精品解析：浙江省杭州市钱塘区2024-2025学年九年级上学期期末测试数学试卷

2024学年第一学期学业水平测试 九年级数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，满分120分，考试时间120分钟． 2．请在答题卡上指定位置填写学校、班级、姓名，正确填涂准考证号． 3．全卷答案必须写在答题卡的相应位置上，做在试题卷上无效． 4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 5．不允许使用计算器计算． 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 2. 九年级一班有16名女生和20名男生，数学老师从中随机抽取一名学生回答问题．下列说法正确的是（ ） A. 抽到女生的可能性小 B. 抽到男生的可能性小 C. 抽到女生和男生的可能性一样大 D. 抽到女生和男生的可能性大小不能确定 3. 已知二次函数（）的图象经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A 当时，函数有最小值3 B. 当时，函数有最大值3 C. 当时，函数有最小值3 D. 当时，函数有最大值3 6. 一个盒子中装有1个黑球，2个白球，这些球除颜色外其余均相同．若从中任意摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，则两次摸出的球颜色不相同的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，内接于，连结．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在网格中，已知每个小的四边形都是边长为1的正方形，，，，均在格点上，与相交于点，则的长为（ ） A B. C. D. 9. 数学课上，李老师让同学们利用学习函数获得的经验去研究函数的图象特征．甲同学认为：该函数图象一定不经过第二象限，乙同学认为：该函数图象关于直线对称．以下对两位同学的看法判断正确的是（ ） A. 甲乙都正确 B. 甲乙都错误 C. 甲正确，乙错误 D. 甲错误，乙正确 10. 如图，在矩形中，，是边上的一点，，以为圆心，为半径的圆弧交于点，交于点．若是弧的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 某工厂对一批衬衣进行抽检，随机抽取的100件衬衣里面有95件合格品，由此估计从中任抽一件衬衣提合格品的概率约为______． 12. 已知一个正多边形的外角为20°，则这个多边形的边数为____． 13. 一根排水管的截面如图所示，已知排水管的直径为，截面圆的圆心到水面的距离为，则水面宽为______． 14. 如图，在中，对角线，交于点．是中点，连结交于点．若的面积为2，则的面积为______． 15. 如图，在扇形中，，将扇形沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，折痕交于点．若，则的长为______． 16. 已知二次函数（为常数）的图象与轴有交点，且当时，随的增大而增大，则的取值范围是______． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 一个不透明的口袋里装有四张卡片，卡片上分别标有汉字“美”“丽”“钱”“塘”除汉字不同之外，卡片没有任何区别． （1）若从中任取一张卡片，求卡片上标有的汉字恰好是“美”的概率． （2）若从中任取一张卡片，不放回，再从中任取一张卡片，请用画树状图或列表法，求取出的两张卡片上的汉字恰能组成“钱塘”的概率． 18. 如图，在和中，，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 19. 如图，在中，，，以点为圆心，长为半径的与相交于点，连接． （1）求的度数． （2）若，求图中阴影部分的面积． 20. 如图，一位篮球运动员投篮，球从点处投出，沿抛物线运动，球运动至点处达到最高点，此时，水平距离为3.5米． （1）求的值． （2）已知篮筐中心高度为3.05米，投篮出手点与篮筐中心的水平距离为米．若该运动员本次投篮能直接命中篮筐中心，求的值． 21. 如图，在上有，，三点，，不使用圆规，只用无刻度的直目标。下列要求的角，保留作图痕迹． （1）请在图中作一个的圆周角，记为． （2）请在图中作一个的圆心角，记为． （3）请在图中作一个的圆周角，记为． 22. 【定理学习】欧几里得在《几何原本》中提出了相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．即若弦，交于点，则． 【定理证明】（1）如图1，连结，，求证：． 【解决问题】（2）如图2，是的弦，是上一点，，，，求的半径． 23. 已知抛物线（）． （1）若抛物线经过点，求该抛物线的对称轴． （2）若将抛物线上的点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后，仍在该抛物线上，求该抛物线的解析式． （3）若抛物线的对称轴为直线，点，在抛物线上，求证：． 24. 如图，是的直径，弦，点在上，点是中点，连结分别交，于点，． （1）请直接写出与的度数． （2）求证：． （3），的面积分别记为，．若，求的值．（用含的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第一学期学业水平测试 九年级数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，满分120分，考试时间120分钟． 2．请在答题卡上指定位置填写学校、班级、姓名，正确填涂准考证号． 3．全卷答案必须写在答题卡的相应位置上，做在试题卷上无效． 4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 5．不允许使用计算器计算． 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，于是可设，则，代，计算即可求解． 【详解】解：∵， 设，则，其中， 则， 故选：D． 【点睛】此题主要考查比例的性质，设是解题的关键． 2. 九年级一班有16名女生和20名男生，数学老师从中随机抽取一名学生回答问题．下列说法正确的是（ ） A. 抽到女生的可能性小 B. 抽到男生的可能性小 C. 抽到女生和男生的可能性一样大 D. 抽到女生和男生的可能性大小不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．根据题意，只要求出男生和女生当选的可能性，再进行比较即可解答． 【详解】解：九年级一班有16名女生和20名男生， ∴抽取男生的概率为，抽到女生的概率为：， ∴抽到男生的可能性大，女生的可能性小， 故选：A． 3. 已知二次函数（）的图象经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴ ∴ 故选：D． 4. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：C． 5. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数有最小值3 B. 当时，函数有最大值3 C. 当时，函数有最小值3 D. 当时，函数有最大值3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据的性质进行判断即可． 【详解】解：∵二次函数中， ∴二次函数当时，函数有最大值3， 故选：D． 6. 一个盒子中装有1个黑球，2个白球，这些球除颜色外其余均相同．若从中任意摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，则两次摸出的球颜色不相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 画出树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：画树状图得： ∴一共有9种可能的结果，两次摸出的球颜色不相同的有4种， ∴两次摸出的球颜色相同的概率为． 故选：B． 7. 如图，内接于，连结．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据等边对等角以及三角形的内角和定理求出，再结合圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8. 如图，在的网格中，已知每个小的四边形都是边长为1的正方形，，，，均在格点上，与相交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题重点考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，设与网格线交于点，取格点，连接、，因为，，，，，所以，可证明..，得，则，再证明，则，则，于是得到问的答案． 【详解】解：设与网格线交于点，取格点，连接、、，则、、三点在同一条直线上，、、三点在同一条直线上， 每个小的四边形都是边长为1的正方形， ，，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 9. 数学课上，李老师让同学们利用学习函数获得的经验去研究函数的图象特征．甲同学认为：该函数图象一定不经过第二象限，乙同学认为：该函数图象关于直线对称．以下对两位同学的看法判断正确的是（ ） A. 甲乙都正确 B. 甲乙都错误 C. 甲正确，乙错误 D. 甲错误，乙正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式函数的图象与性质，能够运用学习已知函数的方法研究分式函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：当时，， 而， ∴， ∴过第三象限，不过第二象限，故甲同学说法正确， 当，当时，， ∴图象经过点， 但这两点不关于直线对称， ∴乙同学说法错误， 故选：C． 10. 如图，在矩形中，，是边上的一点，，以为圆心，为半径的圆弧交于点，交于点．若是弧的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了矩形的性质和解直角三角形．过点作于点，连接、，如图，利用圆心角、弧、弦的关系得到，再证明，则，于是可计算出，设，，则，，在和中利用勾股定理得到，解方程求出，则，，，，然后求出的值． 【详解】解：过点作于点，连接、，如图，   四边形为矩形， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， 为弧的中点， ，， ， 在中，， ∴ 在中，， ， 设，，则， 在和中， ， 解得， ，，， ， ． 故答案为：B 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 某工厂对一批衬衣进行抽检，随机抽取的100件衬衣里面有95件合格品，由此估计从中任抽一件衬衣提合格品的概率约为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求简单事件的概率，解题的关键是熟记求概率公式．根据求概率的公式，即可得到答案． 【详解】解：随机抽取的100件衬衣里面有95件合格品，由此估计从中任抽一件衬衣提合格品的概率约为， 故答案为：． 12. 已知一个正多边形的外角为20°，则这个多边形的边数为____． 【答案】18 【解析】 【分析】先思考正多边形的外角和为360°，再根据一个外角为20°，即可求出正多边形的边数即可． 【详解】正多边形的边数是： ． 故答案为：18． 【点睛】本题主要考查了正多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键． 13. 一根排水管的截面如图所示，已知排水管的直径为，截面圆的圆心到水面的距离为，则水面宽为______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确作出垂线是解题关键． 根据垂径定理得，对运用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：过点作于点，如图： ∴， ∵排水管的直径为， ∴， ∴， ∴， 故答案：16． 14. 如图，在中，对角线，交于点．是的中点，连结交于点．若的面积为2，则的面积为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，由平行四边形的性质得，，而是的中点，则，可证明，则，所以，因为，所以，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， 是以对角线、的交点为对称中心的中心对称图形， 将绕点旋转与△完全重合， ， ， 故答案为：12． 15. 如图，在扇形中，，将扇形沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，折痕交于点．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】先得到为等边三角形，则可得，那么，则，再由弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴长：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长公式，折叠的性质，解直角三角形，等边三角形的判定与性质等知识点，解题的关键在于把握折叠的不变性． 16. 已知二次函数（为常数）的图象与轴有交点，且当时，随的增大而增大，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点和二次函数的图象与性质，掌握抛物线与轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键． 根据图象与轴有交点，得出判别式，解得；再求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当时，随的增大而增大，可得对称轴不超过1，从而得出答案． 【详解】解：∵二次函数（m为常数）的图象与轴有交点， ∴． 解得：； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，且当时，随的增大而增大， ∴， ∴m的取值范围是． 故答案为：． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 一个不透明的口袋里装有四张卡片，卡片上分别标有汉字“美”“丽”“钱”“塘”除汉字不同之外，卡片没有任何区别． （1）若从中任取一张卡片，求卡片上标有的汉字恰好是“美”的概率． （2）若从中任取一张卡片，不放回，再从中任取一张卡片，请用画树状图或列表法，求取出的两张卡片上的汉字恰能组成“钱塘”的概率． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率． （1）直接利用概率公式求解； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出取出的两个球上的汉字能组成“钱塘”的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：从中任取一个球，球上的汉字刚好是“美”的概率为； 【小问2详解】 解：列表如下： 美 丽 钱 塘 美 （丽，美） （钱，美） （塘，美） 丽 （美，丽） （钱，丽） （塘，丽） 钱 （美，钱） （丽，钱） （塘，钱） 塘 （美，塘） （丽，塘） （钱，塘） 由列表可以看出所有可能出现的结果共有12种 其中取出的两个球上的汉字能组成“钱塘”的结果有2种，即（塘，钱）；（钱，塘）， 摸出的两个球上的汉字能组成“钱塘”的概率为． 18. 如图，在和中，，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）12 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解题的关键． （1）根据两角相等，两三角形相似即可证明； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 19. 如图，在中，，，以点为圆心，长为半径的与相交于点，连接． （1）求的度数． （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算、含30度角的直角三角形及圆周角定理，熟知扇形面积的计算公式是解题的关键． （1）先求出的度数，再由得出，最后利用外角定理即可解决问题． （2）过点作的垂线，将阴影部分的面积转化为扇形与△的面积之差即可解决问题． 【小问1详解】 解： ，， ． ， ， ． 【小问2详解】 过点作的垂线，垂足为， ，， 是等边三角形， ，． 又， ， ， ． 又， ． 20. 如图，一位篮球运动员投篮，球从点处投出，沿抛物线运动，球运动至点处达到最高点，此时，水平距离为3.5米． （1）求的值． （2）已知篮筐中心高度为3.05米，投篮出手点与篮筐中心的水平距离为米．若该运动员本次投篮能直接命中篮筐中心，求的值． 【答案】（1）0.56 （2）6 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）利用对称轴公式，代入求解； （2）先得到抛物线解析式为，将代入求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 解得：； 【小问2详解】 解：由上得，抛物线解析式为， 当时，， 整理得，， 解得：或， ∵， ∴． 21. 如图，在上有，，三点，，不使用圆规，只用无刻度的直目标。下列要求的角，保留作图痕迹． （1）请在图中作一个的圆周角，记为． （2）请在图中作一个的圆心角，记为． （3）请在图中作一个的圆周角，记为． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了圆的内接四边形求度数，圆周角定理，正确把握圆周角定理是解题的关键． （1）在弧上取一点，连接，则，故即为所求； （2）作直径，连接，则，那么，故即为所求； （3）连接，则，故即为所求． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 【小问2详解】 解：如上图，即为所求； 【小问3详解】 解：如上图，即为所求． 22. 【定理学习】欧几里得在《几何原本》中提出了相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．即若弦，交于点，则． 【定理证明】（1）如图1，连结，，求证：． 【解决问题】（2）如图2，是的弦，是上一点，，，，求的半径． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，正确运用相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先由圆周角定理得到，再证明即可； （2）设半径为，则，由即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）连接并延长交于点， 设半径为，则， 由上得：， ∴， 解得：（舍负）， ∴的半径为． 23. 已知抛物线（）． （1）若抛物线经过点，求该抛物线的对称轴． （2）若将抛物线上的点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后，仍在该抛物线上，求该抛物线的解析式． （3）若抛物线的对称轴为直线，点，在抛物线上，求证：． 【答案】（1）直线 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）可知抛物线经过点，而又经过点，即可求解对称轴； （2）先求出平移之后的点，再将点和平移之后的点代入函数解析式即可． （3）先根据抛物线的对称轴得出之间的关系，再用a分别表示出m和n，最后表示出，再转化为二次函数的最值问题求解． 【小问1详解】 解：当， ∴与y轴交点为， ∵抛物线经过点， ∴对称轴为直线：， ∴对称轴为直线； 【小问2详解】 解：点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后所得到的点为， 由题意得把，代入 ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问3详解】 证明：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， 将点，代入得，， ∴， ∵， ∴当时， 取得最大值18，即． 24. 如图，是的直径，弦，点在上，点是中点，连结分别交，于点，． （1）请直接写出与的度数． （2）求证：． （3），面积分别记为，．若，求的值．（用含的式子表示） 【答案】（1）， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先证明为等边三角形，则，再根据圆周角定理得到，再根据垂径定理推论得到，继而由直角三角形两锐角互余求解； （2）证明，再结合对顶角相等即可求解； （3）过点作于点，过点作于点，由，不妨设，则，则，那么，，在中，由勾股定理得，，由，求得，而在中，，故，再代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵点是中点，经过圆心， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：过点作于点，过点作于点， 由，不妨设，则， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理的推论，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质等知识点，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$