福建省名校联盟全国优质校2025届高三下学期2月大联考数学试题

保密★启用前 准考证号 姓名 (在此卷上答题无效) 名校联盟全国优质校2025届高三大联考 名校联盟 HOOL ALLIANCE 数学试题 2025.2 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将答题卡交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.若z=-1+i,则1引= A分 B.1 C.V2 D.2 2.已知集合A={xlInx>0,B={xly=V4-x,则A∩B= A.(1,2] B.(0,2] C.[0+∞) D.(1,+∞) 3.记等比数列{a.}的前n项和为S.,若a1a6=8a,a,=16,则S,= A.16 B.31 C.32 D.63 4.市环保局开展了环境治理专项活动，活动结束后对志愿者做了一次随机抽样调查，统计 整理了部分志愿者的服务时长（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图，据此估计 志愿者服务时长的第90百分位数为 ↑频率 组距 0.090 0.065 0.040 0.005 202428323640服务时长 A.36 B.37 C.38 D.39 数学试题第1页（共4页） 5.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,点A在C上，过A作1的垂线，垂足为A1,若 IAF1=IA,FI,则IAFI= A.2 B.4 C.6 D.8 6.存在函数∫(x)满足：对任意x∈R都有 A.f(x2)=x B.f(sinx)=x C.f(e +e)=x D.f(e"-e)=x 7已知ae(受人若m(胥-a）os2a+1=m2a,则m2a A.-2-V3 B.V3-2 C.-2V3 D.-V3 8.若斜率为-1的直线l交曲线y=lnx于点A,交曲线y=ln(ex+e)于点B,则IAB|= A.V② C.1 D.2 2 B.V2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知x=号为函数()=e(2x+p(0<p<m)图象的一条对称轴，则 A.f(x)的最小正周期为T B.f(x)的图象关于点（得0）对称 C.f(x)在区间(0，牙)上单调递减 D.函数y=f(x-行)为偶函数 10.已知某工人需至少使用甲、乙两种仪器中的一种对某产品进行质量检测，记事件A=“该 工人在检测过程中使用过甲仪器”，事件B=“该工人在检测过程中使用过乙仪器”，事 件C=“该工人在检测过程中使用过甲、乙两种仪器”，事件D“该工人在检测过程中仅 使用过甲、乙两种仪器中的一种”，已知P(A)=0.6,P(B)=0.5,则 A.A与B相互独立 B.C与D互为对立 CP(BA-号 D.P(AID)+P(BID)=1 11.已知函数f(x)=(x-a)(x2-b),其中a>0,且当x>0时，f(x)≥0，则 A.b=a2 B.x=a为f(x)的极大值点 C.若关于x的方程f(x)=a有3个不同的实数根，则a>3Y6 8 D.若对任意x都有(x)sf(x+m,则m≥4V3a 3 数学试题第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知OA=(1,2),AB=(4,-2),则△0AB的面积为 13.已知双自线C:号-户=1〔e>0)的左、右点分别为P,R,过R,的直线与C的左、右 两支分别交于A,B两点，若IAF,I=IBF,I,IAB|=8,则IF,F2I= 14.已知某圆锥侧面展开后的扇形面积为定值，设扇形的圆心角为α，则当圆锥的内切球体 积最大时，a=一 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c(1-2cosB)=b(2cosC-1). (1)证明：b,a,c成等差数列： (2)若△ABC的面积为。，求A: 16.(15分) 设函数f(x)=(e+a)(x-2a): (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程： (2)已知a∈Z,若f(x)为增函数，求a. 17.(15分) 如图，在菱形ABCD中，AB=2V3,A=60°，将△ABD沿BD翻折至△A'BD,使得三棱 锥A'-BCD的表面积最大. A D (1)求三棱锥A'-BCD的体积： 2)设Q为棱CD的中点，P在棱A'D上，若二面角P-BQ-D的余弦值为，5，求DP DA' 数学试题第3页（共4页） 18.(17分) 已知椭圆c:父+父 9+3=1的左顶点为A,过点(1,0)的直线1交C于P,Q两点，记△APQ的 外接圆为圆N (1)当1与x轴垂直时，求圆N的方程； (2)求圆N面积的最大值. 19.(17分) 设正整数n≥3，集合(a1,a2,…,an}={1,2,…,n小，已知有穷数列A。:a1,a2,…,an经过 一次M变换后得到数列A1:max{a,a2bmax{a2,ab…,max{a,-,a,bmax{a,a1b其 中max{a,b}表示a,b中的最大者.记数列A的所有项之和为S(A). (1)若A:1,3,2,4,求S(A): (2)当n=5时，求S(A)的最大值： (3)若A,经过一次M变换后得到数列A2,求S(A2)的最大值· 数学试题第4页（共4页） 名校联盟全国优质校2025届高三大联考 数学试题参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C A B C B D A B AC BCD AC 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 答案：C 解析：．故选C． 2． 答案：A 解析：易知，，∴，故选A． 3． 答案：B 解析：，∴，∵，∴等比数列的公比为2， ∴，故选B． 4． 答案：C 解析：，则组的频率为， ∴第百分位数为，故选C. 5. 答案：B 解析：记坐标原点为，过点作，垂足为．由已知及抛物线定义可得，，∴△为等边三角形，，又∵，∴，则．∴，解得，故选B． 6． 答案：D 解析：对于选项A，取代入得，取代入得，矛盾，故不存在函数满足；同理，不存在函数满足B，C； 对于选项D，为增函数，∴对任意都有唯一的 满足，则即可，故选D. 7．答案：A 解析：， 故，，∴， 又，则，∴，故选A． 8． 答案：B 解析：方法1：设，，． 则是方程的解，是方程的解． ∵函数，均为增函数， 且，故，∴． ∴，故选B． 方法2：∵，直线斜率为，设，，则 ，∴对任意有：， ∴，即，故选B． 方法3：∵， ∴将点，向左平移1个单位，再向上平移单位，得到点， 点在函数图象上，且直线的斜率为，易得斜率为的直线与函数 图象只有一个交点，∴点与点重合，∴，故选B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 答案：AC 解析：∵，∴，又∵，∴， ∴，周期，故选项A正确；，故选项 B错误； ∵，∴，故选项C正确； 不为偶函数，故选项D错误. 故选AC. 10．答案：BCD 解析：∵，∴， 故选项A错误； ∵，，∴，，故，互为对立，故选项B正确； ，故选项C正确；，故选项D正确. 故选BCD. 11．答案：AC 解析：为函数的零点， 若，当时，，则；当时，，则. 所以时，，即，，故选项A正确； 由A可知，，∴在区间和递增，在区间递减，为的极小值点，故选项B错误； 对于选项C：由B可知，为的极大值点，要使方程有个不同的实数根， 则，解得，故选项C正确； 对于选项D： ，， ∴恒成立， 显然当时，成立； 显然当时，不恒成立； ∴当时，即恒成立， ∴恒成立， ∴或，故选项D错误，故选AC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．答案：5 解析：方法1：易知，∵，，∴的面积为. 方法2：当点为坐标原点时，，∴，的面积为，故填5. 13．答案： 解析：由双曲线定义：，即， 又，，∴，，故填. 14．答案： 解析：设扇形面积为,圆锥的底面半径为，母线长为， 则由等面积法，该圆锥的内切球半径， 易知，，即，记为定值， 方法1：∵ ，即, 当且仅当，，即时等号成立， 当圆锥的内切球体积最大时，即圆锥的内切球半径最大时， 易知当最大时，，故填. 方法2：∵， 令，则， 令，即，解得, ∴，即， ∴易知当时，即时，取得最大值， ∴当最大时，即最大时，，故填. 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 解：（1）方法1：由正弦定理得，， ∴， …………………………………2分 又，∴， ∴， ……………………………………………………………………4分 由正弦定理得，，∴，，成等差数列. …………………………………………5分 正弦定理，正弦和角公式化解2分，化解得2分，结论1分 方法2：由余弦定理，，， ∴， ………………………………………………………………2分 ∴． ……………………………………………………………………………………4分 ∵，∴，即，，成等差数列． …………………………………………………5分 余弦定理角化边2分，化解得2分，结论1分 （2）∵，∴； …………………………………………6分 由余弦定理得: ， ∴. ∴. 化简得， ………………………………………………………………11分 即， ∵，故，∴. ………………………………………………………13分 代入面积公式1分，余弦定理化解得到5分，具体过程酌情给分， 求值以及结论2分. 直接用海伦公式，秦九韶面积公式酌情给分. 将A视为B，C为焦点的椭圆上一点，根据几何意义求解，酌情给分. 16．解：（1）当时，，则， ……………………………2分 ∴，切点为，切线斜率为， ∴切线方程为，整理得，.……………………………………………5分 求导2分，整理得到切线方程3分（其中切点1分，切线斜率1分） （2），∵为增函数，∴恒成立， …………6分 翻译条件为恒成立1分 方法1：令，，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，取得极小值，也是最小值，∴， …………………10分 令，令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 又， ，，， …………………14分 ∴. ………………………………………………………………………………………15分 单调性，极小值分析4分，单调性分析4分，结论1分. 方法2：∴，，解得，……………………8分 ∵，∴，或， …………………………………………………………………………10分 当时，，易知，不符题意；…………………………………12分 当时，，设，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，取得极小值，也是最小值，∴，符合题意； ……………………14分 ∴. ………………………………………………………………………………………15分 必要性探路得2分，分析判断得，或2分，验证2分， 验证2分，结论1分. 若由，，直接得，再去验证，酌情给分. 17． 解：（1）易知三棱锥的表面积为， ∵，∴当的面积最大时，三棱锥的表面积最大， 此时，由可知，即，同理…2分 分析推理得到，2分，具体过程酌情给分 方法1：设为在底面的射影，为中点，连接，， ∵平面，平面， ∴，又∵，平面，平面， ∴平面，又∵平面，∴， ………………………………………4分 又∵，∴，即在的角平分线上， 同理，在的角平分线上，∴为等边的重心． ………………………………5分 ∴，，， ∴三棱锥的体积为. ……………7分 确定的位置3分（其中证明2分），具体过程酌情给分；体积计算2分 方法2：设为中点，∵，均为等边三角形， ∴，，∵，∴平面，…………………………5分 在中，，则， ∴底边上的高为，∴的面积为， ∴， ……………………………7分 证明平面3分，体积计算2分. （2）方法1： 如图所示，以为原点，分别以，，所在方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，， ∴，， …………………………………………………9分 建系正确给1分，点和向量1分 设（），设，则， ∴，， …………………………………10分 设平面的一个法向量为， 则有即 令，则，，∴， …………………………………………12分 易知平面的一个法向量为， ………………………………………………………13分 ∴， 解得， ∴. ……………………………………………………………………………………………15分 写出点和坐标1分，平面法向量2分，平面法向量1分，求解以及结论2分 若有其他建系方法，仿照上述方案给分 方法2： 如图，过作垂直于，∴，平面， 过作垂直于，则，，， ∴平面，∵平面，∴， ∴为二面角的平面角， ……………………………………………………………11分 ∴，， ………………………………………………………………12分 不妨设（），则， ∵，∴，∴，解得， ∴. ……………………………………………………………………………………………15分 几何法说明二面角的平面角为4分，求解以及结论4分，具体过程酌情给分. 18． 解：（1）当直线与轴垂直时，联立直线与的方程， 即解得，不妨设，． …………………………………2分 易知圆心在轴上，，设， ∴△的外接圆半径． ∴，解得，∴， ………………………………………………4分 ∴圆的方程为. ……………………………………………………………………5分 联立直线与的方程2分，由解得坐标和圆半径2分，结论1分 （2）当直线与轴重合时无法构成三角形； 设，， 联立与的方程 ， ……………………………………………………………7分 联立与椭圆方程，写出韦达定理2分. 方法1： 则的中垂线， 又，得， 同理，的中垂线． …………………………………………………………9分 联立直线， ， 由①－②可得，， …………………………………………………………………………11分 将代入①＋②可得，， ∴， ……………………………………………………………………………………13分 ∴， 令， ∴， ……………………16分 当，即时，△的外接圆半径最大，为． 此时，△的外接圆面积最大，为． …………………………………………………17分 求出，的中垂线方程，2分，联立，解得坐标4分（其中横坐标、纵坐标各2分）， 化解求出的表达式3分，结论1分 方法2：， ………9分 ，， ， ， …………………………………13分 ∴， 由正弦定理得：， 令，则， …………16分 ∴，当时等号成立， ∴外接圆的面积的最大值为. …………………………………………………………………17分 写出的表达式2分，写出的表达式4分，化解求出的表达式3分，结论1分 方法3： 设圆 联立………………………9分 ， 所以， 解得，即， ……………………………………………13分 设，则有，即，消去得 所以， …………………………16分 当，即时，，此时，△的外接圆面积最大，为． …17分 联立直线与圆的一般式2分，写出坐标4分，化解求出的表达式3分，结论1分 19． 解：（1）由题意，：，，，， 即3，3，4，4． ……………………………………………………………………………2分 ∴．…………………………………………………………………………3分 写出2分，求1分 （2）由题意，由于中元素两两互异，故中的任一元素，如，在中至多在和中出现两次（规定，），且若出现两次则这两个数处于邻位（和也视为邻位）．…………………………………………………………………………………………5分 ∴的所有项中至多有两个5和两个4．…………………………………………………………6分 ∴，………………………………………………………………………7分 当满足时等号能取到， ∴的最大值为21．（给出任意一种排列即可） ……………………………………………9分 说明中元素在中至多出现两次2分，求出的最大值2分， 给出取得最大值的一种排列2分. （3）同（2）可知，中的任一元素若在中仅出现一次，则在中至多出现两次；若在中出现两次，由于这两个数相邻，故在中至多出现三次．…………………………………………10分 （i）若，则，……………………………11分 当满足时等号能取到．…………………………………12分 （或，或） （ii）若，则．………………13分 当满足时等号能取到．…………………………………14分 （iii）若，则．…………15分 当满足时等号能取到．…………………………………16分 （或） 综上，的最大值为．…………………………………17分 说明中的任一元素在中至多出现三次1分，，，每种情况2分， 结论1分 高三数学 第3页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$