第10章 二元一次方程组 课前导学-【中考123】2024-2025学年新教材七年级下册数学全程导练(人教版2024)

全程导练·数学七年级·下册 第十章 二元一次方程组 10.1二元一次方程组的概念 [答案P44] 知识要点 对点训练 知识点①认识二元一次方程（组） 1.下列方程中，是二元一次方程的是 1.二元一次方程 (1)概念：一个方程含有工 个未知数， Ax-5=3 B.x+1=3 且含有未知数的式子都是整式，含有未知 C.x+y=1 D.xy=3 数的项的次数都是② ,像这样的 方程叫作二元一次方程。 (2)要点：①含有两个未知数，即未知数的系数 不能为0；②含有未知数的项的次数都是1； 2.下列方程组中，不是二元一次方程组的是 ③二元一次方程的等号两边必须是整式 ( 2.二元一次方程组 (1)概念：一个方程组中含有两个未知数，且 s+1=3, B. [m+n=3, A. 含有未知数的式子都是整式，含有未知数 2s-t=4 2m-n=4 的项的次数都是3 ,一共有④ x=3, 个方程，像这样的方程组叫作二元 C. 「x+y=3, D. y=4 2y-y=4 一次方程组， (2)要点：①一共有两个方程；②方程组中共 含有两个未知数：③所含未知数的项的次 数都是1；④二元一次方程的等号两边必 须是整式， 知识点2二元一次方程（组）的解 3.下列各组数中，是方程x+2y=17的解的是 1.二元一次方程的解 ( (1)一般地，使二元一次方程两边的值5 A x=1, B. ∫x=6, 的两个未知数的⑥ ,叫作二 ly=7 ly=5 元一次方程的解。 C. x=-3, D. 「x=36, (2)注意：一般地，一个二元一次方程有☑ y=10 y=-10 个解. 2.二元一次方程组的解 (1)一般地，二元一次方程组的两个方程的 4.下列各组数中，是方程组 8 解，叫作二元一次方程组的解 7g的解是 (2)注意：①书写方程组的解时，用“{”把各个 术知数的值连接在一起，写成[的形 A 「x=0, 「x=0, b=-3 ly=3 式；②一般地，二元一次方程组的解是唯 C. 「x=3, x=-3, 一的，但也有方程组有无数个解（未知数 ly=3 ly=0 的对应系数成比例时) -22 第十章二元一次方程组 知识点③建立二元一次方程（组）的模型 5.某班共有学生45人，其中男生比女生的2倍 根据实际问题列二元一次方程（组）的基本思路： 少9人，该班的男生、女生各有多少人？根据 实际问题→找数量关系→设两个未知数→列二 题意列二元一次方程组. 元一次方程（组） 10.2 消元—解二元一次方程组 10.2.1 代入消元法 [答案P44] 知识要点 对点训练 知识点①用一个未知数表示另一个未知数 1.已知2x-y=3, 示例：已知x+y=1, (1)用含y的代数式表示x,则x= (1)用含x的代数式表示y,则y=工 (2)用含x的代数式表示y,则y= (2)用含y的代数式表示x,则x=2 知识点②用代入消元法解二元一次方程组 1.消元思想（二元→一元）》 2解二元一次方程组+，时，第一个方程 二元一次方程组中有两个未知数，如果消 x+y=1可以写成x= ,再把第二个 去其中一个未知数，那么就可以把二元一次方 方程x+2y=3中的x换成 ,这个方 程组转化为我们熟悉的③ 一次方程. 程就化为一元一次方程1-y+2y=3,解得y 我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个 从而可以求出x的值，得到这个 未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐 方程组的解， 解决的思想，叫作消元思想 3.用代人法解方程组： 2x-y=5, 2.代入消元法 Ix+y=1. (1)代入消元法：把二元一次方程组中一个方 程的一个未知数用含另一个未知数的式子 表示出来，再代入另一个方程，实现④ ,进而求得这个二元一次方程组的 解，这种解二元一次方程组的方法叫作代 人消元法，简称代入法， (2)代人法的解题步骤： ①变：选一个系数比较简单的方程进行变 形，变成y=ax+b(或x=ay+b)的形式： 4.用代入法解方程组：2x+y=5. 「x-3y=5, ②代：将y=ax+b(或x=ay+b)代人另 个方程，消去一个未知数，得到一个 元一次方程； ③解：解②中得到的一元一次方程，求出x (或y)的值； ④回代：将x(或y)的值代入方程组中的 任意一个方程(y=ax+b或x=ay+b), 求出另一个未知数； ⑤联：将求得的两个未知数的值用“{”联 立起来，就是原方程组的解 一23 全程导练·数学七年级·下册 知识点③用代入法解二元一次方程组的简单应用 5.小明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工 步骤： 需步行一段路，到学校共用时20min.他骑自 根据实际问题→找数量关系→设两个未知数→ 行车的平均速度是240m/min,步行的平均速 列二元一次方程组→用代人法解二元一次方 度是90m/min,他家离学校的距离是4500m. 程组 小明上学时骑自行车的时间和步行的时间分 别为多少？ 注意：单位统一及检验所得到的解是否与实际意 义相符合 10.2.2加减消元法 [答案P44] 知识要点 对点训练 知识点①加减消元法一同一未知数的系数 1解二元一次方程组 x-y=1,① 相同或互为相反数 x+y=3.② 当二元一次方程组的两个方程中某个未知数 方程①和方程②中x的系数 ,y的系 的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两 数 ,则 边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一 ②-①，得 个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解， ①+②，得 这种解二元一次方程组的方法叫作工 简称2 知识点②加减消元法一同一未知数的系数 2.解方程组： x-y=1, 成倍数关系 x+3y=9. 两个方程中，如果同一个未知数的系数成整 数倍，可以在系数绝对值较小的方程两边同乘倍 数，使之与另一个方程中同一未知数的系数的绝 对值相等，再将两个方程相加或相减，即可消元 一24 第十章二元一次方程组 知识点③加减消元法一同一未知数的系数 2x+3y=2, 3.解方程组： 不成倍数关系 5x-2y=5. 当两个方程中同一个未知数的系数均不成 整数倍时，一般选择系数较简单（或相对较小） 的未知数消元，将两个方程中的同一个未知数的 系数的绝对值分别转化成它们的最小公倍数，然 后加减消元 知识点④用加减法解二元一次方程组的简单 4.运输414吨化肥，装载了7节火车皮与16辆 应用 汽车；运输548吨化肥，装载了10节火车皮与 步骤： 12辆汽车.每节火车皮与每辆汽车平均各装 根据实际问题→找数量关系→设两个未知数→ 多少吨化肥？ 列二元一次方程组→用加减法解二元一次方 程组 注意：单位统一及检验所得到的解是否与实际意 义相符合 -25 全程导练·数学七年级·下册 10.3 实际问题与二元一次方程组 第1课时 和差倍分问题与市场经济问题 [答案P44] 知识要点 对点训练， 知识点①和差倍分问题 1.某校春季运动会比赛中，八年级(1)班和(5) 列方程组解决和、差、倍、分问题时，要抓住 班的竞技实力相当.关于比赛结果，甲同学说： 题目中反映数量关系的关键字（词）：和、差、倍 (1)班与(5)班得分比为6：5；乙同学说：(1) 几分之几、比、大、小、多、少、增加、减少等列方 班得分比(5)班得分的2倍少40分.若设(1) 程时，要明确这些关键字（词）的含义，寻找等量 班得x分，(5)班得y分，根据题意所列的方程 关系 组应为 6x=5y, [6x=5y, A. x=2y-40 lx=2y+40 r5=6y, [5x=6y, C. lx=2y+40 lx=2y-40 知识点②市场经济问题 2.甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为 销售问题的几个关系式： 获取利润，决定将甲服装按55%的利润定价， ①标价=进价+进价×利润率=进价×(1+利 乙服装按45%的利润定价.在实际出售时，应 润率)； 顾客要求，两件服装均按八折出售，这样商店 ②售价=标价×着（当打x折销售时）； 共获利104元，问：甲、乙两件服装的成本各是 多少元？ ③利润率.售价进价×100%： 进价 ④利润=售价一进价。 一26 第十章 二元一次方程组 第2课时 几何图形问题与工程问题 [答案P44] 知识要点 对点训练 知识点①几何图形问题 1.如图，我们可以按竖放、平放两种方式在同一 据统计资料，甲、乙 D 个书架上摆放一定数量的同一种书，并且要求 两种作物的单位面积产 书脊朝外，方便我们查阅.根据图中的数据，求 量的比是1：2.现要把 这种书的厚度和竖放时的高度， E 一块长200m、宽100m -Y- 的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种 植这两种作物.怎样划分这块土地，使甲、乙两种 作物的总产量的比是3：4？ 共34本 16 cm 分析：如图，一种种植方案为：甲、乙两种作物的 1题图 种植区域分别为长方形AEFD和长方形BCFE. 此时设AE=xm,BE=ym,根据问题中涉及长 度、产量的数量关系， 列二元一次方程组，得 1② x=☒ 解这个方程组，得 y=④ 过长方形土地的长边上离一端 处，作 这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土 地.较大一块土地种⑥ 种作物，较小一 块土地种☑ 种作物。 知识点2工程问题 2.甲、乙两工程队共同修建150km长的公路，原 工程问题的几个关系式： 计划30个月完工，在实际施工时，甲队通过技 ①工作效率×工作时间=工作总量； 术创新，施工效率提高了50%，乙队施工效率 不变，结果提前5个月完工，求甲、乙两工程队 ②工作效率= 工作总量 工作时间 原计划平均每月分别修建多少千米 ③工作时间=二作总量 工作效率 当工作总量未知时，通常设为整体“1” 一27 全程导练·数学七年级·下册 第3课时 图文信息问题与行程问题 [答案P45] 知识要点 对点训练 知识点①图文信息问题 1.一批货物要运往A地，货主准备租用汽车运 如图，长青化工厂与A,B两地有公路、铁路 输公司的甲、乙两种货车，已知过去两次租用 这两种货车的情况如下表： 相连.这家工厂从A地购买一批每吨1000元的 第一次 第二次 原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B 甲种货车辆数（单位：辆》 2 3 地.已知公路运价为1.5元/(t·km),铁路运价 乙种货车辆数（单位：辆） 3 6 为1.2元/(t·km),且这两次运输共支出公路 共计运货吨数（单位：） 15.5 27 运输费15000元，铁路运输费97200元.这批产 现租用该公司4辆甲种货车和8辆乙种货车， 品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？ 一次刚好运完这批货，如果按每吨付运费 30元计算，问：货主携带1000元是否够用？ 铁路120km、公路10km (不考虑其他费用) 铁路110km)长青化工厂 公路20km B... 分析：销售款与产品数量有关，原料费与原料数 量有关设制成xt产品，购买yt原料.根据题中 数量关系填写下表， 产品xt 原料yt 合计 公路运费/元 20×1.5x 四 15000 铁路运费/元 110×1.2x 2 97200 价值/元 8000x ③ 112200 ④ 列方程组，得 固 x=⑥ 解这个方程组，得 y=7 故8000x-8 -112200=9 (元)： 因此，这批产品的销售款比原料费与运输费的和 多而 元 28 第十章二元一次方程组 知识点2行程问题 2.从A地到B地全程290km,前一路段为国道， 行程问题的几个关系式： 其余路段为高速公路.已知汽车在国道上行驶 ①速度×时间=路程： 的速度为60km/h,在高速公路上行驶的速度 ②速度=路程」 为100km/h,一辆客车从A地开往B地一共 时间 行驶了3.5h.A,B两地间国道和高速公路各 ③时间= 路程 多少千米？ 速度 *10.4三元一次方程组的解法 [答案P45] 知识要点 对点训练 知识点①三元一次方程组的概念 1.下列方程组不是三元一次方程组的是( (1)一个方程组含有三个未知数，且含有未知数 rx=5, x+y=3, 的式子都是整式，含有未知数的项的次数都 A.x+y=7, y+z=4, 是1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作 lx+y+2=6 z+x=2 三元一次方程组。 r4x-9z=17 x+y-z=5, (2)注意：满足三元一次方程组的条件： C.3x+y+15z=18,D.xyg=1, ①方程组中含有三个未知数； x+2y+3z=2 x-3y=2 ②所含未知数的项的次数是1； ③每个方程等号的左右两边是整式 -29 全程导练·数学七年级·下册 知识点②三元一次方程组的解法 rx+y=3, (1)解三元一次方程组的基本思路： 2.三元一次方程组{y+z=5,的解是 三元一次 消元 二元一次 消元 一元一次 (x+z=4 方程组 代人或加城 方程组 代人或加城 方程 rx=1, rx=2, x=3, rx=1, (2)解三元一次方程组的一般步骤： A.y=3,B.{y=1,C.{y=2,D.{y=2 ①通过“代人”或“加减”，把方程组中一个方 :=2 z=3 x=1 x=3 程与另外两个方程分别组成两组，消去两 2x+y=10, 组中的同一个未知数，得到关于另外两个 3.解三元一次方程组：{x-y+z=4, 未知数的二元一次方程组； 3x-y-z=0. ②解①中得到的二元一次方程组，求出两个 未知数的值； ③将求得的两个未知数的值代入原方程组中 的一个系数比较简单的方程，得到一个 元一次方程，求出另外一个未知数的值； ④用“{”将所求的三个未知数的值联立起来 (3)温馨提示：在消元时，注意首先确定要消去 哪个未知数，再根据情况选择进行代人消元 还是加减消元，解题时要根据各方程的特点 寻求较简单的解法 知识点③三元一次方程组的简单应用 4.汽车在平路上每小时行30公里，上坡时每小 步骤： 时行28公里，下坡时每小时行35公里，现在 根据实际问题→找数量关系→设三个未知数→ 行驶142公里的路程用去4小时30分钟，回 列三元一次方程组+解三元一次方程组 来时用去4小时42分钟，问：这段平路有多少 公里？去时上、下坡路各有多少公里？ 注意：单位统一及检验所得到的解是否与实际意 义相符合。 -30全程导练·数学七年级·下册 ③谋某一点④上固下 对点训练 对点训练 1.相等互为相反数2y=22x=4 1.A 2解：/=3， 2.(1)(3,-3)(2)(-7,-3) ly=2. (3)(-2,1)(4)(-2,-7) 3解：1， 3.（-4,6) ly=0. 4.(2,2) 4.解：设每节火车皮与每辆汽车平均各装x吨和 y吨化肥， 5.(-2,-2)(-3,-4)(-5,-3) r7x+16y=414, 第十章二元一次方程组 根据题意，得 10x+12y=548, 10.1二元一次方程组的概念 知识要点 解得50， y=4. 四两21③1④两⑤相等⑥值 答：每节火车皮与每辆汽车平均各装50吨和 ⑦无数⑧公共 4吨化肥. 对点训练 10.3实际问题与二元一次方程组 1.C2.D3.C4.B 第1课时和差倍分问题与市场经济问题 5.解：设该班的男生有x人，女生有y人， 对点训练 根据题意，得 x+y=45, 1.D x=2y-9. 2.解：设甲服装的成本是x元，乙服装的成本是y元，根 10.2消元—解二元一次方程组 据题意，得 10.2.1代入消元法 ∫x+y=500. 知识要点 1x(1+55%)×0.8+y(1+45%)×0.8-500=104, □1-x②1-y3一元④消元 解得=300， ly=200. 对点训练 答：甲服装的成本是300元，乙服装的成本是200元 1 (2)2x-3 第2课时几何图形问题与工程问题 知识要点 2.1-y1-y2 ①x+y=200②100x:(2×100y)=3:4 「x=2, 3.解： 31204805120m6甲⑦乙 y=-1. 对点训练 「x= 20 1.解：设这种书的厚度为xcm,竖放时的高度为ycm, 4.解： r34x+9=2y+16, y=-7 根据题意，得 16x+6=y+8, 5.解：设小明上学时骑自行车的时间为xmi,步行的时 解得1.5， ly=22. 间为ymin, 答：这种书的厚度为1.5cm,竖放时的高度为22cm x+y=20, 根据题意，得 2.解：设甲工程队原计划平均每月修建xkm,乙工程队 1240x+90y=4500, 原计划平均每月修建ykm, 解得=18， 根据题意，得 ly =2. r150=30(x+y), 答：小明上学时骑自行车的时间为l8min,步行的时 1150=(30-5)[(1+50%)x+y], 间为2min 10.2.2加减消元法 解得=2， y=3. 知识要点 答：甲工程队原计划平均每月修建2km,乙工程队原 ①加减消元法 ②加减法 计划平均每月修建3km. -44 参考答案又 第3课时图文信息问题与行程问题 第十一章不等式与不等式组 知识要点 11.1不等式 ☐10×1.5y2120×1.2y31000y 11.1.1不等式及其解集 ④20×1.5x+10×1.5y=15000 知识要点 ⑤110×1.2x+120×1.2y=97200 ①<②> 3值④无数5懈集 6300740081000y91887800 ⑥解不等式⑦包含⑧不包含 01887800 对点训练 对点训练 1.(1)是(2)是(3)不是 1.解：设甲种货车每辆运货xt,乙种货车每辆运货yt, (4)是(5)不是(6)是 2x+3y=15.5, 2.3.2,4.8,8,12-4,-2.5,0,1,2.5,3 根据题意，得 3x+6y=27, 3.解：(1)x>3.(2)x<4.(3)x>2. 解得4， 4.(1)x<2(2)x≤2(3)x≥-7.5 y=2.5, (4)x>-7.5 因此这批货物的总吨数为4x+8y=4×4+8×2.5= 11.1.2不等式的性质 36(t), 第1课时不等式的性质 总费用为30×36=1080（元）. 知识要点 因为1080>1000，所以货主携带的钱不够用. ①不变②>「 ③正数④不变5> 2.解：设A,B两地间国道和高速公路分别是x千米，y >冬回负数图改变回<四：< 千米， 对点训练 rx+y=290, 1.C 根据题意，得 +高=35， x 2.>>> 解得/：90， 3.A ly=200. 第2课时不等式的性质的运用 答：A,B两地间国道和高速公路分别是90千米，200 知识要点 ①x>m2大于3大于或等于④不小于 千米 固小于⑥小于或等于☑不大于 *10.4三元一次方程组的解法 知识点3 对点训练 C 1.D2.D 对点训练 ,x=3, 1.解：(1)x>4. (2)x<-1.5 3.解：{y=4, z=5. 2解：(1)3≥1，即≥分 4.解：设去时上坡路有x公里，平路有y公里，下坡路有 (2)x+3≥6，即x≥3. :公里， (3)y-1≤0，即y≤1. x+y+2=142, (4)子≤-2，即y≤-8 根据题意，得28+6+方=4.5， Y 3.解：设小飞后2天平均每天听课时长为x分钟， 根据题意，得3×90+2x≥480，解得x≥105. 8+0+若=4.7， Y 答：小飞后2天平均每天听课时长不得少于 rx=42, 105分钟才能合格。 解得{y=30, 11.2一元一次不等式 z=70. 第1课时一元一次不等式的解法 答：去时上坡路有42公里，平路有30公里，下坡路有 知识要点 70公里. 口一②整式③1 ④性质2或3 45