精品解析：云南省昆明市五华区2024-2025学年高一上学期期末质量监测数学考试卷

昆明市五华区2024~2025学年上学期高一期末质量监测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的考场号、座位号、姓名、班级填写在答题卡上，并认真核准条形码上的考场号、座位号、姓名、班级，在规定的位置贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. I 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用交集的定义求解得答案. 【详解】集合，所以. 故选：A 2. 已知函数，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数赋值求解. 【详解】由题知，，. 故选：C 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性比较大小. 【详解】， 所以. 故选：D 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】因为时，， 但时，或，， 所以“是的充分不必要条件， 故选：A 5. 已知单位圆圆心在坐标原点，与轴正半轴交于点，圆周上一点从出发按逆时针方向做匀速圆周运动，角速度为，则时点所在的位置为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正角的概念，三角函数的概念求解. 【详解】根据角的分类可知，逆时针旋转所得正角，时刻，， 根据三角函数的定义的坐标是. 故选：D 6. 某地一天从6~14时的温度变化曲线如图所示，则这段曲线近似满足函数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的图象，取特殊点排除选项，再验证符合要求即可. 【详解】观察图象知，当时，， 此时，取最小值，不符合要求，排除A； ，取最大值1，不符合要求，排除C； 当时，， 此时，取最大值1，不符合要求，排除D， ，取最小值，符合要求， 当时，，此时，取最大值1，符合要求，B符合要求. 故选：B 7. 函数的零点个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先将问题转化为与的图象的交点问题，再由两函数的单调性分析得至多只有两个零点，又由，得到的零点个数，从而得解. 【详解】要求的零点，即求与的图象的交点， 在同一坐标系中作出与的大致图象， 因为与在各自的定义域上都是单调递增， 且的增长速度相比的较慢， 所以两函数的图象至多只有两个交点，即至多只有两个零点， 又，， 所以有且只有两个零点. 故选：C. 8. 将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，所得图象关于直线对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出平移后的函数解析式，再结合余弦函数的性质列式求解. 【详解】依题意，的图象关于直线对称， 则，解得，而，则， 所以当时，取得最小值. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 函数的最小值为2 D. 若，且，则的最小值为8 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项举反例可判断，B选项作差法可判断，C选项可以根据三角函数的符号判断，D选项根据的妙用求解. 【详解】A选项，时，，A选项错误； B选项，， 由于，则，即，B选项正确； C选项，当是第三四象限角，，可以是负数，最小值不是，C选项错误； D选项，， 当，即时，取到最小值，D选项正确. 故选：BD 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据诱导公式可逐一判断每个选项. 【详解】，则，A选项正确； ，B选项错误； ，C选项正确； D选项正确. 故选：ACD 11. 双曲函数在许多数学、物理及工程问题中都有广泛的应用，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数.已知双曲正弦函数为，双曲余弦函数为（其中为自然对数的底数），则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，利用指数幂的运算法则，逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】因为，， 对于AD， ，不恒为，故A错误，D正确； 对于B： ，故B正确； 对于C，，故C正确； 故选：BCD. 【点睛】方法点晴：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解，但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】直接运用二倍角余弦公式即可. 【详解】若，由二倍角的余弦公式可得，. 故答案为：. 13. 如图，正截得扇形，已知的长为，为中点，则扇形的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用弧长公式求出扇形半径，进而求出扇形面积. 【详解】由正，得扇形的圆心角为，而的长为，则扇形半径， 所以该扇形面积. 故答案为： 14. 已知奇函数的定义域为，且为偶函数，当时，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用与的奇偶性推得，再分析的范围，从而利用已知条件即可得解. 【详解】因为为奇函数，所以， 因为为偶函数，所以， 则，故， 所以， 因为，则， 又当时，， 所以. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：设函数，，，. （1）若，则函数的周期为2a； （2）若，则函数的周期为2a； （3）若，则函数的周期为2a. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）当时，求的值域. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，进而求出其周期. （2）由指定区间求出相位的范围，再利用正弦函数性质求出值域. 【小问1详解】 函数， 所以函数的最小正周期 【小问2详解】 当时，，正弦函数在上递增，在上递减， 因此函数在上递增，在上递减，， 而，，则， 所以的值域为. 16. 设函数. （1）求不等式的解集： （2）若不等式对都成立，求的取值范围. 【答案】（1）当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （2）. 【解析】 【分析】（1）分类讨论解含参数的一元二次不等式. （2）等价变形给定不等式并分离参数，利用基本不等式求出最小值即可得解. 【小问1详解】 不等式， 当时，解得；当时，不等式无解；当时，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【小问2详解】 ，不等式 ，而当时，，当且仅当时取等号，则， 所以的取值范围是. 17. 在中，. （1）求； （2）若的边上的高等于，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式，两角差的余弦公式化简求值； （2）根据题干条件结合三角形面积公式推出，根据余弦定理推出三边关系，然后根据余弦定理求解. 【小问1详解】 由题意，， 解得 【小问2详解】 ，结合，解得， 又，则，得， 根据三角形的面积公式，，解得， 不妨设，由余弦定理，，则， 再由余弦定理， 18. 已知奇函数. （1）求的值； （2）判断并证明的单调性； （3）若，使不等式成立，求实数的范围. 【答案】（1） （2） 在上单调递增，证明如下： 因为， 任取，且， 则， 因为，所以，即， 又，， 所以，即， 所以函数在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质求得，再进行检验即可得解； （2）利用函数单调性的定义，结合作差法与指数的运算法则即可得证； （3）利用的奇偶性与单调性，结合换元法，将问题转化为的存在问题，再利用二次函数的性质即可得解. 【小问1详解】 因为的定义域为，且为奇函数， 则，即，解得， 所以，此时， 即是奇函数，即满足题意， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，所以， 则由，得， 因为是奇函数，且在上单调递增， 所以，则， 又， 令，由，得， 则， 所以问题转化为存在，使得成立， 对于，其开口向上，对称轴为， 又当时，，当时，， 所以在上的最大值为， 则，解得，即实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用分离参数法确定不等式（，为参数）能成立问题中参数范围的步骤： 1.将参数与变量分离，不等式化为或的形式； 2.求在时的最大值或者最小值； 3.解不等式或，得到的取值范围. 19. 著名英国数学家牛顿提出：把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么分钟后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个物体与空气的接触状况而定的正常数，这一公式称为牛顿冷却公式.若一杯的茶水放在的空气中冷却，1分钟后茶水温度是. （1）求的值； （2）如果茶水冷却至60°C时口感最佳，那么一杯95°C的茶水放置在15°C的空气中，大约需要等待几分钟口感最佳？ （3）现有一杯温度为的茶水，放置在的空气中，过分钟以后，测得其温度为，再过分钟后，测得其温度为.试比较与的大小关系，并说明理由.参考数据：. 【答案】（1） （2）大约需要等待5分钟口感最佳. （3） 【解析】 【分析】(1)根据题目中所给关系式，代入即可求得 (2)根据第一小问求得，把对应温度代入可求得等待时间； (3)把和分别用和表示后，作差比较大小. 【小问1详解】 由一杯的茶水放在的空气中冷却，1分钟后茶水温度是. 则，则，所以; 所以. 【小问2详解】 设大约需要等待分钟口感最佳，则，则， 所以， 故大约需要等待5分钟口感最佳. 【小问3详解】 根据题意,， ， 所以 因为，所以，又，所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明市五华区2024~2025学年上学期高一期末质量监测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的考场号、座位号、姓名、班级填写在答题卡上，并认真核准条形码上的考场号、座位号、姓名、班级，在规定的位置贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. I 2. 已知函数，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知单位圆圆心在坐标原点，与轴正半轴交于点，圆周上一点从出发按逆时针方向做匀速圆周运动，角速度为，则时点所在的位置为（ ） A. B. C. D. 6. 某地一天从6~14时的温度变化曲线如图所示，则这段曲线近似满足函数（ ） A. B. C. D. 7. 函数的零点个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，所得图象关于直线对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 函数的最小值为2 D. 若，且，则的最小值为8 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 双曲函数在许多数学、物理及工程问题中都有广泛的应用，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数.已知双曲正弦函数为，双曲余弦函数为（其中为自然对数的底数），则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 13. 如图，正截得扇形，已知的长为，为中点，则扇形的面积为______. 14. 已知奇函数的定义域为，且为偶函数，当时，，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）当时，求的值域. 16. 设函数. （1）求不等式的解集： （2）若不等式对都成立，求的取值范围. 17. 在中，. （1）求； （2）若的边上的高等于，求. 18. 已知奇函数. （1）求的值； （2）判断并证明的单调性； （3）若，使不等式成立，求实数的范围. 19. 著名英国数学家牛顿提出：把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么分钟后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个物体与空气的接触状况而定的正常数，这一公式称为牛顿冷却公式.若一杯的茶水放在的空气中冷却，1分钟后茶水温度是. （1）求的值； （2）如果茶水冷却至60°C时口感最佳，那么一杯95°C的茶水放置在15°C的空气中，大约需要等待几分钟口感最佳？ （3）现有一杯温度为的茶水，放置在的空气中，过分钟以后，测得其温度为，再过分钟后，测得其温度为.试比较与的大小关系，并说明理由.参考数据：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $