精品解析：贵州省黔东南苗族侗族自治州2024-2025学年高二上学期期末文化水平测试数学试题

贵州省黔东南苗族侗族自治州2024-2025学年高二上学期期末文化水平测试数学试题 注意事项： 1.本试卷分为选择题和非选择题两部分，共19道小题，满分150分，考试用时120分钟. 2.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，将条形码贴在答题卡“考生条形码区”． 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答䅁标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效． 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在数列中，若，则（ ） A. 3 B. 5 C. 8 D. 13 2. 已知直线的倾斜角为，且过点，则在直线上的点是（ ） A. B. C. D. 3. 拋物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 4. 若圆的圆心为，则点到直线的距离为（ ） A. 2 B. C. D. 5. 已知，若平面，则（ ） A. 11 B. C. 3 D. 6. 已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A. 10 B. 9 C. 6 D. 3 7. 如图，，是平面上的两点，且，图中的一系列圆是圆心分别为，的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…，A，B，C，D，E是图中两组同心圆的部分公共点.若点A在以，为焦点的椭圆M上，则（ ） A. 点B和C都在椭圆M上 B. 点C和D都在椭圆M上 C. 点D和E都在椭圆M上 D. 点E和B都在椭圆M上 8. 在三棱锥中，平面，点分别为,的中点，为线段上的点（不包括端点），若异面直线与所成角的余弦值为，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知等差数列的通项公式是，则（ ） A. 等差数列公差 B. 数列是递减数列 C. -100是数列中的某一项 D. 数列一定是等比数列 10. 双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2.若是面积为8的直角三角形，则（ ） A. 点必落第四象限 B. C. D. 是双曲线的一条渐近线 11. 如图，在棱长为1的正方体中，，分别是，的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 二面角平面角的正切值为 D. 点到平面的距离为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 大约2000多年前，我国墨子就给出了圆的概念：“一中同长也.”意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周上的点的距离都相等.这个定义比古希腊数学家欧几里德给出的圆的定义要早100年.已知是坐标原点，，若，则线段长的最大值是______. 13. 已知数列的前项和，则______. 14. 已知三棱锥的棱长均为2，且是BC的中点，则______. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在平面直角坐标系xOy中，已知三个顶点是. （1）求BC边所在直线的方程； （2）若BC边上中线AD方程为，求点的坐标. 16. 已知等差数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式及； （2）记，求数列的前项和. 17. 已知的圆心在直线上，且经过点. （1）求的标准方程； （2）若直线经过点且与相切，求直线的方程. 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，侧棱底面ABCD，AB垂直于AD和是棱SB的中点. （1）求证：平面SCD； （2）求直线SC与平面CDM所成角的正弦值. 19. 已知椭圆的焦点和短轴顶点构成边长为2的正方形. （1）求椭圆的标准方程和离心率； （2）过点的动直线与椭圆有两个交点P，Q.在轴上是否存在点使得恒成立.若存在，求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州省黔东南苗族侗族自治州2024-2025学年高二上学期期末文化水平测试数学试题 注意事项： 1.本试卷分为选择题和非选择题两部分，共19道小题，满分150分，考试用时120分钟. 2.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，将条形码贴在答题卡“考生条形码区”． 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答䅁标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效． 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 数列中，若，则（ ） A. 3 B. 5 C. 8 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】利用递推关系，直接写出前6项. 【详解】解：由， 可以写出数列的前6项：. ， 故选：C. 2. 已知直线的倾斜角为，且过点，则在直线上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得直线的方程为，再验证. 【详解】解：因为直线的倾斜角为，且过点， 所以直线的方程为， 当时，. 故选：D. 3. 拋物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的方程求出的值，即得准线方程. 【详解】抛物线的开口向右，，准线方程是. 故选:A. 4. 若圆的圆心为，则点到直线的距离为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据圆的标准方程求出圆心坐标，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】因为圆， 所以圆心的坐标为 则圆心到直线的距离为. 故选：D. 5. 已知，若平面，则（ ） A. 11 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用线面垂直的性质可得，，再根据数量积为零求出最后根据模长公式求解即可. 【详解】平面，平面，平面， 所以，， 所以， 因为， 可得， 解得则 故选：B. 6. 已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A. 10 B. 9 C. 6 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数的运算性质和等比数列的性质可求得的值. 【详解】因为数列是各项都为正数的等比数列，则， 所以，，则，故 故选：B. 7. 如图，，是平面上的两点，且，图中的一系列圆是圆心分别为，的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…，A，B，C，D，E是图中两组同心圆的部分公共点.若点A在以，为焦点的椭圆M上，则（ ） A. 点B和C都在椭圆M上 B. 点C和D都在椭圆M上 C. 点D和E都在椭圆M上 D. 点E和B都在椭圆M上 【答案】C 【解析】 【分析】由点A在椭圆上及椭圆定义求得，即可根据定义逐个判断其它点是否在椭圆上. 【详解】由同心圆及点A在以，为焦点的椭圆M上得，故椭圆中， ∵，，， 故点D和E都在椭圆M上. 故选：C 8. 在三棱锥中，平面，点分别为,的中点，为线段上的点（不包括端点），若异面直线与所成角的余弦值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角的向量公式解方程即得. 【详解】易知两两垂直，故以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 因，故，又， 在直角三角形中，，则，， 设则， ， 解得或（舍去）， 故. 故选：A. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知等差数列的通项公式是，则（ ） A. 等差数列的公差 B. 数列是递减数列 C. -100是数列中的某一项 D. 数列一定是等比数列 【答案】BD 【解析】 【分析】求出公差判断A；根据公差小于零判断B；令判断C；根据等比数列的定义判断D. 【详解】等差数列的公差故A错误； 因为，所以数列是递减数列，故B正确； 由得，所以-100不是数列中的某一项，故C错误； ，且，数列一定是等比数列，故D正确. 故选：BD. 10. 双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2.若是面积为8的直角三角形，则（ ） A. 点必落在第四象限 B. C. D. 是双曲线的一条渐近线 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，利用条件结合图形易判断；对于B，由条件表示出的三边，利用三角函数的定义即得；对于C，由B项条件，根据的面积，求得，再利用双曲线定义求出的值，即可求出的值；对于D，结合C项结论，可得双曲线方程，由其渐近线方程即可判断. 【详解】 对于A，如图，直线的斜率为2，且是直角三角形，故点必落在第四象限，故A正确； 对于B，由题可知设， 则则故，故В错误； 对于C，如B项所设，得， 则即， 由双曲线的定义可得：则 故，即C正确； 对于D，由上分析，双曲线的方程为， 所以双曲线的渐近线方程为故D错误. 故选：AC. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，，分别是，的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 二面角的平面角的正切值为 D. 点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】证明平面，即可判断A；根据，而与平面相交，即可判断B；取线段的中点，即可得到是二面角的平面角，从而判断C，再利用等体积法判断D. 【详解】因为四边形ABCD是正方形，为的中点，所以， 又平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面，又平面，，故A正确； 因为，分别是，的中点，所以，而与平面相交， 所以与平面相交，故B错误； 取线段的中点，则，又为等边三角形，所以， 所以是二面角的平面角， 又平面，平面，所以， 所以，所以二面角的平面角的正切值为，故C正确； 因为是棱长为的正四面体，， 又， 点到平面的距离为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：（1）求直线与平面所成的角的一般步骤： ①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成； ②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解． （2）作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 大约2000多年前，我国的墨子就给出了圆的概念：“一中同长也.”意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周上的点的距离都相等.这个定义比古希腊数学家欧几里德给出的圆的定义要早100年.已知是坐标原点，，若，则线段长的最大值是______. 【答案】3 【解析】 【分析】利用点和圆的位置关系结合给定条件求解即可. 【详解】因为是坐标原点，，所以点在以坐标原点为圆心，1为半径的圆上， 由两点间距离公式得，则点在圆外，故线段长的最大值是. 故答案为：3 13. 已知数列的前项和，则______. 【答案】15 【解析】 【分析】利用求解即可. 【详解】因为， 所以 故答案为：15. 14. 已知三棱锥的棱长均为2，且是BC的中点，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】由，再利用数量积运算求解. 【详解】解：， ， . 故答案为：1 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在平面直角坐标系xOy中，已知三个顶点是. （1）求BC边所在直线的方程； （2）若BC边上中线AD的方程为，求点的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两点的斜率公式求出直线BC的斜率，即可求直线的点斜式方程，转化为一般式方程即可. （2）求得线段BC的中点，代入求得，又点在中线AD上，可求得点的坐标. 【小问1详解】 ， 直线BC的斜率为， 根据点斜式方程得， 边所在直线的一般方程为. 【小问2详解】 由题知，线段BC的中点， 代入中线AD方程，得，解得. 点在中线AD上， ， 解得， 点的坐标是. 16. 已知等差数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式及； （2）记，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用给定条件求出公差，再利用公式法求解前项和与通项公式即可. （2）利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题知，解得， ， . 【小问2详解】 由题意得， ， . 17. 已知的圆心在直线上，且经过点. （1）求的标准方程； （2）若直线经过点且与相切，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）求出线段AB的垂直平分线方程，与联立求出圆心坐标，再求可得答案； （2）直线的斜率不存在时，利用圆心到直线的距离小于半径得不符合题意，设的方程为，利用圆心到直线的距离等于半径可得答案. 【小问1详解】 经过， 圆心在线段AB的垂直平分线上， 联立得，所以圆心M的坐标为， ， 的标准方程为； 【小问2详解】 若直线的斜率不存在，即， 圆心到直线的距离为， 此时直线不是圆的切线，不符合题意； 设的方程为，即， 直线与相切， 圆心到直线的距离， 即，解得或， 直线的方程为或. 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，侧棱底面ABCD，AB垂直于AD和是棱SB的中点. （1）求证：平面SCD； （2）求直线SC与平面CDM所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，求得平面SCD的法向量是，由证明； （2）求得平面CDM的法向量为，设直线SC与平面CDM所成角为，由求解. 【小问1详解】 证明：以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则. 设平面SCD的法向量是， 则，即 令，则， 于是. ， ， 又平面SCD， 平面SCD. 【小问2详解】 点的坐标为， ， 设平面CDM的法向量为， ， 即 可求得平面CDM的一个法向量， 设直线SC与平面CDM所成角为， 则， 直线SC与平面CDM所成角的正弦值为. 19. 已知椭圆的焦点和短轴顶点构成边长为2的正方形. （1）求椭圆的标准方程和离心率； （2）过点动直线与椭圆有两个交点P，Q.在轴上是否存在点使得恒成立.若存在，求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）， （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，得到求解； （2）设点的坐标为，分过点的动直线的斜率不存在，过点的动直线的斜率存在，设该直线方程为，与椭圆方程联立，结合韦达定理，由求解. 【小问1详解】 解：椭圆的焦点和短轴端点构成边长为2的正方形， ， ， 椭圆的标准方程为， 离心率. 【小问2详解】 设点坐标为， ①若过点的动直线的斜率不存在， 则或， 此时只需. ②若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为， 设， 由可得 而， 因为恒成立，故， 解得. 由①②可知，， 存在，使得恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $