精品解析：云南省昭通市盐津县云天化中学教研联盟2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题

云天化中学教研联盟2024年秋季学期期末考试 高一数学 试卷 考试时间：2025年1月14日08:00-10:00 本卷满分：150分 注意事项： 1．答题前考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 使命题“，”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 3. 函数零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 4. 若中，和是关于的方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 计算：（ ） A. 1 B. C. D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，用表示，中的较大者，即，，若函数的图象与有3个不同的交点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为得到函数的图象，只需把正弦曲线上的所有点（ ） A. 先向左平行移动个单位，再横坐标缩短到原来，纵坐标不变； B. 先向右平行移动个单位，再横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变： C. 先横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平行移动个单位： D. 先横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平行移动个单位； 10. 已知，，则下列结论中正确的是（ ） A B. C. D. 11. 已知实数，满足，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：________． 13. 函数的部分图象如图所示，则函数的单调递增区间为_________________. 14. 已知函数，奇函数，当时，，若有且仅有个实数满足，且，，⋯，，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各式 （1）； （2）. 16. 已知函数． （1）若的定义域为，求的取值范围； （2）若的值域为，求的取值范围． 17. 已知，，，， （1）求； （2）如图，正方形的边长为1，，分别为边，上的点，当时，求的周长． 18. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最低点距离地面高度为，转盘半径为，设置有24个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要．在运行一周的过程中： （1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求关于的函数解析式； （2）求游客甲从坐上摩天轮之后，距离地面高度超过的时长； （3）若甲、乙两人座舱编号之差绝对值等于2（座舱编号沿顺时针依次编号），求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值．（精确到个位）参考数据：，． 19. 函数的最小正周期为，且． （1）若，求的对称轴； （2）证明：存在，； （3）若在的零点从小到大依次为，记表示不超过的最大整数，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云天化中学教研联盟2024年秋季学期期末考试 高一数学 试卷 考试时间：2025年1月14日08:00-10:00 本卷满分：150分 注意事项： 1．答题前考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解二次不等式与绝对值不等式化简集合，再利用集合的并集运算即可得解. 【详解】解，得， 所以， 又， 所以. 故选：A. 2. 使命题“，”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求命题“，”为真命题的充要条件，根据充分不必要条件定义，结合选项即可得解． 【详解】因为命题“，”为真命题， 所以，其中， 又函数在上单调递增， 所以函数，的最大值为， 所以，即， 所以命题“，”为真命题的充要条件为， 根据选项，命题“，”为真命题的一个充分不必要条件可以是， 故选：C. 3. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据零点存在性定理，结合函数的单调性即可计算端点处的函数值求解. 【详解】由于函数均为单调递增函数，故为单调递增函数，函数至多有一个零点， 且， 故零点位于， 故选：B 4. 若中，和是关于的方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用韦达定理结合两角和的正切公式求出的值，根据诱导公式得出，即可求得角的值. 【详解】由题意，， 所以， 由，故， 又，所以. 故选：D 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求函数的定义域，判断函数的奇偶性，再判断当时函数值的正负，由此确定正确选项. 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又， 所以函数为偶函数，图象关于对称， 当时，，，故， 选项ABC不能同时满足以上要求，选项D能满足以上要求， 故选：D. 6. 计算：（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】切化弦、通分、再根据两角差的正弦公式、二倍角公式和诱导公式可得结果. 【详解】因为， 所以， 故 故选：A. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用三角函数的性质得到，进而得到，再利用对数函数的单调性与换底公式即可得解. 【详解】因为，所以， 即， 所以，，即， 所以， 即，则， 因为，， ， 所以. 故选：C. 8. 已知函数，，用表示，中的较大者，即，，若函数的图象与有3个不同的交点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦型函数与对数函数的图象，结合函数新定义作出的图象，从而数形结合即可得解. 【详解】因为，， 在同一坐标系中作出的图象， 因为， 所以的图象如图中实线部分， 因为的图象与有3个不同的交点， 所以，即. 故选：D 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为得到函数的图象，只需把正弦曲线上的所有点（ ） A. 先向左平行移动个单位，再横坐标缩短到原来的，纵坐标不变； B. 先向右平行移动个单位，再横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变： C. 先横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平行移动个单位： D. 先横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平行移动个单位； 【答案】AD 【解析】 【分析】由三角函数图像平移逐项判断即可； 【详解】对于A：由的图象，先向左平行移动个单位，得到的图象， 再横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，正确； 对于B：由先向右平行移动个单位，得到的图象， 再横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，错误； 对于C: 由先横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象， 显然不管怎么左右平移都得不到，错误； 对于D: 由先横坐标伸长到原来的，纵坐标不变，得到的图象， 再向左平行移动个单位，得到的图象，正确； 故选：AD 10. 已知，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由条件等式两边平方，结合平方关系可得，再结合平方公式求，由此可求，，再结合二倍角公式，商的关系求，即可判断. 【详解】因为， 两边平方可得， 所以，即，A正确； 因为，， 所以， 所以，B正确； 所以，， 所以，，C错误，D错误. 故选：AB. 11. 已知实数，满足，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由不等式性质对选项逐一判断即可得出结果． 【详解】对A：由，可得,即，当且仅当时取等号，故A正确； 对B：由，可得, 由选项A知，所以， 即，当且仅当时取等号，则成立， B正确； 对C：， 由选项A知，当时，，即，故C错误； 对D：，可得，则， 因为，所以，即，所以D正确； 故选：ABD. 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：________． 【答案】1 【解析】 【分析】利用诱导公式化简，再结合同角关系化简求结论. 【详解】由诱导公式可得，， ， 所以. 故答案为：. 13. 函数部分图象如图所示，则函数的单调递增区间为_________________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用三角函数的图象求得的解析式，再利用对数函数与正弦函数的性质，结合复合函数的单调性即可得解. 【详解】由的图象可知，， 又，所以，得，则， 又的图象经过点，所以，即， 所以，即， 所以， 要求的单调递增区间，而在上单调递减， 则求的单调递减区间，且在这个区间上恒成立， 所以，解得， 所以的单调递增区间为. 故答案为：. 14. 已知函数，奇函数，当时，，若有且仅有个实数满足，且，，⋯，，则________． 【答案】13 【解析】 【分析】由已知可得在上单调递增的奇函数，是周期为4，，，通过数形结合即可得出结果. 【详解】因为，所以， 所以， 即为奇函数， ，则在上单调递增. 因为，所以的图象关于直线对称， 又为奇函数，所以， 所以是周期为4的函数. 当时，，所以， 即，解得， 所以当时，，此时是增函数， 所以在上是增函数. 所以函数与的大致图象如图所示. 因为与的图象都关于点对称，且周期为4， 因为有且仅有个实数满足，且，，⋯，， 所以，, 由图可知，两函数图象共有13个交点，所以， 所以. 故答案为：13 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各式 （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）（2）利用根式、指数幂与对数的运算法则即可得解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为 ， 所以. 16. 已知函数． （1）若定义域为，求的取值范围； （2）若的值域为，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由可得答案； （2）即函数值域包含所有的正数，据此可得答案. 【小问1详解】 因的定义域为，则， 则或； 【小问2详解】 因的值域为，则的值域包含所有正数. 则. 17. 已知，，，， （1）求； （2）如图，正方形的边长为1，，分别为边，上的点，当时，求的周长． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由条件利用平方关系求，，再由结合两角差余弦公式求结论； （2）设，，，，求，，由（1），结合两角和正切公式证明，由此可得，再求的周长． 【小问1详解】 因为，， 所以， 因为，，所以， 又，所以， 所以， 又， 所以，又， 所以； 【小问2详解】 设，，则，，， ， 设，， 因为，，所以， 因，， 所以， 所以，即， 所以， 由， ，故， 所以， 所以的周长． 18. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最低点距离地面高度为，转盘半径为，设置有24个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要．在运行一周的过程中： （1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求关于的函数解析式； （2）求游客甲从坐上摩天轮之后，距离地面高度超过的时长； （3）若甲、乙两人座舱编号之差的绝对值等于2（座舱编号沿顺时针依次编号），求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值．（精确到个位）参考数据：，． 【答案】（1），． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得旋转的角速度和初相，结合三角函数，列出与的函数关系； （2）令，得，求解三角不等式可得； （3）根据（1）的结果，结合两人的角度差，分别计算和，化简高度差函数，根据t的取值范围，结合三角恒等变换化简得，利用三角函数性质即可求最值. 【小问1详解】 如图，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系． 设时，游客甲位于点，以为终边的角为； 根据摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动的角速度约， 由题意可得，． 【小问2详解】 在运行一周的过程中， 由，则， 令，可得， 则，解得. 所以游客甲从坐上摩天轮之后，距离地面高度超过的时长为. 【小问3详解】 由甲、乙两人座舱编号之差的绝对值等于2， 如图，甲、乙两人的位置分别用点表示，不妨设点相对于始终落后， 则， 经过后，甲距离地面的高度为， 点相对于始终落后， 此时乙距离地面高度， 则甲、乙高度差， 利用， 可得，， 当或，即或， 所以 ， 则将参考数据，代入得， . 所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为. 19. 函数的最小正周期为，且． （1）若，求的对称轴； （2）证明：存在，； （3）若在的零点从小到大依次为，记表示不超过的最大整数，求． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）化简后，可得，通过讨论，可得与均不为0，然后利用辅助角公式可得，最后结合题意可得，即可得答案； （2）即证在上的最大值大于等于； （3）由（1）可得零点表达式为，然后通过讨论可得答案. 【小问1详解】 .因最小正周期为，则. 若，则，则，与题意矛盾； 若，则，则， 但，则，则. 综上，与均不为0， 则 ， 其中满足，. 则. 由. 则，令. 【小问2详解】 原命题相当于证明，在上的最大值大于等于 由（1），， 其中满足，. 令，得，又， 则， 故存在，使， 此时，当且仅当时取等号， 则命题得证； 【小问3详解】 由（1），，其中满足， 由， 则，. 令.令. 则，最小可取1， 此时，，依次类推可得， 注意到，， ，则此时. 综上，. 【点睛】关键点睛：第一问所涉字母较多，化简时要考虑全面，以免出现错误；第二问为含有存在量词命题的证明，常设法去找到满足题意的元素；第三问，对于取整函数，常将所求放于两个相邻的整数之间. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $