精品解析：广东省六中，二中，省实，广雅，执信六校2024-2025学年高二上学期期末联考数学试题

2024学年上学期高二期末五校联考试卷 数 学 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．开考前，考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号.用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、班级、姓名和考生号、座位号填写在答题卡上. 2．答选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的，答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，，若与共线，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 已知双曲线，给定的四点，，，中恰有三个点在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A. B. C. D. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆锥的侧面积是底面积的倍，则母线与底面所成的角为（ ） A. B. C. D. 7. 函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像可能为（ ） A. B. C. D. 8. 已知成等差数列，过点作直线的垂线，垂足为，则点到点的距离的最大值为（    ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，错选得0分． 9. 有一组数据依次构成首项为正数，公比大于的等比数列，则（    ） A. 是一个递增数列 B. 去掉数据，中位数不变 C 中位数小于平均数 D. 若变为原来的倍，公比不变，则极差变为原来的倍 10. 已知焦点为，斜率为且经过点的直线与抛物线C交于点两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则（ ） A. B. F为线段的中点 C. D. 11. 三棱锥各顶点均在半径为2的球O表面上，，，则（ ） A. 有且仅有2个点P满足 B. 有且仅有2个点P满足与所成角为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分． 12. 已知指数函数在定义域内为减函数，则实数的取值范围_________. 13. 若数列满足，（，），则的最小值是______. 14. 正方形ABCD的边AB在直线上，C、D两点在抛物线上，则正方形ABCD的面积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知三角形，，三角形面积. （1）求角的值； （2）若，，求的值． 16. 如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，，，. （1）求证：; （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角的正切值. 17. 已知椭圆． （1）若，求椭圆的离心率； （2）过椭圆上一点作斜率为的直线，若直线与双曲线有且仅有一个公共点，求实数的取值范围． 18. 已知两个等比数列满足：，，. （1）若，求的通项公式； （2）若，判断中是否存在三项成等差数列，并说明理由； （3）若满足条件的数列有且只有一个，求实数的值. 19. 已知在平面直角坐标系中. （1）若圆与轴，轴及线段都相切，用表示圆的半径； （2）若，求的最小值； （3）判断以下两个命题的真假并说明理由. 命题1：若两个直角三角形的面积比等于周长比的平方，则这两个直角三角形相似； 命题2：若两个三角形的面积比等于周长比的平方，则这两个三角形相似. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年上学期高二期末五校联考试卷 数 学 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．开考前，考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号.用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、班级、姓名和考生号、座位号填写在答题卡上. 2．答选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的，答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用交集的定义求解作答. 【详解】集合，，所以. 故选：D 2. 若复数满足（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可得，进而根据复数的除法运算即可求解. 【详解】因为，故即， 所以. 故选：B. 3. 已知向量，，，若与共线，则（ ） A 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算求得的坐标，利用向量共线的坐标表示列出方程，求得答案. 【详解】由题意向量，，， 则， 由于与共线，则， 故选：D 4. 已知双曲线，给定的四点，，，中恰有三个点在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的对称性可得，两点一定在双曲线上，然后再判断另一个点，求出双曲线方程，再根据渐近线公式即可得解. 【详解】根据双曲线的对称性可得，两点一定在双曲线上， 若在双曲线上， 则，方程组无解，故不在双曲线上， 则在双曲线上， 则，解得， 所以双曲线的渐近线为. 故选：A. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和的余弦公式及同角三角函数的基本关系求出、，再由两角差的余弦公式计算可得. 【详解】因为， ，解得， 所以. 故选：A 6. 已知圆锥的侧面积是底面积的倍，则母线与底面所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为，底面半径为，高为，设母线与底面所成的角为，根据题意计算出，即可求出母线与底面所成的角. 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，高为，设母线与底面所成的角为， 因为圆锥的侧面积是底面积的倍，则，可得，， ，则，因此，母线与底面所成的角为. 故选：B. 【点睛】本题考查直线与平面所成角的计算，同时也考查了圆锥的相关计算，考查计算能力，属于中等题. 7. 函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过二次函数的大致图像确定对应参数的取值范围，再由指数型函数图像得到对应参数的取值范围，对吧对应参数的取值范围是否相同. 【详解】A选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，A选项错误； B选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，B选项错误； C选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，C选项正确； D选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，D选项错误； 故选：C. 8. 已知成等差数列，过点作直线的垂线，垂足为，则点到点的距离的最大值为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据成等差数列得出直线过定点，再求出点轨迹方程，根据平面几何知识得出最值. 【详解】因为成等差数列，所以，所以直线恒过定点， 点的轨迹是以为直径的圆，的中点坐标为，， 所以点的轨迹方程为， 所以点到点的最大值为. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，错选得0分． 9. 有一组数据依次构成首项为正数，公比大于的等比数列，则（    ） A. 是一个递增数列 B. 去掉数据，中位数不变 C. 中位数小于平均数 D. 若变为原来的倍，公比不变，则极差变为原来的倍 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等比数列性质判断A；根据各样本特征值的概念及计算公式可判断BC；再结合等比数列通项公式可判断D. 【详解】对于选项A：因为依次构成首项为正数，公比大于的等比数列， 可得，即 是一个递增数列，故A正确； 对于选项B：因为的中位数为， 若去掉数据，可知的中位数为， 由等比中项的定义知，所以，B选项错误； 对于选项C：因为该组数据的中位数为，且， 同理，， 可得，故C正确； 对于选项D：设公比为， 由选项A可知：极差为， 若变为原来的倍，公比不变， 新数据中首项为，第项为，极差为， 即极差变为原来的倍，故D正确； 故选：ACD. 10. 已知的焦点为，斜率为且经过点的直线与抛物线C交于点两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则（ ） A. B. F为线段的中点 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意可得直线的方程为，联立直线和抛物线方程得到，．求出的值， 过点作垂直准线于点，得到为线段的中点即得解. 【详解】易知，由题意可得直线的方程为． 由，消去并整理，得， 解得，． 由，得，故正确; ∴，故错误; 过点作垂直准线于点，易知， ∴，∴．故正确. ∵，∴为线段的中点．故正确; 故选：． 11. 三棱锥的各顶点均在半径为2的球O表面上，，，则（ ） A. 有且仅有2个点P满足 B. 有且仅有2个点P满足与所成角为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：根据平面分析判断；对于B：根据异面直线夹角结合对称性分析判断；对于C：整理可得，结合圆的性质分析求解；对于D：整理可得，，结合圆的性质分析求解. 【详解】不妨设球心为，则，可得， 所以在以圆心垂直于的圆面上， 设在圆内的投影为，与圆的交点为 的中点在圆内的投影为，则为的中点，且∥， 设的中心为，连接， 则平面，平面，可得， 又因为为正三角形，且为的中点，可得， ，平面，所以平面， 由平面，可得， 由题意可得：，则，， 即，取的中点，则，且， 可得， 所以平面，且平面，，所以∥平面，     对于选项：因为平面，平面，可得， 设直线与圆的交点为，显然当位于时，满足， 当不为时，直线与平面相交，不满足， 所以有且仅有两个点使得，故正确；     对于选项：因为，则， 即为等边三角形， 又因为∥，则当位于时，与所成的角为， 分别取关于的对称点，则∥，可知∥， 显然当位于时，与所成的角为， 所以有四个点使得与所成的角为，故错误；        对于选项C：由题意可知：，则， 因为， 由圆的性质可知：当为射线与圆的交点时，取得最大值， 所以，故C正确；     对于选项：因为， 又因为， 由圆的性质可知：当为点时，取得最大值， 可得， 所以，故不正确；     故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分． 12. 已知指数函数在定义域内为减函数，则实数的取值范围_________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据指数函数单调性，得到，求解，即可得出结果. 【详解】因为指数函数在定义域内为减函数， 所以，则， 又函数单调递减， 所以. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查由指数函数单调性求参数，涉及对数函数单调性，属于基础题型. 13. 若数列满足，（，），则的最小值是______. 【答案】6 【解析】 【分析】利用累加法求得，计算，由对勾函数的性质求最小值，注意是正整数. 【详解】由已知，，…，，， 所以，， 又也满足上式，所以， 设，由对勾函数性质知在上单调递减，在递增， 因此在时递减，在时递增， 又，， 所以的最小值是6， 故答案为：6. 14. 正方形ABCD的边AB在直线上，C、D两点在抛物线上，则正方形ABCD的面积为__________． 【答案】18或50 【解析】 【分析】设出点的坐标，由正方形的特征建立等量关系求解即可. 【详解】如图： 设，，不妨设， 因，，所以，化为①. 由正方形可得， 所以②， ①②联立化为. 解得或或（舍）或（舍）. 当时，，所以此时正方形的面积为18. 当时，，所以此时正方形的面积为50. 故答案为：18或50. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知三角形，，三角形的面积. （1）求角的值； （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2）不存在 【解析】 【分析】（1）根据数量积运算和三角形面积公式可解角的值； （2）根据二倍角公式求出角，再由正弦定理求，但注意要验证. 【小问1详解】 根据，有，即， 又因为，，即， 所以，所以，即， 因为，所以； 【小问2详解】 由，有，， 又因为，，则， 所以或，即或； 因为，，两值都符合题意， ① 当时，由正弦定理有， 即，，解得； 又因由可得，不合题意； ②当时，由正弦定理有， 即，，解得. 由可得，不合题意. 综上：的值不存在. 16. 如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，，，. （1）求证：; （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理得平面，再由线面平行的性质，即可证明结果； （2）根据条件，利用几何关系得到，，再由线面垂直的判定定理，即可求解； （3）连接，与相交于点，取的中点，连接，，根据条件及（1）中结论，得到平面，从而有是直线与平面所成的角，即可求解. 【小问1详解】 由多面体的定义知，四点共面，四点共面， 因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面，且平面平面=，所以. 【小问2详解】 取中点，连接，则， 由（1）知，所以，又因为，所以四边形是平行四边形， 得到，且，在中，， 又，得，所以， 在中，，，，所以， 所以，即， 又因为四边形是正方形，所以， 又，平面，平面， 所以平面. 【小问3详解】 连接，与相交于点，则点是的中点， 取的中点，连接，，则，， 由（1）知，且，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以，且， 由（1）知平面，又平面， 所以，又因为，平面，平面， 所以平面，故平面， 又平面，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面，故是直线与平面所成的角， 在中，，所以直线与平面所成角的正切值为. 17. 已知椭圆． （1）若，求椭圆的离心率； （2）过椭圆上一点作斜率为的直线，若直线与双曲线有且仅有一个公共点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程可得，即可得离心率； （2）设直线，与椭圆方程联立结合可得，与双曲线方程联立结合可得，进而可得结果. 【小问1详解】 若，即椭圆， 可得，， 所以椭圆的离心率. 【小问2详解】 设直线， 与椭圆方程联立可得，消去y可得， 则，可得， 与双曲线方程联立可得，消去y可得， 假设，即，由椭圆方程可知， 两者相矛盾，假设不成立，所以； 则，整理可得， 则，解得， 又因为，解得， 综上所述：实数的取值范围． 18. 已知两个等比数列满足：，，. （1）若，求的通项公式； （2）若，判断中是否存在三项成等差数列，并说明理由； （3）若满足条件的数列有且只有一个，求实数的值. 【答案】（1）或 （2）不存在，理由见解析 （3）或. 【解析】 【分析】（1）设数列的首项，公比为，由题意结合等比数列定义计算即可得解； （2）将代入计算可得，再借助反证法，假设存在，从而可利用等差数列性质列出相关等式，可得与题设矛盾，即可得证； （3）对，若可得，不符；若，可得方程一个解为或者方程两个解均不为，再结合等比数列定义分两种情况计算即可得解. 【小问1详解】 设数列的首项，公比为，依题意得，，， ，整理得（*）， 把代入（*）式得，解得或， 当时，，， 因为是等比数列，所以公比为，， 当时，，， 因为是等比数列，所以公比为，， 综上可得或； 【小问2详解】 把代入（*）式得，解得或（舍） 假设中存在三项（其中）成等差数列， 因为，，所以是递增数列，从而， ，即，等式两边同时除以得， 因为，所以为偶数，奇数，矛盾， 所以中不存在三项成等差数列； 【小问3详解】 因为是等比数列，所以，对于（*）式： 若，即（舍去）或， 此时，因此不合题意； 若，即或， 方程有两个不同的实数解，又数列唯一，因此有如下两种情形： 情形一：方程一个解为，从而，，； 情形二：方程两个解均不为，但其中一解使得， 此时代入方程，解得（舍去），或者， 此时方程可化简为：， 解得（舍去），或者（满足题意）； 综上所述：或. 【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于对，借助根的判别式分及进行讨论. 19. 已知在平面直角坐标系中. （1）若圆与轴，轴及线段都相切，用表示圆的半径； （2）若，求的最小值； （3）判断以下两个命题的真假并说明理由. 命题1：若两个直角三角形的面积比等于周长比的平方，则这两个直角三角形相似； 命题2：若两个三角形的面积比等于周长比的平方，则这两个三角形相似. 【答案】（1）答案见解析 （2）10 （3）命题1正确，命题2错误，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用等面积法求出半径，或者求切线长； （2）利用旁切圆的性质求半径； （3）用内切圆，旁切圆性质和焦半径公式进行分析. 【小问1详解】 圆内切于，所以,可得， 圆旁切于，设圆心，直线，所以， 左右平方化简得出，所以，所以； 【小问2详解】 方法一：设的旁切圆的圆心为，由（1）可知， 因为，所以恒过点，点恒在圆外或圆上，所以， 即，解得或（舍），所以的最小值为10. 方法二：设， 因为，，可设，， 因为 ，则，， ，， ， ，解得或， 由知，，，舍去， 因此，即的最小值为10. 【小问3详解】 命题1正确，命题2错误. 对于命题1涉及三角形面积与内切圆半径联系起来， 记的面积为，周长为，内切圆半径为，旁切圆半径为， 记的面积为，周长为，内切圆半径为，旁切圆半径为， ，，又， 若即， 两圆心均在上，且直线为与的公切线，与相似（此时）， 设，则 得：，， ，代入①得： ，， ，， ，， 同时除得，， （舍）或， ，，因为， 的值由比值确定，但两个对应的三角形是相似的. 对于命题2：点在椭圆上，焦点的周长，面积， 点在椭圆上，焦点的周长，面积，满足， 由焦半径公式计算得到，， ，， 与三边无论如何都不能成比例，所以与不相似. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $