精品解析：黑龙江省绥化市肇东市第四中学2024-2025学年高三上学期期末考试数学试卷

2024-2025学年肇东四中高三数学期末试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 已知i是虚数单位，复数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算及复数模的计算公式即可求解. 【详解】, 所以. 故选：C. 2. 下列命题中为真命题的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】对A：由判断命题为假；对B：当时命题不成立；对C：由及关系判断命题为真；对D：由判断命题为假. 【详解】，，故是假命题； 当时，，故是假命题； ，，故是真命题； 方程中，此方程无解，故是假命题. 故选:：C. 3. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由得，结合，得，由此即可得解. 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 4. 水稻是世界最重要的食作物之一，也是我国60%以上人口的主粮.以袁隆平院士为首的科学家研制成功的杂交水稻制种技术在世界上被誉为中国的“第五大发明"，育种技术的突破，杂交水稻的推广，不仅让中国人端稳饭碗，也为解决世界粮食短缺问题作出了巨大贡献.某农场种植的甲、乙两种水稻在面积相等的两块稻田中连续6年的产量(单位：kg)如下： 品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 第6年 甲 900 920 900 850 910 920 乙 890 960 950 850 860 890 根据以上数据，下面说法正确的是（ ） A. 甲种水稻产量的平均数比乙种水稻产量的平均数大 B. 甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数小 C. 甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等 D. 甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算两种水稻产量的平均数、中位数、极差、方差即可判断四个选项的正误，即可得出正确选项. 【详解】对于选项A：甲种水稻产量的平均数：， 乙种水稻产量的平均数：， 所以甲种水稻产量的平均数和乙种水稻产量的平均数相等，故选项A不正确； 对于选项B：甲种水稻产量分别为：，中位数为， 乙种水稻产量分别为，中位数为， 所以甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数大，故选项B不正确； 对于选项C：甲种水稻产量的极差为：，乙种水稻产量的极差为： ，甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差不相等，故选项C不正确； 对于选项D：甲种水稻的产量的方差为： 乙种水稻的产量的方差为： ， 甲种水稻产量的平均数和乙种水稻产量的平均数相等， 甲种水稻的产量的方差小于乙种水稻的产量的方差， 所以甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定，故选项D正确， 故选：D. 5. 在平面直角坐标系中，已知两点，，点为动点，且直线与的斜率之积为，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，结合已知写出直线，的斜率，由列式求解动点的轨迹方程． 【详解】设，，， ，， 由，得． 即． 动点的轨迹方程为． 故选：B． 6. 已知正四棱台上底面边长为，下底面边长为，体积为，则正四棱台的侧棱与底面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出相应图形，借助正四棱台的性质及体积公式可得其高，结合线面角定义计算即可得解. 【详解】如图所示，作于点， 则，即， ， 则， 由正四棱台的侧棱与底面所成角即为与底面所成角， 设其为，则，即. 故答案为：. 7. 设常数,实数满足=,若的最大值为,则的值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数的运算法则化简已知条件，利用函数的单调性求解函数的最值，通过解方程求解x的值即可． 【详解】由题意，， 不妨令logax=t，则有， 因为a＞1，所以当时，y取得最大值，即，解得a=4， 从而． 故选B． 【点睛】本题考查函数与方程的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力,属于中档题． 8. 已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可. 二、多选题 9. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数在上最大值为 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在上单调递增 D. 函数的最小正周期为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦函数的图象性质，逐项分析判断作答. 【详解】对于A，当时，，，最大值为2，A错误； 对于B，因为，则函数的图象关于点对称，B正确； 对于C，当时，，函数在上不单调，则在上不单调，C错误； 对于D，函数的最小正周期，D正确. 故选：BD. 10. 已知函数，则（ ） A. 的极小值为2 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 【答案】CD 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性、极值点、极值以及零点判断A、B，根据函数关于点对称的充要条件判断C，再根据导数的几何意义求函数的切线方程判断D. 【详解】，， 令，解得：或， 时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 的极小值为：， 的极大值为：， 有两个零点，的极小值为0，故A错误、B错误； 对C，若点是曲线的对称中心，则有， 将函数代入上式验证得： ，故C正确； 对于D，，解得：， 当时，， 切线方程为：，即，故D正确. 故选：. 11. 已知抛物线C：，圆．若C与交于M，N两点，圆与x轴的负半轴交于点P，则（ ） A. 若为直角三角形，则圆的面积为 B. C. 直线PM与抛物线C相切 D. 直线PN与抛物线C有两个交点 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A：分析可知直线MN过焦点F且与x轴垂直，可得，进而可得结果；对于B：分析可知，即可得结果；对于CD：，求直线AM的方程，与抛物线联立，结合以及对称性分析判断. 【详解】记抛物线C的焦点为，坐标原点为O， 则圆的圆心为F，半径． 对于选项A：由抛物线与圆的对称性可知，点M，N关于x轴对称， 若为直角三角形，则， 则直线MN过焦点F且与x轴垂直，则，圆的面积为，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C，D：设，由抛物线定义可知，， 又因为，则，所以直线PM的方程为， 与抛物线C：联立可得，，则， 故，所以直线PM与抛物线C相切， 由抛物线与圆的对称性可知直线PN也与抛物线C相切，故C正确，D错误． 故选：ABC． 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知，＝______________ 【答案】 【解析】 【分析】首先根据两角和的正切公式展开，求得，再把所求式转化为齐次式，分子分母同除以后，代入计算得答案. 【详解】, 因此，. 13. 北京大兴国际机场是一座跨地域、超大型的国际航空综合交通枢纽，目前建有“三纵一横”4条跑道，分别叫西一跑道、西二跑道、东跑道、北跑道，如图所示.若有2架飞往不同目的地的飞机要从以上不同跑道同时起飞，有______________种不同的安排方法；若西一跑道、西二跑道至少有一条跑道被选取，有__________________种不同的安排方法.（用数字作答） 【答案】 ①. 12 ②. 10 【解析】 【分析】根据排列的方法求解即可. 【详解】若有2架飞往不同目的地的飞机要从以上不同跑道同时起飞,有种不同的安排方法；若西一跑道、西二跑道至少有一道被选取,有种不同的安排方法. 故答案为：(1). 12 (2). 10 【点睛】本题考查排列组合知识的应用,考查数据处理能力和应用意识. 14. 已知等差数列的首项为1，公差为2，若对恒成立，则实数的取值范围是_______________. 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列的通项和求和公式，问题转化对恒成立，求最小值即可. 【详解】∵对恒成立 ∴ ∴对恒成立，等价于， 令 ∵ ∴数列是递增数列 ∴ ∴ 故答案为: 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和求和公式的应用，考查恒成立问题，属于中档题. 四、解答题 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角B； （2）若，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，作边化角处理，然后化简可求解. （2）利用正弦定理，可得周长，化简后，利用三角函数的性质可求得周长的范围. 【小问1详解】 因为， 整理得，， ， ， ，可得， ， ，，最后可得， 【小问2详解】 ， ， 周长， ， ，， 周长的范围为 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数的导数，利用导数探讨函数的单调性，求出的范围. 【小问1详解】 当时，函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为， 求导得， 当时，，由，得，由，得， 则函数在上递增，在上递减，函数只有极大值，不合题意； 当时，由，得或， ①若，即，由，得或，由，得， 则函数在上递增，在上递减， 因此函数的极大值为，极小值为，符合题意； ②若，即，由，得或，由，得， 则函数在上递增，在上递减， 因此函数的极大值为，极小值为，符合题意； ③若，即，由在上恒成立，得在上递增， 函数无极值，不合题意， 所以的取值范围为. 17. 已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴． （1）求的方程； （2）过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 【答案】（1） （2） 直线的斜率必定存在，设，，， 由可得， 故，故， 又， 而，故直线，故， 所以 ， 故，即轴. 【解析】 【分析】（1）设，根据的坐标及轴可求基本量，故可求椭圆方程. （2）设，，，联立直线方程和椭圆方程，用的坐标表示，结合韦达定理化简前者可得，故可证轴. 【小问1详解】 设，由题设有且，故，故，故， 故椭圆方程为. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 18. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，是边长为2的正三角形，． （1）求证：； （2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，证明平面即得； （2）由（1）的结论，建系，分别求出相关点的坐标和相关向量得坐标，计算两个平面的法向量，利用空间向量的夹角公式即可求得. 【小问1详解】 如图，取的中点，连接， 因为是边长为2的正三角形，所以， 在菱形中，，则为等边三角形，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，所以； 【小问2详解】 由（1）得， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面，如图，以点为原点，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系. 因，则， 因为轴平面，所以可取平面的法向量为， 因， 设平面的法向量为，则有， 令，则，所以， 则 所以平面与平面夹角的余弦值为． 19. 某食品生产厂生产某种市场需求量很大的食品，这种食品有A、B两类关键元素含量指标需要检测，设两元素含量指标达标与否互不影响．若A元素指标达标的概率为，B元素指标达标的概率为，按质量检验规定：两元素含量指标都达标的食品才为合格品． （1）一个食品经过检测，AB两类元素至少一类元素含量指标达标的概率； （2）任意依次抽取该种食品4个，设表示其中合格品的个数，求分布列及． 【答案】（1）； （2） 0 1 2 3 4 P 期望值为. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用对立事件、相互独立事件的概率公式计算即得. （2）求出合格品的概率，利用二项分布的概率求出分布列和数学期望. 【小问1详解】 令M为一个食品经过检测至少一类元素含量指标达标的事件，则是A，B都不达标的事件， 因此， 所以一个食品经过检测至少一类元素含量指标达标的概率为. 【小问2详解】 依题意，A，B两类元素含量指标都达标的概率为， 的所有可能取值为0，1，2，3，4，显然， 因此，，， ，， 所以的概率分布为： 0 1 2 3 4 P 数学期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年肇东四中高三数学期末试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 已知i是虚数单位，复数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 0 2. 下列命题中为真命题的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 1 4. 水稻是世界最重要的食作物之一，也是我国60%以上人口的主粮.以袁隆平院士为首的科学家研制成功的杂交水稻制种技术在世界上被誉为中国的“第五大发明"，育种技术的突破，杂交水稻的推广，不仅让中国人端稳饭碗，也为解决世界粮食短缺问题作出了巨大贡献.某农场种植的甲、乙两种水稻在面积相等的两块稻田中连续6年的产量(单位：kg)如下： 品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 第6年 甲 900 920 900 850 910 920 乙 890 960 950 850 860 890 根据以上数据，下面说法正确的是（ ） A. 甲种水稻产量的平均数比乙种水稻产量的平均数大 B. 甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数小 C. 甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等 D. 甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定 5. 在平面直角坐标系中，已知两点，，点为动点，且直线与的斜率之积为，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知正四棱台上底面边长为，下底面边长为，体积为，则正四棱台的侧棱与底面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 7. 设常数,实数满足=,若的最大值为,则的值为 A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数在上最大值为 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在上单调递增 D. 函数的最小正周期为 10. 已知函数，则（ ） A. 的极小值为2 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 11. 已知抛物线C：，圆．若C与交于M，N两点，圆与x轴的负半轴交于点P，则（ ） A. 若为直角三角形，则圆的面积为 B. C. 直线PM与抛物线C相切 D. 直线PN与抛物线C有两个交点 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知，＝______________ 13. 北京大兴国际机场是一座跨地域、超大型的国际航空综合交通枢纽，目前建有“三纵一横”4条跑道，分别叫西一跑道、西二跑道、东跑道、北跑道，如图所示.若有2架飞往不同目的地的飞机要从以上不同跑道同时起飞，有______________种不同的安排方法；若西一跑道、西二跑道至少有一条跑道被选取，有__________________种不同的安排方法.（用数字作答） 14. 已知等差数列的首项为1，公差为2，若对恒成立，则实数的取值范围是_______________. 四、解答题 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角B； （2）若，求周长的取值范围. 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围. 17. 已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴． （1）求的方程； （2）过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 18. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，是边长为2的正三角形，． （1）求证：； （2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值． 19. 某食品生产厂生产某种市场需求量很大的食品，这种食品有A、B两类关键元素含量指标需要检测，设两元素含量指标达标与否互不影响．若A元素指标达标的概率为，B元素指标达标的概率为，按质量检验规定：两元素含量指标都达标的食品才为合格品． （1）一个食品经过检测，AB两类元素至少一类元素含量指标达标的概率； （2）任意依次抽取该种食品4个，设表示其中合格品的个数，求分布列及． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $