精品解析：广东省深圳市宝安区2024-2025学年高二上学期期末调研测试数学试题

宝安区2024-2025学年第一学期期末调研测试卷 高二数学 2025.1 注意事项： 1.答题前，请将姓名、班级和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并正确粘贴条形码. 2.作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案写在答题卡指定区域内，写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效. 3.本试卷共4页，19小题，满分为150分.考试时间120分钟. 4.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角等于（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由倾斜角的定义可求结论. 【详解】因为直线垂直于轴，所以直线的倾斜角为. 故选：C. 2. 等比数列中，则的前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】 根据求出公比，利用等比数列的前n项和公式即可求出. 【详解】 , ，又所以， . 故选：B. 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，等比数列的前n项和，属于基础题. 3. 如图，平行六面体中，E为BC的中点，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的线性运算求解即得. 【详解】在平行六面体中，E为BC的中点， 所以. 故选：B 4. 若直线与圆相切，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用直线和圆相切的条件及点线距离公式列方程可得答案. 【详解】因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离，解得. 故选：A 5. 过抛物线的焦点的直线与抛物线C相交于A，B两点，若线段中点的坐标为，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用点差法及中点与焦点坐标分别表示直线斜率，可建立关于的方程，求解可得. 【详解】设，，则， 两式作差得，， 当时，则中点坐标为焦点，不满足题意； 当时，得． 设线段中点，因为坐标，且过焦点， 所以， 则的斜率， 解得． 故选：A. 6. 如图，二面角的棱上有两点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，则二面角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，则二面角的大小为，根据，展开计算可得，即可求解. 【详解】设，则二面角的大小为， 由题意，，则， 所以， 即，得，所以， 即二面角的大小为. 故选：C. 7. 已知，，三点，直线l1：与直线l2：相交于点P，则的最大值（ ） A. 72 B. 80 C. 88 D. 100 【答案】C 【解析】 【分析】分析两直线特征，恒过定点，联立两直线方程，消去，得到交点的轨迹方程，然后借助于的坐标范围，求出的最大值. 【详解】直线l1：变形为直线恒过定点， 直线l2：直线恒过定点， 直线l1：与直线l2：相交于点P， 联立，消去，得 所以是以为圆心，半径为2的圆上一点，设且， ， 所以的最大值为88， 故选：C. 8. 已知椭圆与双曲线具有相同的左、右焦点，，点为它们在第一象限的交点，动点在曲线上，若记曲线，的离心率分别为，，满足，且直线与轴的交点的坐标为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆、双曲线的定义可得，结合离心率可得，在中，利用余弦定理可得，进而结合椭圆性质可知：当为椭圆短轴顶点时，取到最大值，分析求解即可. 【详解】由题意可知：，解得， 又因为，可得， 由直线与轴的交点的坐标为可得， 在中，由余弦定理可得 ， 可得，整理得，解得或（舍去）， 且，所以， 由椭圆性质可知：当为椭圆短轴顶点时，取到最大值， 此时， 且，则，所以，即. 故选：A. . 【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于找到的两种表达方式，构造了关于的方程，从而得解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列给出的命题正确的是（ ） A. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 B. 两个不重合的平面，的法向量分别是，，则 C. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 D. 对空间任意一点O与不共线的三点，若（其中），则四点共面 【答案】BC 【解析】 【分析】利用空间向量研究线面、面面关系可判定A、B，利用基底的概念可判定C，利用空间中四点共面的推论可判定D. 【详解】易知，则直线l与平面平行或在面内，故A错误； 易知，则，故B正确； 若不能作为基底， 则存在，使得， 整理得， 又是空间的一组基底，则，显然方程无解，假设不成立，故C正确； 由空间四点共面的推论可知：若，且时， 四点共面，所以D错误. 故选：BC 10. 若直线与圆交于不同的两点，，为坐标原点，则（ ） A. 当时， B. 的取值范围为 C. D. 线段中点的轨迹长度小于 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用勾股定理可求弦长，根据数量积的公式和夹角可求的取值范围，利用切割线定理可求，结合线段中点的轨迹方程可求长度. 【详解】由题知，圆心，半径， 对于A，时，圆心到直线的距离为，所以，A正确； 对于B，， 因为两点不重合，所以，所以的取值范围为，B不正确； 对于C，易知圆与坐标轴相切，设圆与轴相切于点， 由切割线定理可得，，C正确； 对于D，设，线段中点为， 联立，，， 所以，消去可得，， 即， 所以线段中点的轨迹是以为圆心，为半径的圆夹在圆内的部分， 因为为半径的圆的周长为，所以线段中点的轨迹长度小于. 故选：ACD 11. 若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”.