲队防守效果好 B. 甲队比乙队技术水平更稳定 C. 甲队在防守中有时表现较差，有时表现又非常好 D. 甲队每场比赛必失球 9. 已知点集，分别表示曲线，，若，有四个公共点，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 10. 某人连续投篮三次，每次投一球，记事件为“三次都投中”，事件为“三次都没投中”，事件为“恰有二次投中”，事件为“至少有二次投中”，则（ ） A. B. C. D. 11. 下列说法中，正确的是（ ） A. 直线的一个方向向量为 B. ，，三点共线 C 直线（其中）必过定点 D. 经过点，倾斜角为的直线方程为 12. 在平面直角坐标系中，已知两定点、，动点满足直线与直线的斜率之积为，记的轨迹为，则下列描述正确的是（ ） A. 当时，曲线是以原点为圆心，半径为的圆 B. 当时，点所在曲线的焦点在轴上 C. 当时，过点的直线与曲线至少有一个公共点 D 当时，直线与曲线有两个不同公共点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 13. 已知向量，，若与互相垂直，则实数的值为_______. 14. 已知直线与直线平行（其中为实数），则它们之间的距离为_________. 15. 已知三棱柱，点在内，，，分别为三边的一个三等分点，为面的一个法向量，且.若到面的距离为2，则_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 已知椭圆（）长轴长8，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）以的焦点为顶点，短轴为虚轴的双曲线记为，求的方程及其渐近线方程. 17. 已知直线：，圆（点为圆心）. （1）若直线与圆相切，求实数的值； （2）当时，判断直线与圆是否相交于不同的两点？如果相交于不同两点，记这两点为，，并求的面积，如果不相交，请说明理由. 18. 甲、乙两人在沙滩边进行连续多轮走步比赛，甲、乙各有一个不透明的盒子，甲的盒子里面有2个红球1个白球，乙的盒子里面有2个红球3个白球，这些球只有颜色不同.每一轮比赛的规则是：甲、乙同时各自从自己的盒子里面摸出一球，如果甲摸到红球，甲向前走一步，否则原地不动；如果乙摸到白球，乙向前走一步，否则原地不动.各自摸球后都放回自己的盒子中. （1）经过多轮比赛后，试估计甲、乙走步数谁多？说明理由？ （2）以频率作为概率，试求2轮比赛后，乙走的步数比甲走的步数多的概率. 19. 如图，等腰梯形的高为2，，，是上靠近的三等分点，如图①所示，将沿折起到的位置，使得，如图②所示，点在棱上. （1）求证：直线平面； （2）若是的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若平面与平面所成的锐二面角为45°，求的值. 20. 已知抛物线（）的焦点为，第一象限内的一点在抛物线上，且. （1）求抛物线的方程； （2）直线与抛物线的另一个交点为，求的面积（其中为坐标原点）； （3）斜率分别为，的两条直线都经过点，且与抛物线的另一个交点分别为，，若，求证：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$