知识点总结（素材）-2024-2025学年五年级上册数学北师大版

新北师大版小学数学五年级(上册)知识点 一 、小数除法 《精打细算、打扫卫生》 1、除数是整数的小数除法计算方法： ①按整数除法法则去除，从最高位除起。 ②在商的个位后(右下角)点上小数点，商的小数点要和被除数的小数点对齐。 ③除到哪位商那位，当除到被除数的末尾仍有余数时，就在余数后面添0继续除。 ④哪位不够商1,商0占位再除。 2、总价÷数量=单价 《谁打电话的时间长》 1、除法中的变化规律： ①商不变的规律：被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数(0除外),商不变。 ②除数不变，被除数扩大，商也扩大。 ③被除数不变，除数缩小，商反而扩大。 2、除数是小数的小数除法计算方法：(根据商不变的规律) ①先移动除数的小数点，使它变成整数； ②除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位(被除数位数不够，就在 末尾用0补足); ③按照除数是整数的小数除法进行计算，商的小数点和转化后的小数点对齐。 3、小数除法的验算方法： ①商×除数=被除数(通用) ②被除数÷商=除数 4、路程÷速度=时间 长方形的面积÷长=宽 《人民币兑换》 1、外币兑换成人民币：外币×汇率=人民币 人民币兑换成外币：人民币÷汇率=外币 2、计算出来的钱要保留两位小数。(钱的最小单位是分，所以要保留两位小数/精确到 百分位/四舍五入到百分位：都要看百分位的下一位“千分位”满5进1,不满5舍去。) 3、求一个数的近似数要用“四舍五入”法。(看精确位数的“下一位”,下一位满5进 1,不满5舍去。) ①积的近似数：先精确计算，再根据题目要求取近似值。 ②商的近似数：直接根据要求多除一位小数，再取近似数。 (例：保留一位小数，商除到第二位小数停下来取近似数。) 注：近似数前面用“≈”,求近似数时小数末尾的0不能去掉，它表示精确程度!(2.99 ≈3.0,保留一位小数) 4、在小数除法中(除数不为0),商与被除数的关系： ①当除数大于1,商小于被除数。如：3.5÷5=0.7 ②当除数等于1,商等于被除数。如：3.5÷1=3.5 ③当除数小于1,商大于被除数。如：3.5÷0.5=7 (除数越接近1,商越接近被除数。) 《 除 得 尽 吗 ? 》 1、小数部分的位数有限的小数叫有限小数。如：0.37、1.413。 2、小数部分的位数无限的小数叫无限小数。如：0.37..。 3、小数部分有一个或几个数字按一定顺序不断重复出现的小数叫作循环小数。 (如：5.33... 3.12323... 5.7171….) 4、循环小数的小数部分依次不断重复的数字叫作循环小数的循环节。 (如：5.33.…循环节是3, 0.6767.…循环节是67) 纯循环小数 小数 有限小数 循环小数 混循环小数 无限小数 无限不循环小数 (循环小数一定是无限小数，无限小数不一定是循环小数。) 5、循环小数的写法： ①一般写法：先写上循环节2~3遍，再在后面写3个点的省略号。如：0.333… ②简便记法：只写一个循环节，并在循环节首位和末位数字的上面各点一个小圆点。 如： 0.316 《调查“生活垃圾”》 1、小数四则混合运算顺序与整数四则混合运算顺序相同。 ①无括号时， a：同级运算，从左往右。 b: 混合运算，先乘除后加减。 ②有括号时，先算括号(先小后中)里面的，再算括号外面的。 2、运算律： ①加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) ②减法的性质：a-b-c=a-(b+c) a-(b-c)=a-b+c ③乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律：(a×b)+c=a×c+b×c ④除法：a÷b÷c=a÷(b×c) a÷(b÷c) =a÷b×c 二 、轴对称和平移 《 轴 对 称 再 认 识 ( 一 ) / 轴 对 称 再 认 识 ( 二 ) 》 1、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。(从中线的任意一点到两边的距离相等的图形。) 2、判断轴对称图形：对折后两边能完全重合的图形。 3、对称轴：对折后能使两边重合的线叫做对称轴。(直线且是虚线。) 4、特殊图形的对称轴条数： 等腰三角形 等边三角形 (正三角形) 等腰梯形 正方形 长方形 圆 角 线段 1条 3条 1条 4条 2条 无数条 1条 2条 注意：平行四边形不是轴对称图形！ 5、对应点/对称点：两图形重合时互相重合的点叫对应点，也叫对称点。 6、轴对称图形性质：对应点到对称轴的距离相等，对应点连线垂直于对称轴。 7、轴对称图形的画法：找到原有图形几个关键点的对称点，再连线。 (注意：轴对称图形具有对称性，大小相等，左右相反。) 《平移》 1、平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。(直线运动) 2、平移的基本性质：不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。 3、平移图形的画法： ①找关键点。②将关键点按平移方向和格子数平移。③按关键点画出原图。 (平移几格指原图形的关键点平移的格数。) 《欣赏与设计》 1、设计图案的基本方法：轴对称、平移 2、利用轴对称或平移设计图案，都要选准基本图形。轴对称要确定好对称轴，选好关键点(或线段);平移要确定好平移的格数和方向。 三、倍数与因数 《倍数与因数》 1、像0、1、2……这样的数是自然数。0是最小的自然数，没有最大的自然数。自然数的基本单位是1。 2、像-2、 -1、0、1、2……这样的数是整数。 3、整数的分类 4、只在非零自然数(正整数)范围内研究倍数和因数。 5、a×b=c(a、b、c 是非零自然数),那么a 和 b 是 c 的因数，c 是 a 和b 的倍数。 6、把 c÷a=b(a、b、c 是非零自然数),变式为 a×b=c 再按照概念来定义。 7、如果a 和 b 是 c 的 因 数 ，c 是 a 和 b 的倍数，也可以说a 和 b 能整除c, 或 c 能被a 和b 整除。 (例：24÷8=3,3和8能整除24,或24能被3和8整除) 8、倍数与因数是乘法算式中积与乘数的关系，是相互依存的。没有倍数就不存在因数， 没有因数也就不存在倍数，不能单独说一个数是倍数或因数。 9、找一个数的因数：列乘法或除法算式，看这个数由哪两个数组成，就可以把因数找齐。 10、一个数因数的特征： 一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1,最大的因数是它本身。特别指出：1是所有非零自然数的因数。 11、找一个数的倍数：将这个数与任意非0自然数(1、2... …)相乘的积都是该数的倍数。 (配合乘法口诀) 12、一个数倍数的特征： 一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 (注意：一个数最大的因数是它最小的倍数。) 13、判断两个数成倍数关系： a、列乘法算式：用积判断。 b 、列除法算式：用是否有余数来判断。 《探究活动：2,5的倍数的特征》 1、2的倍数特征：个位上是0,2,4,6,8的数都是2的倍数。(能被2整除的数) 2、5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数。(能被5整除的数) 3、2和5的共同倍数的特征：个位上是0的数既是2的倍数，又是5的倍数。 4、偶数(双数)和奇数(单数)的定义：能被2整除的数叫偶数，不能被2整除的数叫奇数。 【自然数中，最小偶数是0,最小的奇数是1,没有最大的偶数与奇数。 用字母表示：偶数：2a 奇数：2a-1 (a 是自然数)】 ( 奇数 (按照能否被2整除)自然数 偶数 【 0是偶数，但不是2的倍数，2的倍数一定是偶数，偶数不一 定是2的倍数! 】 2的倍数 偶数：0 ) 5、数的奇偶性：(举例法) 偶数+偶数=偶数 奇数+奇数=偶数 偶数+奇数=奇数 偶数一偶数=偶数 偶数×偶数=偶数 奇数一奇数=偶数 偶数×奇数=偶数 偶数一奇数=奇数 奇数×奇数=奇数 奇数一偶数=奇数 《探究活动：3的倍数的特征》 1、3的倍数特征：一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 (能被3整除的数) 2、2和3的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8,并且各个数位上的数字之和是3的倍数。 3、3和5的倍数特征：个位上是0或5,并且各个数位上的数字之和是3的倍数。 4、2,3和5的倍数特征：个位上是0,并且各个数位上的数字之和是3的倍数。 5、9的倍数的特征： 一个数各个数位上的数字之和是9的倍数，这个数就是9的倍数， 它也一定是3的倍数。 《找因数》 1、找一个数的因数的方法： ①列乘法算式，两个乘数就是这个数的因数。 ②列除法算式，除数和商就是这个数的因数。 注：都是从1开始，依次列算式，出现重复的数就不要算下去。 《找质数(找素数)1~100》 1、一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。 (最小的质数是2,除了2外，所有的质数都是奇数。质数只有2个因数。) 2、一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫作合数。 (最小的合数是4，4的因数是1、2、4。即合数至少有3个因数。) (注：自然数是无限的，质数和合数也是无限的，即没有最大的质数和合数!) 3、1既不是质数，也不是合数。 0既不是质数也不是合数，自然数分为0、1、质数、合数。 4、判断一个数是质数还是合数的方法： a: 根据因数的个数来判断。(利用2,5,3的倍数的特征) b:用比这个数小的质数从小到大去除这个数， 若有余数，这个数就是质数，否则就是合数。 100以内的质数： 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 100以内的质数歌 二三五七和十一， 十三后面是十七， 还有十九别忘记， 二三九，三一七， 四一，四三，四十七， 五三九， 六一七， 七一，七三，七十九， 八三，八九，九十七。 四、多边形的面积 《比较图形的面积》 1、比较图形面积大小的方法：①数格子。②平移/旋转/对称法。③组合法。④割补法(“出 入相补/移多补少”原理)。 2、图形面积相同，其形状可以是不同的。 《认识底与高》 1、认识平行四边形、三角形与梯形的底和高：在平行四边形、三角形与梯形中，从底的 对边上一点(或顶点)到底的垂线段就是高。 (注意：①任意平行四边形、梯形都有无数条高。②任意一个三角形都有三条高。③高和底的关系是对应的。) 2、用三角板画出平行四边形、梯形和三角形的高： 简称步骤：①合；②过点；③画高；④标直角符号┐、底和高。 ①合：三角板的直角边与平行四边形/梯形/三角形的一条底边重合。 ②过点：让三角板的另一条直角边过平行四边形/梯形对边的某一点(过三角形底边所对 的顶点)。 ③画高：从这一点沿着三角板的另一条直角边向它的对边画垂线段(虚线)。 ④标直角符号┐、底和高。 《探究活动：平行四边形的面积》 1、平行四边形的面积=拼成的长方形的面积， 拼成长方形的长和宽就是平行四边形的底和高。 长方形的面积= 长 × 宽 平行四边形面积= 底 × 高 用字母表示可以写成：S=ah。 变式：底=平行四边形面积÷高 a=S÷h 高=平行四边形面积÷底 h=S÷a (知两量可求第三量，平行四边形面积大小由底和对应高的大小决定。) 2、等底等高的平行四边形的面积相等。 (只要底和高相同，不同形状的平行四边形的面积也是相同的。) 3、将长方形拉成平行四边形后，周长不变，形状改变，面积变小。 《探究活动：三角形的面积》 三角形面积=两个完全一样的三角形拼成的平行四边形的面积÷2 (两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。三角形面积是与它等底等高的平行四边形的面积的一半。) 三角形的底和高，就是平行四边形的底和高。 三角形面积=底×高÷2,字母表示可以写成：S=a×h÷2=ah÷2 变式：底=三角形面积×2÷高 a=S×2÷h 高=三角形面积×2÷底 h=S×2÷a (知两量可求第三量，三角形面积大小由底和相应的高的大小决定。) 2、等底等高的三角形的面积相等。(只要底和高相同，不同形状的三角形的面积也是相同的。) 《探究活动：梯形的面积》 1、梯形面积=两个完全一样的梯形拼成的平行四边形的面积÷2 梯形上底与下底的和就是平行四边形的底，梯形的高就是平行四边形的高。 梯形面积=(上底+下底)×高÷2，用字母表示可以写成：S=(a+b)h÷2 变式：上下底的和=梯形面积×2÷高 a+b=S×2÷h 高=梯形面积×2÷上下底的和 h=S×2÷(a+b) 上底=梯形面积×2÷高一下底 a=S×2÷h-b 下底=梯形面积×2÷高一上底 b=S×2÷h-a (知三量可求第四量，梯形面积大小由上下底的和、高的大小决定。) 2、等底(上下底的和相等)等高的梯形面积相等，形状不同。 3、两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。 五 、分数的意义 《分数的再认识( 一 )/分数的再认识(二)》 1、整体“1”的含义：一个物体或一些物体都可以看作一个整体，这个整体可以用自然 数“1”来表示，通常叫做整体“1”或单位“1”。 2、分数的意义：把一个整体平均分成若干份，其中的一份或几份，可以用分数表示。(分母是几，整体就被平均分成了几份，分子是几，就是其中的几份。) 3、同一个分数对应的整体大，表示的具体数量就大；对应的整体小，表示的具体数量就 小。同一个分数表示的具体数量大，对应的整体就大；表示的具体数量小，对应的整体就小。 4、分数单位：像 ·这样的分数叫作分数单位。 (分母越大，分数单位越小：分母越小，分数单位越大。) 5、分母不同的分数，它们的分数单位是不同的。(例： 的分数单位是 ， 的分数单位是) 6、分数的相对性：同一个分数，对应的整体不同，所表示的具体数量也不同 《分饼》 1、分子小于分母的分数叫作真分数。(如：、、……） 特点：分子<分母；分数值<1。 2、分子大于或等于分母的分数叫作假分数。(如： 特点：分子≥分母；分数值≥1。 3、由整数和真分数合成的数叫作带分数，分数值>1。(如： 4、带分数的读法：先读整数部分，再读分数部分，中间加一个“又”字。 (如： 读作：二又四分之一。) 5、带分数的写法：先写整数部分，再写分数部分。 6、假分数和带分数的关系：带分数是假分数的一种特殊书写形式。 《分数与除法》 1、分数与除法的关系： (b≠0) 分数(数):分子÷分母= (分母不为0)。 除法(运算)：被除数÷除数= (除数不为0)。 (分数表示两数相除的商。分数线相当于除号，分数值相当于商。) 2、假分数化成整数或带分数的方法： (分子除以分母，商作带分数的整数部分，余数作分数部分的分子，分母不变。) 3、把带分数化成假分数的方法： a: (带分数)整数 (假分数) (整数乘分母的积加上原来的分子作分子，分母不变。) B: 把整数化成和真分数同分母的假分数，然后把假分数和真分数相加。 如： 4、求一个数是(占)另一个数的几分之几：(用除法) ,得到的商表示两个数的 关系，没有单位名称。 《分数基本性质》 1、分数基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外),分数的大小不 变。 《找最大公因数》 1、几个数公有的因数是它们的公因数，最大的一个是它们的最大公因数。 2、求公因数和最大公因数的方法： ①列举法：先分别写出各自的因数，从中找出公因数，最大的一个是最大公因数。 ②两个数是倍数关系，较小数就是两个数的最大公因数。 ③两个数是互质数(0除外),那么这两个数的公因数只有1。 ④用短除法求两个数的最大公因数：最大公因数乘一边。 如： 36 … 用公有质因数2除 18 … 用公有质因数2除 9 … 用公有质因数3除 3 …除到两个商只有公因数1 最大公因数：2×2×3=12。 列举法 一 般 数 短除法 两数是倍数关系 最大公因数是较小数 两数是相邻自然数(0除外) 两数是不同的质数 最 大 公 因 数 是 1 找 最 大 公 因 数 特 殊 数 3、公因数只有1的两个数叫作互质数。 ①1和任意非零自然数是互质数。如：1和3、1和21 ②两个相邻的自然数是互质数。如：4和5、16和17 ③不相同的质数是互质数。如：2和7、3和17 《约分》 1、把一个分数的分子、分母同时除以公因数，分数值不变，这个过程叫约分。 2、分子、分母只含有公因数1的分数，叫作最简分数。(如： 不能再约分，是最简分数 ) ①分子分母是两个相邻自然数(0除外)的分数一定是最简分数； ②分子分母是两个不同质数的分数一定是最简分数； ③分子是“1”的分数一定是最简分数(分数单位)。 3、约分的方法： ①逐次约分法：用分子和分母的公因数(1除外)一个一个去除。 ②一次约分法：直接用分子和分母的最大公因数去除。(简便) 《找最小公倍数》 1、几个数公有的倍数是它们的公倍数，最小的一个是它们的最小公倍数。 (两个数的公倍数的个数是无限的，因此只有最小公倍数没有最大的公倍数。) 2、找两个数的公倍数和最小公倍数的方法： ①列举法：先分别写出各自的倍数(限制一定范围内),再找出最小公倍数。 ②试除法：先写出较大数的倍数，再按从小到大的顺序依次除以较小数，第一个能被较小数整除的数是它们的最小公倍数。 ③两个数是倍数关系，较大的数就是这两个数的最小公倍数。 ④两个数是互质数，那么这两个数的最小公倍数是两个数的乘积。 ⑥短除法：最大公因数乘一边，最小公倍数乘一圈 如： 24 36 … 用公有质因数2除 18 … 用公有质因数2除 9 … 用公有质因数3除 3 …除到两个商只有公因数1 最大公因数：2×2×3=12; 最小公倍数：2×2×3×2×3=72。 列举法 一般数 短除法 两数是倍数关系 最小公倍数是较大数 最小公倍数 是两 数 相 乘 两数是相邻自然数(0除外) 两数是不同的质数 找最小公倍数 特殊数 《分数的大小》 1、把分母不相同的分数化成和原来分数相等、并且分母相同的分数，这个过程叫作通分。 (通分的两个要点：和原来分数相等；分母相同。) 2、通分的方法：用原来几个分数分母的公倍数作公分母， 一般以最小公倍数作公分母， 把每个分数化成用最小公倍数作公分母的分数。 3、约分和通分的联系与区别： 联系：对分数进行变形，分数大小不变。 区别：①约分(一个分数),通分(至少两个分数)。 ②约分是分子分母同时除以不为0的数，化成最简分数。 通分是分子分母同时乘不为0的数，化成同分母分数。 4、比较分数大小： ①同分母看分子，分子大的分数大。 ②同分子看分母，分母小的分数反而大。 ③分子分母都不同时，先通分化成同分母或同分子分数后再比较。 六 、组合图形的面积 《组合图形的面积》 1、组合图形：由几个简单图形拼出来的图形。 2、计算组合图形的面积的方法： ①分割法：将原图分割成几个规则的平面图形。把几个规则图形的面积加起来就是原图的面积。(求 和) ②添补法：将原图补充为基本图形，用整个图形面积减去补上的图形面积就是原图的面积。(求 差) 《探究活动：成长的脚》 1、不规则图形面积的估算方法。 ①借助方格图用数格子的方法：满格或大于半格记1格，少于半格记0格。 ②把不规则图形看成近似的规则图形，测量后用面积公式进行计算。 《公顷、平方千米》 1、测量和计算土地面积时，通常用公顷(hm²)、 平方千米(km²) 作单位。 2、边长是100m 的正方形面积是1公顷。边长是1000m 的正方形的面积是1平方千米。 (400m 跑道所围成操场面积、200间教室大约是1公顷。) 3、公顷、平方千米之间的进率： 1公顷=10000平方米； 1平方千米=100公顷； 1平方千米=1000000平方米 4、公顷、平方千米的换算：单位变大数值反而变小，单位变小数值反而变大。 ①公顷换算平方千米：单位变大数值反而变小。 (小单位化大单位，÷进率100/小数点向左平移2个数位。) ②平方千米换算公顷：单位变小数值反而变大。 (大单位化小单位，×进率100/小数点向右平移2个数位。) 数学好玩 1、摆三角形的规律：摆n 个三角形需要的小棒根数是(2n+1) 根。 2、点阵中的规律：观察前后图形中点的变化规律，推理后续图形点的数量。 3、鸡兔同笼：逐一列表法、跳跃列表法、取中列表法、假设法、方程。 七、可能性 《谁先走/摸球游戏》 1、判断游戏是否公平，要看事件发生的可能性是否相等。 (可能性相等，游戏公平，否则不公平。) 2、随机现象统计规律：数量越多发生的可能性越大；数量越少发生的可能性越小。 3、摸球游戏：事件发生可能性的大小能反映出物体数量的多少，可能性越大，对应物体 数量就越多，反之则越少。 4、用分数表示可能性的大小。 ①不可能：可能性是0;②一定能：可能性是1;③可能性相等：可能性是 常用必备数学公式以及知识： 周长、面积公式 1、长方形的周长=(长+宽)×2 C=(a+b)×2 2、正方形的周长=边长×4 C=4a 3、长方形的面积=长×宽 S=ab 4、正方形的面积=边长×边长 S=a×a=a² 5、平行四边形的面积=底×高 S=ah 6、三角形的面积=底×高÷2 S=ah÷2 4、 梯形的面积=(上底+下底)×高÷2 S=(a+b)h÷2 单位换算 1、 单位换算：单位变小数值反而变大(大单位化小单位，乘以进率) ， 单位变大数值反而变小(小单位化大单位，除以进率)。 2、 长度单位换算：1厘米=10毫米；1分米=10厘米；1米=10分米； 1米=100厘米； 1公里=1千米=1000米； 3、 面积单位换算： 1平方厘米=100平方毫米；1平方分米=100平方厘米 1平方米=100平方分米；1公顷=10000平方米； 1平方千米=100公顷； 1平方千米=1000000平方米 4、质量单位换算：1千克=1000克； 1吨=1000千克； 1千克=1公斤=2市斤 5、人民币单位换算：1角=10分； 1元=10角； 1元=100分 6、时间单位换算：1分=60秒；1时=60分；1时=3600秒；1日=24小时； 1年=12月；1世纪=100年 大月(31天)的有：1、3、5、7、8、10、12月 小月(30天)的有：4、6、9、11月 注意：平年2月28天，闰年2月29天(2月是特殊月) 平年全年365天，闰年全年366天 数量关系计算公式方面 1、单价×数量=总价 2、单产量×数量=总产量 3、速度×时间=路程； 4、工作效率×时间=工作总量 5、加数+加数=和； 一个加数=和一另一个加数 6、被减数一减数=差；减数=被减数一差；被减数=减数+差 7、因数×因数=积；一个因数=积÷另一个因数 8、被除数÷除数=商；除数=被除数÷商；被除数=商×除数(无余数) 被除数=商×除数+余数(有余数) 运算律(简便算法) 1、加法交换律：a+b=b+a 2、加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 3、乘法交换律：a×b=b×a 4、乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 5、乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c (a-b)×c=a×c-b×c a×c+b×c=(a+b)×c a×c-b×c=(a-b)×c 6、减法：a-b-c=a-(b+c) a-(b-c)=a-b+c a-(b+c)=a-b-c a-b+c=a-(b-c) 7、除法：a÷b÷c=a÷(b×c) a÷(b÷c)=a÷b×c a÷(b×c)=a÷b÷c a÷b×c=a÷(b÷c) 学科网（北京）股份有限公司 $$