已知数列为“调和数列”，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，且，，则 C. 若中各项均为正数，则 D. 若为数列的前项和，且满足，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据“调和数列”的定义可以确定为等差数列，再利用等差数列的性质可判断A选项；利用等差数列的定义求得其通项公式，可判断B选项；根据等差数列的性质结合基本不等式可得证，可判断C选项；求出数列的通项公式，结合放缩法可判断D选项. 【详解】对于A选项，依题意可得为等差数列，由， 根据等差数列的性质得，则可得， 所以，，则，故错误； 对于B选项，由，且，，可得，， 则，所以，，则，故正确； 对于C选项，由为等差数列，可得， 所以，， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D选项，由已知可得，所以，，则， 所以，， 当时，成立， 当时，， 所以， ， 综上所述，对任意的，，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于根据题中的定义结合等差数列的相关知识求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 设是等差数列的前项和，若，，则______. 【答案】28 【解析】 【分析】根据下标和性质求出、，再由求和公式计算可得. 【详解】因为，所以， 所以， 则. 故答案： 13. 已知数列的前项和为，且，令数列的前项和为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用给定的前项和求出通项，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】依题意，当时，，而满足上式， 因此，， 则， 所以. 故答案为： 14. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，点，沿轴将坐标系翻折成直二面角，当三棱锥的体积最大时，______. （参考公式：设，则，当且仅当时等号成立） 【答案】 【解析】 【分析】设出直线方程，与抛物线联立，结合韦达定理得到，利用三棱锥的体积公式表示体积表达式，结合不等式可求答案. 【详解】设直线的方程为，联立方程， 得，所以， . 当且仅当，即时，三棱锥的体积最大. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两点：一是利用体积公式表示出三棱锥的体积；二是利用三元的不等式求解最值. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是以为首项，为公比的等比数列，且. （1）证明：等差数列； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由等比数列的定义可得出，在等式两边同时除以，结合等差数列的定义可得结论； （2）根据（1）中的结论求出数列的通项公式，然后利用错位相减法可求得. 【小问1详解】 因为是以为首项，为公比的等比数列，所以， 所以，即， 又，所以是首项为，公差为的等差数列. 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 所以，。 则， 上述两个等式作差可得 ， 故. 16. 已知三个顶点分别，，，记的外接圆为圆. （1）求圆的标准方程； （2）若动圆与圆相交与，两点，当最长时，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设圆的方程是，由点在圆上列方程组求参数，进而写出其标准方程； （2）根据两圆相交，将两圆的方程作差求相交弦所在直线方程，由最长，为圆的直径，即可求. 【小问1详解】 设圆的方程是①， 由于圆是的外接圆，故，，三个点都在圆上， 所以它们的坐标都满足①的解，把它们的坐标依次代入①的方程， 得到关于，，的一个三元一次方程组，，解得， 所求的圆的方程是，标准方程是. 【小问2详解】 由于两圆相交，联立两圆方程， 作差，得， 要使得最长，则此时过点，即为圆的直径， 将点代入得，，结合，得 17. 已知为坐标原点，，，直线，的斜率之积为4，记动点的轨迹为. （1）求的方程； （2）直线经过点，与交于，两点，线段中点为第一象限，且纵坐标为，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设点的坐标为，根据题意结合斜率公式求解即可； （2）显然直线的斜率不存在时，不符合题意，设直线方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理求出的值，再求出和到直线的距离即可求解. 【小问1详解】 设点的坐标为， 因为，，所以， 化简得： 所以的方程为：. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，显然不符合题意； 设，，直线方程为， 与联立得：， 由且，解得且， 由韦达定理得， 因为线段中点在第一象限，且纵坐标为， 所以， 解得或（舍去）， 所以直线， 所以， 所以， 点到直线的距离， 所以. 【点睛】解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于或的一元二次方程； （3）写出韦达定理； （4）将所求问题或题中关系转化为，形式； （5）代入韦达定理求解. 18. 如图，在三棱台中，上下底面分别为边长是2和4的等边三角形，平面，，为的中点，为线段上一点. （1）若为的中点，证明：平面； （2）是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，点为线段的三等分点 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质，得线线垂直，进而结合线面垂直的判定即可求解， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量的夹角求解. 【小问1详解】 证明：连接，则四边形为平行四边形， 由于平面，故平面，平面, 故,结合为的中点，故为等腰三角形， 可得，，所以，即， 因为，分别为，的中点，所以，所以， 因为平面，平面，所以，易知， 且两直线在平面内，所以平面，又平面，所以， 又，所以平面. 【小问2详解】 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图空间直角坐标系， 则，，，. 设，，所以， 又， 设平面的法向量为， 所以，令，则， 因为，设直线与平面所成角为， 则， 整理得，即或， 所以，当点为线段的三等分点时， 直线与平面所成角的正弦值为. 19. 若椭圆：上的两个点满足，则称M，N为该椭圆的一个“共轭点对”，点M，N互为共轭点.显然，对于椭圆上任意一点，总有两个共轭点.已知椭圆，点是椭圆上一动点，点的两个共轭点分别记为. （1）当点坐标为时，求； （2）当直线斜率存在时，记其斜率分别为，其中，求的最小值； （3）证明：的面积为定值. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入椭圆方程，再根据共轭点的条件得到满足的方程，进而求出. （2）斜率公式和共轭点条件表示出，再利用均值不等式求的最小值. （3）利用三角形面积公式，结合前面求出的关系来证明面积为定值. 【小问1详解】 的共轭点分别记为， ， 直线的方程为， 联立得， ， ； 【小问2详解】 点在椭圆上， ，即， 由（1）知，直线的方程为，即， 当时，直线的方程为，代入， 得，即， ， ， 当时，易知，对应共轭点为， 此时，故也成立， ，当且仅当时等号成立； 【小问3详解】 由（2）知，对任意点，都有， ， 点到直线的距离为， 的面积， 故的面积为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宝安区2024-2025学年第一学期期末调研测试卷 高二数学 2025.1 注意事项： 1.答题前，请将姓名、班级和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并正确粘贴条形码. 2.作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案写在答题卡指定区域内，写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效. 3.本试卷共4页，19小题，满分为150分.考试时间120分钟. 4.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角等于（ ） A. 0 B. C. D. 2. 等比数列中，则的前项和为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，平行六面体中，E为BC的中点，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若直线与圆相切，则（ ） A. B. 1 C. D. 5. 过抛物线焦点的直线与抛物线C相交于A，B两点，若线段中点的坐标为，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 如图，二面角的棱上有两点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，则二面角的大小为（ ） A B. C. D. 7. 已知，，三点，直线l1：与直线l2：相交于点P，则的最大值（ ） A. 72 B. 80 C. 88 D. 100 8. 已知椭圆与双曲线具有相同的左、右焦点，，点为它们在第一象限的交点，动点在曲线上，若记曲线，的离心率分别为，，满足，且直线与轴的交点的坐标为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列给出的命题正确的是（ ） A. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 B. 两个不重合平面，的法向量分别是，，则 C. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 D. 对空间任意一点O与不共线的三点，若（其中），则四点共面 10. 若直线与圆交于不同的两点，，为坐标原点，则（ ） A. 当时， B. 的取值范围为 C. D. 线段中点的轨迹长度小于 11. 若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”.已知数列为“调和数列”，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，且，，则 C. 若中各项均为正数，则 D. 若为数列的前项和，且满足，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 设是等差数列的前项和，若，，则______. 13. 已知数列的前项和为，且，令数列的前项和为，则______. 14. 过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，点，沿轴将坐标系翻折成直二面角，当三棱锥的体积最大时，______. （参考公式：设，则，当且仅当时等号成立） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是以为首项，为公比的等比数列，且. （1）证明：是等差数列； （2）求数列的前项和. 16. 已知三个顶点分别，，，记的外接圆为圆. （1）求圆的标准方程； （2）若动圆与圆相交与，两点，当最长时，求的值. 17. 已知为坐标原点，，，直线，的斜率之积为4，记动点的轨迹为. （1）求的方程； （2）直线经过点，与交于，两点，线段中点为第一象限，且纵坐标为，求的面积. 18. 如图，在三棱台中，上下底面分别为边长是2和4等边三角形，平面，，为的中点，为线段上一点. （1）若为的中点，证明：平面； （2）是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，说明理由. 19. 若椭圆：上的两个点满足，则称M，N为该椭圆的一个“共轭点对”，点M，N互为共轭点.显然，对于椭圆上任意一点，总有两个共轭点.已知椭圆，点是椭圆上一动点，点的两个共轭点分别记为. （1）当点坐标为时，求； （2）当直线斜率存在时，记其斜率分别为，其中，求的最小值； （3）证明：的面积为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $