广东省肇庆市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷

2024-2025学年广东省肇庆市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（3分）下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）方程5x2﹣6x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．5，6，1 B．5，﹣6，﹣1 C．5，6，﹣1 D．5，﹣6，1 3．（3分）对于二次函数y＝﹣x2+2x﹣4，下列说法正确的是（　　） A．图象开口向上 B．对称轴是直线x＝2 C．当x＞1时，y随x的增大而减小 D．图象与x轴有两个交点 4．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+2＝0，配方后得到的方程，正确的是（　　） A．（x+4）2＝4 B．（x﹣4）2＝4 C．（x+2）2＝2 D．（x﹣2）2＝2 5．（3分）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB＝25°．则∠AOC的度数为（　　） A．30° B．45° C．50° D．55° 6．（3分）如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开关A、B或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（　　） A．只闭合1个开关 B．只闭合2个开关 C．只闭合3个开关 D．闭合4个开关 7．（3分）如图，半径为2的⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，则下列说法错误的是（　　） A．点O是正六边形ABCDEF的中心 B．正六边形ABCDEF的边长是2 C．正六边形ABCDEF的中心角是60° D．正六边形ABCDEF的边心距 8．（3分）在直角坐标系中，点（﹣2，3）关于原点的对称点的坐标是（　　） A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（0，﹣3） D．（0，3） 9．（3分）已知方程x2+2x+1＝0的两个实数根分别是m，n，则m+n的值为（　　） A．﹣2 B．1 C．﹣1 D．2 10．（3分）函数y＝ax2与y＝﹣x﹣a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。 11．（3分）已知x＝﹣1是一元二次方程x2+2x+n＝0的一个根，则n的值为　 　． 12．（3分）将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3向上平移2个单位，得到的抛物线是 　 　． 13．（3分）一个圆锥形的烟囱帽的底面直径是80cm，母线长是50cm，则这个烟囱帽的侧面展开图的面积是　 　cm2． 14．（3分）如图，△ABC为等边三角形，D是△ABC内一点，若将△ABD经过旋转后到△ACP位置，则旋转角等于 　 　度． 15．（3分）图1为某型号汤碗，截面如图2所示，碗体部分为半圆，直径AB为4英寸，碗底CD与AB平行，倒汤时碗底CD与桌面MN夹角为30°，则汤的横截面积（图3阴影部分）为 　 　平方英寸． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分。 16．（7分）把抛物线y＝x2﹣2x+8化成顶点式，并写出顶点坐标． 17．（7分）关于x的方程x2﹣2x+4﹣m＝0有两个不等的实数根．求m的取值范围． 18．（7分）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝25°．求∠P的度数． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。 19．（9分）中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献． （1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为 　 　； （2）某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率． 20．（9分）某服装店的一款衬衫，每件成本为50元．经市场调研，该款衬衫每件售价为60元时，每个月可销售200件；若每件的售价每提高1元，该款衬衫每个月的销售量将减少10件． （1）若这个服装店某月销售该款衬衫150件，求每件衬衫的售价提高了多少元？ （2）若这个服装店某月销售该款衬衫获利2240元，求每件衬衫的售价提高了多少元？ 21．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别为AB、AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF、CD． （1）求证：四边形ADCF是菱形； （2）若BC＝8，AC＝6，求四边形ABCF的周长． 五、解答题（三）：本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分。 22．（13分）综合探究 如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点F，在AC下方作∠CAE＝∠CAD，过点C作CE⊥AE，垂足为点E． （1）求证：△ACE≌△ACD； （2）求证：AE是⊙O的切线； （3）若AB＝8，AF＝3，求BD的长． 23．（14分）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若已知B点的坐标为B（6，0）． （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）M为线段BC上方抛物线上一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值． 2024-2025学年广东省肇庆市九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C D C B D A A C 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（3分）下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【解答】解：A选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； B选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C选项选项中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键． 2．（3分）方程5x2﹣6x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．5，6，1 B．5，﹣6，﹣1 C．5，6，﹣1 D．5，﹣6，1 【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0 （a，b，c是常数且a≠0），其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．据此即可解答． 【解答】解：由原方程得：5x2﹣6x﹣1＝0， ∴二次项系数为5，一次项系数为﹣6，常数项为﹣1． 故选：B． 【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，关键是注意一元二次方程的一般形式是什么． 3．（3分）对于二次函数y＝﹣x2+2x﹣4，下列说法正确的是（　　） A．图象开口向上 B．对称轴是直线x＝2 C．当x＞1时，y随x的增大而减小 D．图象与x轴有两个交点 【分析】A、用a＝﹣1＜0来确定；B、用对称轴x＝﹣来确定；C、当x＞1时，y随x的增大而减小，正确；D、用Δ＝b2﹣4ac来确定． 【解答】解：A、a＝﹣1＜0，故抛物线开口向下，故错误； B、函数对称轴x＝﹣＝1，故错误； C、当x＞1时，y随x的增大而减小，正确； D、Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4×4＝﹣4＜0，图象与x轴无交点，故错误； 故选：C． 【点评】本题考查的是二次函数图象的基本性质，是一道基本题，难度不大． 4．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+2＝0，配方后得到的方程，正确的是（　　） A．（x+4）2＝4 B．（x﹣4）2＝4 C．（x+2）2＝2 D．（x﹣2）2＝2 【分析】先将常数项移到等号右边，再在两边同时加上一次项系数一半的平方，最后根据完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2即可完成配方． 【解答】解：x2﹣4x+2＝0， x2﹣4x＝﹣2， x2﹣4x+4＝2， （x﹣2）2＝2， 故选：D． 【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的步骤． 5．（3分）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB＝25°．则∠AOC的度数为（　　） A．30° B．45° C．50° D．55° 【分析】根据题意可知＝，即可推出∠AOC＝50°． 【解答】解：∵OA⊥BC，∠ADB＝25°， ∴＝， ∴∠AOC＝2∠ADB＝50°． 故选：C． 【点评】本题主要考查圆周角定理、垂径定理，关键在于求出＝． 6．（3分）如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开关A、B或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（　　） A．只闭合1个开关 B．只闭合2个开关 C．只闭合3个开关 D．闭合4个开关 【分析】根据题意分别判断能否发光，进而判断属于什么事件即可． 【解答】解：A、只闭合1个开关，小灯泡不会发光，属于不可能事件，不符合题意； B、只闭合2个开关，小灯泡可能发光也可能不发光，是随机事件，符合题意； C、只闭合3个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意； D、闭合4个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意； 故选：B． 【点评】考查了随机事件的判断，解题的关键是根据题意判断小灯泡能否发光，难度不大． 7．（3分）如图，半径为2的⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，则下列说法错误的是（　　） A．点O是正六边形ABCDEF的中心 B．正六边形ABCDEF的边长是2 C．正六边形ABCDEF的中心角是60° D．正六边形ABCDEF的边心距 【分析】⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆可判断选项A，连接OC，OD，证明△OCD是等边三角形可判断B，C；由勾股定理求出OM可判断D． 【解答】解：∵⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆， ∴点O是正六边形ABCDEF的中心，故选项A正确，不符合题意； 连接OC，OD，如图， ， ∵OC＝OD， ∴△OCD是等边三角形， ∴OC＝OD＝CD＝2， ∴正六边形ABCDEF的边长是2，故选项B正确，不符合题意； ∴正六边形ABCDEF的中心角是60°，故选项C正确，不符合题意； ∵OM⊥CD， ∴， ∴OM＝＝． ∴选项D错误，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了正多边形与圆，正多边形的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 8．（3分）在直角坐标系中，点（﹣2，3）关于原点的对称点的坐标是（　　） A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（0，﹣3） D．（0，3） 【分析】根据关于原点对称的点横、纵坐标互为相反数，进行求解即可． 【解答】解：点（﹣2，3）关于原点的对称点得到的点的坐标（2，﹣3）． 故选：A． 【点评】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握关于原点对称点的特点． 9．（3分）已知方程x2+2x+1＝0的两个实数根分别是m，n，则m+n的值为（　　） A．﹣2 B．1 C．﹣1 D．2 【分析】直接利用根与系数的关系求解． 【解答】解：根据根与系数的关系得m+n＝﹣2． 故选：A． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝． 10．（3分）函数y＝ax2与y＝﹣x﹣a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】分两种情况讨论，根据一次函数和二次函数的性质作出判断． 【解答】解：当a＞0时，﹣a＜0，二次函数开口向上，一次函数过二，三，四象限， 当a＜0时，﹣a＞0，二次函数开口向下，一次函数过一，二，四象限， 所以C正确． 故选：C． 【点评】主要考查了一次函数和二次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。 11．（3分）已知x＝﹣1是一元二次方程x2+2x+n＝0的一个根，则n的值为　1　． 【分析】把x＝﹣1代入一元二次方程x2+2x+n＝0即可得出n的值． 【解答】解：∵x＝﹣1是一元二次方程x2+2x+n＝0的一个根， ∴1﹣2+n＝0， ∴n＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，比较简单，解题时只需将方程的根代入即可． 12．（3分）将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3向上平移2个单位，得到的抛物线是 　y＝﹣2（x﹣1）2+5　． 【分析】根据二次函数图象的平移规律“上加下减”． 【解答】解：将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3向上平移2个单位，得到的抛物线是y＝﹣2（x﹣1）2+3+2，即y＝﹣2（x﹣1）2+5． 故答案为：y＝﹣2（x﹣1）2+5． 【点评】本题主要考查的是函数图象的平移，由y＝ax2平移得到y＝a（x﹣h）2+k，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式即可． 13．（3分）一个圆锥形的烟囱帽的底面直径是80cm，母线长是50cm，则这个烟囱帽的侧面展开图的面积是　2000π　cm2． 【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2． 【解答】解：底面直径是80cm，则底面周长＝80πcm，烟囱帽的侧面展开图的面积＝×80π×50＝2000πcm2． 【点评】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解． 14．（3分）如图，△ABC为等边三角形，D是△ABC内一点，若将△ABD经过旋转后到△ACP位置，则旋转角等于 　60　度． 【分析】由等边三角形的性质得∠BAC＝60°，由AC与AB是对应边，可知∠BAC为旋转角，所以旋转角等于60°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∵D是△ABC内一点，将△ABD经过旋转后到△ACP位置， ∴AC与AB是对应边， ∴∠BAC为旋转角， ∴旋转角等于60°， 故答案为：60． 【点评】此题重点考查等边三角形的性质、旋转的性质等知识，正确理解旋转角的概念是解题的关键． 15．（3分）图1为某型号汤碗，截面如图2所示，碗体部分为半圆，直径AB为4英寸，碗底CD与AB平行，倒汤时碗底CD与桌面MN夹角为30°，则汤的横截面积（图3阴影部分）为 　（﹣）　平方英寸． 【分析】延长AB与MN交于点H，设AB的中点为O，连接OE，过O点作OG⊥BE交于点G，根据平行线的性质可求∠OBE＝30°，则∠BOE＝120°，阴影部分的面积＝扇形OBE的面积﹣△OBE的面积． 【解答】解：延长AB与MN交于点H，设AB的中点为O，连接OE，过O点作OG⊥BE交于点G， ∵CD与MN成角为30°，CD∥AB， ∴∠AHC＝30°， ∵BE∥MN， ∴∠ABE＝30°， ∵OE＝OB， ∴∠BOE＝120°， ∵AB＝4英寸， ∴OB＝OE＝2英寸， 在Rt△OBG中，OG＝OB＝1，BG＝， ∵OG⊥BE， ∴BE＝2BG＝2， ∴S△BEO＝2×1＝（平方英寸）， ∵S扇形OEB＝＝（平方英寸）， ∴S阴影＝（﹣）平方英寸， 故答案为：（﹣）． 【点评】本题考查解直角三角形，扇形的面积，熟练掌握平行线的性质，扇形面积的求法，等腰三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分。 16．（7分）把抛物线y＝x2﹣2x+8化成顶点式，并写出顶点坐标． 【分析】将y＝x2﹣2x+8配方为（x﹣1）2+7，即可得顶点坐标是（1，7）． 【解答】解：y＝x2﹣2x+8＝x2﹣2x+1+7＝（x﹣1）2+7， 故顶点坐标是（1，7）． 【点评】本题主要考查了配方法和顶点式，解题关键是正确配方． 17．（7分）关于x的方程x2﹣2x+4﹣m＝0有两个不等的实数根．求m的取值范围． 【分析】根据已知可得Δ＞0，即4﹣16+4m＝4m﹣12＞0，可解得答案． 【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+4﹣m＝0有两个不等的实数根， ∴Δ＞0， 而（﹣2）2﹣4（4﹣m）＝4﹣16+4m＝4m﹣12， ∴4m﹣12＞0， ∴m＞3， 【点评】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数m的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判别式Δ＝b2﹣4ac，当方程有两个不相等的实数根时，Δ＞0；当方程有两个相等的实数根时，Δ＝0；当方程没有实数根时，Δ＜0． 18．（7分）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝25°．求∠P的度数． 【分析】根据切线性质得出PA＝PB，∠PAO＝90°，求出∠PAB的度数，得出∠PAB＝∠PBA，根据三角形的内角和定理求出即可． 【解答】解： ∵PA、PB是⊙O的切线， ∴PA＝PB， ∴∠PAB＝∠PBA， ∵AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线， ∴AC⊥AP， ∴∠CAP＝90°， ∵∠BAC＝25°， ∴∠PBA＝∠PAB＝90°﹣25°＝65°， ∴∠P＝180°﹣∠PAB﹣∠PBA＝180°﹣65°﹣65°＝50°． 【点评】本题考查了切线长定理，切线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目具有一定的代表性，难度适中，熟记切线的性质定理是解题的关键． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。 19．（9分）中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献． （1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为 　　； （2）某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率． 【分析】（1）根据小聪选择的数学名著有四种可能，而他选中《九章算术》只有一种情况，再根据概率公式解答即可； （2）此题需要两步完成，所以可采用树状图法或者采用列表法求解． 【解答】解：（1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为． 故答案为； （2）将四部名著《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》分别记为A，B，C，D，记恰好选中《九章算术》和《孙子算经》为事件M． 方法一：用列表法列举出从4部名著中选择2部所能产生的全部结果： 第1部 第2部 A B C D A BA CA DA B AB CB DB C AC BC DC D AD BD CD 由表中可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等， 所有可能的结果中，满足事件M的结果有2种，即DB，BD， ∴P（M）＝＝． 方法二：根据题意可以画出如下的树状图： 由树状图可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等， 所有可能的结果中，满足事件M的结果有2种，即BD，DB， ∴P（M）＝＝． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 20．（9分）某服装店的一款衬衫，每件成本为50元．经市场调研，该款衬衫每件售价为60元时，每个月可销售200件；若每件的售价每提高1元，该款衬衫每个月的销售量将减少10件． （1）若这个服装店某月销售该款衬衫150件，求每件衬衫的售价提高了多少元？ （2）若这个服装店某月销售该款衬衫获利2240元，求每件衬衫的售价提高了多少元？ 【分析】（1）设每件衬衫的售价提高了x元，根据这个服装店某月销售该款衬衫150件，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设每件衬衫的售价提高了y元，根据这个服装店某月销售该款衬衫获利2240元，列出一元二次方程，解方程即可． 【解答】解：（1）设每件衬衫的售价提高了x元， 由题意得：200﹣10x＝150， 解得：x＝5， 答：每件衬衫的售价提高了5元； （2）设每件衬衫的售价提高了y元， 由题意得：（60+y﹣50）（200﹣10y）＝2240， 整理得：y2﹣10y+24＝0， 解得：y1＝4，y2＝6， 答：每件衬衫的售价提高了4元或6元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 21．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别为AB、AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF、CD． （1）求证：四边形ADCF是菱形； （2）若BC＝8，AC＝6，求四边形ABCF的周长． 【分析】（1）根据旋转可得AE＝CE，DE＝EF，可判定四边形ADCF是平行四边形，然后证明DF⊥AC，可得四边形ADCF是菱形； （2）首先利用勾股定理可得AB长，再根据中点定义可得AD＝5，根据菱形的性质可得AF＝FC＝AD＝5，进而可得答案． 【解答】（1）证明：∵将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE， ∴AE＝CE，DE＝EF， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵D、E分别为AB，AC边上的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC， ∵∠ACB＝90°， ∴∠AED＝90°， ∴DF⊥AC， ∴四边形ADCF是菱形； （2）解：在Rt△ABC中，BC＝8，AC＝6， ∴AB＝10， ∵D是AB边上的中点， ∴AD＝5， ∵四边形ADCF是菱形， ∴AF＝FC＝AD＝5， ∴四边形ABCF的周长为8+10+5+5＝28． 【点评】此题主要考查了菱形的判定与性质，关键是掌握菱形四边相等，对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 五、解答题（三）：本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分。 22．（13分）综合探究 如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点F，在AC下方作∠CAE＝∠CAD，过点C作CE⊥AE，垂足为点E． （1）求证：△ACE≌△ACD； （2）求证：AE是⊙O的切线； （3）若AB＝8，AF＝3，求BD的长． 【分析】（1）根据已知条件先证明∠ADC＝∠AEC，然后利用AAS即可证明△ACE≌△ACD． （2）由（1）可得∠ACD＝∠ACE，由已知条件可得∠BAC＝∠ACD，得出∠ACE＝∠BAC，推出AB∥CE，再由平行线的性质可得∠BAE＝90°． （3）连接BF，可得BF⊥AC，且AC＝2AF，进一步求得BF和AD，即可求得BD． 【解答】（1）证明：∵以AB为直径的⊙O交BC于点D， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝90°， ∵CE⊥AE， ∴∠AEC＝90°， ∴∠ADC＝∠AEC， 在△ACE和△ACD中， ， △ACE≌△ACD（AAS）； （2）证明：由（1）可知△ACE≌△ACD， ∴∠ACD＝∠ACE， ∵AB＝BC， ∴∠BAC＝∠ACD， ∴∠ACE＝∠BAC， ∴AB∥CE， ∴∠BAE+∠E＝180°， ∴∠BAE＝90°， ∴AE是⊙O的切线； （3）解：连接BF，如图， ∵AB＝BC，且⊙O以AB为直径， ∴BF⊥AC，AC＝2AF＝6， ∵AB＝8，AF＝3， ∴BF＝＝＝， ∵S△ABC＝AC•BF＝BC•AD， ∴AD＝＝＝， 则BD＝＝＝． 【点评】本题属于圆的综合题，主要考查直径所对圆周角为直角、全等三角形的判定和性质、平行线的判定、切线的判定定理、勾股定理以及三线合一的性质，解题的关键是熟练直径所对圆周角为直角和切线的判定． 23．（14分）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若已知B点的坐标为B（6，0）． （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）M为线段BC上方抛物线上一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值． 【分析】（1）根据点B的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式，再利用二次函数的性质可求出抛物线的对称轴； （2）连接AC交抛物线的对称轴于点P，此时△PAB的周长最小，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，由点A，C的坐标，利用待定系数法可求出直线AC的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点P的坐标； （3）根据题意设M（t，﹣t2+t+3），其中0＜t＜6，则N（t，﹣t+3），可得MN＝﹣（t﹣3）2+，再根据二次函数的最值问题解答即可． 【解答】解：（1）∵抛物线经过点B（6，0）， ∴﹣×62+6b+3＝0， 解得：b＝1， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3， ∵x＝﹣＝2， ∴抛物线y＝﹣x2+x+3的对称轴为直线x＝2； （2）存在．如图1，设BC交抛物线的对称轴直线x＝2于点P，连接PA， 则PA＝PB， ∴当点B、P、C三点共线时，△PAC周长＝PA+PC+AC＝PB+PC+AC＝BC+AC最小，即△PAC周长取得最小值， 设点P（1，m），直线BC表达式为y＝kx+b′， 将点B（6，0）、C（0，3）代入y＝kx+b′， 得， 解得：， 则直线BC表达式为y＝﹣x+3， 当x＝2时，y＝2， ∴m＝2， 故点P（2，2）， （3）根据题意：点M为线段BC上方抛物线上的一点，点N为线段BC上的一点，若MN∥y轴， 设M（t，﹣t2+t+3），其中0＜t＜6，则N（t，﹣t+3）， ∴MN＝﹣t2+t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+t＝﹣（t﹣3）2+， ∵＜0， ∴当x＝3时，MN的值最大，最大值为． 【点评】本题是二次函数的综合题，考查了运用待定系数法求函数表达式，利用二次函数的对称性求三角形周长最小值，二次函数的最值问题，勾股定理的应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$