精品解析：上海市华东模范中学2024-2025学年高一上学期1月期末测试数学试题

2024~2025学年上海市华东模范中学高一上学期期末测试卷 数学试卷 （考试时间90分钟 满分100分） 考生注意： 1.带2B铅笔、黑色签字笔、考试中途不得传借文具. 2.考试期间严格遵守考试纪律，听从监考员指挥，杜绝作弊，违者由教导处进行处分. 3.请将答案写在答题纸上，保持字迹清晰. 一.填空题（10题共40分，每小题均为4分） 1. 已知集合，则__________. 2. 对任意的，幂函数的图象一定不经过第______象限 3. 函数，则_______. 4. 已知，则__________．（用m，n表示） 5. 不等式的解集为__________. 6. 若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为________. 7. 已知函数的最小值为，则实数的取值范围是___________． 8. 已知，，当变化时，最小值为4，则______. 9. 若对任意，均有，则实数a的取值范围为___________． 10. 设，若存在使得关于x的方程恰有六个解，则b的取值范围是______． 二.选择题（3题共12分，每小题均为4分） 11. 已知是的充分非必要条件，的充要条件是，则是的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 12. 已知函数可表示为 1 2 3 4 则下列结论正确的是（ ） A. B. 的值域是 C. 的值域是 D. 在区间上单调递增 13. 已知，且方程无实根，现有四个命题：①若，则不等式对一切成立；②若，则必存在实数使不等式成立；③方程一定没有实数根；④若，则不等式对一切成立，其中真命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 三.解答题（共48分，14~16每题8分，17~18每题12分） 14. 考查关于x的方程． （1）若该方程的两个实数根，满足，求实数t的值； （2）若该方程在区间上有且仅有一个实数根，求实数t的取值范围． 15. 已知函数. （1）若函数的图象过原点，求的解析式； （2）若是偶函数，在定义域上恒成立，求实数的取值范围. 16. 已知，函数． （1）当时，若对任意都有，证明：； （2）当时，证明：对任意的充要条件是； （3）当时，讨论：对任意的充要条件． 17. 对于两个实数，，规定， （1）证明：关于的不等式解集为； （2）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围； （3）设关于的不等式的解集为，试探究是否存在自然数，使得不等式与的解集都包含于，若不存在，请说明理由，若存在，请求出满足条件的的所有值. 18. 对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“局部奇函数”. （1）已知函数，判断是否为“局部奇函数”； （2）若幂函数使得在上是“局部奇函数”，求m的取值范围； （3）若整数使得是定义在上的“局部奇函数”，求m的取值集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年上海市华东模范中学高一上学期期末测试卷 数学试卷 （考试时间90分钟 满分100分） 考生注意： 1.带2B铅笔、黑色签字笔、考试中途不得传借文具. 2.考试期间严格遵守考试纪律，听从监考员指挥，杜绝作弊，违者由教导处进行处分. 3.请将答案写在答题纸上，保持字迹清晰. 一.填空题（10题共40分，每小题均为4分） 1. 已知集合，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】求得集合，再根据集合的交运算求解即可. 【详解】根据题意，，故. 故答案为：. 2. 对任意的，幂函数的图象一定不经过第______象限 【答案】四 【解析】 【分析】分和两种情况，得到图像一定不经过第四象限. 【详解】当时，若，则，此时幂函数经过第二象限， 若，则，此时幂函数经过第三象限， 当时，恒成立，此时幂函数经过第一象限， 故图象一定不经过第四象限. 故答案为：四 3. 函数，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】先计算，再计算即可. 【详解】因为， 所以， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了分段函数求函数值，属于基础题. 4. 已知，则__________．（用m，n表示） 【答案】 【解析】 【分析】利用指数式和对数式的互换得到，，然后利用对数运算公式计算即可. 【详解】由题意得，，所以. 故答案为：. 5. 不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将原不等式化为求解即可. 【详解】， 令，因为，所以恒成立， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 6. 若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】对分类讨论，结合二次不等式与二次函数的关系即可分类求解. 【详解】若，则不等式为，不符合题意，舍去， 若，则不等式为，解得，符合题意， 若或，此时，为开口向上的二次函数， 此时不等式的解不为空集，符合题意， 若，此时，为开口向下的二次函数， 要使不等式的解不为空集，需要满足，所以， 综上可得或， 故答案为： 7. 已知函数的最小值为，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】当时，由题意可得二次函数的对称轴，求出此时的最小值，当时，求出此时的最小值为，再根据的最小值为列不等式即可求出答案. 【详解】当时，，二次函数对称轴为， 由的最小值为，得，此时的最小值为， 当时，，当且仅当时，等式成立， 此时在上的最小值为， 因为的最小值为，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 8. 已知，，当变化时，最小值为4，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用换底公式结合基本不等式确定的最小值表达式，结合题意可得方程，即可求得答案. 【详解】由题意得，， ，当且仅当即时取等号， ∴，此时，适合题意， 故答案为：2 9. 若对任意，均有，则实数a的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由绝对值三角不等式可得在恒成立，即有或在恒成立，分别求解即可得答案. 【详解】解：因为在绝对值三角不等式中，当同号时有， 又因为， 所以在恒成立， 所以或在恒成立， 即有或在恒成立， 由，解得， 由，解得， 综上所述实数a的取值范围为. 故答案为： 10. 设，若存在使得关于x的方程恰有六个解，则b的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】作出f(x)的图像，当时，，当时，.令，则，则该关于t的方程有两个解、，设＜，则，.令，则，据此求出a的范围，从而求出b的范围． 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 则f(x)图像如图所示： 当时，，当时，． 令，则， ∵关于x的方程恰有六个解， ∴关于t的方程有两个解、，设＜， 则，， 令，则， ∴且， 要存在a满足条件，则，解得． 故答案为：． 二.选择题（3题共12分，每小题均为4分） 11. 已知是的充分非必要条件，的充要条件是，则是的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分非必要条件和充要条件得到和的关系即可. 【详解】因为是的充分非必要条件，所以，， 又的充要条件是，所以，所以，， 所以是的必要非充分条件. 故选：B. 12. 已知函数可表示为 1 2 3 4 则下列结论正确的是（ ） A. B. 的值域是 C. 的值域是 D. 在区间上单调递增 【答案】B 【解析】 【分析】 ，所以选项A错误；由表得的值域是，所以选项B正确C不正确；在区间上不是单调递增，所以选项D错误. 【详解】A. ，所以该选项错误； B. 由表得的值域是，所以该选项正确； C. 由表得的值域是，不是，所以该选项错误； D. 在区间上不是单调递增，如：，但是，所以该选项错误. 故选：B 【点睛】方法点睛：判断函数的性质命题的真假，一般要认真理解函数的定义域、值域、单调性等的定义，再根据定义分析判断. 13. 已知，且方程无实根，现有四个命题：①若，则不等式对一切成立；②若，则必存在实数使不等式成立；③方程一定没有实数根；④若，则不等式对一切成立，其中真命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数的图象和性质分别判断与的关系. 【详解】解：方程无实根. 或. 对一切成立, ,用代入, ,命题①正确； 同理若,则有.命题②错误,命题③正确； , 必然归为,有.命题④正确. ①③④正确 . 故选C 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质以及二次不等式的应用综合性较强,难度较大. 三.解答题（共48分，14~16每题8分，17~18每题12分） 14. 考查关于x的方程． （1）若该方程的两个实数根，满足，求实数t的值； （2）若该方程在区间上有且仅有一个实数根，求实数t的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式及韦达定理求解即可； （2）化简方程为，令，转化问题为方程有且仅有一个实数根，进而结合对勾函数图象求解即可. 【小问1详解】 由题意，得，即或， 因为，所以， 解得或4（舍去）， 所以. 【小问2详解】 由，， 即 即， 令， 则， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且时，；时，；时，，如图， 所以要使方程只有一个实数根， 则或， 解得或， 所以实数t的取值范围为． 15. 已知函数. （1）若函数的图象过原点，求的解析式； （2）若是偶函数，在定义域上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设且，即可求参数值，进而写出解析式； （2）由偶函数性质得，问题化为在R上恒成立，根据求参数范围. 【小问1详解】 由题设，而，则，可得或， 当时，；当时，. 【小问2详解】 由题设，则， 所以恒成立，即， 所以，即在R上恒成立， 所以，即，可得. 16. 已知，函数． （1）当时，若对任意都有，证明：； （2）当时，证明：对任意的充要条件是； （3）当时，讨论：对任意的充要条件． 【答案】（1） 根据题意，对任意都有， 又， 所以， 因为， 所以； （2） 必要性：任意， 据此可推出，即， 所以； 任意， 因为，可得， 可推出，即， 所以； 所以； 充分性：因为，，对任意， 可推出， 即， 因为，，对任意， 可推出， 即， 所以，即； 综上可知：当时，对任意的充要条件是； （3） 【解析】 【分析】（1）由题意，即可得证； （2）分别证必要性与充分性，即必要性：任意；充分性： （3）时，证，由，可得，再证可得，即可求解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，，对任意， 可推出， 即； ，即， 又， 即； 所以当，时，对任意的充要条件是 17. 对于两个实数，，规定， （1）证明：关于的不等式解集为； （2）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围； （3）设关于的不等式的解集为，试探究是否存在自然数，使得不等式与的解集都包含于，若不存在，请说明理由，若存在，请求出满足条件的的所有值. 【答案】（1） 不等式化为， 当时，，解得，又，所以； 当时，，符合题意，则； 当时，，解得，又，所以； 综上所述：，即关于的不等式解集为. （2） （3）存在，或或 【解析】 【分析】（1）分类讨论解绝对值不等式即可证明； （2）解集非空转化为最大值大于1解不等式即可； （3）先解一元二次不等式和绝对值不等式确定，再分和两种情况讨论求解可得的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 不等式即解集非空， 记，则， ，当等号成立. 故，解得或，故实数的取值范围. 【小问3详解】 由得，解得； 不等式即，也即， 当时，，解得，故； 当时，，解得，故. 综上所述：. 故. 不等式即，也即， 当时，，解得，满足条件； 当时，设， 因为，所以， 所以，解得或. 当，， 当，， 当，，，符合题意， 当，， 当，，， 当，，，符合题意. 综上，或或. 【点睛】关键点点睛：对于解集非空问题即有解问题，可以分离变量转化为函数的最值问题， 即有解，有解. 18. 对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“局部奇函数”. （1）已知函数，判断是否为“局部奇函数”； （2）若幂函数使得在上是“局部奇函数”，求m的取值范围； （3）若整数使得是定义在上的“局部奇函数”，求m的取值集合. 【答案】（1）不是局部奇函数 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出即可判断是否为“局部奇函数”； （2）利用幂函数的定义求出，从而得到的解析式，由条件可知在上存在非零实数解，利用参变量分离，结合函数的单调性求出范围； （3）由定义，将问题转化为(在上存在非零实数解，令，则，构造函数，利用二次函数的性质，列不等式求解即可. 【小问1详解】 因为，定义域为，则， ， 因为恒成立，从而， 故在其定义域内不存在非零实数使得， 即不存在使得， 所以不是“局部奇函数”； 【小问2详解】 因为是幂函数，则，所以，， 所以，， 因为在上是“局部奇函数”， 所以在上存在非零实数解， 所以在上存在非零实数解， 则，且， 令，且，则， 因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以，当且时，，即， 故； 【小问3详解】 由定义可得，在上存在非零实数解， 则在上存在非零实数解， 即在上存在非零实数解， 所以(在上存在非零实数解， 令， 因为，当且仅当，即时取等号， 又，所以， 则方程在上有实数解， 令，对称轴为， 当时，则，所以，故； 当时，则，即，故， 综上，， 又为整数，则， 所以的取值集合为. 【点睛】关键点睛：本题为新概念题，解题关键是正确理解“局部奇函数”的概念，运用转化的思想，把问题转化为方程有解的问题，利用换元的思想简化运算并完成计算. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $