广东省广州市番禺区2024-2025学年高二上学期教学质量监测数学试卷

2024学年第一学期高中教学质量监测试题 高二数学 本试卷共6页，19小题；全卷满分150分，考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名和座位号、准考证号填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在答题卡相应位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的区域内，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则的子集的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. i B. －i C. 1 D. －1 3. 已知等差数列的前项和为，，则（ ） A. 880 B. 440 C. 220 D. 110 4. 在四面体中，点在上，且，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆与双曲线离心率互为倒数，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 根据有关资料，国王与国际象棋发明者在棋盘放米的故事中，最后一个格子需放米粒的数量为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为．则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，直线的方程为，若圆上有且仅有3个点到直线的距离为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若存在实数，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在某校2000名学生中随机抽取了800名学生对2024年奥运会期间6场网球单打比赛的收看情况进行了调查，将数据分组整理后，列表如下： 观看场次 0 1 2 3 4 5 6 观看人数占调查人数的百分比（%） 15 5 5 10 15 4m 从表中数据可以得出的正确结论为（ ） A. 表中的数值为15 B. 估计该校学生观看场次的第三四分位数为6 C. 估计该校学生观看场次平均数为4 D. 估计该校学生观看场次不低于4场的人数为1300 10. 过所在平面外一点，作平面，垂足为，连接、、．下列说法正确的是（ ） A. 若，，则是边的中点 B. 若点到三条边距离相等，则点是的内心 C. 若，，，则点是的垂心 D. 若、、与平面所成的角均相等，则点是的重心 11. 若直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 重心的横坐标的最小值为 C. D. 以线段为直径的圆被轴截得的弦长为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的标准方程为_____． 13. 空间内有三点，，，则点到直线的距离为_____． 14. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆方程，、为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经椭圆上的点和点反射后，满足，，则该椭圆的离心率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若过的重心的直线与交于点，与夹角为，且，求． 16. 已知数列是公差大于1的等差数列，，且，，成等比数列，若数列前项和为，并满足，． （1）求数列，的通项公式． （2）若，求数列前项的和． 17. 阅读材料：函数知识有广泛的实际应用，如函数的凹凸性，可应用于风险评估、经济学模型构建及计算机科学等诸多领域．其中函数的凹凸性的定义如下． 定义1：设函数是定义在区间上的连续函数，若，都有，则称为区间上的凹函数．如图①，在区间上，凹函数的形状特征：曲线上任意两点，之间的部分位于线段的下方． 定义2：设函数是定义在区间上的连续函数，若，都有，则称为区间上的凸函数．如图②，在区间上，凸函数的形状特征：曲线上任意两点，之间的部分位于线段的上方． 结合阅读材料回答下面问题： （1）请写出一个上的凹函数（不必说明理由）； （2）用定义证明是上的凸函数； （3）讨论函数的凹凸性． 18. 如图，在以为顶点五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，是的中点． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）是否存在点在线段上，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知平面上两点，，定义它们之间的“距离”为．若动点与两个定点，的“距离”之和为6，则称动点的轨迹为． （1）求轨迹的方程； （2）求轨迹的面积； （3）若直线与轨迹的外接椭圆交于两点，动点满足，其中的坐标为，记直线的斜率为，证明：为定值． 2024学年第一学期高中教学质量监测试题 高二数学 本试卷共6页，19小题；全卷满分150分，考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名和座位号、准考证号填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在答题卡相应位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的区域内，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】ABC 【11题答案】 【答案】BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】## 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）， （2） 【17题答案】 【答案】（1）（答案不唯一） （2）证明见详解 （3）在内为凹函数，在内为凸函数 【18题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $