精品解析：广东省肇庆市某校2024-2025学年九年级上学期期末模拟数学试题

2024－2025学年度秋学期期末质量检测模拟卷 九年级 数学 时间：120分钟 满分120分 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的． 1. 下列图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3. 若方程是关于的一元二次方程，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 4. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 从装有10个黑球的不透明袋子中摸出一个球，恰好是红球 B. 从一副没有大小王的扑克牌中抽出一张，恰好是方块 C. 抛掷一枚一元硬币，正面朝上 D. 抛掷一枚普通正方体骰子，所得点数小于7 5. 下列函数中是反比例函数是（　　） A. y= B. y=﹣ C. y=x2 D. y= 6. 某学校开设了劳动教育课程.小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等，小明恰好选中“烹饪”的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图为一个指纹锁的部分设计图，尺寸如图所示，求所在圆的半径为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 反比例函数与一次函数（k为常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则；④．其中正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知点A(a，﹣2)与点B(3，2)关于原点对称，则a＝___． 12. 方程的根是__________． 13. 如图，在的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形（阴影部分）的概率是______ 14. 如图，，分别与相切于A，B点，且，若点C是上异于点A、B，则的大小为_________． 15. 如图，直线与双曲线交于A、B两点，过点A作轴，垂足为点M，连接，若，则k的值是 _______． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 如图，在10×10的网格中建立平面直角坐标系，是格点三角形（顶点在网格线的交点上）． （1）先作关于原点的成中心对称的，再把向上平移4个单位得到． （2）点的坐标为 ． （3）和是否成中心对称？若是请写出对称中心的坐标，若不是请说明理由． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，且一次函数y1的图象交x轴于点C，交y轴于点D． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）当时，直接写出x的取值范围． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，，两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘上的数字分别是，，5，转盘上的数字分别是6，，4（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）．小聪和小明同时转动，两个转盘，使之旋转（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）． （1）转动转盘，转盘指针指向正数概率是________； （2）若同时转动两个转盘，转盘指针所指的数字记为，转盘指针所指的数字记为，若，则小聪获胜；若，则小明获胜；请用列表法或树状图法说明这个游戏是否公平． 20. 如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字形框架，铁丝恰好全部用完． （1）若所围成矩形框架的面积为144平方厘米，则的长为多少厘米？ （2）当的长为多少厘米时，矩形面积最大？ 21. 如图，已知是的直径，于点B，D是上异于A、B的一个动点，连接，过O作交于点C． （1）求证：是的切线； （2）延长和相交于点，若，，求的半径． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数图象交于、两点，与轴交于点，已知点，的坐标分别为和． （1）求反比例函数的解析式； （2）点为轴正半轴上一点，若，求点坐标． （3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 23. 如图，抛物线y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（－2，0），B（－1，－3）． （1）求抛物线的解析式； （2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标； （3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD＝4S△ABM成立，求点P坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年度秋学期期末质量检测模拟卷 九年级 数学 时间：120分钟 满分120分 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的． 1. 下列图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形是一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合；中心对称图形是一个图形绕某个点旋转180度后与原图形能够完全重合的图形．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知： A、不是轴对称图形，而是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式方程，可以直接确定其对称轴． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线． 故选：A． 3. 若方程是关于的一元二次方程，则的值为（ ） A B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握定义是解题的关键.根据一元二次方程的定义得到且，即可得到的值． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴ 解得：， 故选：A． 4. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 从装有10个黑球的不透明袋子中摸出一个球，恰好是红球 B. 从一副没有大小王的扑克牌中抽出一张，恰好是方块 C. 抛掷一枚一元硬币，正面朝上 D. 抛掷一枚普通正方体骰子，所得点数小于7 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查事件的分类，解题的关键是熟知事件的分类，根据事件发生的可能性大小即可判断． 【详解】解：A、从装有10个黑球的不透明袋子中摸出一个球，恰好是红球，是不可能事件，故本选项不符合题意； B、从一副没有大小王的扑克牌中抽出一张，恰好是方块，是不确定事件，故本选项不符合题意； C、抛掷一枚一元硬币，正面朝上，是不确定事件，故本选项不符合题意； D、抛掷一枚普通正方体骰子，所得点数小于7，是必然事件，故本选项符合题意； 故选：D． 5. 下列函数中是反比例函数的是（　　） A. y= B. y=﹣ C. y=x2 D. y= 【答案】B 【解析】 【分析】此题应根据反比例函数的定义进行判断，反比例函数的一般形式是（k≠0）． 【详解】A、该函数属于正比例函数，故本选项错误； B、该函数属于反比例函数，故本选项正确； C、该函数属于二次函数，故本选项错误； D、该函数是y与x+1成反比例函数关系，故本选项错误； 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义．判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为（k为常数，k≠0）或y=kx﹣1（k为常数，k≠0）． 6. 某学校开设了劳动教育课程.小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等，小明恰好选中“烹饪”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率公式可直接进行求解． 【详解】解：由题意可知小明恰好选中“烹饪”的概率为； 故选C． 【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 7. 如图为一个指纹锁的部分设计图，尺寸如图所示，求所在圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点O作半径于点D，利用垂径定理得，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点O作半径于点D，设所在的的半径为， 由垂径定理得，， 在中，，即， 解得， 故选：B． 8. 如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦之间的关系和圆周角定理等知识点，根据圆内接四边形的性质得出，求出，根据圆周角定理得出，根据求出，根据圆周角定理得出即可． 【详解】解：四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 9. 反比例函数与一次函数（k为常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：当 ∴比例函数的图象在一、三象限， ∴， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限，故A，B选项错误； 当，则， ∴反比例函数在二四象限，一次函数经过一、二、四象限，故C选项错误，D选项正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数图象与性质，一次函数图象与性质．解题的关键是先根据反比例函数图象所在的象限判断出k的符号，再根据一次函数的性质进行解答． 10. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则；④．其中正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据题中二次函数的图像及可判断a、b、c的符号，进而可判读①；由二次函数的图象与x轴交于及顶点可得二次函数的图象与x轴另一个交点为当时，，即可判断②；由图象即可判断当时， x的取值范围为，即可判断③；当时，，当时，， ，即可判断④； 详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 由图可知， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴交于， ∴二次函数的图象与x轴另一个交点为，即． ∴当时，，故②正确； 当时，由图可知，x的取值范围为，故③正确； 当时，， 当时，， ∴， ∴，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数图像及性质，掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知点A(a，﹣2)与点B(3，2)关于原点对称，则a＝___． 【答案】﹣3 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点解答即可． 【详解】解：∵点A（a，﹣2）与点B（3，2）关于原点对称， ∴a＝﹣3， 故答案为：﹣3． 【点睛】本题考查的是关于原点对称的点的坐标特点，掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是Q（﹣x，﹣y）是解题的关键． 12. 方程的根是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】运用因式分解法求方程的根即可． 【详解】解：, ， 2x-6=0或x+3=0， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解法求一元二次方程的根，熟练掌握因式分解法解方程是解题的关键． 13. 如图，在的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形（阴影部分）的概率是______ 【答案】 【解析】 【分析】只需要用阴影部分面积除以整个长方形网格的面积即可得到答案． 【详解】解：由题意得， ∴， ∴， ∴， ∴飞镖击中扇形（阴影部分）的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了几何概率，扇形面积，勾股定理与勾股定理的逆定理，正确理解题意得到所求的概率即为阴影分别面积与网格长方形面积的比值是解题的关键． 14. 如图，，分别与相切于A，B的点，且，若点C是上异于点A、B，则的大小为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和，熟练掌握切线的性质与圆周角定理是解题的关键． 根据切线性质得到，根据四边形内角和为，得出，然后根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，当点在优弧上时， ∵分别与相切于两点 ∴， ∵． ∴ ∵， ∴， 当点在劣弧上时， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 故答案为：或． 15. 如图，直线与双曲线交于A、B两点，过点A作轴，垂足为点M，连接，若，则k的值是 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得长方形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即． 由题意可知A、B关于点O对称，所以O为线段的中点，故，从而求出结果． 【详解】解：因为直线与双曲线交于A、B两点， 所以A，B两点关于坐标原点成中心对称， 即，所以． 又因为， 所以． 所以，解得． 又反比例函数图象位于第二、四象限， 所以，所以． 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （）利用公式法解答即可； （）将方程整理后，再利用因式分解法解答即可． 【小问1详解】 解：∵，，，， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 17. 如图，在10×10的网格中建立平面直角坐标系，是格点三角形（顶点在网格线的交点上）． （1）先作关于原点的成中心对称的，再把向上平移4个单位得到． （2）点的坐标为 ． （3）和是否成中心对称？若是请写出对称中心的坐标，若不是请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） （3）和成中心对称，对称中心的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据旋转和平移变换的定义和性质分别作出变换后三顶点的对应点，再顺次连接即可； （2）根据（1）画出的图直接写出的坐标即可； （3）根据中心对称的概念即可判断． 【小问1详解】 解：如图所示，和即为所求， 【小问2详解】 解：由（1）得：点的坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由图可知： 和成中心对称，对称中心的坐标为． 【点睛】本题主要考查作图—旋转变换、平移变换，解题的关键是根据旋转变换和平移变换的定义作出变换后的对应点． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，且一次函数y1的图象交x轴于点C，交y轴于点D． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）当时，直接写出x的取值范围． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点B坐标代入反比例函数解析式，求出k，再将点A坐标代入反比例函数解析式，求出点A坐标，最后将A，B两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题； （2）结合函数图象，即可获得答案． 【小问1详解】 解：将点代入， 可得，， 所以反比例函数的解析式为， 将点代入， 可得，解得， 所以点A的坐标为， 将点A和点B的坐标代入得， ，解得， 所以一次函数的解析式为； 【小问2详解】 由函数图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的下方， ∴当时，x的取值范围为或． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，，两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘上的数字分别是，，5，转盘上的数字分别是6，，4（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）．小聪和小明同时转动，两个转盘，使之旋转（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）． （1）转动转盘，转盘指针指向正数的概率是________； （2）若同时转动两个转盘，转盘指针所指的数字记为，转盘指针所指的数字记为，若，则小聪获胜；若，则小明获胜；请用列表法或树状图法说明这个游戏是否公平． 【答案】（1） （2）这个游戏公平，理由见解析 【解析】 【分析】（1）转盘指针指向正数的概率，据此即可求解； （2）通过列表找出事件的所有等可能结果，分别计算小明获胜的概率、小聪获胜的概率即可进行判断． 【小问1详解】 解：∵为正数 ∴转盘指针指向正数的概率为： 【小问2详解】 解：列表得： 6 4 一共有9种等可能的结果 其中的有4种、、、； 其中的有4种、、、 ∴（小聪获胜）；（小明获胜） （小聪获胜）（小明获胜） ∴这个游戏公平 【点睛】本题考查了概率的应用．熟记概率的计算公式以及列表法（或树状图）是解题关键． 20. 如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字形框架，铁丝恰好全部用完． （1）若所围成矩形框架的面积为144平方厘米，则的长为多少厘米？ （2）当的长为多少厘米时，矩形面积最大？ 【答案】（1）的长为8厘米或12厘米． （2）10 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，解题的关键是找准题干中的等量关系． （1）设的长为x厘米，则有厘米，然后根据题意可得方程，进而求解即可； （2）由（1）可设矩形框架的面积为S，则有，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：设的长为x厘米，则有厘米， 由题意得：， 整理得：， 解得：， ∵， ∴， ∴都符合题意， 答：的长为8厘米或12厘米． 【小问2详解】 解：由（1）可设矩形框架的面积为S平方厘米，则有： ， ∵，且， ∴当时，S有最大值， ∴当的长为10厘米时，矩形面积最大． 21. 如图，已知是的直径，于点B，D是上异于A、B的一个动点，连接，过O作交于点C． （1）求证：是的切线； （2）延长和相交于点，若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定： （1）连接，由得：，根据平行的性质可得，，进而可得，再证明，可得，问题得证； （2）设的半径为x，则：，，在中，由勾股定理得：，可得，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接，     由得：， ∵， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵D在上， ∴是切线； 【小问2详解】 解：设的半径为x，则：，， ∵是的切线， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴的半径为4． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点，已知点，的坐标分别为和． （1）求反比例函数的解析式； （2）点为轴正半轴上一点，若，求点的坐标． （3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或或 【解析】 【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，平行四边形的判定 （1）把点坐标代入反比例函数解析式即可得到结论； （2）解方程得到，求得，设，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）设，把代入得，求得，根据平行四边形的性质列方程组即可得到结论． 【小问1详解】 解：把点代入得， ， 即反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：在中，令，则， ， ， 设， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：设， 把代入得， ， ， ，，以、、、为顶点的四边形是平行四边形， 或或， 或或， 或或． 23. 如图，抛物线y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（－2，0），B（－1，－3）． （1）求抛物线的解析式； （2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标； （3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD＝4S△ABM成立，求点P坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【详解】解：（1）因为点A、B均在抛物线上，故点A、B的坐标适合抛物线方程 ∴，解得：； ∴抛物线解析式为：； （2）如图2，连接BD，交y轴于点M，则点M就是所求作的点， 设BD的解析式为，则有，， 故BD的解析式为； 令则，故； (3)如图3，连接AM，BC交y轴于点N，由（2）知，OM=OA=OD=2，， ∴BN=MN=1， ∴， ∴； 设， 依题意有：，即：， 解之得：，，故符合条件的P点有三个： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$