精品解析：吉林省长春市博硕学校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

长春博硕学校2024—2025学年度上学期 高一年级期末考试 数学学科试卷 考试时间： 120分钟 满分：150分 命题人：赵雪梅 审题人：刘艳秋 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3. 下列选项中叙述正确的是 A. 三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B. 锐角一定是第一象限的角 C. 小于90°的角一定是锐角 D. 终边相同的角一定相等 4. 下列结论错误的是（ ） A. 命题“若，则”为真命题. B. “”是“”的充分不必要条件 C. 已知命题：“若，则方程有实数根”，则命题的否定为真命题 D. 命题“若，则且”为真命题 5. 已知圆心角为的扇形的半径为2，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则（ ） A. 1 B. -1 C. D. 7. 已知，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数有个不同零点，则正实数的范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题6分，共24分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的最大值为1 C. 是偶函数 D. 的图象关于直线对称 10. 定义域为R的函数在上是减函数，若函数是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 11. 下列计算中正确的是（ ） A. 已知，则= B. C. D. 12. 下列命题正确的是（ ） A. 已知正数、满足，则的最小值为 B. 若，则的最大值是 C. 的值为1 D. 若且，则 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分. 13. 函数的定义域为______． 14. 已知函数的图象经过点，则函数的单调递增区间是______． 15. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是1%，一年后是；这样，一年后的1“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过________天?（参考数据：，，） 16. 已知，，则的值为_______． 四、解答题：本题共6小题，共计66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知集合，. （1）当时，求：①，②； （2）若，求实数m的取值范围. 18. 若角的终边过点 （1）求值； （2）求的值. 19. 已知不等式的解集为. （1）若，求实数的取值范围； （2）当为空集时，求不等式的解集. 20. 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为10000辆，本年度为适应市场需求，计划适度增加投入成本，提高产品的档次.若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应的提高比例为，同时预计年销售量增加的比例为 （1）写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式； （2）投入成本增加的比例多大时，本年度预计的年利润最大？最大值是多少？ 21. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调递减区间； （2）求函数在上的最值. 22. 已知是定义在上的奇函数. （1）求实数，的值. （2）试判断并证明函数的单调性； （3）已知，若对任意且，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春博硕学校2024—2025学年度上学期 高一年级期末考试 数学学科试卷 考试时间： 120分钟 满分：150分 命题人：赵雪梅 审题人：刘艳秋 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求解一元二次不等式得到集合，根据集合的交集运算求解即可. 【详解】因为，即，解得或， 所以或， 所以. 故选：B. 2. 设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的定义域与函数的值域以及函数的定义，判断选项即可． 【详解】对于①，x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性，故①错误； 对于②，同时满足任意性与唯一性，故②正确； 对于③，x＝2时，对应元素y＝3∉N，不满足任意性，故③错误； 对于④，x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性，故④错误. 故选：B. 【点睛】本题考查函数的概念以及函数的定义域以及值域的应用，是基础题． 3. 下列选项中叙述正确的是 A. 三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B. 锐角一定是第一象限的角 C. 小于90°的角一定是锐角 D. 终边相同的角一定相等 【答案】B 【解析】 【分析】通过举反例否定A；证明B；举反例否定C；举反例否定D. 【详解】对于A，当三角形的内角为90°时，不是象限角； 对于B，锐角的范围是（0°，90°），是第一象限角，B正确； 对于C，0°< 90°，但0°不是锐角，C错误； 对于D，终边相同的角不一定相等，比如45°和360°+45°的终边相同，但两个角不相等，D错误． 故选B． 【点睛】该题考查的是有关判断命题正误的问题，涉及到的知识点有象限角的概念，以及终边相同的角的关系，属于简单题目. 4. 下列结论错误的是（ ） A. 命题“若，则”为真命题. B. “”是“”的充分不必要条件 C. 已知命题：“若，则方程有实数根”，则命题的否定为真命题 D. 命题“若，则且”为真命题 【答案】C 【解析】 【分析】对于A：把代入,即可判断；对于B：利用集合法判断； 对于C：先判断出命题为真命题，可以得到命题的否定为假命题；对于D：直接判断. 【详解】对于A：把代入成立，所以命题“若，则”为真命题.故A正确； 对于B：由解得：.而,所以“”是“”的充分不必要条件.故B正确； 对于C：因为，所以，所以方程有实数根.故命题为真命题，所以命题的否定为假命题.故C错误； 对于D：因为，所以且.故D正确. 故选：C 5. 已知圆心角为的扇形的半径为2，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据扇形的弧长公式和面积公式求解即可. 【详解】，该扇形的弧长， 所以该扇形的面积. 故选：B. 6. 已知，，则（ ） A. 1 B. -1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，利用两角差的正切公式展开，即可计算出答案. 【详解】因为，， 所以 . 故选：A. 7. 已知，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数的奇偶性得出不等式，再结合单调性列不等式，最后解绝对值不等式即可. 【详解】由题意知函数定义域为，关于原点对称， 因为，所以为偶函数， 因为，所以， 当，单调递增， 所以，所以或，解得或. 所以不等式的解集是. 故选：A. 8. 设函数有个不同零点，则正实数的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得在上有3个不同零点，利用正弦函数的性质列出不等式，解出正实数的范围 【详解】当时，令，解得，即在上仅有一个零点， 所以只需在上有3个不同零点即可， 当时，， 所以，即. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于结合正弦函数的性质列不等式，重点关注端点是否取等. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题6分，共24分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的最大值为1 C. 是偶函数 D. 的图象关于直线对称 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数的图像逐项判断即可. 【详解】函数， 所以的图像关于轴对称，且不具备周期性，不关于直线对称， 故选项AD错误，C正确， 且的最大值为1，故B正确. 故选：BC 10. 定义域为R的函数在上是减函数，若函数是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】利用函数的对称性以及单调性比较函数值的大小. 【详解】因为函数是偶函数，所有， 即函数的对称轴为， 又因为在上是减函数，所以在上是增函数， 对于A，因为在上是增函数，所有，故A错误； 对于B，因为，所有，又在上是增函数， 所有，故B错误； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，因为，所有，又在上是增函数， 所有，故D正确. 故选：CD. 11. 下列计算中正确的是（ ） A. 已知，则= B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系判断A选项；应用两角和的正弦结合诱导公式判断B选项；应用两角和的正切公式判断C选项；用正弦的和角公式化简求解即可判断D选项； 【详解】对于A， 已知，则,所以A正确； 对于B， ，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D， ，故D错误. 故选：AC. 12. 下列命题正确的是（ ） A. 已知正数、满足，则的最小值为 B. 若，则的最大值是 C. 的值为1 D. 若且，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据基本不等式可判断A和B；利用对数的运算法则可判断C；利用指对互化和换底公式以及对数的运算法则可判断D. 【详解】对于A，因为正数、满足，所以， 则， 当且仅当，即当时等号成立，所以，故A正确； 对于B，因为，所以， 当且仅当即时等号成立，所以，故B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D，因为，则， 则，所以， 所以（舍）或，故D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分. 13. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】定义域满足 . 【详解】的定义域满足 ，即 . 故答案为：. 14. 已知函数的图象经过点，则函数的单调递增区间是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题确定函数的解析式，再结合指数函数与二次函数的单调性确定复合函数单调性即可得结论. 【详解】由题意得，，解得，则， 又在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间是． 故答案为：. 15. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是1%，一年后是；这样，一年后的1“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过________天?（参考数据：，，） 【答案】35 【解析】 【分析】结合已知条件，利用对数运算即可求解. 【详解】设经过天“进步 ”的值是“退步”的值的倍. 则 ，即， 故，故， 故大约经过天. 故答案为：. 16. 已知，，则的值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】结合角的取值范围，结合同角三角函数基本关系和诱导公式求值. 【详解】因为，又，所以且. 所以； . 所以：. 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共计66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知集合，. （1）当时，求：①，②； （2）若，求实数m的取值范围. 【答案】（1）①，② （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的并集，交集，全集，补集的定义计算即可； （2）利用集合间的包含关系列不等式，求解即可. 【小问1详解】 由，解得，则， 当时，， 所以，或， 则. 【小问2详解】 由（1）知， 由，得，解得， 因此，实数m的取值范围是. 18. 若角的终边过点 （1）求值； （2）求的值. 【答案】（1）， （2）7 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的定义求解即可； （2）利用诱导公式将原式化简，代入求解即可. 【小问1详解】 因为角的终边过点， 所以，； 【小问2详解】 . 19. 已知不等式的解集为. （1）若，求实数的取值范围； （2）当为空集时，求不等式的解集. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，2满足已知不等式，代入即可求解； （2）由M为空集，可求得a，然后代入分式不等式即可求解. 【小问1详解】 由已知可得，，解得， 所以实数a的取值范围为； 【小问2详解】 当M为空集，则，即； 所以，即， ∴，即， ∴，解得或. ∴此不等式的解集为. 20. 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为10000辆，本年度为适应市场需求，计划适度增加投入成本，提高产品的档次.若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应的提高比例为，同时预计年销售量增加的比例为 （1）写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式； （2）投入成本增加的比例多大时，本年度预计的年利润最大？最大值是多少？ 【答案】（1） （2）投入成本增加的比例为时，本年度预计的年利润最大，最大值是万元 【解析】 【分析】（1）根据“年利润=（出厂价－投入成本）×销售量”公式即可求得解析式； （2）根据二次函数的性质即可得出最大值. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 函数的图象开口向下，对称轴为直线. ∴当时，取得最大值. ∴投入成本增加的比例为时，本年度预计的年利润最大，最大值是万元. 21. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调递减区间； （2）求函数在上的最值. 【答案】（1）最小正周期为，单调递减区间为 （2）， 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式及两角差的正弦公式化简，由周期公式可得周期，由整体法求解可得函数的单调递减区间； （2）由的范围和三角函数的性质逐步求解可得值域. 【小问1详解】 由函数 ， 所以的最小正周期为， 令，可得， 所以的单调减区间为. 【小问2详解】 由（1）知，函数的单调递增区间为， 因为，所以在上单调递增，在上单调递减， 且，，，所以，. 22. 已知是定义在上的奇函数. （1）求实数，的值. （2）试判断并证明函数的单调性； （3）已知，若对任意且，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）增函数，证明：任意的， 有， 所以，故函数是上的增函数； （3） 【解析】 【分析】（1）由是奇函数，可得对任意的成立，可得实数，的值，代入验证后即可求解； （2）根据题意设任意的，，由单调函数定义即可判断； （3）利用换元法令，若不等式恒成立，再根据基本不等式性质即可求解. 【小问1详解】 因为是奇函数，则， 整理得：， 要使上式对任意的成立， 则，解得或， 当时，的定义域为，不合题意， 当时，的定义域为，符合题意， 所以 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 因为恒成立， 等价于恒成立，令，， 则， 则，可得在时恒成立， 由基本不等式，当且仅当时，等号成立，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $