精品解析：广东省潮州市2024-2025学年高三上学期期末教学质量检测数学试题

潮州市2024—2025学年度第一学期期末高三级教学质量检测卷 数学 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案：答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，将答题卡交回． 一、选择题（本题共12道小题，其中1至8小题为单项选择题，9至12小题为多项选择题） （一）单项选择题（本题共8道小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数z满足，则复数z的虚部为（ ） A. i B. －i C. 1 D. －1 3. 围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是，则从中任意取出2粒恰好是不同色的概率是（ ） A B. C. D. 4. 已知双曲线的一条渐近线方程是，则的离心率是（ ） A. B. C. 5 D. 5. 若正四面体的棱长为，则该正四面体的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在处取得极大值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数（，）的部分图象如图所示.将函数的图象向右平移（）个单位长度，得到函数的图象.若函数为奇函数，则的最小值是（ ） A B. C. D. 8. 若满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. （二）多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的值为 B. 的最小值为1 C. 若，则的值为2 D. 若与的夹角为钝角，则的取值范围是且 10. 设，则（ ） A. B. C. D. 当时，除以8的余数是7 11. 如图，心形曲线与轴交于两点，点是上的一个动点，则（ ） A. 点和均在上 B. 点的纵坐标的最大值为 C. 的最大值与最小值之和为3 D. 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 等差数列中，，则前9项和______． 13. 如图，三个相同的正方形相接，则______． 14. 在平面直角坐标中，已知点，，点满足，则点的轨迹方程为______，若直线的方程为，则点到直线的距离的最大值为______， 三、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，的面积为，求的周长． 16. 设为抛物线：的焦点，为的准线与轴的交点，且直线过点． （1）若与有且仅有一个公共点，求直线的方程； （2）若与交于，两点，且，求的面积． 17. “潮州柑”是一种象征吉祥果子，因比桔大，故俗称“大吉”，而桔与吉同音，用谐音会意法，就成了大吉．春节时候，潮州人有带“大吉”拜年的习俗，互换“大吉”，愿彼此“大吉大利”．春节将至，某水果店对“潮州柑”进行试销，得到一组销售数据，如下表所示： 试销单价（元） 3 4 5 6 7 产品销量件 20 16 15 12 6 （1）经计算相关系数，变量，线性相关程度很高，求关于的经验回归方程； （2）用（1）中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于1.2时，称该对数据为一个“次数据”，现从这5个成对数据中任取3个做残差分析，求取到的数据中“次数据”个数的分布列和数学期望． 参考公式：线性回归方程中，的最小二乘法估计分别为，． 参考数据： 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，为的中点，，是棱上两点（在的上方），且． （1）若，求证：平面； （2）当点到平面的距离取得最大值时，求直线与平面所成角的正弦值． 19. 已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意的、都有，且，设数列满足． （1）写出，值； （2）求数列的通项公式； （3）用表示数列的前项和．试问：是否存在关于的整式，使得对于一切不小于2的自然数恒成立？若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 潮州市2024—2025学年度第一学期期末高三级教学质量检测卷 数学 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案：答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，将答题卡交回． 一、选择题（本题共12道小题，其中1至8小题为单项选择题，9至12小题为多项选择题） （一）单项选择题（本题共8道小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用解一元二次不等式结合集合交集的定义求解即可. 【详解】，， 故． 选:D 2. 若复数z满足，则复数z的虚部为（ ） A. i B. －i C. 1 D. －1 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数四则运算法则计算得到，求出虚部. 【详解】因为，所以， 故，复数z的虚部为1. 故选：C 3. 围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是，则从中任意取出2粒恰好是不同色的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是，根据对立事件的概率公式求解即可, 【详解】围棋盒子中有多粒黑子和白子， ∵从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是， ∴由对立事件概率计算公式得： 从中任意取出2粒恰好是不同色的概率是：. 故选：D. 【点睛】本题主要考查对立事件的概率公式，属于基础题. 4. 已知双曲线的一条渐近线方程是，则的离心率是（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据其渐近线方程列出方程，即可求得离心率. 【详解】因双曲线的一条渐近线方程为， 依题意，，则其离心率为 故选：D. 5. 若正四面体的棱长为，则该正四面体的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方法一，做出正四面体的高，然后根据外接球定义计算半径；方法二，将正四面体放入立方体，正四面体的外接球就是立方体的外接球. 【详解】方法一：如图，正四面体中， 作底面的高，由正四面体的性质，点为的中心，设为外接球的球心，外接球的半径为， 由正三角形的性质，， ； 由，得，解得， 该球的表面积为． 故选：A． 方法二：如下图 在立方体中，通过连接面对角线可得到正四面体， 可知两者的外接球相同，正四面体的棱长为立方体的一个面的对角线长，则立方体的棱长为. 立方体的体对角线即为外接球的直径.代入计算可得，外接球的半径， 外接球的表面积为. 故选：A. 6. 已知函数在处取得极大值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数，结合分类讨论研究函数的极值，即可求参数范围. 【详解】因为函数，（） 则，令得或， 当时，不在函数的定义域内，不符合条件； 当时， 若，在，上，单调递增，在上，单调递减，此时为的极小值，不符合； 若，在上，单调递增，不存在极值，不符合； 若，在，上，单调递增，在上，单调递减，此时为的极大值. 故选：B 7. 已知函数（，）的部分图象如图所示.将函数的图象向右平移（）个单位长度，得到函数的图象.若函数为奇函数，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象和正弦函数的性质先求出周期，再根据以及求出和，从而利用三角函数的奇偶性确定平移的最小距离. 【详解】由图可知，即 由，即，则， 又图象过点，所以，即，点在原图象的增区间上， 所以可取，，可得； 的图象向右平移（）个单位得到的图象， 可得， 又为奇函数，所以，， 即，， 又，所以. 故选：A. 8. 若满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则满足 等价于，求导分析的单调性，求出的最小值，继而即可求解. 【详解】设，则恒成立，即， 因为，所以在上单调递增， 且当时，， 故当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，取得极小值，即最小值， ， 令，得． 故选：D． （二）多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的值为 B. 的最小值为1 C. 若，则的值为2 D. 若与的夹角为钝角，则的取值范围是且 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项根据向量共线条件可算出；B，C选项均利用模长公式可以解决；D选项利用两个向量的数量积小于零，注意两个向量不能反向共线. 【详解】选项A，，A选项错误；选项B， ，当时取等号，B选项正确； ，根据，解得，C选项正确；D选项，与的夹角为钝角，则，且两个向量不能反向共线，注意到A选项，时，，于是且. 故选: BCD. 10. 设，则（ ） A. B. C. D. 当时，除以8的余数是7 【答案】AC 【解析】 【分析】利用赋值法判断AC；利用二项展开式通项求出的值可判断B；利用二项式定理展开即可判断D. 【详解】对于A，令，可得，故A正确； 对于B，通项公式为，令可得， 令可得，故，故B错误； 对于C，令可得，令，可得， ，故C正确； 对于D，当时， 所以除以8的余数是1，故D错误． 故选：AC 11. 如图，心形曲线与轴交于两点，点是上的一个动点，则（ ） A. 点和均在上 B. 点的纵坐标的最大值为 C. 的最大值与最小值之和为3 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】点代入曲线判断A，根据曲线分段得出函数取得最大值判断B，应用三角换元再结合三角恒等变换求最值判断C，应用三角换元结合椭圆的方程得出恒成立判断D. 【详解】令，得出，则 对于A：时，得或， 时，得，所以和均在L上，A选项正确； 对于B：因为曲线关于y轴对称，当时，，所以， ， 所以时，最大，最大值为，B选项正确； 对于C：， 因为曲线关于y轴对称，当时，设， 所以 ， 因为可取任意角， 所以取最小值，取最大值，所以和为，C选项错误； 对于D：等价为点在椭圆内， 即满足，即， 整理得，即恒成立，故D选项正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：应用三角换元，再结合三角恒等变换化简，最后应用三角函数值域求最值即可. 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 等差数列中，，则的前9项和______． 【答案】90 【解析】 【分析】根据等差数列的性质可得，即可根据求和公式得解. 【详解】因为，所以 又，所以， 所以， 故答案为：90 13. 如图，三个相同的正方形相接，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】依题意可得，，再利用两角和的正切公式求出，即可得解. 【详解】由图可得，， 所以 而，均为锐角，即， 所以． 故答案： 14. 在平面直角坐标中，已知点，，点满足，则点的轨迹方程为______，若直线的方程为，则点到直线的距离的最大值为______， 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由，结合两点距离公式可解决第一空，再结合直线过定点，由即可求解； 【详解】解：设， 则，， 因为，所以有， 同时平方，化简得，故点的轨迹为圆心在，半径2为的圆， 而直线过定点， 所以点到直线的距离． 故答案为：，． 三、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和正弦公式及诱导公式求出，即可得解； （2）利用面积公式求出，再由余弦定理求出，即可得解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 即， 所以，又，所以， 则，又，所以； 【小问2详解】 因为，所以， 由余弦定理，即， 即，所以， 所以（负值已舍去）， 所以的周长为. 16. 设为抛物线：的焦点，为的准线与轴的交点，且直线过点． （1）若与有且仅有一个公共点，求直线的方程； （2）若与交于，两点，且，求的面积． 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，根据判别式即可求解， （2）根据韦达定理可得，，进而根据向量数量积的坐标运算求解，由面积关系即可求解. 【小问1详解】 抛物线：的焦点坐标为，准线方程为，则． 若与轴垂直，此时与只有一个交点． 若与轴不垂直，设．由，消去整理得． 因为与有且仅有一个公共点，所以，故． 此时的方程为或． 综上，的方程为，或． 【小问2详解】 由（1）得，即．设，， 则，． 因为，所以，又， 所以， 整理可得，代入可得，解得． 所以的面积 . 17. “潮州柑”是一种象征吉祥的果子，因比桔大，故俗称“大吉”，而桔与吉同音，用谐音会意法，就成了大吉．春节时候，潮州人有带“大吉”拜年的习俗，互换“大吉”，愿彼此“大吉大利”．春节将至，某水果店对“潮州柑”进行试销，得到一组销售数据，如下表所示： 试销单价（元） 3 4 5 6 7 产品销量件 20 16 15 12 6 （1）经计算相关系数，变量，线性相关程度很高，求关于的经验回归方程； （2）用（1）中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于1.2时，称该对数据为一个“次数据”，现从这5个成对数据中任取3个做残差分析，求取到的数据中“次数据”个数的分布列和数学期望． 参考公式：线性回归方程中，的最小二乘法估计分别为，． 参考数据： 【答案】（1）； （2）分布列见解析；. 【解析】 【分析】（1）根据最小二乘法可得； （2）先根据回归方程得到“次数据”有3个，根据超几何分布可得其分布列. 【小问1详解】 由题意，， ， ， 故求关于的经验回归方程为. 小问2详解】 由（1）可列表 试销单价（元） 3 4 5 6 7 产品销量件 20 16 15 12 6 20.2 17 13.8 10.6 74 0.2 1 1.2 1.4 1.4 故可知这5个成对数据中有2个 “次数据”， 故的可能值为0，1，2， ，，， 故的分布列为 0 1 2 期望为：. 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，为的中点，，是棱上两点（在的上方），且． （1）若，求证：平面； （2）当点到平面的距离取得最大值时，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的几何性质以及相似三角形，可得线段成比例，进而可得线线平行，利用线面平行判定，可得答案； （2）由题意，根据等体积法确定当点到平面的距离取得最大值时点E的位置，求出平面法向量，利用线面角的向量公式，可得答案. 【小问1详解】 连接，记，，连接，，如下图， 在正方形中，因为，为的中点，所以，， 易知∽，则，可得， 在中，因为，所以， 因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以，， 故两两垂直， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图： 则， 的面积为定值， 又点A到平面EFC的距离为定值，三棱锥的体积为定值， 即三棱锥的体积为定值， 所以要使点到平面AEC的距离最大，则的面积最小，即到AC的距离最小， 设，则， 所以E到AC的距离为 所以当时，E到AC的距离最小，点到平面AEC的距离最大， 此时 设平面AEC的一个法向量为， 则，令，可得， 又，设直线AG与平面AEC所成角为， 则 所以直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意的、都有，且，设数列满足． （1）写出，的值； （2）求数列的通项公式； （3）用表示数列的前项和．试问：是否存在关于的整式，使得对于一切不小于2的自然数恒成立？若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由． 【答案】（1）， （2） （3），证明见详解 【解析】 【分析】（1）对取特殊值，由公式求得的值； （2）对等式两边同除得到等式，构造函数，证明得到，从而化简得到，从而得到的通项公式； （3）由作差法得到，通过化简得到，利用累加法求得，代入即可得到结论. 【小问1详解】 在中， 令，得，即， 令，得，即，故， 令，得， ∴即，. 【小问2详解】 当时，， 令，则， ∴， ∴， 令有， ∵，∴，. 【小问3详解】 当时，由，可得， 即，则， ∴，，， ∴， ∵，∴， ∴ 故存在关于的整式，使等式对于一切小于的自然数恒成立. 【点睛】方法点睛：构造，利用累加法即可得到，从而得出结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$