精品解析：北京市石景山区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

石景山区2024—2025学年第一学期高一期末试卷 数学 本试卷共6页，满分为100分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用并集的定义可求得. 【详解】因为集合，，所以. 故选：D. 2. 已知命题p：∀x∈R+，lnx＞0，那么命题为（ ） A. ∃x∈R+，lnx≤0 B. ∀x∈R+，lnx＜0 C. ∃x∈R+，lnx＜0 D. ∀x∈R+，lnx≤0 【答案】A 【解析】 【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可. 【详解】因为特称命题的否定是全称命题， 故命题“p：∀x∈R+，lnx＞0”的否定为：∃x∈R+，lnx≤0. 故选：A 【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，要注意两个方面的变化：1.量词，2.结论，属于基础题. 3. 某田径队有运动员人，其中男运动员人，女运动员人．为了解该田径队运动员的睡眠情况，采用分层抽样的方法获得一个容量为的样本，那么应抽取男运动员的人数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用分层抽样的意义求解即可. 【详解】由题得应抽取男运动员的人数为. 故选：B. 4. 设R，则“＞1”是“＞1”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由可得成立，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件 考点：充分条件与必要条件 5. 函数，的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助函数的定义域与正负判断即可. 【详解】由的定义域为或，故排除AB， 又,则， , 故排除C. 故选：D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性即可比较函数值的大小. 【详解】因为函数在上为减函数，所以，即， 因为函数在上为增函数，所以，即， 所以. 故选：C 7. 某袋中有编号为的个小球（小球除编号外完全相同），甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据（甲，乙）方法得出总的取法的结果，求得符合题意的个数，可求甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率． 【详解】甲先从袋中摸出一个球，有4种可能的结果，乙再从袋中摸出一个球，有4种可能的结果， 如果按（甲，乙）方法得出总共的结果为：16个， 甲、乙两人所摸出球的编号不同的结果为12个， 甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是. 故选：A． 8. 函数的零点所在的区间是（  ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断函数的单调性，求，，，，结合零点存在性定理确定零点所在的区间. 【详解】因为函数和函数在上都单调递增， 所以函数为增函数， 又，，，， 由零点存在性定理可得函数的零点所在的区间是. 故选：C. 9. 已知函数，则的值是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题中所给的分段函数解析式，将多层函数值从内向外求解，根据自变量的范围，选择相应的式子，代入求解. 【详解】因为，所以， ， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关分段函数求值的问题，在求解的过程中，需要注意多层函数值需要从内向外求解，属于简单题目. 10. 阿拉伯数字、十进制和对数是数学计算方面的重要发明，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，对估算“天文数字”具有独特的优势. 下列各数中与最接近的是（ ） （参考数据：） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，利用指数式与对数式的互化关系，结合对数运算即得. 【详解】令，则， 所以，即与最接近的是. 故选：B. 第二部分（非选择题 共60分） 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分. 11. 已知幂函数的图象过点，则这个函数的解析式为______. 【答案】 【解析】 【分析】设出函数解析式，根据其图象经过的点，求得参数，则问题得解. 【详解】由题意可设，函数图象过点 即，. 故答案为：. 12. 某校举行演讲比赛，五位评委对甲、乙两位选手的评分如下： 甲 8.1 7.9 8.0 7.9 8.1 乙 7.9 8.0 8.1 8.5 7.5 记五位评委对甲、乙两位选手评分数据的方差分别为，则：______（填“>”，“=”或“<”）． 【答案】 【解析】 【分析】计算出，由此确定正确答案. 【详解】甲的得分平均值为， . 乙的得分平均值为， ， 所以. 故答案为： 13. 若，则的最小值是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】，利用基本不等式可得最值． 【详解】∵， ∴， 当且仅当即时取等号， ∴时取得最小值3. 故答案为：3． 14. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数的定义求解即可. 【详解】令，则，因为是定义在上的奇函数， 所以. 故答案为：. 15. 函数满足，给出下列三个结论： ①； ②； ③． 其中所有正确结论的序号是___________． 【答案】②③ 【解析】 【分析】利用赋值法可判断①②；根据已知条件得出，再结合以及等式的可加性可判断③. 【详解】在等式中，令，可得， 在等式中，令中，可得，故①错误； 在等式中，令，可得， 在等式中，令中，可得， 所以，故②正确； 因为，则， 所以，又因为， 上述两个等式相加可得，故③正确. 故答案为：②③. 三、解答题共5小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知集合，或. （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）, （2）,,. 【解析】 【分析】（1）直接由，利用集合端点值间的关系列不等式组求解的范围； （2）由，得，然后利用子集的概念，根据集合端点值间的关系列不等式求解的取值范围. 【小问1详解】 由集合，或.， ，解得. 的取值范围是,； 【小问2详解】 ，， 或，即或. 的取值范围是,,. 17. 将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求： （1）两数之和为5的概率； （2）两数中至少有一个奇数的概率． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用列举法和古典概型概率公式计算可得概率为； （2）利用列举法和古典概型概率公式计算可得概率为. 详解】将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件． （1）将一颗骰子先后抛掷2次，向上的点数有：（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（2,5），（2,6），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（3,5），（3,6），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），（4,5），（4,6），（5,1），（5,2），（5,3），（5,4），（5,5），（5,6），（6,1），（6,2），（6,3），（6,4），（6,5），（6,6），共36个基本事件， 其中两数之和为5的基本事件有：（1,4），（4,1），（2.3），（3、2），共4种， 所以两数之和为5的为. （2）由（1）知，两数中至少有一个奇数的基本事件有：（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6），（2,1），（2,3），（2,5），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（3,5），（3,6），（4,1），（4,3），（4,5），（5,1），（5,2），（5,3），（5,4），（5,5），（5,6），（6,1），（6,3），（6,5），共27个基本事件， 所以两数中至少有一个奇数的概率为. 18. 已知函数． （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性； （3）求证：在是减函数． 【答案】（1） （2）偶函数. （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据对数型函数的定义域即可求解定义域； （2）根据奇偶性的定义即可判断奇偶性. （3）根据函数单调性的定义证明即可. 【小问1详解】 由题意知:，解得， 所以的定义域为. 小问2详解】 由（1）知的定义域为， . ， 所以是偶函数. 【小问3详解】 对于，且， 因为，所以， 所以，即， 所以，即，， 所以函数在是减函数. 19. 某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛．从这两个年级各随机抽取了40名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表． 成绩分组 频数 2 6 16 14 2 （1）若成绩不低于80分为“达标”，估计高一年级知识竞赛的达标率； （2）在抽取的学生中，从成绩为的学生中随机选取2名学生，代表学校外出参加比赛，求这2名学生来自同一年级的概率； （3）记高一、高二两个年级知识竞赛的平均分分别为，，试估计，的大小关系．（只需写出结论） 【答案】（1）0.85 （2）（3）. 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图可得不达标率，从而得到达标率. （2）用枚举法可得基本事件总数和随机事件中基本事件的总数，再利用古典概型的概率公式计算即可. （3）根据频率分布直方图和频数分布表可得. 【详解】解：（1）高一年级知识竞赛的达标率为. （2）高一年级成绩为的有名，记为，，，， 高二年级成绩为的有2名，记为，． 选取2名学生的所有可能为： ，，，，，，，，，，，，，，，共15种； 其中2名学生来自同一年级有，，，，，，，共7种． 设2名学生来自同一年级为事件，所以. （3）. 【点睛】本题考查统计中频率分布直方图的应用、古典概型，此类问题是基础题. 20. 已知函数，. （1）当时，求的最小值； （2）记的最小值为，求的解析式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时代入，再结合换元法和二次函数性质即可； （2）由（1）知，令，，则原函数可化为，根据对称轴与区间位置关系分情况讨论即可求得． 【小问1详解】 设，因为，则， 则，， 当时，，， ∴时，，即当时，. 【小问2详解】 由（1）知，， 其图象的对称轴为． ①当时，在上单调递增，所以； ②当时，， ③当时，在上单调递减，所以. 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 石景山区2024—2025学年第一学期高一期末试卷 数学 本试卷共6页，满分为100分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，那么（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题p：∀x∈R+，lnx＞0，那么命题为（ ） A ∃x∈R+，lnx≤0 B. ∀x∈R+，lnx＜0 C. ∃x∈R+，lnx＜0 D. ∀x∈R+，lnx≤0 3. 某田径队有运动员人，其中男运动员人，女运动员人．为了解该田径队运动员的睡眠情况，采用分层抽样的方法获得一个容量为的样本，那么应抽取男运动员的人数为（ ） A. B. C. D. 4. 设R，则“＞1”是“＞1”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数，的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A B. C. D. 7. 某袋中有编号为的个小球（小球除编号外完全相同），甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 函数的零点所在的区间是（  ） A B. C. D. 9. 已知函数，则的值是 A. B. C. D. 10. 阿拉伯数字、十进制和对数是数学计算方面的重要发明，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，对估算“天文数字”具有独特的优势. 下列各数中与最接近的是（ ） （参考数据：） A B. C. D. 第二部分（非选择题 共60分） 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分. 11. 已知幂函数的图象过点，则这个函数的解析式为______. 12. 某校举行演讲比赛，五位评委对甲、乙两位选手的评分如下： 甲 8.1 7.9 8.0 7.9 8.1 乙 7.9 8.0 8.1 8.5 7.5 记五位评委对甲、乙两位选手评分数据的方差分别为，则：______（填“>”，“=”或“<”）． 13. 若，则的最小值是_____． 14. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，_______． 15. 函数满足，给出下列三个结论： ①； ②； ③． 其中所有正确结论的序号是___________． 三、解答题共5小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知集合，或. （1）若，求取值范围； （2）若，求的取值范围. 17. 将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求： （1）两数之和为5的概率； （2）两数中至少有一个奇数的概率． 18. 已知函数． （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性； （3）求证：在是减函数． 19. 某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛．从这两个年级各随机抽取了40名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表． 成绩分组 频数 2 6 16 14 2 （1）若成绩不低于80分为“达标”，估计高一年级知识竞赛的达标率； （2）在抽取的学生中，从成绩为的学生中随机选取2名学生，代表学校外出参加比赛，求这2名学生来自同一年级的概率； （3）记高一、高二两个年级知识竞赛的平均分分别为，，试估计，的大小关系．（只需写出结论） 20. 已知函数，. （1）当时，求的最小值； （2）记的最小值为，求的解析式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$