精品解析：重庆市九龙坡区2024-2025学年高一上学期教育质量全面监测数学试题

2024-2025学年教育质量全面监测（中学） 高一（上）数学试题 （数学试题卷共6页，考试时间120分钟，满分150分.） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号等填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题:本题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，且，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的包含关系可得求解. 【详解】由于，故，解得， 故选：C 2. 若幂函数的图象关于原点对称，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数的定义和性质即可求解. 【详解】由幂函数的定义，得，解得或. 若，则，为奇函数，其图象关于原点对称，符合题意； 若，则，定义域为，且， 所以为偶函数，其图象关于y轴对称，不符合题意，舍去. 故选：D 3. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的单调性，结合零点存在性定理可得答案． 【详解】由于在单调递增， 又，，即， 函数的零点所在区间是， 故选：B． 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式，根据集合包含关系分析充分、必要条件即可. 【详解】由解得或， 因为是或的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 已知命题，；命题，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】利用完全平方式的性质可判断命题的真假，利用基本不等式可判断命题的真假，即可得出结论. 【详解】对于命题，，，命题为真命题， 对于命题，，， 当且仅当时，即当时，等号成立，则命题为假命题，故命题为真命题. 所以，和都是真命题， 故选：B. 6. 已知为偶函数，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用偶函数的定义化简，推理计算即得. 【详解】因为偶函数， 则 ， 又因不恒为0 ，故，解得. 故选：A. 7. 已知函数，其中为自然对数的底数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合指数函数和二次函数性质作出函数的大致图象，将有三个不同的零点转化为函数的图象与有三个不同的交点问题，数形结合，可得答案. 【详解】函数，作出函数的大致图象如图： 由有三个不同的零点，即函数的图象与有三个不同的交点， 结合图象，可得，即实数的取值范围是 故选：D 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的运算性质，结合基本不等式可得，根据，结合指数函数的单调性可判断以及，即可求解. 【详解】， 由可得， 由于，故，故， 因此， 由可得，因此 综上可得 故选：D 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列与角终边可能相同的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】求出或即可判断各选项. 【详解】因为，所以或， 所以与角终边可能相同，与角终边不相同，故C正确，D错误； 令或， 在中，令得， 所以与角终边不相同，与角终边可能相同，故B正确；A错误. 故选：BC 10. 已知集合，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据指数以及对数的性质化简集合，即可根据集合的交并补的定义，结合选项逐一求解. 【详解】由可得 得， 故,A错误， ,B正确， ，C正确， ，D正确， 故选：BCD 11. 已知函数满足，当时，.则下列说法正确的是（ ） A. B. 为增函数 C. 为奇函数 D. 若，当时，有解，则取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，令得到，再令得；B选项，令，且得，B正确；C选项，令得，C错误；D选项，两边加1得，由B知，在R上单调递增，故，参变分离的在上有解，求出的最大值为，所以. 【详解】A选项，中得 ，解得， 中得 ，故，A正确； B选项，当时，， 中，令，且得 ， 因为，所以，故， 所以， 所以为增函数，B正确； C选项，中，令得 ，故， 故不是奇函数，C错误； D选项，两边加1得 ， 因为，， 所以， 当时，有解， 即时，有解， 由B知，在R上单调递增，故， 在上有解， 在上有解， 其中， ，故当，即时，取得最大值， 最大值为，所以， 则取值范围是，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：D选项中，两边加1得到 ，转化为时，有解，再结合函数单调性得到不等式，参变分离进行求解 三、填空题:本题共3个小题，每小题5分，共15分.把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 设，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】代入求值，计算出，再次代入得到答案. 【详解】，故. 故答案为： 13. 已知某种科技产品的利润率为，预计5年内与时间月满足函数关系式其中为非零常数.若经过12个月，利润率为，经过24个月，利润率为，那么当利润率达到以上，至少需要经过________________个月用整数作答，参考数据： 【答案】40 【解析】 【分析】由题意建立方程组，根据对数运算，可得答案. 【详解】由题意可得，两式作比可得，解得， 可得，令，解得. 故答案为：. 14. 已知均为正实数，若，则的最小值为_____. 【答案】25 【解析】 【分析】由代入消去，整理得，设，则得，利用基本不等式即可求得. 【详解】由可得，代入中，可得， 设，则， 于是， 因，当且仅当时，等号成立， 即时，取得最小值25. 故答案为：25. 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于通过代入消元后，需要将所得的分式的分子进行换元处理，即可利用基本不等式求其最值. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）已知点是角的终边上一点，求和的值； （2）已知为锐角，且，求的值. 【答案】（1）；；（2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义可得，即可利用诱导公式求解， （2）解方程得，即可利用齐次式代入求解. 【详解】（1）由于点是角的终边上一点，故， 故 ； （2）由可得， 由于为锐角，故，进而， 所以 16. 已知函数且在区间上的最大值为1. （1）求的值: （2）当在定义域内是减函数时，令，求的定义域和值域. 【答案】（1）或 （2）的定义域为，值域为 【解析】 【小问1详解】 当时，在单调递增，故，故， 当时，在单调递减，故，故， 【小问2详解】 在定义域内是减函数时，则， ， 故的定义域满足，解得， 故定义域为， ， 由于，故， 故， 故值域为 17. 随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵的有效措施.某市城市规划部门为了提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度（单位:千米/小时）和车流密度（单位:辆/千米）所满足的关系式:，研究表明:当隧道内的车流密度达到105辆/千米时造成堵塞，此时的车流速度是0千米/小时. （1）若车流速度不小于20千米/小时，求车流密度的取值范围； （2）隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位:辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）. 【答案】（1） （2）隧道内车流量的最大值约为2700辆/小时,此时车流密度约为75辆/千米. 【解析】 【分析】（1）根据分段函数的性质，列不等式即可求解， （2）根据基本不等式求解函数的最值即可求解. 【小问1详解】 由可得 当时，，符合题意， 当时，令，可得， 综上可得 【小问2详解】 由题意得， 当时,为增函数,所以,当时等号成立; 当时，， ， 故, 当且仅当，即时等号成立. 由于 所以,隧道内车流量的最大值约为2700辆/小时，此时车流密度约为75辆/千米. 18. 已知定义在R上的奇函数，其中. （1）求的值，并用定义证明函数的单调性； （2）求不等式的解集； （3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 为定义在R上的奇函数， 故，解得， 故， 由于，满足为奇函数， 综上，， 单调递增，理由如下： 任取，且， ， 因为，在R上单调递增，故， 故，， 所以为R上的单调递增； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据求出，验证其满足为奇函数，故，定义法证明函数单调性步骤：取点，作差，变形判号，下结论； （2）变形得到，令，解得，故，解得，不等式解集为； （3）在上的值域包含在上的值域，在（2）基础上，得到，并求出，不合要求，当时，由的单调性得到，从而根据包含关系得到不等式，求出实数的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 化简得， 令，故， 即，解得， 故，解得， 不等式解集为； 【小问3详解】 对任意的，总存在，使得成立， 故在上的值域包含在上的值域， 由（2）知，在上单调递增， 故， ，若，则， 此时， 不能满足在上的值域包含在上的值域，舍去； 当时，在上单调递增， 故， 由得， 解得， 故实数的取值范围为. 19. 已知函数的定义域为，给定，设，若存在使得，则称为函数的一个“点”. （1）判断是否存在“点”，并说明理由: （2）若，讨论的“点”的个数；并在存在“点”前提下，求出所有的“点”； （3）若，若为函数的一个“点”，证明:. 【答案】（1）0为的“点”，理由见解析 （2）存在唯一的“点”，为，理由见解析 （3）证明过程见解析 【解析】 【分析】（1），故，两边平方得到， 由于，故，所以0为的“点”； （2）使在时有解的的个数即为的“点”的个数，求出，得到结论； （3）变形得到为函数的一个“点”的充要条件是在时有解，且满足恒成立，其中，求出，由求出，故 【小问1详解】 0为的“点”，理由如下： 由题，函数的定义域为， 假设存在“点”，即对于给定，存在， 使得， 即，故， 两边平方得，即， 由于，故， 所以0为的“点”； 【小问2详解】 由题可知使在时有解的的个数即为的“点”的个数， 整理得，由得，故，即存在唯一“点”， 故存在唯一的“点”，为； 【小问3详解】 ，， ，， 其中，解得， 由题得在时有解， 即，等式两边平方得， 即，又，故， 两边平方得， 整理得， 因为，所以， 即为函数的一个“点”的充要条件是在时有解， 且满足恒成立， 由于在时单调递增，故， 其中，由得， 由得，即， 显然上式恒成立， 由得， 其中，故，解得， 故 【点睛】新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年教育质量全面监测（中学） 高一（上）数学试题 （数学试题卷共6页，考试时间120分钟，满分150分.） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号等填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题:本题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，且，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 3 2. 若幂函数的图象关于原点对称，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 3. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知命题，；命题，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 6. 已知为偶函数，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 1 7. 已知函数，其中为自然对数的底数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列与角终边可能相同的角是（ ） A. B. C. D. 10. 已知集合，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数满足，当时，.则下列说法正确的是（ ） A. B. 为增函数 C. 为奇函数 D. 若，当时，有解，则取值范围是 三、填空题:本题共3个小题，每小题5分，共15分.把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 设，则_____. 13. 已知某种科技产品的利润率为，预计5年内与时间月满足函数关系式其中为非零常数.若经过12个月，利润率为，经过24个月，利润率为，那么当利润率达到以上，至少需要经过________________个月用整数作答，参考数据： 14. 已知均为正实数，若，则的最小值为_____. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）已知点是角的终边上一点，求和的值； （2）已知为锐角，且，求的值. 16. 已知函数且在区间上的最大值为1. （1）求的值: （2）当在定义域内是减函数时，令，求的定义域和值域. 17. 随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵的有效措施.某市城市规划部门为了提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度（单位:千米/小时）和车流密度（单位:辆/千米）所满足的关系式:，研究表明:当隧道内的车流密度达到105辆/千米时造成堵塞，此时的车流速度是0千米/小时. （1）若车流速度不小于20千米/小时，求车流密度的取值范围； （2）隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位:辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）. 18. 已知定义在R上的奇函数，其中. （1）求的值，并用定义证明函数的单调性； （2）求不等式的解集； （3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数的定义域为，给定，设，若存在使得，则称为函数的一个“点”. （1）判断是否存在“点”，并说明理由: （2）若，讨论的“点”的个数；并在存在“点”前提下，求出所有的“点”； （3）若，若为函数的一个“点”，证明:. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $