精品解析：广东省广州市番禺区2024-2025学年高二上学期教学质量监测数学试卷

2024学年第一学期高中教学质量监测试题 高二数学 本试卷共6页，19小题；全卷满分150分，考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名和座位号、准考证号填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在答题卡相应位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的区域内，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则子集的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. i B. －i C. 1 D. －1 3. 已知等差数列的前项和为，，则（ ） A. 880 B. 440 C. 220 D. 110 4. 在四面体中，点在上，且，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 根据有关资料，国王与国际象棋发明者在棋盘放米故事中，最后一个格子需放米粒的数量为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为．则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，直线的方程为，若圆上有且仅有3个点到直线的距离为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若存在实数，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在某校2000名学生中随机抽取了800名学生对2024年奥运会期间6场网球单打比赛的收看情况进行了调查，将数据分组整理后，列表如下： 观看场次 0 1 2 3 4 5 6 观看人数占调查人数的百分比（%） 15 5 5 10 15 4m 从表中数据可以得出正确结论为（ ） A. 表中的数值为15 B. 估计该校学生观看场次的第三四分位数为6 C. 估计该校学生观看场次的平均数为4 D. 估计该校学生观看场次不低于4场的人数为1300 10. 过所在平面外一点，作平面，垂足为，连接、、．下列说法正确的是（ ） A. 若，，则是边的中点 B. 若点到三条边的距离相等，则点是的内心 C. 若，，，则点是的垂心 D. 若、、与平面所成的角均相等，则点是的重心 11. 若直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 重心横坐标的最小值为 C. D. 以线段为直径的圆被轴截得的弦长为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的标准方程为_____． 13. 空间内有三点，，，则点到直线的距离为_____． 14. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆方程，、为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经椭圆上的点和点反射后，满足，，则该椭圆的离心率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若过的重心的直线与交于点，与夹角为，且，求． 16. 已知数列是公差大于1的等差数列，，且，，成等比数列，若数列前项和为，并满足，． （1）求数列，的通项公式． （2）若，求数列前项的和． 17. 阅读材料：函数知识有广泛的实际应用，如函数的凹凸性，可应用于风险评估、经济学模型构建及计算机科学等诸多领域．其中函数的凹凸性的定义如下． 定义1：设函数是定义在区间上的连续函数，若，都有，则称为区间上的凹函数．如图①，在区间上，凹函数的形状特征：曲线上任意两点，之间的部分位于线段的下方． 定义2：设函数是定义在区间上的连续函数，若，都有，则称为区间上的凸函数．如图②，在区间上，凸函数的形状特征：曲线上任意两点，之间的部分位于线段的上方． 结合阅读材料回答下面的问题： （1）请写出一个上的凹函数（不必说明理由）； （2）用定义证明是上的凸函数； （3）讨论函数的凹凸性． 18. 如图，在以为顶点五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，是的中点． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）是否存在点在线段上，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知平面上两点，，定义它们之间的“距离”为．若动点与两个定点，的“距离”之和为6，则称动点的轨迹为． （1）求轨迹的方程； （2）求轨迹的面积； （3）若直线与轨迹的外接椭圆交于两点，动点满足，其中的坐标为，记直线的斜率为，证明：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期高中教学质量监测试题 高二数学 本试卷共6页，19小题；全卷满分150分，考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名和座位号、准考证号填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在答题卡相应位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的区域内，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则的子集的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】求出，再求子集可得答案. 【详解】集合， 则的子集有，共四个. 故选：D. 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. i B. －i C. 1 D. －1 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的四则运算求得复数，即得其虚部. 【详解】由可得：， 则的虚部为1. 故选：C. 3. 已知等差数列的前项和为，，则（ ） A. 880 B. 440 C. 220 D. 110 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的项的性质和求和公式计算即得. 【详解】由可得， 则. 故选：B. 4. 在四面体中，点在上，且，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算可得出关于、、的表达式. 【详解】连接，如下图所示： 因为为的中点，则， 因为点在上，且，则， 因为， 故选：B. 5. 已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出椭圆离心率，即可得双曲线离心率，再根据，可得渐近线方程. 【详解】由，知椭圆离心率， 故双曲线的离心率为2， 所以，可得， 故渐近线为. 故选：C 6. 根据有关资料，国王与国际象棋发明者在棋盘放米的故事中，最后一个格子需放米粒的数量为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为．则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数的性质可得：，代入将也化为10为底的指数形式，进而可得结果. 【详解】由题意：，， 根据对数性质有：， ， ，与A选项最接近， 故选：A 7. 在平面直角坐标系中，直线的方程为，若圆上有且仅有3个点到直线的距离为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合图形得到圆心到直线的距离，然后列方程求解即可. 【详解】由可得：，则圆心为，半径为3， 因直线过定点，圆上有且仅有3个点到直线的距离为，位置如下图所示： 由图可知，圆心到直线的距离为， 即，解得：. 故直线的斜率为. 故选：D. 8. 已知函数，若存在实数，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，再令，分析可知关于x的方程在内有零点，换元令，分析可知关于t的方程在内有零点，结合对勾函数的单调性分析求解. 【详解】设， 令，即，可得， 由题意可知：关于x的方程在内有零点， 令，可得关于t的方程在内有零点， 又因为在内单调递减，在内单调递增， 且，可知在内值域为， 可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 【点睛】方法点睛：利用函数零点求参数值或取值范围方法 1.利用零点存在的判定定理构建不等式求解； 2.分离参数后转化为求函数的值域（最值）问题求解； 3.转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在某校2000名学生中随机抽取了800名学生对2024年奥运会期间6场网球单打比赛的收看情况进行了调查，将数据分组整理后，列表如下： 观看场次 0 1 2 3 4 5 6 观看人数占调查人数的百分比（%） 15 5 5 10 15 4m 从表中数据可以得出的正确结论为（ ） A. 表中的数值为15 B. 估计该校学生观看场次的第三四分位数为6 C. 估计该校学生观看场次的平均数为4 D. 估计该校学生观看场次不低于4场的人数为1300 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据数据百分比的和为1可以计算出的值；对于B，根据百分位数计算规则计算即可；对于C，根据平均数的计算公式计算即可求得结果；对于D，计算出观看场次不低于4场的学生的比例，再乘以总人数，即可求得结果. 【详解】对于选项A，由表可知，，解得，故选项A错误； 对于选项B，因为，所以该组数据的第三四分位数为6，故选项B正确； 对于选项C，因为，所以该组数据的平均数为4，故选项C正确； 对于选项D，观看场次不低于4场的学生的比例为，则观看场次不低于4场的学生约为人，故选项D正确. 故选：BCD. 10. 过所在平面外一点，作平面，垂足为，连接、、．下列说法正确的是（ ） A. 若，，则是边的中点 B. 若点到三条边的距离相等，则点是的内心 C. 若，，，则点是的垂心 D. 若、、与平面所成的角均相等，则点是的重心 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，由推得为的外心，结合，即可判断；对于B，过点分别作，垂足分别为，连接，证明和，，即得点是的内心；对于C，由条件证得平面，即得，从而平面，可得，同理即得结论；对于D，结合图形可得分别是、、与平面所成的角，由这些角相等可推得，即得为的外心，排除D项. 【详解】对于A，如图，连接，因，平面，垂足为，易得， 则有，故点为的外心，因，可得点为边的中点，故A正确； 对于B，过点分别作，垂足分别为，连接， 则，因平面，平面， 则，易得， 则，又由平面，平面，则 又因平面，故平面， 因平面，故，同理可得，故点是的内心，即B正确； 对于C，如图，连接延长交于点，连接延长交于点，连接延长交于点. 因，，且平面，则平面， 因平面，则，因， 平面，则平面， 因平面，故得，同理，即点是的垂心，故C正确； 对于D， 如图，连接延长交于点，连接延长交于点，连接延长交于点. 因平面，则分别是在平面上的射影， 则分别是、、与平面所成角， 由，易得， 即得，故点为的外心，故D错误. 故选：ABC. 11. 若直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 重心的横坐标的最小值为 C. D. 以线段为直径的圆被轴截得的弦长为定值 【答案】BC 【解析】 【分析】根据直线恒过定点可得，即可判断A；直线方程联立抛物线方程，利用韦达定理结合三角形重心的概念计算即可判断B；利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示计算即可判断C；求出圆心和半径，进而求圆被轴所截的弦长，即可判断D. 【详解】对于选项A：易知直线恒过定点，即， 所以，解得，故A错误； 对于选项B：由选项A知抛物线，设， 联立方程，消去x可得， 则， 则，， 所以知的重心的横坐标为， 当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于选项C：因为，故C正确； 对于选项D：设的中点为， 则，，， 即圆心为，半径， 可知圆心到y轴的距离， 所以圆被轴截得的弦长为，不为定值，故D错误； 故选：BC 【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤 1.由特例得出一个值，此值一般就是定值； 2.证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值； 3.得出结论． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的标准方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合圆的性质求得圆心为，即可得半径和圆的方程. 【详解】圆经过原点和点，可知圆心在线段的中垂线上， 因为圆心在直线， 联立方程，解得， 即，可得半径， 所以圆的标准方程为. 故答案为：. 13. 空间内有三点，，，则点到直线的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再求出直线的一个单位方向向量,利用点到直线的距离的向量公式计算即得. 【详解】由题意，,则与同方向的单位向量为，又, 则点到直线的距离为. 故答案为：. 14. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆方程，、为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经椭圆上的点和点反射后，满足，，则该椭圆的离心率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意，作图，利用三角函数的性质，可设线段的表示，根据齐次方程的思想，可得答案. 【详解】由题意，可作图如下： 则，，即， 可设，，， 由，则，即， ，在中，， 则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若过的重心的直线与交于点，与夹角为，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换运算求解； （2）根据题意可知，，，结合两家和差公式可得，再利用正弦定理运算求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 又因为， 可得， 且，则，可得，即， 又因为，所以. 【小问2详解】 取的中点，连接， 因为，，可知，则， 由题意可知：， 则， 在中，由正弦定理可得， 所以，即. 16. 已知数列是公差大于1的等差数列，，且，，成等比数列，若数列前项和为，并满足，． （1）求数列，的通项公式． （2）若，求数列前项的和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设出公差，利用等比中项的性质建立方程，可得的通项公式，利用公式，可得的通项公式； （2）利用错位相减，可得答案. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由成等比数列，则， 可得， 由，则方程化简可得，解得，易知， 所以首项为，公差为的等差数列的通项公式为. 当时，，则，解得； 当时，， 可得，则数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以. 【小问2详解】 由题意可得， ， ， 两式相减可得， ， 解得. 17. 阅读材料：函数知识有广泛的实际应用，如函数的凹凸性，可应用于风险评估、经济学模型构建及计算机科学等诸多领域．其中函数的凹凸性的定义如下． 定义1：设函数是定义在区间上的连续函数，若，都有，则称为区间上的凹函数．如图①，在区间上，凹函数的形状特征：曲线上任意两点，之间的部分位于线段的下方． 定义2：设函数是定义在区间上的连续函数，若，都有，则称为区间上的凸函数．如图②，在区间上，凸函数的形状特征：曲线上任意两点，之间的部分位于线段的上方． 结合阅读材料回答下面的问题： （1）请写出一个上的凹函数（不必说明理由）； （2）用定义证明是上的凸函数； （3）讨论函数的凹凸性． 【答案】（1）（答案不唯一） （2）证明见详解 （3）在内为凹函数，在内为凸函数 【解析】 【分析】（1）根据凹函数的定义举例即可； （2）利用凸函数定义证明即可； （3）整理函数解析式，根据（1）（2）中结论即可得结果. 【小问1详解】 例如， 对，则， 即满足，满足凹函数定义. 【小问2详解】 对于二次函数， ，则， 即，满足凸函数定义，所以二次函数是凸函数. 【小问3详解】 由（1）可知二次函数为凹函数，由（2）可知二次函数是上凸函数， 因为函数，其图象可以由两个二次函数的部分图象组成， 所以在内为凹函数，在内为凸函数. 18. 如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，是的中点． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）是否存在点在线段上，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）取的中点，证明，然后得线面垂直，再得面面垂直； （2）以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角； （3）假设存在点在线段上，设，利用空间向量法求线面角. 【小问1详解】 取的中点，连结， 由已知得，是边长为2的等边三角形，是以为腰的等腰三角形， 则，故, 故平面平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； 【小问2详解】 以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，， 显然平面的一个法向量为， 设平面一个法向量为， 由，取，得， 所以， 故平面与平面所成角的余弦值； 【小问3详解】 由上可知，， ，， 假设存在点在线段上，设，则， 所以， 设直线与平面所成角为， 则， 可得或（舍），所以， ， 所以存在点在线段上，且. 19. 已知平面上两点，，定义它们之间的“距离”为．若动点与两个定点，的“距离”之和为6，则称动点的轨迹为． （1）求轨迹的方程； （2）求轨迹的面积； （3）若直线与轨迹的外接椭圆交于两点，动点满足，其中的坐标为，记直线的斜率为，证明：为定值． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意，利用“距离”公式计算即得； （2）分类讨论法去绝对值符号，作出曲线的图象，由图即可求其面积； （3）先求出椭圆方程，由直线与椭圆方程联立，消去后由韦达定理求出和，再分别求线段的中垂线方程，由题知点为的外心，设，由中垂线方程可得出的关系，即可得证. 【小问1详解】 设，由“距离”公式可得：，， 由题意，， 故轨迹的方程为：； 【小问2详解】 由可得：， 当时，若，则； 若，则； 若，则. 即当时，， 当时，由对称性可得：， 其图象为： 由图可知：轨迹的面积为：； 【小问3详解】 由上图知，轨迹的外接椭圆的长半轴长为3，且经过点， 设，将点代入，可得，解得 ，故椭圆的方程为：，如图所示. 由消去，可得：，因恒成立， 设，则（*） 因，则线段的中点为，即，又， 故线段中垂线方程为：， 即， 同理，线段的中垂线方程为：， 由可知点为的外心，设， 则有， ， 故可把看成方程的两根， 则有， 比较（*），可得， 化简得：，即， 因，故得 【点睛】方法点睛：本题主要考查距离新定义有关的应用和圆锥曲线中的定值问题，属于难题. 求定值问题常见的方法有： （1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关； （2）直接推理，计算，并在运算推理中消去参变量，即得定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $