第07讲 分式方程（练习）【2大考点12大题型】-2025年中考数学一轮复习【举一反三】系列（全国版）

第07讲 分式方程【2大考点10大题型】 考点一 分式方程 【题型1 分式方程的概念及其解】 1． （2024·上海·中考真题）下列说法正确的是（　　） A．分式方程一定有解 B．分式方程就是含有分母的方程 C．分式方程中，分母中一定含有未知数 D．分母中含有字母的方程叫做分式方程 2． （2024·广东·中考真题）下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 3． （2024·山东德州·中考真题）下列说法正确的是（    ） A．是分式方程 B．或是分式方程的解 C．若分式的值为0，则的值2或者 D．解分式方程时一定会出现增根 4． （2024·河南安阳·中考真题）请写出一个解为4的分式方程： ． 5． （2024·河南郑州·中考真题）请写出一个未知数是的分式方程，并且当时没有意义 ． 6． （2024·湖南衡阳·中考真题）一列方程如下排列： 的解是； 的解是； 的解是； …… 根据观察得到的规律，写出其中解是的方程： ． 【题型2 解分式方程】 7． （2024·山东枣庄·中考真题）对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（    ） A． B． C． D． 8． （2024·贵州毕节·中考真题）小明解分式方程的过程下． 解：去分母，得         ．① 去括号，得             ．② 移项、合并同类项，得   ．③ 化系数为1，得          ．④ 以上步骤中，开始出错的一步是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 9． （2024·四川广元·中考真题）按照如图所示的流程，若输出的，则输入的m为（    ）      A．3 B．1 C．0 D．-1 10． （2024·江苏徐州·中考真题）分式方程的解为 ． 11． （2024·浙江杭州·中考真题）一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则 ． 12． （2024·四川内江·中考真题）对于非零实数a，b，规定a⊕b＝，若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为 ． 13． （2024·山东威海·中考真题）按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是 ． 14． （2024·四川泸州·中考真题）若方程的解使关于的不等式成立，则实数的取值范围是 ． 【题型3 分式方程的无解问题】 15． （2024·黑龙江牡丹江·中考真题）若关于x的方程无解，则m的值为（    ） A．1 B．1或3 C．1或2 D．2或3 16． （2024·广西贺州·中考真题）若关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 17． （2024·山东潍坊·中考真题）当 时，解分式方程会出现增根． 18． （2024·山东济宁·中考真题）人教版教科书对分式方程验根的归纳如下：“解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程中的分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．” 请你根据对这段话的理解，解决下面问题：已知关于x的方程无解，方程的一个根是m． （1）求m和k的值； （2）求方程的另一个根． 【题型4 由分式方程的解求字母的取值范围】 19． （2024·四川甘孜·中考真题）已知关于x的分式方程＝3的解是x＝3，则m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．1 20． （2024·黑龙江牡丹江·中考真题）若关于x的分式方程有正整数解，则整数m的值是（   ） A．3 B．5 C．3或5 D．3或4 21． （2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 22． （2024·湖北荆门·中考真题）已知关于x的分式方程的解满足，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为（    ） A．正数 B．负数 C．零 D．无法确定 23． （2024·重庆·中考真题）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A．5 B．8 C．12 D．15 24． （2024·四川眉山·中考真题）已知关于x的分式方程有一个正数解，则k的取值范围为 ． 考点二 分式方程的应用 的 【题型5 列方程方程】 25． （2024·甘肃白银·中考真题）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，若设现在平均每天生产机器x台，根据题意可列分式方程为（    ） A． B． C． D． 26． （2024·甘肃临夏·中考真题）端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是元，所得方程正确的是（    ） A． B． C． D． 27． （2024·四川·中考真题）近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程10千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程7千米，走路线b比路线a平均速度提高，时间节省10分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/小时，依题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 28． （2024·山东淄博·中考真题）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2万元购进了一批劳动工具．开展课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低10元，总费用降低了15%．设第二次采购单价为x元，则下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 29． （2024·黑龙江绥化·中考真题）甲、乙两辆汽车同时从地出发，开往相距的地，甲、乙两车的速度之比是，结果乙车比甲车早分钟到达地，则甲车的速度为 ． 30． （2024·江西·中考真题）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过，其中通过的速度是通过速度的1.2倍，求小明通过时的速度．设小明通过时的速度是米/秒，根据题意列方程得： ． 31． （2024·山东青岛·中考真题）为落实青岛市中小学生“十个一”行动计划，学校举办以“强体质，炼意志”为主题的体育节，小亮报名参加3000米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，少用3分钟跑完全程．设小亮训练前的平均速度为x米/分，那么x满足的分式方程为 ． 32． （2024·辽宁鞍山·中考真题）习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是 ． 【题型6 分式方程的行程问题】 33． （2024·山东·中考真题）某校组织学生去郭永怀纪念馆进行研学活动．纪念馆距学校72千米，部分学生乘坐大型客车先行，出发12分钟后，另一部分学生乘坐小型客车前往，结果同时到达．已知小型客车的速度是大型客车速度的倍，求大型客车的速度． 34． （2024·四川自贡·中考真题）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度． 35． （2024·四川乐山·中考真题）第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办，为保证省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆，已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度． 36． （2024·重庆·中考真题）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从地沿相同路线骑行去距地30千米的地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍． (1)若乙先骑行2千米，甲才开始从地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度； (2)若乙先骑行20分钟，甲才开始从地出发，则甲、乙恰好同时到达地，求甲骑行的速度． 【题型7 分式方程的工程问题】 37． （2024·广西玉林·中考真题）南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设，玉林辆隧道是全线控制性隧道，首期打通共有土石方总量600千立方米，总需要时间y天，且完成首期工程限定时间不超过600天．设每天打通土石方x千立方米． （1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）由于工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米，工期比原计划提前了100天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工程？ 38． （2024·山东泰安·中考真题）一项工程，甲，乙两公司合做，12天可以完成，共需付施工费102000元；如果甲，乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元． （1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？ （2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？ 39． （2024·贵州黔东南·中考真题）某校为了在九月份迎接高一年级的新生，决定将学生公寓楼重新装修，现学校招用了甲、乙两个工程队．若两队合作，8天就可以完成该项工程；若由甲队先单独做3天后，剩余部分由乙队单独做需要18天才能完成． （1）求甲、乙两队工作效率分别是多少？ （2）甲队每天工资3000元，乙队每天工资1400元，学校要求在12天内将学生公寓楼装修完成，若完成该工程甲队工作m天，乙队工作n天，求学校需支付的总工资w（元）与甲队工作天数m（天）的函数关系式，并求出m的取值范围及w的最小值． 40． （2024·辽宁丹东·中考真题）进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务．这是记者与驻军工程指挥官的一段对话∶ 通过这段对话，请你求出该地驻军原来每天加固的米数． 41． （2024·江苏淮安·中考真题）玉树地震后，有一段公路急需抢修．此项工程原计划由甲工程队独立完成，需要20天．在甲工程队施工4天后，为了加快工程进度，又调来乙工程队与甲工程队共同施工，结果比原计划提前10天，为抗震救灾赢得了宝贵时间．求乙工程队独立完成这项工程需要多少天． 42． （2024·辽宁阜新·中考真题）为落实“数字中国”的建设工作，市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天． （1）求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？ （2）已知甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，现需安装教室120间，若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过18000元，则最多安排甲公司工作多少天？ 【题型8 分式方程的经济问题】 43． （2024·江苏宿迁·中考真题）某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同． (1)求纪念品A、B的单价分别是多少元？ (2)商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？ 44． （2024·辽宁阜新·中考真题）为了进一步丰富校园文体活动，某中学准备一次性购买若干个足球和排球，用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，已知足球的单价比排球的单价多15元． (1)求：足球和排球的单价各是多少元？ (2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和排球共100个，但要求其总费用不超过7550元，那么学校最多可以购买多少个足球？ 45． （2024·黑龙江·中考真题）2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同． (1)求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？ (2)已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？ (3)在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值． 46． （2024·辽宁锦州·中考真题）2023年5月15日，辽宁男篮取得第三次CBA总冠军，辽篮运动员的拼搏精神感染了众多球迷．某校篮球社团人数迅增，急需购进A，B两种品牌篮球，已知A品牌篮球单价比B品牌篮球单价的2倍少48元，采购相同数量的A，B两种品牌篮球，分别需要花费9600元和7200元．求A，B两种品牌篮球的单价分别是多少元？ 47． （2024·山东济南·中考真题）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元? (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元? 48． （2024·黑龙江牡丹江·中考真题）某商场欲购进A和B两种家电，已知B种家电的进价比A种家电的进价每件多100元，经计算，用1万元购进A种家电的件数与用1.2万元购进B种家电的件数相同．请解答下列问题： (1)这两种家电每件的进价分别是多少元？ (2)若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过53500元，且A种家电不超过67件，则该商场有哪几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，若A和B两种家电的售价分别是每件600元和750元，该商场从这100件中拿出两种家电共10件奖励优秀员工，其余家电全部售出后仍获利5050元，请直接写出这10件家电中B种家电的件数． 49． （2024·湖北荆州·中考真题）荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进，两种文创饰品对游客销售．已知1400元采购种的件数是630元采购种件数的2倍，种的进价比种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购种的件数不低于390件，不超过种件数的4倍． (1)求，饰品每件的进价分别为多少元？ (2)若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购种超过150件时，种超过的部分按进价打6折．设购进种饰品件， ①求的取值范围； ②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润． 【题型9 分式方程的和差倍分问题】 50． （2024·重庆·中考真题）“垃圾可变宝，分类更环保”．我校为积极响应有关垃圾分类的号召，从新世纪百货购进了A，B两种品牌的垃圾桶作为“可回收垃圾桶”和“其他垃圾桶”．已知每个B品牌垃圾桶比每个A品牌垃圾桶贵，用4000元购买A品牌垃圾桶的数量比用3200元购买B品牌垃圾桶多36个． (1)求购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元？ (2)若我校购进的B品牌垃圾桶的数量比A品牌垃圾桶的数量的还多10个，且总费用不超过4465元，那么我校最多可购买多少个A品牌垃圾桶？ 51． （2024·吉林长春·中考真题）为建国70周年献礼，某灯具厂计划加工9000套彩灯，为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.2倍，结果提前5天完成任务．求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量． 52． （2024·四川自贡·中考真题）为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知七（3）班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子． 53． （2024·河南·中考真题）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆． (1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格． (2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱． 54． （2024·山西·中考真题）太原武宿国际机场简称“太原机场”，是山西省开通的首条定期国际客运航线．游客从太原某景区乘车到太原机场，有两条路线可供选择，路线一：走迎宾路经太输路全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二：走太原环城高速全程是30千米，平均速度是路线一的倍，因此到达太原机场的时间比走路线一少用7分钟，求走路线一到达太原机场需要多长时间． 55． （2024·广东·中考真题）甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路60公里，再由乙队完成剩下的筑路工程，已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的倍，甲队比乙队多筑路20天． （1）求乙队筑路的总公里数； （2）若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为5：8，求乙队平均每天筑路多少公里． 56． （2024·北京通州·中考真题）某种型号的LED显示屏为长方形，其长与宽的比为；若将该显示屏的长、宽各减少2cm，则其长与宽的比值将会变为．求该型号LED显示屏的长度与宽度． 【题型10 分式方程的几何图形问题】 57． （2024·上海浦东新·中考真题）长方形的面积是，如果将长延长至原来的2倍，且长方形面积保持不变，那么宽会比原来少，求原来长方形的长． 58． （2024·北京东城·中考真题）列分式方程解应用题．当矩形（即长方形）的短边为长边的倍时，称这个矩形为黄金矩形．黄金矩形更具美感．下图是某位同学的书画作品，装裱前是一个长为厘米，宽为厘米的矩形．现要在作品四周加上等宽的白色边衬装裱．为了使装裱后的作品接近黄金矩形，要求装裱后的矩形宽与长之比等于．边衬的宽度应设置为多少厘米？（注：） 59． （2024·浙江杭州·中考真题）某校举办“迎亚运”学生书画展览，现要在长方形展厅中划出3个形状、大小完全一样的小长方方形“图中阴影部分”区域摆放作品． （1）如图1，若大长方形的长和宽分别为45米和30米，求小长方形的长和宽； （2）如图2，若大长方形的长和宽分别为和． ①直接写出1个小长方形周长与大长方形周长之比； ②若作品展览区域（阴影部分）面积占展厅面积的，试求的值，     60． （2024·浙江宁波·中考真题）用如图所示的甲、乙、丙三块木板做一个长、宽、高分别为a厘米，b厘米和10厘米的长方体木箱，其中甲块木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙块木板刚好能做一个长侧面和一个短侧面，丙块木板刚好能做一个箱盖和剩下的一个短侧面（厚度忽略不计，） (1)用含a，b的代数式分别表示这三块木板的面积． (2)若甲块木板的面积比丙块木板的面积大200平方厘米，木箱的体积为15000立方厘米，求乙块木板的面积． (3)如果购买一块长为100厘米，宽为厘米的长方形木板做这个木箱，木板的利用率为90%，试求分式的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 分式方程【2大考点10大题型】 考点一 分式方程 【题型1 分式方程的概念及其解】 1． （2024·上海·中考真题）下列说法正确的是（　　） A．分式方程一定有解 B．分式方程就是含有分母的方程 C．分式方程中，分母中一定含有未知数 D．分母中含有字母的方程叫做分式方程 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的定义，根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程判断即可． 【详解】A、分式方程有无解的情况，故该选项错误； B、分母中含有未知数的方程叫做分式方程，故该选项错误； C、分式方程中，分母中一定含有未知数，故该选项正确； D、分母中含有未知数的方程叫做分式方程，故该选项错误； 故选：C． 2． （2024·广东·中考真题）下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的识别，解题的关键是掌握分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程，注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母．据此解答即可 【详解】解：A．是一元一次方程，故此选项不符合题意； B．是分式方程，故此选项符合题意； C．是一元一次方程，故此选项不符合题意； D．是代数式，故此选项不符合题意． 故选：B． 3． （2024·山东德州·中考真题）下列说法正确的是（    ） A．是分式方程 B．或是分式方程的解 C．若分式的值为0，则的值2或者 D．解分式方程时一定会出现增根 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的定义、分式方程根的检验、分式方程的增根等知识．利用分式方程的定义，分式方程的解，以及分式方程根的判断即可解决． 【详解】解：A．是分式方程，故A正确； B．时，，即分母为0，故或不是分式方程的解 ，故B错误； C．当时，，因此若分式的值为0，则的值2，故C错误； D．解分式方程时不一定会出现增根，故D错误． 故选：A． 4． （2024·河南安阳·中考真题）请写出一个解为4的分式方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据分式方程的定义及分式方程解的定义写出一个即可． 【详解】解：写出一个解为4的分式方程为：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了分式方程的定义及分式方程解的定义，掌握分式方程的有关定义是解题的关键． 5． （2024·河南郑州·中考真题）请写出一个未知数是的分式方程，并且当时没有意义 ． 【答案】(答案不唯一) 【分析】根据时没有意义可知，当时，分式的分母为0，根据条件进行构造即可． 【详解】解：一个未知数是且当时没有意义的分式方程为答案不唯一． 故答案为：． 【点睛】本题考查分式方程的概念和方程有增根，掌握使分式方程的最简公分母的值为0的方程的根是增根，是解题的关键． 6． （2024·湖南衡阳·中考真题）一列方程如下排列： 的解是； 的解是； 的解是； …… 根据观察得到的规律，写出其中解是的方程： ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解，观察方程得出规律是解题的关键．根据观察，可发现规律：第一个的分子是分母是解的二倍，第二个分子是减比解小1的数，分母是2，可得答案． 【详解】解：由一列方程如下排列： 的解是， 的解是， 的解是， 得第一个的分子是分母是解的二倍，第二个分子是减比解小1的数，分母是2， 解是的方程：， 故答案为：． 【题型2 解分式方程】 7． （2024·山东枣庄·中考真题）对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解． 【详解】解：根据题中的新定义化简得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 解得：， 经检验是分式方程的解， 故选：C． 【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 8． （2024·贵州毕节·中考真题）小明解分式方程的过程下． 解：去分母，得         ．① 去括号，得             ．② 移项、合并同类项，得   ．③ 化系数为1，得          ．④ 以上步骤中，开始出错的一步是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】写出分式方程的正确解题过程即可作出判断． 【详解】解：， 去分母，得  ， 去括号，得  ， 移项，得， 合并同类项，得   ， ∴以上步骤中，开始出错的一步是②． 故选：B 【点睛】此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键． 9． （2024·四川广元·中考真题）按照如图所示的流程，若输出的，则输入的m为（    ）      A．3 B．1 C．0 D．-1 【答案】C 【分析】根据题目中的程序，利用分类讨论的方法可以分别求得m的值，从而可以解答本题． 【详解】解：当m2-2m≥0时， ，解得m=0， 经检验，m=0是原方程的解，并且满足m2-2m≥0， 当m2-2m＜0时， m-3=-6，解得m=-3，不满足m2-2m＜0，舍去． 故输入的m为0． 故选：C． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 10． （2024·江苏徐州·中考真题）分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】解：原方程去分母得：，即 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为， 故答案为：． 11． （2024·浙江杭州·中考真题）一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则 ． 【答案】9 【分析】根据概率公式列分式方程，解方程即可． 【详解】解：从中任意摸出一个球是红球的概率为， ， 去分母，得， 解得， 经检验是所列分式方程的根， ， 故答案为：9． 【点睛】本题考查已知概率求数量、解分式方程，解题的关键是掌握概率公式． 12． （2024·四川内江·中考真题）对于非零实数a，b，规定a⊕b＝，若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：由题意得： ＝1， 等式两边同时乘以得， ， 解得：， 经检验，x＝是原方程的根， ∴x＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解分式方程，掌握分式方程的一般解法是解题的关键． 13． （2024·山东威海·中考真题）按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是 ． 【答案】1 【分析】根据程序分析即可求解． 【详解】解：∵输出y的值是2， ∴上一步计算为或 解得（经检验，是原方程的解），或 当符合程序判断条件，不符合程序判断条件 故答案为：1 【点睛】本题考查了解分式方程，理解题意是解题的关键． 14． （2024·四川泸州·中考真题）若方程的解使关于的不等式成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先解分式方程得，再把代入不等式计算即可． 【详解】 去分母得： 解得： 经检验，是分式方程的解 把代入不等式得： 解得 故答案为： 【点睛】本题综合考查分式方程的解法和一元一次不等式的解法，解题的关键是熟记相关运算法则． 【题型3 分式方程的无解问题】 15． （2024·黑龙江牡丹江·中考真题）若关于x的方程无解，则m的值为（    ） A．1 B．1或3 C．1或2 D．2或3 【答案】B 【分析】先将分式方程化成整式方程，再分①整式方程无解，②关于的方程有增根两种情况，分别求解即可得． 【详解】解：将方程化成整式方程为，即， 因为关于的方程无解， 所以分以下两种情况： ①整式方程无解， 则，解得； ②关于的方程有增根， 则，即， 将代入得：，解得； 综上，的值为1或3， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式方程无解，正确分两种情况讨论是解题关键． 16． （2024·广西贺州·中考真题）若关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据分式方程有增根可求出，方程去分母后将代入求解即可. 【详解】解：∵分式方程有增根， ∴， 去分母，得， 将代入，得， 解得． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式方程的无解问题，掌握分式方程中增根的定义及增根产生的原因是解题的关键． 17． （2024·山东潍坊·中考真题）当 时，解分式方程会出现增根． 【答案】2 【分析】分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根，且使分式方程的分母为0的未知数的值． 【详解】分式方程可化为：x-5=-m， 由分母可知，分式方程的增根是3， 当x=3时，3-5=-m，解得m=2， 故答案为：2 【点睛】本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行： ①让最简公分母为0确定增根； ②化分式方程为整式方程； ③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 18． （2024·山东济宁·中考真题）人教版教科书对分式方程验根的归纳如下：“解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程中的分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．” 请你根据对这段话的理解，解决下面问题：已知关于x的方程无解，方程的一个根是m． （1）求m和k的值； （2）求方程的另一个根． 【答案】（1）-5 （2）3 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，故将x=1代入整式方程，即可求出m的值，将m的值代入已知方程即可求出k的值. （2）利用根与系数的关系即可求出方程的另一根. 【详解】解：（1）分式方程去分母得：m－1＋x=0， 由题意将x=1代入得：m－1－1=0，即m=2， ∴当m=2时，关于x的方程无解， 将m=2代入方程得：4+2k+6=0，即k=－5； （2）设方程另一根为a，则有2a=6，即a=3， ∴方程的另一个根是3. 【题型4 由分式方程的解求字母的取值范围】 19． （2024·四川甘孜·中考真题）已知关于x的分式方程＝3的解是x＝3，则m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．1 【答案】B 【分析】将x＝3代入分式方程中进行求解即可． 【详解】解：把x＝3代入关于x的分式方程＝3得：， 解得：m＝﹣3， 故选：B． 【点睛】本题考查分式方程的解，一般直接将解代入分式方程进行求解． 20． （2024·黑龙江牡丹江·中考真题）若关于x的分式方程有正整数解，则整数m的值是（   ） A．3 B．5 C．3或5 D．3或4 【答案】D 【分析】解带参数m的分式方程，得到，即可求得整数m的值． 【详解】解：， 两边同时乘以得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 若m为整数，且分式方程有正整数解，则或， 当时，是原分式方程的解； 当时，是原分式方程的解； 故选：D． 【点睛】本题考查分式方程的解，始终注意分式方程的分母不为0这个条件． 21． （2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】分式方程两边乘以，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，根据分式方程的解是负数，得出不等式，解不等式即可求解． 【详解】解： 解得： 且 ∵关于的分式方程的解是负数， ∴，且 ∴且， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 22． （2024·湖北荆门·中考真题）已知关于x的分式方程的解满足，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为（    ） A．正数 B．负数 C．零 D．无法确定 【答案】A 【分析】先解出关于x的分式方程得到x=，代入求出k的取值，即可得到k的值，故可求解． 【详解】关于x的分式方程 得x=， ∵ ∴ 解得-7＜k＜14 ∴整数k为-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13， 又∵分式方程中x≠2且x≠-3 ∴k≠35且k≠0 ∴所有符合条件的k中，含负整数6个，正整数13个，∴k值的乘积为正数, 故选A． 【点睛】此题主要考查分式方程与不等式综合，解题的关键是熟知分式方程的求解方法． 23． （2024·重庆·中考真题）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A．5 B．8 C．12 D．15 【答案】B 【分析】先计算不等式组的解集，根据“同大取大”原则，得到解得，再解分式方程得到，根据分式方程的解是正整数，得到，且是2的倍数，据此解得所有符合条件的整数a的值，最后求和． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得， 不等式组的解集为： 解分式方程得 整理得， 则 分式方程的解是正整数， ，且是2的倍数， ，且是2的倍数， 整数a的值为-1, 1, 3, 5, 故选：． 【点睛】本题考查解含参数的一元一次不等式、解分式方程等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 24． （2024·四川眉山·中考真题）已知关于x的分式方程有一个正数解，则k的取值范围为 ． 【答案】k<6且k≠3 【分析】根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，根据分式方程的解是正数，可得不等式，解不等式，可得答案，并注意分母不分零． 【详解】解：， 方程两边都乘以（x-3），得 x=2（x-3）+k， 解得x=6-k≠3， 关于x的方程程有一个正数解， ∴x=6-k＞0， k＜6，且k≠3， ∴k的取值范围是k＜6且k≠3． 故答案为k＜6且k≠3． 【点睛】本题主要考查了解分式方程、分式方程的解、一元一次不等式等知识，能根据已知和方程的解得出k的范围是解此题的关键． 考点二 分式方程的应用 的 【题型5 列方程方程】 25． （2024·甘肃白银·中考真题）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，若设现在平均每天生产机器x台，根据题意可列分式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列分式方程，设现在平均每天生产机器x台，则原计划平均每天生产台，根据生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，列出方程即可． 【详解】解：设现在平均每天生产机器x台，则原计划平均每天生产台， 由题意可得：， 故选：C． 26． （2024·甘肃临夏·中考真题）端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是元，所得方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．根据降价后用240元可以比降价前多购买10袋，可以列出相应的分式方程． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：C． 27． （2024·四川·中考真题）近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程10千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程7千米，走路线b比路线a平均速度提高，时间节省10分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/小时，依题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】若设路线a时的平均速度为x千米/小时，则走路线b时的平均速度为千米/小时，根据路线b的全程比路线a少用10分钟可列出方程． 【详解】解：由题意可得走路线b时的平均速度为千米/小时， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 28． （2024·山东淄博·中考真题）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2万元购进了一批劳动工具．开展课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低10元，总费用降低了15%．设第二次采购单价为x元，则下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设第二次采购单价为x元，则第一次采购单价为(x+10)元，根据单价=总价÷数量，结合总费用降低了15%，采购数量与第一次相同，即可得出关于x的分式方程． 【详解】解：设第二次采购单价为x元，则第一次采购单价为(x+10)元， 依题意得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 29． （2024·黑龙江绥化·中考真题）甲、乙两辆汽车同时从地出发，开往相距的地，甲、乙两车的速度之比是，结果乙车比甲车早分钟到达地，则甲车的速度为 ． 【答案】80 【分析】设甲车的速度为，则乙车的速度为，根据乙车比甲车早30分钟到达B地列方程求解即可. 【详解】设甲车的速度为，则乙车的速度为， 依题意，得， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故答案为80. 【点睛】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.注意分式方程要验根. 30． （2024·江西·中考真题）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过，其中通过的速度是通过速度的1.2倍，求小明通过时的速度．设小明通过时的速度是米/秒，根据题意列方程得： ． 【答案】 【分析】设小明通过时的速度是米秒，根据题意列出分式方程解答即可． 【详解】解：设小明通过时的速度是米秒，可得：， 故答案为， 【点睛】此题考查由实际问题抽象分式方程，关键是根据题意列出分式方程解答． 31． （2024·山东青岛·中考真题）为落实青岛市中小学生“十个一”行动计划，学校举办以“强体质，炼意志”为主题的体育节，小亮报名参加3000米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，少用3分钟跑完全程．设小亮训练前的平均速度为x米/分，那么x满足的分式方程为 ． 【答案】 【分析】根据比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，可得比赛时小亮平均速度为(1+25%)x米/分，根据比赛时所用时间比训练前少用3分钟列出方程． 【详解】解：∵比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，小亮训练前的平均速度为x米/分， ∴比赛时小亮平均速度为(1+25%)x米/分， 根据题意可得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 32． （2024·辽宁鞍山·中考真题）习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是 ． 【答案】 【分析】设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则设第二批购买的“四大名著”每套的价格为0.8x元，利用数量＝总价÷单价，结合第二批购买的套数比第一批少4套，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解：设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则设第二批购买的“四大名著”每套的价格为0.8x元， 依题意得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程. 【题型6 分式方程的行程问题】 33． （2024·山东·中考真题）某校组织学生去郭永怀纪念馆进行研学活动．纪念馆距学校72千米，部分学生乘坐大型客车先行，出发12分钟后，另一部分学生乘坐小型客车前往，结果同时到达．已知小型客车的速度是大型客车速度的倍，求大型客车的速度． 【答案】大型客车的速度为 【分析】设出慢车的速度，再利用慢车的速度表示出快车的速度，根据所用时间差为12分钟列方程解答. 【详解】解：设慢车的速度为，则快车的速度为， 根据题意得 ， 解得：， 经检验，是原方程的根. 故大型客车的速度为. 【点睛】此题考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键，此题的等量关系是快车与慢车所用时间差为12分钟. 34． （2024·四川自贡·中考真题）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度． 【答案】张老师骑车的速度为千米/小时 【分析】实际应用题的解题步骤“设、列、解、答”，根据问题设未知数，找到题中等量关系张老师先走2小时，结果同时达到列分式方程，求解即可． 【详解】解：设张老师骑车的速度为千米/小时，则汽车速度是千米/小时， 根据题意得：， 解之得， 经检验是分式方程的解， 答：张老师骑车的速度为千米/小时． 【点睛】本题考查分式方程解实际应用题，根据问题设未知数，读懂题意，找到等量关系列出分式方程是解决问题的关键． 35． （2024·四川乐山·中考真题）第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办，为保证省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆，已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度． 【答案】摩托车的速度为40千米/时 【分析】设摩托车的速度为x千米/时，则抢修车的速度为1.5x千米/时，根据抢修车比摩托车少用10分钟，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设摩托车的速度为x千米/时，则抢修车的速度为1.5x千米/时， 依题意，得：， 解得：x=40， 经检验，x=40是所列方程的根，且符合题意， 答：摩托车的速度为40千米/时． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 36． （2024·重庆·中考真题）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从地沿相同路线骑行去距地30千米的地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍． (1)若乙先骑行2千米，甲才开始从地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度； (2)若乙先骑行20分钟，甲才开始从地出发，则甲、乙恰好同时到达地，求甲骑行的速度． 【答案】(1) (2)千米/时 【分析】（1）设乙的速度为千米/时，则甲的速度为千米/时，根据甲出发半小时恰好追上乙列方程求解即可； （2）设乙的速度为千米/时，则甲的速度为千米/时，根据甲、乙恰好同时到达地列方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙的速度为千米/时，则甲的速度为千米/时， 由题意得：， 解得：， 则， 答：甲骑行的速度为千米/时； （2）设乙的速度为千米/时，则甲的速度为千米/时， 由题意得：， 解得， 经检验是分式方程的解， 则， 答：甲骑行的速度为千米/时． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和分式方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 【题型7 分式方程的工程问题】 37． （2024·广西玉林·中考真题）南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设，玉林辆隧道是全线控制性隧道，首期打通共有土石方总量600千立方米，总需要时间y天，且完成首期工程限定时间不超过600天．设每天打通土石方x千立方米． （1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）由于工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米，工期比原计划提前了100天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工程？ 【答案】（1）（0<x≤600）；（2）实际挖掘了500天才能完成首期工程 【分析】（1）根据“工作时间=总工作量÷每天工作量”，即可得出y关于x的函数关系式； （2）根据工期比原计划提前了100天列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵共有土石方总量600千立方米， ∴（0<x≤600）； （2）由题意得 ， 解得x1=1，x2=（负值舍去）， 经检验x=1是原分式方程的解 1+0.2=1.2千立方米， 600÷1.2=500天． 答：实际挖掘了500天才能完成首期工程． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列出函数关系式；（2）根据工期比原计划提前了100天列出方程． 38． （2024·山东泰安·中考真题）一项工程，甲，乙两公司合做，12天可以完成，共需付施工费102000元；如果甲，乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元． （1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？ （2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？ 【答案】（1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需20天，30天；（2）让一个公司单独完成这项工程，甲公司的施工费较少． 【分析】（1）设甲公司单独完成此项工程需x天，则乙公司单独完成此项工程需1.5x天，根据“甲、乙两公司合做，12天可以完成这项工程”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设乙公司每天的施工费为y元，则甲公司每天的施工费为（y+1500）元，根据“甲、乙两公司合做，12天的施工费为102000元”，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y值，再利用施工费=每天需付的施工费×施工天数，可分别求出甲、乙两队单独完成这项工程所需的施工费，比较后即可得出结论． 【详解】解：（1）设甲公司单独完成此项工程需x天，则乙公司单独完成此项工程需1.5x天． 根据题意，得， 解得x=20． 经检验，x=20是方程的解且符合题意． 1.5 x=30． ∴甲，乙两公司单独完成此项工程，各需20天，30天． （2）设乙公司每天的施工费为y元，则甲公司每天的施工费为（y+1500）元， 依题意得：12y+12（y+1500）=102000， 解得：y=3500． ∴甲公司单独完成这项工程所需施工费为（3500+1500）×20=100000（元）， 乙公司单独完成这项工程所需施工费为3500×30=105000（元）． ∵100000＜105000， ∴若让一个公司单独完成这项工程，甲公司的施工费较少． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 39． （2024·贵州黔东南·中考真题）某校为了在九月份迎接高一年级的新生，决定将学生公寓楼重新装修，现学校招用了甲、乙两个工程队．若两队合作，8天就可以完成该项工程；若由甲队先单独做3天后，剩余部分由乙队单独做需要18天才能完成． （1）求甲、乙两队工作效率分别是多少？ （2）甲队每天工资3000元，乙队每天工资1400元，学校要求在12天内将学生公寓楼装修完成，若完成该工程甲队工作m天，乙队工作n天，求学校需支付的总工资w（元）与甲队工作天数m（天）的函数关系式，并求出m的取值范围及w的最小值． 【答案】（1）甲队工作效率是，乙队工作效率是；（2）w=200m+33600（6≤m≤12），m=6时， w的最小值为34800元． 【分析】（1）设甲队单独完成需要x天，乙队单独完成需要y天．列出分式方程组即可解决问题； （2）设乙先工作x天，再与甲合作正好如期完成．则，解得x=6．由此可得m的范围，由此可得m的范围，再构建一次函数，利用一次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）设甲队单独完成需要x天，乙队单独完成需要y天． 由题意，解得， 经检验是分式方程组的解， ∴甲、乙两队工作效率分别是和． （2）设乙先工作x天，再与甲合作正好如期完成． 则，解得x=6． ∴甲工作6天， ∵甲12天完成任务， ∴6≤m≤12． ∴w=3000m+1400（24-2m）=200m+33600， ∵200＞0， ∴m=6时，此时费用最小， ∴w的最小值为200×6+33600=34800元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程组的应用等知识，解题的关键是学会设未知数，构建方程解决问题，属于中考常考题型． 40． （2024·辽宁丹东·中考真题）进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务．这是记者与驻军工程指挥官的一段对话∶ 通过这段对话，请你求出该地驻军原来每天加固的米数． 【答案】300米 【详解】解：设原来每天加固x米，根据题意，得, 去分母，得1200+4200=18x（或18x=5400）, 解得：． 检验：当时，（或分母不等于0）． ∴是原方程的解． 答：该地驻军原来每天加固300米． 41． （2024·江苏淮安·中考真题）玉树地震后，有一段公路急需抢修．此项工程原计划由甲工程队独立完成，需要20天．在甲工程队施工4天后，为了加快工程进度，又调来乙工程队与甲工程队共同施工，结果比原计划提前10天，为抗震救灾赢得了宝贵时间．求乙工程队独立完成这项工程需要多少天． 【答案】12天 【详解】解：设乙工程队独立完成这项工程需要x天， 所以， 解得x=12， 经检验x=12是分式方程的解， 所以乙工程队独立完成这项工程需12天． 42． （2024·辽宁阜新·中考真题）为落实“数字中国”的建设工作，市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天． （1）求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？ （2）已知甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，现需安装教室120间，若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过18000元，则最多安排甲公司工作多少天？ 【答案】（1）甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室；（2）12天 【分析】（1）设乙公司每天安装间教室，则甲公司每天安装间教室，根据题意列出分式方程，故可求解； （2）设安排甲公司工作y天，则乙公司工作天，根据题意列出不等式，故可求解． 【详解】解：（1）设乙公司每天安装间教室，则甲公司每天安装间教室， 根据题意，得 解这个方程，得． 经检验，是所列方程的根． （间）， 所以，甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室． （2）设安排甲公司工作y天，则乙公司工作天，根据题意，得 解这个不等式，得． 所以，最多安排甲公司工作12天． 【点睛】此题主要考查分式方程与不等式的实际应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列式求解． 【题型8 分式方程的经济问题】 43． （2024·江苏宿迁·中考真题）某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同． (1)求纪念品A、B的单价分别是多少元？ (2)商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？ 【答案】(1)纪念品A、B的单价分别是元和元 (2)A种纪念品购进件，B种纪念品购进件，两种纪念品使总费用最少 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． （1）设A种纪念品的单价是x元，则B种纪念品的单价是元，利用数量总价单价，结合“用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同”，可得出关于x的分式方程，解之即可； （2）设购买a件A种纪念品，总费用为元，利用总价单价数量，可得出关于a的一次函数，求出a的取值范围，根据函数的增减性解题即可． 【详解】（1）解：设A种纪念品的单价为元，则B种纪念品的单价为元， ， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴B种纪念品的单价为元， 答：纪念品A、B的单价分别是元和元． （2）解：设A种纪念品购进件，总费用为元， 则， 又∵， 解得， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，购买这两种纪念品使总费用最少， 这时A种纪念品购进件，B种纪念品购进件，两种纪念品使总费用最少． 44． （2024·辽宁阜新·中考真题）为了进一步丰富校园文体活动，某中学准备一次性购买若干个足球和排球，用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，已知足球的单价比排球的单价多15元． (1)求：足球和排球的单价各是多少元？ (2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和排球共100个，但要求其总费用不超过7550元，那么学校最多可以购买多少个足球？ 【答案】(1)足球的单价是80元，排球的单价是65元； (2)学校最多可以购买70个足球． 【分析】（1）设足球的单价是x元，则排球的单价是元，根据数量=总价÷单价，结合用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设学校可以购买m个足球，则可以购买个足球，利用总价=单价×数量，结合购买足球和排球的总费用不超过7550元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论． 【详解】（1）解：设足球的单价是x元，则排球的单价是元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：足球的单价是80元，排球的单价是65元； （2）解：设学校可以购买m个足球，则可以购买个排球， 依题意得：， 解得：． 又∵m为正整数， ∴m可以取的最大值为70． 答：学校最多可以购买70个足球． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 45． （2024·黑龙江·中考真题）2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同． (1)求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？ (2)已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？ (3)在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值． 【答案】(1)A款文化衫每件50元，则B款文化衫每件40元， (2)一共有六种购买方案 (3) 【分析】（1）设A款文化衫每件x元，则B款文化衫每件元，然后根据用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同列出方程求解即可； （2）设购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫件，然后根据，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫列出不等式组求解即可； （3）设购买资金为W元，购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫件，求出，根据（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，可得W的取值与a的值无关，由此即可求出． 【详解】（1）解：设A款文化衫每件x元，则B款文化衫每件元， 由题意得，， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解， ∴， ∴A款文化衫每件50元，则B款文化衫每件40元， 答：A款文化衫每件50元，则B款文化衫每件40元； （2）解：设购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫件， 由题意得，， 解得， ∵a是正整数， ∴a的取值可以为275，276，277，278，279，280， ∴一共有六种购买方案； （3）解：设购买资金为W元，购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫件， 由题意得， ， ∵（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同， ∴W的取值与a的值无关， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，分式方程的实际应用，整式的加减的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式组是解题的关键． 46． （2024·辽宁锦州·中考真题）2023年5月15日，辽宁男篮取得第三次CBA总冠军，辽篮运动员的拼搏精神感染了众多球迷．某校篮球社团人数迅增，急需购进A，B两种品牌篮球，已知A品牌篮球单价比B品牌篮球单价的2倍少48元，采购相同数量的A，B两种品牌篮球，分别需要花费9600元和7200元．求A，B两种品牌篮球的单价分别是多少元？ 【答案】A品牌篮球单价为96元，B品牌篮球单价为72元 【分析】设B品牌篮球单价为x元，则A品牌篮球单价为元，，再利用“采购相同数量的A，B两种品牌篮球，分别需要花费9600元和7200元”，列方程，解方程即可． 【详解】解：设B品牌篮球单价为x元，则A品牌篮球单价为元， 根据题意，得． 解这个方程，得． 经检验，是所列方程的根． （元）． 所以，A品牌篮球单价为96元，B品牌篮球单价为72元． 【点睛】本题考查的是分式方程的应用，设出恰当的未知数，确定相等关系是解题的关键． 47． （2024·山东济南·中考真题）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元? (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元? 【答案】(1)A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元 (2)购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元 【分析】（1）设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元，根据：用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同即可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可求解； （2）设购买A型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，根据题意可求出m的范围和W关于m的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出最小值 【详解】（1）解：设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元． 根据题意，得 解这个方程，得 经检验，是原方程的根． 答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元． （2）设购买A型编程机器人模型台，购买B型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元， 由题意得：，解得． ∴ 即， ∵， ∴随的增大而增大． ∴当时，取得最小值11200，此时； 答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和一次函数的性质，正确理解题意、找准相等与不等关系、得出分式方程与不等式是解题的关键． 48． （2024·黑龙江牡丹江·中考真题）某商场欲购进A和B两种家电，已知B种家电的进价比A种家电的进价每件多100元，经计算，用1万元购进A种家电的件数与用1.2万元购进B种家电的件数相同．请解答下列问题： (1)这两种家电每件的进价分别是多少元？ (2)若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过53500元，且A种家电不超过67件，则该商场有哪几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，若A和B两种家电的售价分别是每件600元和750元，该商场从这100件中拿出两种家电共10件奖励优秀员工，其余家电全部售出后仍获利5050元，请直接写出这10件家电中B种家电的件数． 【答案】(1)A种家电每件的进价为500元，B种家电每件的进价为600元 (2)共有三种购买方案，方案一：购进A种家电65件，B种家电35件，方案二：购进A种家电66件，B种家电34件，方案三：购进A种家电67件，B种家电33件 (3)这10件家电中B种家电的件数4件 【分析】（1）根据题意设A种家电每件进价为x元，B种家电每件进价为元，建立分式方程求解即可； （2）设购进A种家电a件，购进B种家电件，建立不等式，求解不等式，选择符合实际的解即可； （3）设A种家电拿出件，则B种家电拿出件，根据题意，建立一元一次方程求解即可． 【详解】（1）设A种家电每件进价为x元，B种家电每件进价为元． 根据题意，得 ． 解得． 经检验是原分式方程的解． ． 答：A种家电每件的进价为500元，B种家电每件的进价为600元； （2）设购进A种家电a件，购进B种家电件． 根据题意，得． 解得． ，．   为正整数，，则， 共有三种购买方案， 方案一：购进A种家电65件，B种家电35件， 方案二：购进A种家电66件，B种家电34件， 方案三：购进A种家电67件，B种家电33件； （3）解：设A种家电拿出件，则B种家电拿出件， 根据（1）和（2）及题意，当购进A种家电65件，B种家电35件时，得： ， 整理得：， 解得：，不符合实际； 当购进A种家电66件，B种家电34件时，得： ， 整理得：， 解得：，不符合实际； 当购进A种家电67件，B种家电33件时，得： ， 整理得：， 解得：，符合实际；则B种家电拿出件． 【点睛】本题考查分式方程的实际问题，一元一次方程的实际问题与一元一次不等的实际问题，正确理解题意，建立正确的等量关系与不等式是解题的关键，注意结果要符合实际及分式方程的检验． 49． （2024·湖北荆州·中考真题）荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进，两种文创饰品对游客销售．已知1400元采购种的件数是630元采购种件数的2倍，种的进价比种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购种的件数不低于390件，不超过种件数的4倍． (1)求，饰品每件的进价分别为多少元？ (2)若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购种超过150件时，种超过的部分按进价打6折．设购进种饰品件， ①求的取值范围； ②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润． 【答案】(1)种饰品每件进价为10元，B种饰品每件进价为9元； (2)①且为整数，②当采购种饰品210件，B种饰品390件时，商铺获利最大，最大利润为3630元． 【分析】（1）分别设出，饰品每件的进价，依据数量列出方程求解即可； （2）①依据题意列出不等式即可； ②根据不同的范围，列出不同函数关系式，分别求出最大值，比较即可得到李荣最大值． 【详解】（1）（1）设种饰品每件的进价为元，则B种饰品每件的进价为元． 由题意得：，解得：， 经检验，是所列方程的根，且符合题意． 种饰品每件进价为10元，B种饰品每件进价为9元． （2）①根据题意得：， 解得：且为整数； ②设采购种饰品件时的总利润为元． 当时，， 即， ， 随的增大而减小． 当时，有最大值3480． 当时， 整理得：， ， 随的增大而增大． 当时，有最大值3630． ， 的最大值为3630，此时． 即当采购种饰品210件，B种饰品390件时，商铺获利最大，最大利润为3630元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数利润最大化方案问题，关键是对分段函数的理解和正确求出最大值． 【题型9 分式方程的和差倍分问题】 50． （2024·重庆·中考真题）“垃圾可变宝，分类更环保”．我校为积极响应有关垃圾分类的号召，从新世纪百货购进了A，B两种品牌的垃圾桶作为“可回收垃圾桶”和“其他垃圾桶”．已知每个B品牌垃圾桶比每个A品牌垃圾桶贵，用4000元购买A品牌垃圾桶的数量比用3200元购买B品牌垃圾桶多36个． (1)求购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元？ (2)若我校购进的B品牌垃圾桶的数量比A品牌垃圾桶的数量的还多10个，且总费用不超过4465元，那么我校最多可购买多少个A品牌垃圾桶？ 【答案】(1)购买一个A品牌垃圾桶需40元，购买一个B品牌垃圾桶需50元 (2)最多可购买61个A品牌垃圾桶 【分析】本题考查分式方程的实际应用、一元一次不等式的实际应用： （1）设购买一个A品牌垃圾桶需x元，则购买一个B品牌垃圾桶需元，根据等量关系列分式方程，解方程即可； （2）设购买m个A品牌垃圾桶，则购买B品牌垃圾桶，根据不等关系列不等式，求出不等式的最大整数解即可． 【详解】（1）解：设购买一个A品牌垃圾桶需x元，则购买一个B品牌垃圾桶需元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 即购买一个A品牌垃圾桶需40元，购买一个B品牌垃圾桶需50元． （2）解：设购买m个A品牌垃圾桶， 根据题意，得， 解得， 即最多可购买61个A品牌垃圾桶． 51． （2024·吉林长春·中考真题）为建国70周年献礼，某灯具厂计划加工9000套彩灯，为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.2倍，结果提前5天完成任务．求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量． 【答案】原计划每天加工这种彩灯的数量为300套． 【分析】该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为套，由题意列出方程：，解方程即可． 【详解】解：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为套，则实际每天加工彩灯的数量为套， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意； 答：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为300套． 【点睛】考核知识点：分式方程应用.理解题意，列出分式方程并解是关键. 52． （2024·四川自贡·中考真题）为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知七（3）班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子． 【答案】甲组平均每小时包100个粽子，乙组平均每小时包80个粽子． 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用．设乙组每小时包个粽子，则甲组每小时包个粽子，根据时间等于总工作量除以工作效率，即可得出关于的分式方程，解之并检验后即可得出结果． 【详解】解：设乙组平均每小时包个粽子，则甲组平均每小时包个粽子， 由题意得： ，解得：， 经检验：是分式方程的解，且符合题意， ∴分式方程的解为：， ∴ 答：甲组平均每小时包100个粽子，乙组平均每小时包80个粽子． 53． （2024·河南·中考真题）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆． (1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格． (2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱． 【答案】(1)20元 (2)2250元 【分析】（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，根据题意列出方程，解出方程即可； （2）设：购买A种菜苗捆，则购买B种菜苗捆，花费为y元，根据A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数，解出m的取值范围，列出花费y 与A种菜苗捆之间的关系式，根据关系式求出最少花费多少钱即可． 【详解】（1）解：设：菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元， 解得 检验：将代入，值不为零， ∴是原方程的解， ∴菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元． （2）解：设：购买A种菜苗捆，则购买B种菜苗捆，费用为y元， 由题意可知：， 解得， 又∵， ∴， ∵y随m的增大而减小 ∴当时，花费最少， 此时 ∴本次购买最少花费2250元． 【点睛】本题考查分式方程与一次函数表达式求最小值，根据题意列出分式方程并检验是解答本题的关键． 54． （2024·山西·中考真题）太原武宿国际机场简称“太原机场”，是山西省开通的首条定期国际客运航线．游客从太原某景区乘车到太原机场，有两条路线可供选择，路线一：走迎宾路经太输路全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二：走太原环城高速全程是30千米，平均速度是路线一的倍，因此到达太原机场的时间比走路线一少用7分钟，求走路线一到达太原机场需要多长时间． 【答案】25分钟 【分析】设走路线一到达太原机场需要分钟，用含x的式子表示路线一、二的速度，再根据路线二平均速度是路线一的倍列等式计算即可． 【详解】解：设走路线一到达太原机场需要分钟． 根据题意，得． 解得：． 经检验，是原方程的解． 答：走路线一到达太原机场需要25分钟． 【点睛】本题主要考查分式方程的应用，根据题意找出等量关系是解决本题的关键，注意分式方程需要验根． 55． （2024·广东·中考真题）甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路60公里，再由乙队完成剩下的筑路工程，已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的倍，甲队比乙队多筑路20天． （1）求乙队筑路的总公里数； （2）若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为5：8，求乙队平均每天筑路多少公里． 【答案】（1）80；（2）0.8． 【详解】试题分析：（1）根据乙队筑路总千米数是甲队筑路总千米数的倍列式计算即可得； （2）设甲队平均每天筑路5x千米，则乙队平均每天筑路8x千米，根据题意可得等量关系：甲队筑路用的天数-20=乙队筑路用的天数，列出方程解方程即可． 试题解析：(1)60× ＝80(千米)，即乙队筑路的总千米数为80千米． (2)设甲队平均每天筑路5x千米，则乙队平均每天筑路8x千米， 根据题意，得， 解得x＝， 经检验，x＝是原分式方程的解且符合题意， ×8＝， 答：乙队平均每天筑路千米． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，关键是弄懂题意，找出题中的数量关系，根据数量关系确定等量关系． 56． （2024·北京通州·中考真题）某种型号的LED显示屏为长方形，其长与宽的比为；若将该显示屏的长、宽各减少2cm，则其长与宽的比值将会变为．求该型号LED显示屏的长度与宽度． 【答案】长度为8cm，宽度为6cm 【分析】设LED显示屏的长为cm，则宽为cm，根据题意列出方程，解方程即可解决问题，注意分式方程应检验 【详解】解：设LED显示屏的长为cm，则宽为cm. 根据题意列方程得 解得：. 经检验，是原方程的解 则， 答：该LED显示屏的长度为8cm，宽度为6cm. 【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出分式方程是解题的关键． 【题型10 分式方程的几何图形问题】 57． （2024·上海浦东新·中考真题）长方形的面积是，如果将长延长至原来的2倍，且长方形面积保持不变，那么宽会比原来少，求原来长方形的长． 【答案】15厘米 【分析】设原来长方形的长是x厘米，则新长方形的长是厘米，长方形面积保持不变，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设原来长方形的长是x厘米，则新长方形的长是厘米． 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：原长方形的长是15厘米． 【点睛】本题考查了分式方程，长方形的面积=长宽，长方形面积保持不变是突破点． 58． （2024·北京东城·中考真题）列分式方程解应用题．当矩形（即长方形）的短边为长边的倍时，称这个矩形为黄金矩形．黄金矩形更具美感．下图是某位同学的书画作品，装裱前是一个长为厘米，宽为厘米的矩形．现要在作品四周加上等宽的白色边衬装裱．为了使装裱后的作品接近黄金矩形，要求装裱后的矩形宽与长之比等于．边衬的宽度应设置为多少厘米？（注：） 【答案】厘米 【分析】根据装裱后的矩形宽与长之比等于列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：设边衬的宽度为厘米，则装裱后作品的长为厘米，宽为厘米 根据题意列方程，得 解得：                 经检验，是原分式方程的解,且符合实际意义． 答：边衬宽度应设置为厘米． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，列分式方程解应用题一定要审清题意，解题关键是找相等关系，学会分析题意，提高理解能力． 59． （2024·浙江杭州·中考真题）某校举办“迎亚运”学生书画展览，现要在长方形展厅中划出3个形状、大小完全一样的小长方方形“图中阴影部分”区域摆放作品． （1）如图1，若大长方形的长和宽分别为45米和30米，求小长方形的长和宽； （2）如图2，若大长方形的长和宽分别为和． ①直接写出1个小长方形周长与大长方形周长之比； ②若作品展览区域（阴影部分）面积占展厅面积的，试求的值，     【答案】（1）小长方形的长和宽分别为20米、5米；（2）①1个小长方形周长与大长方形周长之比是；②． 【分析】（1）设小长方形的长和宽分别为米、米，根据大长方形的长和宽可建立二元一次方程组，然后解方程即可得； （2）①先参照题（1）的方法，建立一个二元一次方程组，然后结合长方形的周长公式，解方程即可得； ②先根据面积公式可得与的等式关系，再根据①建立的方程组，代入求解即可得． 【详解】（1）设小长方形的长和宽分别为米、米 则 解得 答：小长方形的长和宽分别为20米、5米； （2）①设小长方形的长和宽分别为米、米 则 ①②得 则1个小长方形周长与大长方形周长之比为，即1个小长方形周长与大长方形周长之比是； ②由题意得： 由①建立的方程组可得： 化简得 ，即． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，还涉及到整体代换的数学思想．依据图形，正确建立方程组是解题关键． 60． （2024·浙江宁波·中考真题）用如图所示的甲、乙、丙三块木板做一个长、宽、高分别为a厘米，b厘米和10厘米的长方体木箱，其中甲块木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙块木板刚好能做一个长侧面和一个短侧面，丙块木板刚好能做一个箱盖和剩下的一个短侧面（厚度忽略不计，） (1)用含a，b的代数式分别表示这三块木板的面积． (2)若甲块木板的面积比丙块木板的面积大200平方厘米，木箱的体积为15000立方厘米，求乙块木板的面积． (3)如果购买一块长为100厘米，宽为厘米的长方形木板做这个木箱，木板的利用率为90%，试求分式的值． 【答案】(1)甲块木板的面积为平方厘米；乙块木板的面积为平方厘米；丙块木板的面积为平方厘米 (2)乙块木板的面积为800平方厘米 (3) 【分析】（1）利用展开图，结合立体图形的边长即可得出答案； （2）利用“甲块木板的面积比丙块木板的面积大200平方厘米，木箱的体积为150000立方厘米”，结合（1）中所求得出等式即可求解； （3）利用（1）中所求表示出箱子的侧面积以及木板的利用率为，得出等式求出，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：由图可得：甲块木板的面积：平方厘米；乙块木板的面积：平方厘米；丙块木板的面积：平方厘米； （2）解：由题意可得：， 即， 则， 则乙块木板的面积为； （3）解：由题意可得：， 化简得， 则． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，正确利用已知得出等量关系是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$