精品解析：山西省忻州市第六中学等校2024-2025学年上学期12月月考九年级数学试卷

2024-2025学年度第一学期学业水平阶段评估试题（卷）（四） 九年级·数学（人教版） （考查范围：上册+下册26章完） （满分120分 答题时间120分钟） 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程式属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个有关环保的图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点在双曲线上，点A关于y轴的对称点B在双曲线上，则的值为 A. B. C. D. 4. 如图，正方形绕着点逆时针旋转得到正方形，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 平面直角坐标系内一点P（2，-3）关于原点对称点的坐标是（ ） A. （3，-2） B. （2，3） C. （-2，3） D. （2，-3） 6. 已知一个布袋里装有2个红球，3个白球和a个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为，则a等于（ ） A. B. C. D. 7. 将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移两个单位后，则所得抛物线解析式为（　　） A. B. C. D. 8. 学校九月份举办运动会，小明制作了如图所示的宣传牌，在正六边形和正方形中，、的延长线分别交、于点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，平面直角坐标系中，点、分别在函数与的图象上，点在轴上．若轴．则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 某学习小组在研究函数y＝x3﹣2x的图象与性质时，列表、描点画出了图象．结合图象，可以“看出”x3﹣2x＝2实数根的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，过反比例函数y=（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB=2，则k的值为___________ 12. 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度千米/小时与时间小时的函数关系式是________． 13. 已知，则的值为____． 14. 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为_____．（结果保留π） 15. 已知抛物线的顶点为，与x轴相交于两点（点在点的左侧），点关于轴的对称点为，我们称以为顶点且过点，对称轴与轴平行的抛物线为抛物线的“关联”抛物线，直线为抛物线的“关联”直线．若一条抛物线的“关联”抛物线和“关联”直线分别是和，则这条抛物线的解析式为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤） 16. 解方程： （1） （2） 17. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． （1）在图中作出关于直线对称的；（要求A与，B与，C与相对应） （2）作出绕点C顺时针方向旋转后得到的； （3）在（2）的条件下直接写出点B旋转到所经过的路径的长．（结果保留π） 18. 每年的11月9日是“119消防宣传日”．本月3号，嘉祥某校区采用随机抽样的方式对学生掌握消防安全知识的情况进行书面测评，并按成绩高低分成优、良、中、差四个等级进行统计，绘制了两幅尚不完整的统计图，请根据有关信息解答： （1）接受测评的学生共有_____人，扇形统计图中“优”部分所对应扇形的圆心角为____；并补全条形统计图； （2）若校区共有学生3200人，请估计该校区学生对消防安全知识达到“良”及“良”级以上程度的人数； （3）测评成绩前三名的学生恰好是1个女生和2个男生，现从中随机抽取2人代表学校参加区级消防安全知识竞赛，求出抽到的2个学生恰好是一男生与一女生的概率． 19. 晓东在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程 解：原方程可变形，得 直接开平方并整理，得,我们称晓东这种解法为平均数法， （1）下面是晓东用平均数法解方程（x+2）（x+6）=5时写的解题过程， 直接开平方并整理，得，# 上述过程中的□，@，☆，＃表示的数分别为____、____、_____、____； （2）请用平均数法解方程： 20. 如图，反比例函数y＝（x＞0）与直线AB：交于点C ，点P是反比例函数图象上一点，过点P作x轴的垂线交直线AB于点Q，连接OP，OQ． （1）求反比例函数的解析式； （2）点P在反比例函数图象上运动，且点P在Q的上方，当△POQ面积最大时，求P点坐标． 21. 如图1，，是半圆上的两点，点是直径上一点，且满足，则称∠CPD是的“相望角”，如图， （1）如图2，若弦，是弧上的一点，连接交于点，连接．求证：∠CPD是的“相望角”； （2）如图3，若直径，弦，的“相望角”为，求的长． 22. （1）阅读材料 如图①，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为5，12，13．求的度数； 为了解答本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出___________； （2）基础运用 请你利用第（1）题的方法，解答下面的问题： 如图②，在中，，，E，F为上的点，且． 求证： （3）能力提升 如图③，在中，，点O为内一点，连接，且，直接写出的值． 23. 【综合实践】 如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力阻力臂动力×动力臂.如图1，即）.受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置；其中，杠杆可绕支点在竖直平面内转动，支点距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体． 10 20 30 40 50 … … 8 2 … （1）若在杠杆右端挂重物，杠杆在水平位置平衡时，重物所受拉力为____________； （2）为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为，的长度为．则： ①关于的函数解析式是________________． ②完成表格：______________；________________． ③在图2的直角坐标系中画出该函数的图象． （3）在（2）的条件下，若点的坐标为，点的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点，使得，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期学业水平阶段评估试题（卷）（四） 九年级·数学（人教版） （考查范围：上册+下册26章完） （满分120分 答题时间120分钟） 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程式属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐项进行判断即可. 【详解】A、是一元三次方程，故不符合题意； B、是分式方程，故不符合题意； C、是二元二次方程，故不符合题意； D、是一元二次方程，符合题意. 故选：D. 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握定义是关键. 2. 下列四个有关环保的图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是寻找对称中心，旋转后与自身重合．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意； D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：C． 3. 在平面直角坐标系中，点在双曲线上，点A关于y轴的对称点B在双曲线上，则的值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由点A（a，b）在双曲线上，可得ab=-2，由点A与点B关于y轴的对称，可得到点B的坐标，进而求出k，然后得出答案． 【详解】解：∵点A（a，b）在双曲线上， ∴ab=-2； 又∵点A与点B关于y轴对称， ∴B（-a，b） ∵点B在双曲线上， ∴k=-ab=2； ∴=2-2=0 故选：B 【点睛】本题考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于y轴对称的点的坐标的特征． 4. 如图，正方形绕着点逆时针旋转得到正方形，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键．由旋转的性质和正方形的性质可得，，，再根据等腰三角形的性质可求的度数． 【详解】解：∵正方形绕着点O逆时针旋转得到正方形， ∴，，， ∴，且， ∴， 故选：B． 5. 平面直角坐标系内一点P（2，-3）关于原点对称点的坐标是（ ） A. （3，-2） B. （2，3） C. （-2，3） D. （2，-3） 【答案】C 【解析】 【详解】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答． 【解答】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点， ∴点A（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，3）． 故选：D． 6. 已知一个布袋里装有2个红球，3个白球和a个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为，则a等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.根据题意得：， 解得：a=1， 经检验，a=1是原分式方程的解，故本题选A. 7. 将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移两个单位后，则所得抛物线解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数图像左加右减，上加下减的平移规律即可确定答案． 【详解】解：抛物线y=-3x2向右平移1个单位的解析式为：y=-3（x-1）2； 再向下平移2个单位，得：y=-3（x-1）2-2. 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的平移，掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解答本题的关键． 8. 学校九月份举办运动会，小明制作了如图所示的宣传牌，在正六边形和正方形中，、的延长线分别交、于点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，正多边形的性质，多边形的内角和，熟练掌握这些性质是解题的关键．根据正方形、正六边形的性质求出，，，再利用四边形的内角和进行计算即可． 【详解】解：多边形是正六边形， ， 又正方形中，是对角线， ， ∴在四边形中，， 故选：B． 9. 如图，平面直角坐标系中，点、分别在函数与的图象上，点在轴上．若轴．则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接、，如图，利用反比例函数的比例系数的几何意义得到，所以． 【详解】解：连接、，如图， 轴， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 10. 某学习小组在研究函数y＝x3﹣2x的图象与性质时，列表、描点画出了图象．结合图象，可以“看出”x3﹣2x＝2实数根的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线y=2与yx3﹣2x的交点个数可判断x3﹣2x=2实数根的个数． 【详解】由图象可得直线y=2与yx3﹣2x有三个交点，所以x3﹣2x=2实数根的个数为3． 故选C． 【点睛】本题考查了函数图像的交点问题：把要求方程根的问题转化为函数图像的交点问题是解题关键． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，过反比例函数y=（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB=2，则k的值为___________ 【答案】4 【解析】 【分析】根据点A在反比例函数图象上结合反比例函数系数k的几何意义，即可得出关于k的含绝对值符号的一元一次方程，解方程求出k值，再结合反比例函数在第一象限内有图象即可确定k值． 【详解】解：∵AB⊥x轴于点B，且S△AOB=2， ∴S△AOB=|k|=2， ∴k=±4． ∵函数在第一象限有图象， ∴k=4． 故答案为4． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是找出关于k的含绝对值符号的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数系数k的几何意义找出关于k的含绝对值符号的一元一次方程是关键． 12. 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度千米/小时与时间小时的函数关系式是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实际问题的反比例函数、路程、速度、时间之间的关系；根据路程=速度×时间，利用路程相等列出关系式即可解决问题． 【详解】解：由题意， 即， 故答案为：． 13. 已知，则的值为____． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，设，原方程变形为，然后利用因式分解法解得，，进而求解即可． 【详解】设 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴或 ∴， ∵ ∴应舍去 ∴ ∴． 故答案为：1． 14. 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为_____．（结果保留π） 【答案】πcm2． 【解析】 【分析】求出AD，先分别求出两个扇形的面积，再求出答案即可． 【详解】解：∵AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm， ∴AD=10cm， ∴贴纸的面积为S=S扇形ABC﹣S扇形ADE=（cm2）， 故答案为πcm2． 【点睛】本题考查了扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键． 15. 已知抛物线的顶点为，与x轴相交于两点（点在点的左侧），点关于轴的对称点为，我们称以为顶点且过点，对称轴与轴平行的抛物线为抛物线的“关联”抛物线，直线为抛物线的“关联”直线．若一条抛物线的“关联”抛物线和“关联”直线分别是和，则这条抛物线的解析式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分别求出点坐标，点的坐标，点和点关于轴对称，可知点的坐标，根据顶点式设原抛物线解析式为，把点代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴点坐标为， 解方程组，得或， ∴点的坐标为， ∵点和点关于轴对称， ∴， 设原抛物线解析式为， ∴把代入得，，解得， ∴原抛物线解析式为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，理解题目意思，掌握待定系数求解析式，二次函数的顶点式是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程； （2）根据因式分解法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：原方程化简，得：，即， ∴，， 解得：，； 【小问2详解】 解：原方程化简，得：， ∴，， 解得：，． 17. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． （1）在图中作出关于直线对称的；（要求A与，B与，C与相对应） （2）作出绕点C顺时针方向旋转后得到的； （3）在（2）的条件下直接写出点B旋转到所经过的路径的长．（结果保留π） 【答案】（1）如下图所示； （2）如图所示， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查网格作图（旋转和轴对称变换），勾股定理和弧长的计算， （1）根据网格结构找出点A、B、C关于直线l的对称点、、的位置，然后顺次连接即可； （2）根据网格结构找出点A、B绕点C顺时针旋转后的、的位置，然后顺次连接即可； （3）利用勾股定理列式求出的长，再根据弧长公式列式计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 根据勾股定理，， ∴点B旋转到所经过的路径的长． 18. 每年的11月9日是“119消防宣传日”．本月3号，嘉祥某校区采用随机抽样的方式对学生掌握消防安全知识的情况进行书面测评，并按成绩高低分成优、良、中、差四个等级进行统计，绘制了两幅尚不完整的统计图，请根据有关信息解答： （1）接受测评的学生共有_____人，扇形统计图中“优”部分所对应扇形的圆心角为____；并补全条形统计图； （2）若校区共有学生3200人，请估计该校区学生对消防安全知识达到“良”及“良”级以上程度的人数； （3）测评成绩前三名的学生恰好是1个女生和2个男生，现从中随机抽取2人代表学校参加区级消防安全知识竞赛，求出抽到的2个学生恰好是一男生与一女生的概率． 【答案】（1）160，； 补全图形如下： （2）人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据等级为中的人数及其所占百分比可得总人数，用乘以“优”等级人数所占比例，根据四个等级人数之和等于总人数求出“良”的人数即可补全图形； （2）用总人数乘以“良”及“良”以上程度的人数所占比例即可． （3）画树状图列出所有等可能结果，从中找出符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 接受测评的学生共有（人， 扇形统计图中“优”部分所对应扇形的圆心角为， 等级为“良”的人数为（人， 故答案为：160，； 【小问2详解】 估计该校学生对安全知识达到“良”及“良”级以上程度的人数有：（人； 【小问3详解】 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中抽到的2个学生恰好是一个男生与一个女生的有4种情况， 抽到的2个学生恰好是一个男生与一个女生的概率是． 【点睛】本题考查的是用列表法或树状图求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能结果，适合两步或两步以上完成的事件．注意概率等于所求情况数与总情况之比． 19. 晓东在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程 解：原方程可变形，得 直接开平方并整理，得,我们称晓东这种解法为平均数法， （1）下面是晓东用平均数法解方程（x+2）（x+6）=5时写的解题过程， 直接开平方并整理，得，# 上述过程中的□，@，☆，＃表示的数分别为____、____、_____、____； （2）请用平均数法解方程： 【答案】（1）4；2；−1；−7．(2) x1=4，x2=−2 【解析】 【分析】（1）根据阅读材料中的信息确定出上述过程中的□，@，☆，＃表示的数即可； （2）根据题干中的“平均数法”解方程即可． 【详解】解：(1)解方程(x+2)(x+6)=5， 将原方程变形，得 [(x+4)−2][(x+4)+2]=5， (x+4)2−22=5， ∴(x+4)2=5+22， ∴(x+4)2=9， 直接开平方并整理，得x1=−1，x2=−7． 故□，@，☆，＃表示的数分别为4，2，−1，−7． 故答案为：4；2；−1；−7． （2）(x−3)(x+1)=5 原方程可变形，得[(x−1)−2][(x−1)+2]=5 整理，得(x−1)2−22=5 (x−1)2=5+22，即(x−1)2=9 直接开平方并整理，得x1=4，x2=−2 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题中的新定义是解本题的关键． 20. 如图，反比例函数y＝（x＞0）与直线AB：交于点C ，点P是反比例函数图象上一点，过点P作x轴的垂线交直线AB于点Q，连接OP，OQ． （1）求反比例函数的解析式； （2）点P在反比例函数图象上运动，且点P在Q的上方，当△POQ面积最大时，求P点坐标． 【答案】（1）y＝ ；（2）P（2，2） 【解析】 【分析】（1）点C在一次函数上得：m＝，点C在反比例函数上：，求出 k即可． （2）动点P（m，），则点Q（m，﹣2），PQ=-+2，则△POQ面积=，利用-公式求即可． 【详解】解：（1）将点C的坐标代入一次函数表达式得：m＝， 故点C， 将点C的坐标代入反比例函数表达式得：，解得k＝4， 故反比例函数表达式为y＝； （2）设点P（m，），则点Q（m，﹣2）， 则△POQ面积＝PQ×xP＝（﹣m+2）•m＝﹣m2+m+2， ∵﹣＜0，故△POQ面积有最大值，此时m＝＝2， 故点P（2，2）． 【点睛】本题考查反比例函数解析式，及面积最大值问题，关键是会利用一次函数求点C坐标，利用动点P表示Q，求出面积函数，用对称轴公式即可解决问题． 21. 如图1，，是半圆上的两点，点是直径上一点，且满足，则称∠CPD是的“相望角”，如图， （1）如图2，若弦，是弧上的一点，连接交于点，连接．求证：∠CPD是的“相望角”； （2）如图3，若直径，弦，的“相望角”为，求的长． 【答案】（1） 证明：直径，弦， 垂直平分弦， ， ， ， 是的“相望角”； （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，垂直平分线的性质，圆周角定理，勾股定理等知识．熟练掌握考查了垂径定理，垂直平分线的性质，圆周角定理，勾股定理是解题的关键． （1）由直径，弦，可知垂直平分弦，则，由，可得，进而可得是的“相望角”； （2）由题意得，，由直径，弦，可得，，则，，如图1，记圆心为，连接，，则，由，可得，由勾股定理得，，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意知，是的“相望角”， ， ， 直径，弦， ，， ，， 如图3，连接，，则， ， ， 由勾股定理得，， 的长为． 22. （1）阅读材料 如图①，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为5，12，13．求的度数； 为了解答本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出___________； （2）基础运用 请你利用第（1）题的方法，解答下面的问题： 如图②，在中，，，E，F为上的点，且． 求证： （3）能力提升 如图③，在中，，点O为内一点，连接，且，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，解题的关键是灵活掌握旋转的性质． （1）根据旋转的性质得出全等三角形，得出相等的边和角，证明为等边三角形，再利用勾股定理的逆定理即可得出答案； （2）将绕点逆时针旋转得到，则与重合，连接，根据旋转得出相等边和角，证明，得到相等边，最后利用勾股定理即可得出结论； （3）经过两次旋转，根据角的度数及旋转的性质得出，点在同一条直线上，最后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：（1）∵为等边三角形， ∴， 根据旋转的性质得，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，且， ∴为直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图所示，根据，，将绕点逆时针旋转得到，则与重合，连接， ∴， ∴，， ∴，，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴根据勾股定理得， 即 （3）如图所示， ∵，， ∴，， 由勾股定理得， 将绕点顺时针旋转，得到，点在同一条直线上， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 又∵， ∴点在同一条直线上， 将绕点顺时针旋转，得到，连接， ∵， ∴为等边三角形，点在同一条直线上， ∴，， 过点作，交的延长线于点， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 由勾股定理得， 即． 23. 【综合实践】 如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力阻力臂动力×动力臂.如图1，即）.受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置；其中，杠杆可绕支点在竖直平面内转动，支点距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体． 10 20 30 40 50 … … 8 2 … （1）若在杠杆右端挂重物，杠杆在水平位置平衡时，重物所受拉力为____________； （2）为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为，的长度为．则： ①关于的函数解析式是________________． ②完成表格：______________；________________． ③在图2的直角坐标系中画出该函数的图象． （3）在（2）的条件下，若点的坐标为，点的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点，使得，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）①；②，；③见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，理解题意，求得函数的解析式是解答的关键． （1）根据题意，直接根据求解即可； （2）①由公式可得关于的函数解析式；②将和代入①中解析式中求解即可；③根据表格数据进行描点、连线即可画出图象； （3）由题意，设，利用坐标与图形性质得，进而由解方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，，， ∴， ∴重物所受拉力为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①由得，则， ∴关于的函数解析式为； ②当时，； 当时，； 故答案为：； ③列表： 10 20 30 40 50 … … 8 4 2 … 描点，连线，可得该函数的图象： 【小问3详解】 解：如图， 由题意，设， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴, 由得， 解得，， 经检验，和是所列方程的解， 当时，，当时，， ∴点C的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $