精品解析：湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高一上学期期末检测数学试题

华中师大一附中2024-2025学年度上学期高一年级期末检测 数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分，考试用时120分钟.请将答案填涂在答题卡上. 命题人：李继林王文莹审题人：王文莹 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数的图象的一部分如图1，则图2中的函数图象对应的函数是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，满足对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，既是减函数，又是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 7. 在直角坐标系中，设角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，将角的终边逆时针旋转，与单位圆交点的纵坐标为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数恰有两个对称中心在区间上，且，则的所有可能取值之和是（ ） A 6 B. C. D. 16 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心距离水面的高度为．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数）．若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，与时间（单位：之间的关系为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中，正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 11. 设函数，其中符号表示不超过的最大整数，下列结论正确的是（ ） A. 函数是周期函数 B. 函数的最大值为2 C. D. 时， 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分. 12. 求值：_____. 13. 设计一段宽30m的公路弯道，弯道内沿和外沿分别为共圆心的两个圆上的一段弧，弯道中心线到圆心的距离为（如图），中心线到弯道内沿和外沿的距离相等，公路外沿弧长为，则这段公路的占地面积为_____.（单位：） 14. 若对于函数定义域内的每一个，都有成立，则称该函数为“互倒函数”.已知函数是定义域为的“互倒函数”，且当时，，若存在区间满足：，，使得，则的取值范围为_____. 四、解答题：本题共5小题共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知幂函数，的图象关于轴对称. （1）求的值及函数的解析式； （2）设函数在区间上的最小值为2，求实数的值. 16. 已知，且. （1）求的值； （2）求的值； （3）若，，求的值. 17. 已知是奇函数. （1）求实数； （2）若，求取值范围； （3）若存在使得成立，求实数的取值范围. 18. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）若时函数值域为，求实数的取值范围； （3）若函数在区间上恰有2024个零点，求所有满足条件的实数与整数. 19. 若函数满足：对任意的正数，，都有，则称函数为“函数”. （1）分别判断函数和函数否为“函数”，并说明理由； （2）若函数为“函数”，，且当时，，证明： （i），； （ii），. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华中师大一附中2024-2025学年度上学期高一年级期末检测 数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分，考试用时120分钟.请将答案填涂在答题卡上. 命题人：李继林王文莹审题人：王文莹 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性求出函数的值域，再根据交集的定义计算即可. 【详解】因为对数函数是上的增函数， 所以由，得，则； 因为指数函数是上的减函数， 所以由，得，则， 由此，. 故选：B. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合同角公式判断即得. 【详解】由，得；反之，若，则或， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 已知函数的图象的一部分如图1，则图2中的函数图象对应的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的平移、伸缩变换可以得出函数关系． 【详解】由图1可知，，所以，所以， 图2可看成由图1向右平移1个单位长度，得， 再将所有点的横坐标变为原来的一半,纵坐标不变，得. 故选：D． 4. 已知函数，满足对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件可得函数在R上单调递增，再结合分段函数及对数函数的单调性列式求解. 【详解】由对任意的，恒成立，得函数在R上单调递增， 则，解得，所以实数的取值范围为. 故选：C 5. 下列函数中，既是减函数，又是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性即可排除AC,根据基本函数的单调性，结合复合函数的单调性即可求解BD. 【详解】对于A, 的定义域为，且,故为偶函数，A错误， 对于B，的定义域为，关于原点对称，且，故为奇函数，且，故不是减函数，故B错误， 对于C, 的定义域为,则故为偶函数，C错误， 对于D, 的定义域为，，故为奇函数，且函数为单调递增函数，则单调递减函数，故为单调递减函数，D正确， 故选：D 6. 已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到函数的单调性，结合特殊点的函数值，利用零点存在性定理得到，，，得到答案. 【详解】由题意得在R上单调递增， 在上单调递增， 又，，故， ，，故， ，故， 故. 故选：B 7. 在直角坐标系中，设角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，将角的终边逆时针旋转，与单位圆交点的纵坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】有三角函数的定义得，然后利用二倍角的余弦公式求出，求解即可. 【详解】将角的终边逆时针旋转，与单位圆交点的纵坐标为， 所以，所以， 所以， 故选：B. 8. 已知函数恰有两个对称中心在区间上，且，则的所有可能取值之和是（ ） A. 6 B. C. D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质结合对称中心个数分类求出的值. 【详解】函数，其最小正周期， 由函数在区间上恰有两个对称中心，得， 即，解得，又， 则当是函数图象对称轴时，，解得， 此时或，或； 当与为周期长的区间两个端点时，，解得，符合题意， 所以的所有可能取值之和是. 故选：D 【点睛】关键点点睛：由在区间上的对称中心个数得求出范围，再结合函数值相等分类求解是关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心距离水面的高度为．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数）．若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，与时间（单位：之间的关系为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据实际含义分别求值即可，再根据可求得. 【详解】振幅即为半径，即； 因为逆时针方向每分转1.5圈，所以； ； . 故选：AC. 10. 下列命题中，正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】举例说明判断A；利用不等式的性质判断B；作差判断CD. 【详解】对于A，取，满足，而，A错误； 对于B，由，得，则，B正确； 对于C，由，，得，C正确； 对于D，由，得 ，D正确. 故选：BCD 11. 设函数，其中符号表示不超过的最大整数，下列结论正确的是（ ） A. 函数是周期函数 B. 函数的最大值为2 C. D. 时， 【答案】AD 【解析】 【分析】根据定义，结合三角函数的有界性，即可求解BD,计算即可求解A，举反例即可求解C. 【详解】对于A，由于，故是周期函数，故A正确， 对于B，由于，故，同理可得， 由于不能同时取到1，故，B错误， 对于C，， ， 但，故C错误， 对于D,当时，， 当时，， 当时，，故时，，D正确， 故选：AD 【点睛】关键点点睛：根据，故，. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分. 12. 求值：_____. 【答案】5 【解析】 【分析】利用对数运算法则及换底公式计算得解. 【详解】. 故答案为：5 13. 设计一段宽30m的公路弯道，弯道内沿和外沿分别为共圆心的两个圆上的一段弧，弯道中心线到圆心的距离为（如图），中心线到弯道内沿和外沿的距离相等，公路外沿弧长为，则这段公路的占地面积为_____.（单位：） 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式计算得解. 【详解】依题意，公路外沿弧所在圆半径为60m，内沿弧所在圆半径为30m，圆心角， 所以段公路的占地面积为（）. 故答案为： 14. 若对于函数定义域内的每一个，都有成立，则称该函数为“互倒函数”.已知函数是定义域为的“互倒函数”，且当时，，若存在区间满足：，，使得，则的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据“互倒函数”可以求出函数在上的解析式，将，，使得转化为函数与函数值域的包含问题，对进行分类讨论即可求解. 【详解】因为当时，且为“互倒函数”， 故当时，， 当时，在上为增函数， 且在上的值域为， 而在上的值域为， 而，故且， 所以，其中，所以， 而，故， 所以 因为，由双勾函数的性质可得为减函数， ，所以，所以. 当时，在上的值域为， 而在上的值域为， 同理， 若，则，故即， 故，而，且； 若，则，故即， 故，而，且； 综上， 故答案为：. 【点睛】思路点睛：对于新定义问题，应根据新定义寻找函数值域的对应的关系，在关系处理的过程中，注意根据值域的不同形式分类讨论. 四、解答题：本题共5小题共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知幂函数，的图象关于轴对称. （1）求的值及函数的解析式； （2）设函数在区间上的最小值为2，求实数的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数定义，和函数图象关于轴对称确定取值，从而得到函数的解析式. （2）求出，它是一个二次函数，根据二次函数对称轴与给定区间的关系分情况讨论其最小值，进而求出的值. 【小问1详解】 因为是幂函数，所以. 解这个方程得或. 当时，，其图象关于轴对称，符合题意. 当时，，其图象关于原点对称，不合题意，舍去. 所以，. 【小问2详解】 已知， 其图象是开口向上的抛物线，对称轴为. 因， ① 当，即时，在上单调递增， 则，解得，不满足，舍去； ② 当，即时，在处取得最小值， 即， 即，整理得，解得，因，故； ③ 当，即时，在上单调递减， 则，解得，不满足，舍去. 综上可得， . 16. 已知，且. （1）求的值； （2）求的值； （3）若，，求的值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用平方关系求出即可得解. （2）由（1）的结论，结合二倍角的余弦函数化简求得. （3）利用和角的正切公式，结合角的范围求得角的大小. 【小问1详解】 由，得，解得， 而，则，， 因此，所以. 【小问2详解】 由（1）得. 【小问3详解】 由（1）知，，则， ，，则，所以. 17. 已知是奇函数. （1）求实数； （2）若，求的取值范围； （3）若存在使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由奇函数定义域为，所以求解即可； （2）由（1）可知，在上单调递减，求解不等式即可； （3）存在性问题分离参数，令，则，转化为求解函数的最小值即可. 【小问1详解】 的定义域为：. 由于是奇函数，所以， 解得.经检验成立. 【小问2详解】 由（1）可知，若， 则，且，， 即， 由上单调递减， 所以， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 存在使得成立， 即成立，所以， 令，，因为，所以， 令，则即可. 所以在单调递增， 所以，所以. 故实数的取值范围为： 18 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）若时函数的值域为，求实数的取值范围； （3）若函数在区间上恰有2024个零点，求所有满足条件的实数与整数. 【答案】（1）； （2）； （3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数单调性求出递增区间. （2）求出相位范围，由给定的佳域求得，再利用正弦函数图象、性质求出范围. （3）化简函数，由零点的意义建立等式分离参数，换元结合函数图象及正弦函数的周期性分类分析判断. 【小问1详解】 函数， 由，得， 所以函数的单调递增区间是. 【小问2详解】 当时，，由时函数的值域为， 得，则， 而当时，，当时，， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 小问3详解】 由（1）知，， 由，而，得，令， ，又，则作出函数的图象如下图： 当时，，，每个周期有2个零点，或， 当时，或，每个周期有3个零点，； 当时，，，每个周期有4个零点，； 当时，或，每个周期有3个零点，， 若，有2023个零点，若，有2025个零点，不可能为2024个零点； 当时，，，每个周期有2个零点，或， 所以当时，或；当时，； 当时，；当时，或. 19. 若函数满足：对任意的正数，，都有，则称函数为“函数”. （1）分别判断函数和函数是否为“函数”，并说明理由； （2）若函数为“函数”，，且当时，，证明： （i），； （ii），. 【答案】（1）不是“函数”，是“函数” （2）（i）（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对举反例即可，利用作差法结合因式分解并利用指数函数性质即可判断； （2）（i）令，，不断迭代即可证明； （ii）根据并结合，再根据其定义性质即可证明. 【小问1详解】 对于，取， 则，. 因为，不满足， 故不是“函数”； 对于，对任意的正数，， 有 ， 因为，则，所以函数是“函数”. 【小问2详解】 （i）令，， ， . （ii）因为当时，， 所以对任意，有， 又，则， 又， 所以， 由（i）知，则， 所以， 则， 故. 【点睛】关键点点睛：本题第二问第一小问的关键是利用是令，，再通过不断迭代即可证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $