精品解析：四川省南充市2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024年秋季八年级期末教学质量监测数学试卷 （时间120分钟，满分150分） 注意事项： （1）答题前将姓名、考号等填在答题卡指定位置； （2）所有解答内容均需写在答题卡上； （3）建议用0.5毫米黑色字迹笔书写． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的．请把正确选项的代号填写在答题卡对应位置上，正确记4分，不填、错填或多填记0分． 1. 比亚迪新能源汽车热销海外，其王朝系列尤其受欢迎，该系列秦、汉、唐、宋、元五大车型是以我国五个朝代命名，每个车型都有自己对应的汉字篆体，下列中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做所蕴含的数学原理是（　　）     A. 三角形的稳定性 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 两点之间线段最短 4. 清代诗人袁枚的一首诗《苔》中写到：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（　　） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 甲和丙 D. 只有丙 6. 一根蜡烛经凸透镜成一实像，物距，像距和凸透镜的焦距满足关系式：．已知和，则可表示为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线交于点，连接．若的周长为，则的长为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 8. 《九章算术》之“均输篇”中记载了中国古代的“运粟之法”：今有一批公粮，需运往距出发地的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行，则提前日到达储粮站．设运输这批公粮原计划每日行，则根据题意可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 已知a，b、c是的三条边长，化简的结果为（　　） A. B. C. D. 0 10. 如图，将边长分别为和的两个正方形拼在一起，，三点在同一直线上，连接，若两正方形的边长满足，则阴影部分的面积为（　　） A. 8 B. 10 C. 14 D. 16 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上． 11. 计算：___________． 12. 如图，，点B，C，D在同一条直线上，且，，则的长是___________． 13. 当___________时，分式与的值互为相反数． 14. 如图，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形.在图2中，的度数为__________． 15. 已知a ，b， c是三角形△ABC的三边，且满足a2-b2+bc-ac=0，则△ABC为___ 三角形． 16. 如图，在直角三角形中，，的角平分线相交于点，过点作交的延长线于点，交于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有___________．（填写序号） 三、解答题（本大题共9个小题，共86分）请在相应位置解答，写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，请从中选取合适的的值代入． 19. 如图，在中，为的中点，于于，且． （1）求证：； （2）若，求的面积． 20. 把下列各式因式分解： （1）； （2）． 21. 如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（保留作图痕迹，不写作法） （1）画出（顶点均在格点上）关于直线对称的； （2）在上画出点，使最小； （3）在上画出点，使的周长最小． 22. 如图，在中，是边上的中线，的垂直平分线交于，交于，连接． （1）是等边三角形吗？为什么？ （2）若的长为1，求的长． 23. 生态优先，绿色发展，让美丽的地球添上更多“中国绿”．某村为抓好“园区绿化”，购买了甲、乙两种树苗，购买甲种树苗花了21000元，购买乙种树苗花了12000元，甲种树苗的单价比乙种树苗的单价高了50%，购买甲种树苗的数量比购买乙种树苗的数量多200棵． （1）求甲、乙两种树苗的单价分别是多少元？ （2）为扩大园区绿化面积，该村准备再次购进甲、乙两种树苗共2600棵，且总金额不超过28000元，则最多可以购进多少棵甲种树苗？ 24. 我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到的数学等式为．请解答下列问题： （1）图2中所表示的数学等式为___________： （2）请利用第（1）小题中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值； （3）小灵同学用2张边长为的正方形，3张边长为的正方形，7张两边分别为的长方形纸片拼出了一个大长方形，请你直接写出该大长方形的长和宽． 25. 定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分割成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，线段将顶角为的等腰三角形分成了两个等腰三角形，则线段是的“双等腰线”；线段，将顶角为的等腰三角形分成了三个等腰三角形，则线段是的“三等腰线”． （1）请在图2中，作出的“双等腰线”，并标出分成的等腰三角形的底角的度数： ①，； ②． （2）请在图3中，画出顶角为的等腰三角形的“三等腰线”，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种即可）； （3）画图和计算：在中，，点在边上，点在边上，和是的“三等腰线”，且，请试画出示意图，并求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季八年级期末教学质量监测数学试卷 （时间120分钟，满分150分） 注意事项： （1）答题前将姓名、考号等填在答题卡指定位置； （2）所有解答内容均需写在答题卡上； （3）建议用0.5毫米黑色字迹笔书写． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的．请把正确选项的代号填写在答题卡对应位置上，正确记4分，不填、错填或多填记0分． 1. 比亚迪新能源汽车热销海外，其王朝系列尤其受欢迎，该系列秦、汉、唐、宋、元五大车型是以我国五个朝代命名，每个车型都有自己对应的汉字篆体，下列中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，进而判断得出即可． 【详解】A．不是轴对称图形，不合题意； B．不是轴对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，不合题意； D．是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的概念是解题的关键． 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘除法法则逐项判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、， 故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：B ． 3. 如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做所蕴含的数学原理是（　　）     A. 三角形的稳定性 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 两点之间线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，直线的性质，线段的性质，垂线段最短，关键是掌握三角形的稳定性． 由三角形具有稳定性即可得到答案． 【详解】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”．这样做所蕴含的数学原理是三角形的稳定性， 故选：A． 4. 清代诗人袁枚的一首诗《苔》中写到：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数．一般形式为，其中，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：数据用科学记数法表示为， 故选：D． 5. 下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（　　） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 甲和丙 D. 只有丙 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等，甲与△ABC不全等． 【详解】解：乙和△ABC全等；理由如下： 在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS， 所以乙和△ABC全等； 在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS， 所以丙和△ABC全等； 不能判定甲与△ABC全等； 故选B． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 6. 一根蜡烛经凸透镜成一实像，物距，像距和凸透镜的焦距满足关系式：．已知和，则可表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据异分母分式的加法法则计算即可． 【详解】解：， ， 故选：C ． 7. 如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线交于点，连接．若的周长为，则的长为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质．由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，，可得，，根据的周长为8，可得，进而可得答案． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，， ∴，． ∵的周长为8， ∴， ∴． 故选：B． 8. 《九章算术》之“均输篇”中记载了中国古代的“运粟之法”：今有一批公粮，需运往距出发地的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行，则提前日到达储粮站．设运输这批公粮原计划每日行，则根据题意可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设运输这批公粮原计划每日行，根据运输这批公粮比原计划每日多行，则提前日到达储粮站，列出分式方程，即可求解． 【详解】设运输这批公粮原计划每日行，根据题意得， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了列分式方程，根据题意列出方程是解题的关键． 9. 已知a，b、c是的三条边长，化简的结果为（　　） A. B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形三边关系得到，，再去绝对值，合并同类项即可求解． 【详解】解：∵a，b，c是的三条边长， ∴， ∴ ． 故选：D． 【点睛】此题考查了三角形三边关系，解题的关键是根据三边关系化简绝对值． 10. 如图，将边长分别为和的两个正方形拼在一起，，三点在同一直线上，连接，若两正方形的边长满足，则阴影部分的面积为（　　） A. 8 B. 10 C. 14 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据图形特征，得，结合，得出，即可作答． 【详解】解： 由题意可知： ， ， ． 故选：C． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上． 11. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂、负整数指数幂．先根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则计算，再根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，，点B，C，D在同一条直线上，且，，则的长是___________． 【答案】1 【解析】 【分析】首先根据全等三角形的性质可得，，再由，即可求解． 【详解】解：，， ， ，， ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，线段的和差，熟练掌握和运用全等三角形的性质是解决本题的关键． 13. 当___________时，分式与的值互为相反数． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了相反数和解分式方程，利用相反数的性质列出方程并熟练解分式方程是解题的关键．利用互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到x的值． 【详解】解：分式与的值互为相反数， 去分母，得∶， 解得：． 经检验，是分式方程的解． 故答案为∶0． 14. 如图，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形.在图2中，的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出正五边形各个内角的度数，然后在等腰中计算角度，即可得到的度数． 【详解】解：由n边形内角和公式 可得五边形的内角和为540°， ∴， ∴在等腰中，， ∴， 故答案为． 【点睛】此题考查的是多边形的内角和及等腰三角形角度的计算，掌握计算公式是解题的关键． 15. 已知a ，b， c是三角形△ABC的三边，且满足a2-b2+bc-ac=0，则△ABC为___ 三角形． 【答案】等腰 【解析】 【分析】先分解因式，即可得出a=b，根据等腰三角形的判定得出即可． 【详解】解：a2-b2+bc-ac =0， （a+b）（a-b）+c（b-a）=0， （a-b）（a+b-c）=0， ∵a、b、c是三角形的三边， ∴a+b-c≠0， ∴a-b=0， 即a=b， ∴△ABC的形状是等腰三角形， 故答案为：等腰． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和分解因式，能正确分解因式是解此题的关键． 16. 如图，在直角三角形中，，的角平分线相交于点，过点作交的延长线于点，交于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有___________．（填写序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．根据角平分线的定义和三角形外角的性质即可判断①；利用证明，即可判断②；由可得，得到，证出即可判断③；由得到，利用线段的和差关系即可判断④，即可得出结论． 【详解】解：的角平分线，相交于点， ， ， ，故①正确； ， ， ， 又， ， ，故②正确； ， ， ， ， 又， ，故③正确； ， ，故④正确； 综上，其中正确的结论有①②③④． 故答案为：①②③④． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分）请在相应位置解答，写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式运算的法则和平方差公式是正确解题的关键． （1）根据运算顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减即可． （2）先计算单项式乘多项式、运用平方差公式计算，再合并即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，请从中选取合适的的值代入． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则．先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据进行计算即可． 【详解】解： ， ， ， 当时，原式． 19. 如图，在中，为的中点，于于，且． （1）求证：； （2）若，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴，， ∵D为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）36 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据全等三角形的性质及等腰三角形的判定求出，根据等腰三角形的性质及三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵为的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 20. 把下列各式因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先提公因式，再根据平方差公式进行因式分解，即可作答． （2）运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 21. 如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（保留作图痕迹，不写作法） （1）画出（顶点均在格点上）关于直线对称的； （2）在上画出点，使最小； （3）在上画出点，使的周长最小． 【答案】（1）如图，即为所求 （2）如图，点即为所求 （3）如图，点即为所求 【解析】 【分析】本题考查作图——轴对称变换、线段的性质∶两点之间线段最短、轴对称——最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质、线段的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可 （2）连接，交直线于点P，则点P即为所求 （3）连接，交直线于点Q，则点Q即为所求 【小问1详解】 解∶ 如图，即为所求． 【小问2详解】 解：如图，连接，交直线于点P， 此时，为最小值， 则点P即为所求． 【小问3详解】 解：如图，连接，交直线于点Q，连接， 此时的周长为，为最小值． 则点Q即为所求． 22. 如图，在中，是边上的中线，的垂直平分线交于，交于，连接． （1）是等边三角形吗？为什么？ （2）若的长为1，求的长． 【答案】（1）是，理由见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）先运用三角形内角和性质算出，因为是的垂直平分线，所以，则故，再结合在中，是边上的中线，即可作答． （2）因为是的垂直平分线，则，结合得，因为，得，因为是等边三角形，得，，即可作答． 【小问1详解】 解：是等边三角形． 理由是：在中，， ， 是的垂直平分线， ， ． 在中，是边上的中线， ， 是等边三角形； 【小问2详解】 解：是的垂直平分线， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一，三角形内角和性质，垂直平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 23. 生态优先，绿色发展，让美丽的地球添上更多“中国绿”．某村为抓好“园区绿化”，购买了甲、乙两种树苗，购买甲种树苗花了21000元，购买乙种树苗花了12000元，甲种树苗的单价比乙种树苗的单价高了50%，购买甲种树苗的数量比购买乙种树苗的数量多200棵． （1）求甲、乙两种树苗的单价分别是多少元？ （2）为扩大园区绿化面积，该村准备再次购进甲、乙两种树苗共2600棵，且总金额不超过28000元，则最多可以购进多少棵甲种树苗？ 【答案】（1）甲种树苗单价是15元，乙种树苗单价是10元 （2）最多可以购进400棵甲种树苗 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系正确列出一元一次不等式． （1）设乙种树苗的单价是x元，则甲种树苗的单价是元．利用单价总价数量，结合购买甲种树苗的数量比购买乙种树苗的数量多200棵，可列出关于x的分式方程．解之经检验后可得出x的值（即乙种树苗的单价），再将其代入中，即可求出甲种树苗的单价； （2）设购进m棵甲种树苗，则购进棵乙种树苗，利用总价单价数量．结合总价不超过28000元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可． 【小问1详解】 解：设乙种树苗的单价是元，则甲种树苗的单价是元， 依题意得：， 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元）， 答：甲种树苗单价是15元，乙种树苗单价是10元； 【小问2详解】 解：设购进甲种树苗棵，则购进乙种树苗棵， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为400， 答：最多可以购进400棵甲种树苗． 24. 我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到的数学等式为．请解答下列问题： （1）图2中所表示的数学等式为___________： （2）请利用第（1）小题中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值； （3）小灵同学用2张边长为的正方形，3张边长为的正方形，7张两边分别为的长方形纸片拼出了一个大长方形，请你直接写出该大长方形的长和宽． 【答案】（1） （2）19 （3）大长方形的长为，宽为 【解析】 【分析】本题考查的是多项式乘多项式、因式分解的应用，利用面积法列出等式是解题的关键． （1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积各矩形的面积之和求解即可； （2）将，，代入（1）中得到的关系式，然后进行计算即可； （3）由题意得，再分解因式即可得到答案． 【小问1详解】 解：从总体看，大正方形的边长为，面积为； 从部分看，图形的面积为； ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ∴； 【小问3详解】 解：由题意可知：， ∴大长方形的长为，宽为． 25. 定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分割成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，线段将顶角为的等腰三角形分成了两个等腰三角形，则线段是的“双等腰线”；线段，将顶角为的等腰三角形分成了三个等腰三角形，则线段是的“三等腰线”． （1）请在图2中，作出的“双等腰线”，并标出分成的等腰三角形的底角的度数： ①，； ②． （2）请在图3中，画出顶角为的等腰三角形的“三等腰线”，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种即可）； （3）画图和计算：在中，，点在边上，点在边上，和是的“三等腰线”，且，请试画出示意图，并求的度数． 【答案】（1） ①如图1所示： ； ②如图2所示： （2） 如图3所示： （3） 设， ①当时，如图， ② 当时，如图， ③当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴此时不存在，应舍去． 综合上述，的度数为或． 【解析】 【分析】本题考查三角形的综合应用，结合材料和所学知识进行分析解题． （1）根据“双等腰线”的定义，作图即可； （2）根据“三等腰线”的定义，作图即可； （3）由题意设，分情况讨论：①当时，②当时，③当时，利用三角形内角和定理，列式求解即． 【小问1详解】 ①略 ②略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $