精品解析：河北省沧州市乌马营中学2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷

2024～2025学年八年级第一学期期末考试 数学（冀教版） 本试卷共8页．总分120分，考试时间120分钟 注意事项：1．仔细审题，工整作答，保持卷面整洁． 2．考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 二十四节气是中华民族历史文化的重要组成部分，图代表“大雪”节气，关于嘉嘉和淇淇的说法，下列判断正确的是（ ） 嘉嘉：这一个轴对称图形；淇淇：这是一个中心对称图形 A. 只有嘉嘉说的对 B. 只有淇淇说的对 C. 两人说的都对 D. 两人说的都不对 3. 如图，一个挂钟的钟摆由最左侧点摆至最右侧点时，钟摆旋转的角度为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，用篱笆围一个直角三角形花田，若，米，米，则边需要的篱笆长为（ ） A. 6米 B. 5米 C. 4米 D. 3米 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 图是手工艺人制作的风筝，他根据，，利用两个三角形全等不用度量就可以知道，他判定两个三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 7. 下列关于的描述中，不正确的是（ ） A. 面积为8的正方形的边长是 B. 是无理数 C. D. 在数轴上可以找到表示的点 8. 如图，已知，点，，，在一条直线上，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 9. 定义一种新运算“※”为：，则方程的解为（ ） A. B. C. D. 10. 图的尺规作图中，可以确定为等腰三角形的有（ ） A 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 11. 如图，在中，点在边上，且，关于①，②，下列判断正确是（ ） ①若，的周长为43，则； ②若，则图中共有2个等腰三角形 A. 只有①对 B. 只有②对 C. ①②都对 D. ①②都不对 12. 如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于点，且点恰好在边上．若四边形的面积为40，，则的长为（ ） A. 9 B. 10 C. 12 D. 26 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 2的平方根是_________. 14. 已知中，，求证：．若用反证法证这个结论，应首先假设__________． 15. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点D．若，则的长为_____． 16. 如图，在中，垂直平分线于点，若的面积为，则的面积为______（用含的代数式表示）． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算下列各小题． （1）； （2）． 18. 按要求完成下列各小题． （1）解方程：； （2）先化简，再求值：，为的立方根． 19. 数学兴趣活动小组的同学们利用课余时间制作了内径测量仪，如图．制作和使用方法：将两根等长木棒的中点固定在一起，两根木棒可以绕固定点自由旋转．测量容器内径时，把测量仪的一端放入容器内，再将木棒的两端张开，使端点，分别抵住内壁，只要测出露在外面的两木棒端点，之间的距离，就可知道容器内径的大小． （1）请你用学过的数学知识解释测量仪的工作原理（即解释）； （2）若测得，，求的长． 20. 如图，已知，，垂足分别为，，与交于点，． （1）写出与的数量关系，并说明理由； （2）若是的中点，连接，求证：线段所在直线是边的垂直平分线． 21. 如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点修了一条垂直的小路（垂足为），恰好是的中点，且． （1）求边的长； （2）连接，判断的形状，并说明理由； （3）在的中点处修建饮水设备，求点与点之间的距离． 22. 如图，在中，是角平分线，，过点作，垂足为． （1）若，求与之间的数量关系； （2）若，，，求的长； （3）若，为线段（不与点，重合）上任意一点，连接，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的度数． 23. 在中，是中线，，，，分别是射线，射线上点，且． （1）如图1，当点与点重合时，求的度数； （2）如图2，当时，求证：； （3）如图3，将（1）中点的位置记为． ①当点在上，点在上时，试探究，，之间的数量关系，并说明理由； ②若，，请直接写出的长． 24. 某学习小组计划到博物馆参观学习． （1）为达到更佳的参观学习效果，他们租了一个私家讲解团，团费为360元，后又临时增加3名同学，同时团费变为了420元，实际的人均费用只为原来人均费用的，求该学习小组实际参观博物馆的同学人数； （2）该博物馆的参观路线全长千米，分为“经典讲解”和“特色数字化体检”两个部分，其中“经典讲解”部分参观路线的长度为3千米，且他们参观“经典讲解”部分的平均速度是参观“特色数字化体验”部分的平均速度的3倍，加上在“特色数字化体验”部分排队的10分钟，整个参观学习过程共小时，求他们参观“经典讲解”部分的平均速度为多少千米／时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年八年级第一学期期末考试 数学（冀教版） 本试卷共8页．总分120分，考试时间120分钟 注意事项：1．仔细审题，工整作答，保持卷面整洁． 2．考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的约分，直接把该分式的分母同时约去即可得到答案． 【详解】解：， 故选：A． 2. 二十四节气是中华民族历史文化的重要组成部分，图代表“大雪”节气，关于嘉嘉和淇淇的说法，下列判断正确的是（ ） 嘉嘉：这是一个轴对称图形；淇淇：这是一个中心对称图形 A. 只有嘉嘉说的对 B. 只有淇淇说的对 C. 两人说的都对 D. 两人说的都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：根据图形可知，这既是一个轴对称图形，也是一个中心对称图形，因此两个人说的都对． 故选：C． 3. 如图，一个挂钟的钟摆由最左侧点摆至最右侧点时，钟摆旋转的角度为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握等边对等角，根据题意得出，根据等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理求出结果即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵钟摆旋转的角度为， ∴． 故选：B． 4. 如图，用篱笆围一个直角三角形花田，若，米，米，则边需要的篱笆长为（ ） A. 6米 B. 5米 C. 4米 D. 3米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理计算即可． 【详解】解：在中，， 米，米， （米）， 边需要的篱笆长为3米． 故选：D． 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，二次根式加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．根据，得出，然后化简即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D． 6. 图是手工艺人制作的风筝，他根据，，利用两个三角形全等不用度量就可以知道，他判定两个三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．根据判定即可． 【详解】解：∵在和中, ， ∴， ∴， ∴判定两个三角形全等的依据是． 故选：A． 7. 下列关于的描述中，不正确的是（ ） A. 面积为8的正方形的边长是 B. 是无理数 C. D. 在数轴上可以找到表示的点 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的分类，平方根和立方根的性质，实数与数轴的关系，熟练掌握实数的分类，平方根和立方根的性质，实数与数轴的关系是解题的关键．根据实数的分类，平方根和立方根的性质，实数与数轴的关系逐项判断即可求解． 【详解】解：A、∵， ∴面积为8的正方形边长是，该说法正确，故本选项不符合题意； B、是无理数，该说法正确，故本选项不符合题意； C、∵， ∴，该说法错误，故本选项符合题意； D、因为数轴上的点与实数是一一对应的，所以在数轴上可以找到表示的点，该说法正确，故本选项不符合题意； 故选：C． 8. 如图，已知，点，，，在一条直线上，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质得到，，，，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴， 综上可知，选项A、B、C正确，但无法证明，故选项D不一定成立， 故选：D 9. 定义一种新运算“※”为：，则方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了定义新运算、解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．根据定义新运算得到方程，再解分式方程求出的值即可． 【详解】解：由题意得，， 去分母，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解． 故选：B． 10. 图的尺规作图中，可以确定为等腰三角形的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了基本作图，垂直平分线的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定方法．直接根据作图可以判断①符合题意；根据作图先确定平分，，根据平行线的判定和角平分线定义，证明，即可判断②符合题意；根据垂直平分线的性质可以判断③符合题意． 【详解】解：图①中以点A、C为圆心，相同的长度为半径画弧，两弧交于点B，则，因此为等腰三角形，故①符合题意； 图②中，根据作图可知：平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形，故②符合题意； 图③中，根据作图可知：垂直平分， ∴， ∴为等腰三角形，故③符合题意； 综上分析可知：可以确定为等腰三角形的有3个， 故选：D． 11. 如图，在中，点在边上，且，关于①，②，下列判断正确的是（ ） ①若，的周长为43，则； ②若，则图中共有2个等腰三角形 A. 只有①对 B. 只有②对 C. ①②都对 D. ①②都不对 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质． ①先证明，再求出，进而可得； ②先求出，再求出，得出，进而可得出图中共有3个等腰三角形． 【详解】解：①∵，， ∴，， ∴． ∵，的周长， ∴， ∴，故①正确； ②∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴图中共有3个等腰三角形，故②错误． 故选A． 12. 如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于点，且点恰好在边上．若四边形的面积为40，，则的长为（ ） A. 9 B. 10 C. 12 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线性质，过点E作于点F，根据角平分线的性质得出，，证明，得出，同理得出，根据，，求出结果即可． 【详解】解：过点E作于点F，如图所示： ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：B． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 2的平方根是_________. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据平方根的定义求解即可（需注意一个正数有两个平方根）． 【详解】解：2的平方根是故答案为． 【点睛】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 14. 已知中，，求证：．若用反证法证这个结论，应首先假设__________． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据反证法的解法步骤解答即可． 【详解】解：对于已知中，，求证： 若用反证法证这个结论，应首先假设， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反证法，解答的关键是熟知反证法的步骤：（1）假设结论不成立；从假设出发推出矛盾；假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 15. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点D．若，则的长为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，含度角的直角三角形的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，再根据等边对等角和三角形外角的性质推出，则． 【详解】解：∵垂直平分线交于点D，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 16. 如图，在中，垂直的平分线于点，若的面积为，则的面积为______（用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形中线的性质．遇到角平分线和垂线，构造全等三角形是解题的关键．延长交于，证明，利用三角形的中线的性质即可得解． 详解】解：延长交于， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴ 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算下列各小题． （1）； （2）． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式的乘法，再计算二次根式的加法即可； （1）先利用完全平方公式化简，再计算二次根式的除法，最后计算二次根式的加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 按要求完成下列各小题． （1）解方程：； （2）先化简，再求值：，为的立方根． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程和分式的化简求值． （1）去分母化为整式方程，解整式方程并检验即可； （2）先计算分式减法，再计算分式除法，得到化简结果，再求出字母的值，代入化简结果计算即可． 【小问1详解】 解： 两边都乘以得， 解得 当时， ∴是分式方程的解； 【小问2详解】 ； ∵为的立方根 ∴， ∴原式 19. 数学兴趣活动小组的同学们利用课余时间制作了内径测量仪，如图．制作和使用方法：将两根等长木棒的中点固定在一起，两根木棒可以绕固定点自由旋转．测量容器内径时，把测量仪的一端放入容器内，再将木棒的两端张开，使端点，分别抵住内壁，只要测出露在外面的两木棒端点，之间的距离，就可知道容器内径的大小． （1）请你用学过的数学知识解释测量仪的工作原理（即解释）； （2）若测得，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形和等边三角形的性质与判定是解题的关键． （1）利用全等三角形判定证明即可； （2）通过证明是等边三角形即可解答． 【小问1详解】 证明：在和中， ， ， ． 【小问2详解】 解：由题意得，， 点是的中点， ，， ， 又， 是等边三角形， ， 的长为4． 20. 如图，已知，，垂足分别为，，与交于点，． （1）写出与的数量关系，并说明理由； （2）若是的中点，连接，求证：线段所在直线是边的垂直平分线． 【答案】（1），理由见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的判定、线段垂直平分线的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用全等三角形判定证明，即可得出结论； （2）由（1）得，得到，根据等角对等边可得，结合是的中点，再利用线段垂直平分线的判定，即可得证． 【小问1详解】 解：，理由如下： ，， ， 在和中， ， ， ． 【小问2详解】 证明：由（1）得，， ， ， 点在边的垂直平分线上， 又是的中点， ， 在边的垂直平分线上， 线段所在直线是边的垂直平分线． 21. 如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点修了一条垂直的小路（垂足为），恰好是的中点，且． （1）求边的长； （2）连接，判断的形状，并说明理由； （3）在的中点处修建饮水设备，求点与点之间的距离． 【答案】（1） （2）是直角三角形，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、垂直平分线的性质、直角三角形斜边上的中线，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）在中利用勾股定理求出的长，即可求出的长； （2）由垂直平分线的性质可得，再利用勾股定理的逆定理证出，即可得出结论； （3）由（2）得，，结合点是的中点，再利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，即可得到点与点之间的距离． 【小问1详解】 解：， ， 在中，， ，， ， 恰好是中点， ， ． 边的长为． 【小问2详解】 解：是直角三角形，理由如下： 如图， ，恰好是的中点， 是的垂直平分线， ， 又，， ， ， 是直角三角形． 【小问3详解】 解：如图，连接， 由（2）得，， 又点是的中点， ， 点与点之间的距离为． 22. 如图，在中，是角平分线，，过点作，垂足为． （1）若，求与之间的数量关系； （2）若，，，求的长； （3）若，为线段（不与点，重合）上任意一点，连接，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】（1） （2）3 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由题意得，得到是等边三角形，结合是角平分线，再利用三线合一性质可得，即可得出结论； （2）过点作于点，利用角平分线的性质定理得到，利用和三角形的面积公式即可求出的长； （3）利用角平分线的定义和三角形外角的性质求出，由是以为腰的等腰三角形，分2种情况①；②，利用三角形内角和定理分别求出对应的的度数即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 是等边三角形， 又是角平分线， ， 与之间的数量关系为． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， 是角平分线，，， ， ， ，即， 解得：， 的长为3． 【小问3详解】 解：， ， 又是角平分线， ， ， ， ， 是以为腰的等腰三角形， 或， ①若，则； ②若，则； 综上所述，的度数为或． 23. 在中，是中线，，，，分别是射线，射线上点，且． （1）如图1，当点与点重合时，求的度数； （2）如图2，当时，求证：； （3）如图3，将（1）中点的位置记为． ①当点在上，点在上时，试探究，，之间的数量关系，并说明理由； ②若，，请直接写出的长． 【答案】（1） （2）见解析 （3）①；理由见解析；②或1． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，，根据三角形内角和定理求出结果即可； （2）根据证明三角形全等即可； （3）①证明为等边三角形，得出，证明，得出，即可得出结论； ②分两种情况讨论：当点E在上时，当点E在延长线上时，分别画出图形，利用全等三角形，求解即可． 【小问1详解】 解：∵在中，是中线，，， ∴，， ∵， ∴； 小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； 【小问3详解】 解：①；理由如下： 根据解析（1）可知：， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据解析（2）可知：， ∴， 当点E在上时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点E在延长线上时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上分析可知：或1． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 24. 某学习小组计划到博物馆参观学习． （1）为达到更佳的参观学习效果，他们租了一个私家讲解团，团费为360元，后又临时增加3名同学，同时团费变为了420元，实际的人均费用只为原来人均费用的，求该学习小组实际参观博物馆的同学人数； （2）该博物馆的参观路线全长千米，分为“经典讲解”和“特色数字化体检”两个部分，其中“经典讲解”部分参观路线的长度为3千米，且他们参观“经典讲解”部分的平均速度是参观“特色数字化体验”部分的平均速度的3倍，加上在“特色数字化体验”部分排队的10分钟，整个参观学习过程共小时，求他们参观“经典讲解”部分的平均速度为多少千米／时． 【答案】（1）学习小组实际参观博物馆的同学人数为15人 （2）参观“经典讲解”部分的平均速度为千米/时 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系． （1）设该学习小组实际参观博物馆的同学人数为x人，则原计划参观人数为人，根据“实际的人均费用只为原来的人均费用的”列方程求解即可； （2）设参观“经典讲解”部分的平均速度为千米／时，则“特色数字化体验”分的平均速度为y千米/时，根据参观“经典讲解”、 在“特色数字化体验”部分排队的时间、参观“特色数字化体验”的时间共小时，即可列方程求解． 【小问1详解】 解：设该学习小组实际参观博物馆的同学人数为x人，则原计划参观人数为人， 根据题意，得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 答：学习小组实际参观博物馆的同学人数为15人； 【小问2详解】 解：设参观“经典讲解”部分的平均速度为千米／时，则“特色数字化体验”分的平均速度为y千米/时， 根据题意，得， 解得：， 经检验是原方程的解， （千米/时） 答：参观“经典讲解”部分的平均速度为千米/时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$