第一章 3 乘法公式-【中考123】2024-2025学年新教材七年级下册数学全程导练(北师大版2024)

第一章整式的乘除 乘法公式 第1课时 平方差公式的认识 [答案3] 知识要点分类练中 8.(教材母题变式)计算(x+1)(x2+1)(x-1)的结 果是 () 知识点■平方差公式 A.x+1 B.(x+1)4 1.下列各式能用平方差公式计算的是 ( C.x-1 D.(x-1)4 A.(a+b)(b+a) B.(2a+b)(2b-a) 9.(凉山州中考)已知a2-b2=12,且a-b=-2,则 C.(a+1)(-a-1) D.(2a-1)(2a+1) a+b= 2.计算：(1+2y)(1-2y)= ( 10.计算： A.1+4y B.-1-4y2 (1)(-m2n+2)(-m2n-2)= C.1-4y2 D.-1+4y2 (2)(a"+1)(a"-1)=; 3.下列运用平方差公式计算正确的是 (3)(x+2y)(x-2y)(x2+4y2) A.(2x+3)(2x-3)=2x2-9 素养探究创新练单， B.(x+4)(x-4)=x2-4 C.(5+x)(x-6)=x3-30 11.小明在计算(2+1)(22+1)(2+1)(2+ 1)(2+1)时是这样分析的：这个算式里面每个 D.(-1+4b)(-1-46)=1-1662 括号内都是两数和的形式，跟平方差公式类似， 4.若(mx-2)(-2-7x)变形后可用平方差公式计 但是需要添加两数的差，于是将算式乘(2-1)， 算，则m的值为 ( 并做了下列计算： A.7 B.-7 C.-7x D.7x (2+1)(22+1)(2+1)(2+1)(216+1) 5.(黑龙江大庆期中)化简：(-m+1)(-m-1)= =(2-1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)(26+1) =(22-1)(22+1)(2+1)(28+1)(26+1) 6.计算： =22-1. (1)(3a+b)(3a-b): 请按照小明的方法计算： (3+1)(32+1)(34+1)(3+1)(316+1). (2)(xy+5)(5-xy). 能力提升综合练学 7.若用平方差公式计算(x+2y-1)(x-2y+1),则 可将原式变形为 A.[x-(2y+1)]2 B.[x+(2y-1)][x-(2y-1)] C.[x+(2y+1)]2 D.[(x-2y)+1][(x-2y)-1] 见此图标国国抖青/藏信扫码领取你的考场冲刺攻略！ 15 全程导练·数学·北师版·七年级·下册 第2课时 平方差公式的运用 [答案P3] 知识要点分类练●： 4.计算60-58×62的结果为 () A.4 B.6 C.9 D.100 知识点1利用图形验证平方差公式 5(辐戏辐州期*)计算9了×100)的结果为 1.新考法观察下面的图形，从图①到图②可用式子 表示为 6.利用平方差公式计算： (1)119×121: 1题图① 1题图② A.(a+b)(a-b)=a2-b2 (2)59.8×60.2. B.a2-b2=(a+b)(a-b) C.(a+b)2=a2+2ab+62 D.a2+2ab+b2=(a+b)2 2.(陕西西安期中)如图，大正方形的边长为a,小正 知识点3平方差公式的应用 方形的边长为b,阴影部分由四个完全相同的等 7.计算x2-(x+4)(x-4)的结果是 腰梯形组成 8.计算： (1)请你用两种不同的方法表示阴影部分的 (1)(3m-n)(3m+n)+n(m+n): 面积； (2)此图可以验证的数学公式是什么？ (2)(x+3)(x-2)-(x+4)(x-4) 2题图 9.先化简，再求值：(2-x)(x+2)+(-y-2)(2- y),其中x=2,y=-1. 知识点2利用平方差公式进行简便计算 3.用简便方法计算，将98×102变形正确的是() A.98×102=1002+22 B.98×102=(100-2)2 C.98×102=1002-22 D.98×102=(100+2)2 16 见此图标国围科音/微信扫码领取你的考场冲刺玫酪！ 第一章整式的乘除Y 能力提升综合练中 素养探究创新练中： 10.已知a=20242,b=2023×2025,则 15.如图①，从边长为a的正方形中剪掉一个边长为 A.a=bB.axb C.a<b D.a≤b b的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形， 11.已知(x-my)(x+my)=x2-16y2,则m的值为 如图②， () A.16 B.4 C.-4 D.4或-4 12.三个连续偶数，若中间一个数是n,则它们的积 是 15题图① 15题图② 13.如图，若大正方形与小正方形的面积之差为20， (1)上述操作能验证的等式是 (请填写 则阴影部分的面积是 序号)： ①a2-2ab+b2=(a-b)2; ②(a+b)(a-b)=a2-b2: ③a(a+b)=a2+ab. 13题图 (2)应用你从(1)中选出的等式完成下列各题： 4.试说明：(+2nn-2m+(2n ①已知x2-4y2=12,x+2y=4,求x-2y 的值； 4)(2n+4)的值与n的取值无关 ②计算1-司×-司×1-司×…× （1-2025的值， 见此图标国国抖青/藏信扫码领取你的考场冲刺攻略！ 17 全程导练·数学·北师版·七年级·下册 第3课时 完全平方公式的认识 [答案P3] 知识要点分类练单 能力提升综合练单： 知识点刀认识完全平方公式 6已知(3a-m)2=9g2+3a+子则m= () 1.若(ax+3y)2=4x2+12y+by2,则 A.a=4,b=3 B.a=2,b=3 A.±4 B-4 C.a=4,b=9 D.a=2,b=9 1 2.下列计算正确的是 C.±2 n.- A.(-2a-1)2=-4a2-4a+1 7.若(5a+3b)2=(5a-3b)2+A,则A等于() B.(2a+1)2=4a2+1 A.12ab B.15ab C.(-a-1)2=-a2-2a+1 C.30ab D.60ab D.(2a-1)2=4a2-4a+1 8.多项式x2+※+4是个完全平方式，那么代数式 3.计算： ※不可能为 () (1)(x-2y)2; (2)(-3+2a)2. A.-4x B.IG C.4x D.2x 9.计算： a-4-2 知识点2用图形验证完全平方公式 4.如图，将一个大正方形卡纸剪去不规则的一部分 后，剩余部分为一个小正方形，用和差法表示剩余 (2)(2x+3)(-2x-3) 小正方形的面积，则能验证下列公式中的( 素养探究创新练中： 4题图 10.(贵州责阳期中)我国古代数学的许多创新和发 A.(a+b)2=a2+2ab+b2 展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世 B.(a-b)2=a2-2ab+b2 纪)所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示 C.(a+b)(a-b)=a2-b2 的三角形解释二项和(a+b)"的展开式的各项 D.(ab)2=a2b2 系数，此三角形被称为“杨辉三角”.根据“杨辉 5.如图，将图①中阴影部分拼成图②，根据两个图形中 三角”，设(a+b)的展开式中第三项的系数为 阴影部分的关系，可以验证的计算公式是（ m,(a+b)的展开式中第三项的系数n,则m+ n= (atb… (atb}…1 1 (a+b1 2 5题图① 5题图② (a+b3**…1 3 3 A.(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b…1 464 B.(a-b)2=a2-2ab+b2 C.(a+b)2=a2+2ab+b2 10题图 D.(a+b)2=(a-b)2+4ab 18 见此图标国围科音/微信扫码领取你的考场冲刺玫酪！ 第一章整式的乘除 第4课时 完全平方公式的运用 [答案P3] 知识要点分类练单” 7.先化简，再求值：(2x+1)(2x-1)-(2x-3)2,其 中x=-1. 知识点1运用完全平方公式进行简便计算 1.若用简便方法计算1999，可以转化为计算( A.(2000-1)2 B.(2000-1)(2000+1) C.(1999+1)(1999-1) D.(1999+1)2 2.(广东广州期中)用完全平方公式简便计算： 能力提升综合练单 (1)392; (2)5.12: (3)102 8.计算：(-a+2b)2-(（-a-2b)2= A.-8ab B.-4ab C.8ab D.4ab 知识点2与完全平方公式有关的综合运算 9.已知a+1=6,则a2+的值为 () a 3.与式子(a-b+c)(-a+b-c)相等的是( A.1 B.6 A.-(a-b+c)2 B.c2-(a-b)2 C.34 D.36 C.(a-b)2-c D.c2-a+b2 10.当a(a-1）-(a-b)=-2时，2十-b的 2 4.若(x+2a)2=x2+8x-4b,则b的值为 值为 () 5.如图，在面积为4a2的正方形中央剪去一个边长 A.-2 B.2 C.4 D.8 为a+2的小正方形(a>2),将剩余部分沿虚线 11.(乐山中考)已知a-b=3,ab=10,则a2+b2= 剪开并拼成一个平行四边形，则该平行四边形的 面积为」 12.不论x为何实数，代数式4x2+8x+10的值总不 小于 13.计算： (1)(x2+4)2-16x2: 5题图 6(青海西宁期末)化简： (1)(x-2y+1)(x+2y-1); 2+-: (2)(m-n-1)2; (3)(2a-1)2+(3a-2)(a+3). (3)(a+2b-3)2: 见此图标国国抖青/藏信扫码领取你的考场冲刺攻略！ 19 全程导练·数学·北师版·七年级·下册 (4)(a+3b)2-2(a+3b)(a-3b)+(a-3b)2. 素养探究创新练单” 15.我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图 形的面积可以得到一个数学等式 例如：由图①可得到(a+b)2=a2+2ab+b2. 15题图① 15题图② 14.先化简，再求值：2(x+2y)(x-2y)-(x+y)2+ (1)写出图②所表示的数学等式： 10y2,其中x+y=6,xy=1. ； (2)利用上述结论，解决下列问题： 已知a+b+c=11,bc+ac+ab=38,求a2+ 62+c2的值. 微专题2乘法公式的变形技巧 方法指导： 1.已知a+b=2,ab=-2,则a2+b2的值为 1.a2+b2的变形： (1)a2+b=(a+b)2-2ab: A.0 B.-4 (2)a2+b2=(a-b)2+2ab: C.4 D.8 (3)2+8=2[(a+62+(a-b)2], 2.已知x-y=4,xy=2,则(x+y)2的值为( A.24 B.20 2.ab的变形： C.12 D.8 (1)b=2a+b2-(公2+8)]： 3.已知m2+n2=7,(m+n)2=11,则mn的值为 (2)b=t(c2+8)-(a-b]: 4.(随阳中考)已知(x+y)2=25,(x-y)2=9,则 (3)ab=t(a+b2-(a-b6)2]. xy= 5.已知(a+b)2=25,a2+62=13,则a-b的值为 3.(a±b)2的变形： (1)(a+b)2=(a-b)2+4ab; (2)(a-b)2=(a+b)2-4ab. 20 见此图标国围科音/微信扫码领取你的考场冲刺玫略！参考答案及解析 (3)原式=(-2x+1)(-2x+1)=4x2-2x-2x+1=4x2-4x+1. 方法2：阴影部分的面积=四个等腰梯形的面积之和 (4)原式=-2x+1-4x2+2x=1-4x2. (5)原式=6m2-8ab+3ab-462+5ah-462=6a2-862. =(a+b(）x4=2- 7解：原式=32-尺当a=寸6=-1时，原式=-子 (2)此图可以验证平方差公式：2-2=(a+b)(a-) 8.B9.(2m2+2mn-4n2) 3.C4.A5.999号 10.解：方法1：阴影部分的面积为(a+3b+a)(2a+b)-2a·3 6.解：(1)原式=(120-1)(120+1)=1202-12=14399 =(2a+3b)(2a+b)-6ab=4a2+2ab+6ab+3b2-6b= (2)原式=(60-0.2)(60+0.2)=602-0.22=3600-0.04 4a2+2ab+32. =3599.96. 方法2：阴影部分的面积为2·2a·a+b(a+36+a)=4a2+ 7.16 b(2a+3b)=4a2+2ab+3b2 8.解：(1）原式=9m2-n2+mn+n2=9m2+mm. 【能力捉升绵合练】 (2)原式=x2-2x+3x-6-(x2-16) 11.B12.C =x2+x-6-x2+16=x+10 13.3【解析](2+x)(m-3)=mx3-3x2+m2-3x=m3+ 9.解：原式=(2-x)(2+x)+(y+2)(y-2)=4-x2+3y2-4= (m-3)x2-3,因为关于x的多项式(2+x)(mr-3)的展 y2-x2.当x-2,y--1时.原式-(-1)2-22--3. 开式中不含x2项.所以m-3=0,即m=3. 【能力提升锦合练】 14.解：(1)原式=x+y,(2)原式=15x2-x-6. 10.B 15.解：(1)因为(4r+a)(2x+5)=8x2+20x+2ar+5n=8x2+ 11.D[解析】因为(x-my)(x+y)=x2-m2y2,所以2- (20+2a)x+5a, m22=2-16y2,所以m2=16,所以m=±4 由题意可知，上式=8x2+x+15,所以20+2n=b,5a=15, 12.n3-4n 所以a=3.b=20+2a=20+2×3=26. 13.10[解析]设大正方形的边长为a,小正方形的边长为6， (2)(4x-3)(2x+5)=8x2+20x-6x-15-8x2+14x-15. 因为大正方形与小正方形的面积之差为20，所以2-2= 16.解：原式=2+3y-2xy-62-(2x2-8y-+4y)=x2+ 20.由题园可知AB=a-b,所以Sm划=S角彩w,+Sx= 9-6y2-(2x2-9y+4y2)=-x2+10gy-10y2. 之(a-b)a+(a-b)b=子(a-b)(a+b)=子(d- 当x=-1,y=2时，原式=-(-1)2+10×(-1)×2-10× 22=-61. 17.解：(1)因为A=1+2x,B=1-2x+42,C=1-4x 所以A·B-C=(1+2x)(1-2x+4x2)-(1-4x3)=1- 14解：因为原式-（子-(2P+(2)产-f 16m°-4n2+ 2x+4x2+2x-4x2+8x3-1+4x23=12x2 (2)当=-时4B-0=12x2×(-广=- 4-16=6m”-16,所以原式的值与n的取值无关 【常养摇究创新练】 【素养摇究创新练】 18.解：(1)x2-3x+2x2+x-2x2-x-2 15.解：(1)②(2)①原式=3. ②照式= (2)a+6ab(3)6 第3课时完全平方公式的认识 3乘法公式 【知识果点分柴练】 第1课时平方差公式的认识 1.D2.D 【知积要点分张练】 3.解：(1)原式=x2-2·x·2y+(2)2=2-4y+4y2. 1.D2.C3.D4.A5.m2-1 (2)原式=(-3)2+2×(-3)×2a+(2a)2=9-12a+4a2 6.解：(1)原式=92-.(2)原式=25-x22 4.B5.B 【能力捉升综合练】 【能力提升绵合练】 7.B8.C9.-6 6.D7.D8.D 10.(1)mm2-4(2)a2m-1(3)x4-16y 9解：)原式=62+如+.(2)原式=-4r-12-9 【囊养摇究创新练】 【素养撫究创新练】 1.解：原式=之(3-03+032+10(3*+10(3+1)3“+0 10.55 =(32-0(32+1)(3+1)(3+1)(3+1 第4课时完全平方公式的运用 【知识要点分乘练】 =3-D(3*+03*+13"+0=宁(30-10 1.A 第2课时平方差公式的运用 2.解：(1)原式=(40-1)2=402-2×40×1+12=1521 (2)原式=(5+0.1)2=52+2×5×0.1+0.12=26.01 【知识果震分袋练】 1.A (3)原式=(0+)=102+2x10x分+（宁）月 2.解：(1)方法1：阴影部分的面积=大正方形的面积一小正方 形的向积=a2-2. =10100 4 ·3 全程导练·数学·北师版·七年级·下册 3.A4.-45.3a2-4a-4 6.解：(1)原式=[x-(2y-1)1[x+(2y-1)】=2-(2y-1)2 (3)原式=(10r2+5x-6x2)+(-之) =x2-4y2+4y-1. =(4+50+(-7）-8-10. (2)原式=(m-n)2-2(m-n)+1=m2-2mm+n2-2m+2n+l. (3)原式=4a2-4a+1+3a2+9a-2a-6=7a2+3g-5. a)原式=y+宁2-y4分可2+2y+宁2 7.解：原式=4x2-1-(4x2-12x+9)=4x2-1-4x2+12x-9= x2-4x+4=25y-x2+4x+2-4r+4=2xy+4 12x-10.当x=-1时，原式=12×(-1)-10=-22. 【能力技升绵合练】 【能力提升绵合练】 7.B 8.A 8.-6[解析]因为[(2x+1)2-(x-1)2]÷3x=4(x+5)= 9C[解]为(a+厂=心+是 +2，所以2+= 4x+20,所以(3x2+6x)÷3x=4x+20,所以x+2=4x+20,解 (0+-262-24 得x=-6. 9.35r2y2-3r2y2 10.B11.29 10.解：原式=(x2+4y+4y2-3x2+y-3灯+y2-5y2)÷2x= 12.6【解析]因为(2x+2)2=4x2+8x+4,所以4x2+8x+10= （-2x2+2y)÷2x=-x+y (2x+2)+6.因为(2x+2)2≥0，所以(2x+2)2+6≥6，所以 当-2=分时，原式=2分 4x2+8x+10≥6，脚代就式4r2+8x+10的值总不小于6 【素养撫究创新练】 13.解：1)原式=-82+162原式=1-宁+6 11.解：设这个数为x,根据题意，得[(x+2)2-4]÷x=(2+ (3)原式=a2+4ab+46-6m-12b+9.(4)原式=366 4知+4-4)÷x=x+4,所以如果把得到的商告诉主持人，主 14.解：原式=2(x2-4y2-(x2+2y+y2)+102 持人只需减去4就知道你原来所想的数 =2x2-8y2-x2-2y-y2+10y2=￥2-2y+y2=(x-y) 专题2整式的乘除运算 因为x+y=6,y=1,所以原式=(x+y)2-4y=36-4=32. 1.解：(1)原式=7x3.(2)原式=2xy 【素养摇究创新综】 (3)原式=15xy.(4)原式=-18xy2. 15.解：(1)(a+b+c)2=a2+b2+e2+2ub+2bc+2ac 2.解：(1)原式=3a2+62+ah.(2)原式=-6mb+10a362 (2)由(1)可得2+2+2=(a+b+r)2-(2ab+2bc+ (3)原式=2u3+8. 2ar）=(a+b+e)2-2(ab+bc+ae)=112-2x38=45. 3.解：(1)原式=一之a+4.(2)原式=2+3江 微专题2乘法公式的变形技巧 (3)原式=10y-2. 1.D2.A3.24.45.±1 4.解：原式=6x2-3x-(x2-9)=6x2-3x-x2+9-5x2-3x+ 4整式的除法 9.将x=-2代人，得原式=35. 第1课时单项式除以单项式 5.解：原式=(y-4r)+(4x2-y2)=y-4x2+4r2-y2=y 【知识要只分华练】 只当x=子=2时，服式=号×2-21-4-3 1.D2.A3.16x2+8xy+y24.4m 6.解：原式=2m-m2+2m+m2-9=4m-9. 5.解：(1)原式=(-21+3)a2-63-lc=-7abc (2)原式=-3×102.(3)原式-362y4÷3灯=12x2 当m=含时，原式=4x号-9=10-9=1 【能力捉升锦会练】 7.解：原式=(x2-4+4y2-2x2+7g+4y2-9y2+2)÷ 6.D7.D8.±9 9.解：(1)原式=-4x2y·7y÷x2y2=-28x (-子)3-)+(-)号+ 2)原式=-6dP23·子ae=-音02 因为1x+2y1+(x-2)2=0,所以x+2y=0,x-2=0, 所以x=2,y=-1. (3)原式=12(m-m)÷6(m-m)2=2(m-n) 当x=2,y=-1时 10.解：原式=2-9-2+4ah+53÷m2 =-9+4ab+5a3-4b-2=-9+4ab+5b=-9+9ab. 原式=-号×2+子×(-0=-9-子 2 8.解：原式=6a2-8ab+3h-4b2-(-5ab+4b)=6a2-8b 当b=号时，原式=-9+9×号=-9+3=-6. 因为3a2=5+4b.所以3a2-4b2=5. 4 1.解：由题意，得a=-2b=2,c=-1,所以原式= 所以原式=2(3a2-4W)=2×5=10. 9.解：原式=(2y-2y2-x2+2xy-y2+x2+2y+y2-2）÷4 身cg=g号x(-)xx-r=写 =(4-2y)÷4y=-支由y-2x=10,得2红-y=-10, 第2课时多项式除以单项式 【知识要点分藥练】 即x-方=-5，所以原式=-5 1.A2.B3.B4.-了2+号a-454m-2 第一章易错强化训练 1.-36a52.(y-x)83.-6r3y+4x2y4.-2x2+6r+72 6.解：(1)原式=4e+2a2.(2)原式=m2-2mn+3. 5.-8a2bc 4