精品解析：辽宁省名校联盟2025届高三上学期1月份联合考试数学试题

辽宁省名校联盟2025届高三上学期1月份联合考试数学试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（i为虚数单位），则（ ） A. 0 B. C. D. 2025 3. 设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列满足且，，记的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 在区间上单调递减 D. 当时，的最大值为 7. 不等式对任意恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 已知球是正三棱柱的内切球，，是球表面上一点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是等差数列的前项和，，且，则（ ） A. 公差 B. C. D. 时，最大 10. 已知是的中线BD上一点（不包含端点），且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 11. 如图，四棱柱的底面是边长为的正方形，侧棱底面，三棱锥的体积为，底面和的中心分别是和是的中点，过点的平面分别交于点F、N、M，且平面是线段MN上任意一点（含端点），是线段上任意一点（含端点），则下列说法正确的是（） A. 侧棱的长为 B. 四棱柱的外接球的表面积是 C. 当时，平面截四棱柱的截面是五边形 D. 当和变化时，的最小值为5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，是双曲线的两个焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C上且，则的面积为________. 13. 在正三棱柱每条棱的中点中任取2个点，则这两点所在直线平行于正三棱柱的某个侧面或底面所在平面的概率为______. 14. 已知函数若恰有6个不同的实数解，则正实数的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面平面，点在棱PB上，且平面ACE. （1）求证：为PB的中点； （2）求平面ACE与平面ACD夹角的正弦值. 16. 某店举行消费抽奖活动，顾客到店消费100元及以上，可参加一次抽奖活动，抽奖规则如下：从装有10张形状大小完全相同的卡片（7张红卡片，2张黄卡片，1张黑卡片）的抽奖箱中，一次性抽出3张卡片，其中1黑2黄，则全免单，1红1黄1黑，则享受5折优惠，1黑2红，则享受7折优惠，其余情况则享受8折优惠． （1）若某位顾客消费价格为100元的商品，求该顾客实际付款金额的分布列与数学期望． （2）若顾客通过抽奖享受8折优惠，则每消费满100元售货员可获得3元的提成；若顾客通过抽奖享受7折、5折或免单优惠，则每消费满100元售货员可获得2元提成若某售货员在某天可以接待100名消费满100元且不满200元的顾客，则该售货员可能获得的提成为多少元． 17. 设的三个内角的对边分别为，已知角为钝角，. （1）若，求的周长; （2）求的取值范围. 18. 已知椭圆的左焦点为，上下顶点分别为，，离心率为，点是轴正半轴上一点，当与右焦点重合时，原点到直线的距离为，当与右顶点重合时，直线的斜率也为. （1）求椭圆的方程； （2）设点（与不重合）是点关于直线的对称点，直线与椭圆交于，两点，直线与交于点，证明：为定值. 19. 已知函数，． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若，设直线l为在处的切线，且l与的图像在内有两个不同公共点，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省名校联盟2025届高三上学期1月份联合考试数学试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式不等式求解，再求解并集即可. 【详解】由题可知，， 因为，所以. 故选：D. 2. 已知复数（i为虚数单位），则（ ） A. 0 B. C. D. 2025 【答案】C 【解析】 【分析】先利用复数的除法化简复数z，进而得到，再利用减法求解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 3. 设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，根据点斜式求解切线方程，即可求解切线与坐标轴的交点，进而可求解面积. 【详解】，则，即切线方程为. 令，则，令，则，故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为. 故选：A 4. 已知函数，在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分段求出函数的导函数，则恒成立，参变分离求出参数的取值范围，即可得解. 【详解】因为， 当时，，则恒成立， 所以在上恒成立，则； 当时，，则恒成立， 所以在上恒成立，所以； 又，综上可得的取值范围是. 故选：B. 5. 已知数列满足且，，记的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据递推公式可得数列奇数项和偶数项的特征，分别求和即可求得结果. 【详解】当为偶数时，，又，的偶数项是以为首项，为公差的等差数列； 当为奇数时，，又，的奇数项是以为首项，为公比的等比数列； . 故选：B. 6. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 在区间上单调递减 D. 当时，的最大值为 【答案】A 【解析】 【分析】A.由判断；B.由判断；C.由函数和与在区间上均单调递减判断；D.当时，由，利用基本不等式判断. 【详解】对于A：因为， 所以的图象关于点对称，A项正确； 对于B：因为， 所以的图象不关于直线对称，B项错误； 对于C：因为函数在区间，上单调递减，且函数与在区间上均单调递减， 所以函数与在区间上均单调递增， 所以在区间上单调递增，C项错误； 对于D：当时，，则， 则，所以， 以上不等式中的等号当且仅当时成立， 所以 则的最小值为，D项错误． 故选：A． 7. 不等式对任意恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】易知方程有两个异号实根，不妨令，对于，若对任意有意义，则，即．然后分，，讨论求解. 【详解】易知方程有两个异号实根，不妨令，对于，若对任意有意义，则，即．当时，若对任意恒成立，则；当时，对于恒成立，则当时，，与已知矛盾；当时，在上单调递增，则要使得在时恒成立，必有成立．所以，且，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为． 故选：B． 8. 已知球是正三棱柱的内切球，，是球表面上一点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得等边三角形内切圆的半径，也即求得正三棱柱内切球的半径，根据向量运算求得正确答案. 【详解】设等边三角形内切圆的半径为， 则， 则正三棱柱的内切球半径，则正三棱柱的高为. 设等边三角形外接圆半径为，则， 所以，设是等边三角形的中心，是的中点， 连接，则，， 是球表面上一点，则 ， ，（同向是为，反向时为）， 所以，所以的取值范围是. 故选：B 【点睛】思路点睛:通过内切圆求内切球：首先通过等边三角形的内切圆半径，求得正三棱柱的内切球半径，这是确定球的大小的关键步骤. 利用向量运算确定数量积的取值范围：通过设定球心和球面上一点之间的关系，转化后利用向量运算确定数量积的取值范围，确保所有可能情况都得到考虑. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是等差数列的前项和，，且，则（ ） A. 公差 B. C. D. 时，最大 【答案】BC 【解析】 【分析】根据已知条件列方程，根据等差数列的性质对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设等差数列的公差为， 由得， 由于，所以，，， 所以A，D选项错误，B选项正确. 因为，故C选项正确. 故选：BC. 10. 已知是的中线BD上一点（不包含端点），且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】依题意可得，根据平面向量共线定理的推论得到，再利用基本不等式一一判断即可. 【详解】因为为边的中点，所以， 又，，共线，所以，所以A项正确； 对于B项，因为0，所以，可得， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，所以B项正确； 对于C项，， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为4，所以C项正确； 对于D项，由得， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为，所以D项错误. 故选：ABC. 11. 如图，四棱柱的底面是边长为的正方形，侧棱底面，三棱锥的体积为，底面和的中心分别是和是的中点，过点的平面分别交于点F、N、M，且平面是线段MN上任意一点（含端点），是线段上任意一点（含端点），则下列说法正确的是（） A. 侧棱的长为 B. 四棱柱的外接球的表面积是 C. 当时，平面截四棱柱的截面是五边形 D. 当和变化时，的最小值为5 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，可直接利用三棱锥的体积公式，求出侧棱长，从而判断选项A正确； 对于选项B，利用长方体外接球心是体对角线的中心，体对角线长即球的直径，从而求出半径，从而判断选项B错误； 对于选项C，利用性质找出平面截四棱柱的截面，再利用平行关系找出比例，从而判断出结果的正误； 对于选项D，先求证出平面，从而得到故对任意的都有，进而判断出结果的正误. 【详解】对于选项A，因为三棱锥的体积是，解得，故选项A正确； 对于选项B，外接球的半径满足，故外接球的表面积，故选项B错误； 对于选项C，如图，延长交的延长线于点，连接交于点，在平面内作交于，连接, 在四棱柱中，易知,因为平面，所以平面， 因为平面,平面平面, 所以,因为平面经过的中点, 所以分别为的中点， 所以，此时， 所以平面截四棱柱的截面是五边形，故选项C正确； 对于选项D，由C选项可知， 又因为四边形是正方形，，所以， 因为侧棱底面底面，所以， 又,所以平面，垂足是， 故对任意的都有， 又因为，故，故选项D正确， 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，是双曲线的两个焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C上且，则的面积为________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意可得，，利用勾股定理可得，即可得面积. 【详解】由题意可知：， 则，， 若，则， 即，可得， 所以的面积为. 故答案为：3. 13. 在正三棱柱每条棱的中点中任取2个点，则这两点所在直线平行于正三棱柱的某个侧面或底面所在平面的概率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】分3种情况，得到满足要求的直线共有条，由组合知识得到直线总数为条，从而求出概率. 【详解】如图，将直线分成3种情况：，，均平行于上底面或下底面所在平面，有条； ，均不平行于正三棱柱的侧面或底面所在平面； ，均平行于某个侧面，有条， 故满足要求的直线共有条， 又直线总数为条，故所求概率为. 故答案为： 14. 已知函数若恰有6个不同的实数解，则正实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】把问题转化为与或的交点，画出图形，数形结合，再结合单调性和对称性求出参数取值范围即可. 【详解】由题意可知的实数解可以转化为或的实数解， 即与或的图象交点的横坐标， 当时，，则，所以时，， 所以在上单调递增； 当时，，可得在上单调递减， 所以当时，取得极大值，也是最大值，且； 作出函数的大致图象如下图所示： 所以当时，由图可知与无交点，即方程无解； 与有两个不同的交点，即有两个实数解； 当时，， 令，则，则，， 作出大致图象如下图所示： 因为当时，与有两个不同的交点， 所以只保证与及共有四个交点即可， 所以只需，解得， 即可得正实数的取值范围. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面平面，点在棱PB上，且平面ACE. （1）求证：为PB的中点； （2）求平面ACE与平面ACD夹角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接BD交AC于点，连接EF，由平面，得到，再由为BD的中点证明； （2）先证明OF，OC，OP两两垂直，再以为坐标原点，OF，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求得平面ACE的法向量，易知是平面ACD的一个法向量，由求解. 【小问1详解】 证明：连接BD交AC于点，连接EF， 因为底面ABCD是矩形，所以为BD的中点， 因为平面平面PBD， 平面平面，所以， 又因为为BD的中点，所以为PB的中点. 【小问2详解】 解：取CD的中点，连接PO，FO， 因为底面ABCD为矩形，所以， 因为为CD的中点， 所以， ，所以， 又因为平面平面ABCD，平面平面平面， 所以平面ABCD，所以， 所以OF，OC，OP两两垂直. 以为坐标原点，OF，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则由题意可得，， 则， 由上可知为平面ACD的一个法向量， 设平面ACE的法向量为， 则，令，则，所以， 所以， 所以平面ACE与平面ACD夹角的正弦值为. 16. 某店举行消费抽奖活动，顾客到店消费100元及以上，可参加一次抽奖活动，抽奖规则如下：从装有10张形状大小完全相同的卡片（7张红卡片，2张黄卡片，1张黑卡片）的抽奖箱中，一次性抽出3张卡片，其中1黑2黄，则全免单，1红1黄1黑，则享受5折优惠，1黑2红，则享受7折优惠，其余情况则享受8折优惠． （1）若某位顾客消费价格为100元的商品，求该顾客实际付款金额的分布列与数学期望． （2）若顾客通过抽奖享受8折优惠，则每消费满100元售货员可获得3元的提成；若顾客通过抽奖享受7折、5折或免单优惠，则每消费满100元售货员可获得2元提成若某售货员在某天可以接待100名消费满100元且不满200元的顾客，则该售货员可能获得的提成为多少元． 【答案】（1）分布列见解析，数学期望为元 （2）270元 【解析】 【分析】（1）可得付款金额可能为0，50，70，80，求出取不同值的概率，即可得出分布列，求出期望； （2）可得100名顾客中享受8折优惠的人数，根据二项分布即可求出. 【小问1详解】 该顾客实际付款金额为元，则可能为0，50，70，80． ；； ； 则的分布列为： 0 50 70 80 P ， 该顾客实际付款金额的数学期望为元． 【小问2详解】 设100名顾客中享受8折优惠的人数为Y人， 则， 售货员获得的提成为Z元， ， （元） 该售货员可获得的平均提成为270元． 17. 设的三个内角的对边分别为，已知角为钝角，. （1）若，求的周长; （2）求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合诱导公式可得，再利用正弦定理求出，然后利用余弦定理求解即得. （2）由（1）的信息，利用三角恒等变换，结合正弦函数、二次函数性质求出范围. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得，而， 则，即有，而为钝角，则为锐角，因此， 由，得，由，为锐角，得， 由正弦定理，得， ， 由余弦定理得， 于是，解得， 所以的周长为. 【小问2详解】 由（1）知， 则 ，又，即， 因此，所以的取值范围. 18. 已知椭圆的左焦点为，上下顶点分别为，，离心率为，点是轴正半轴上一点，当与右焦点重合时，原点到直线的距离为，当与右顶点重合时，直线的斜率也为. （1）求椭圆的方程； （2）设点（与不重合）是点关于直线的对称点，直线与椭圆交于，两点，直线与交于点，证明：为定值. 【答案】（1） （2）证明：为点关于直线的对称点，且不与重合， （且）,， 设方程为，，即， ，得， 设，，显然，， 则，， 直线方程为，直线方程为， 两式相除得：①式， ①式平方得：， 将，代入可得， ， 与同号，，由①式知与异号，， ，即点纵坐标为， 设， ， 为定值. 【解析】 【分析】（1）根据等面积法可得，利用斜率公式可得，即可求解椭圆方程， （2）根据对称可得，进而联立直线与椭圆方程得韦达定理，根据点斜式求解，的方程，得到，平方代入韦达定理化简得，即可结合点点距离求解. 【小问1详解】 当与右焦点重合时，, 原点到直线距离为, ，, 当与右顶点重合时， 直线的斜率，, . 椭圆的方程为 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或者定值的求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 19. 已知函数，． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若，设直线l为在处的切线，且l与的图像在内有两个不同公共点，求实数a的取值范围． 【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）. 【解析】 【分析】(1)由题意可得，根据的正负及即可得答案； (2)由题意可得，记，利用导数，根据函数在内有两个不同的零点求解即可. 【小问1详解】 解：因为当时，，， 所以， 令，得； 令，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； 【小问2详解】 解：因为， ， 所以， 所以切点为 ，切线的斜率 所以切线， 记， 则， 令， 则， 所以当时，， 所以在上单调递增； 当时，， 令， ①当，即时，则，不满足条件； ②当，即时，易有，使得在上单调递减，在上单调递增； 又因为， 所以在上单调递增，在内只可能单调递减或者先减后增， 又因为，， 所以存在为函数的一个零点， 所以只需在内存在一个零点即可， 因为， 所以只需即可， 解得，此时存在，使得，满足题意； 当时，在内再无零点. 综上所述：实数a的取值范围为. 【点睛】方法点睛：利用导数确定函数单调性时，如果第一次求导后不能确定导数的正负时，需进行再次求导，或构造函数进行再求导. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $