专题04 平行线中的折叠与旋转问题（压轴题常考题型专练）2024-2025学年人教版（2024）数学七年级下册

专题04 平行线中的折叠与旋转问题 （压轴题常考题型专练） 【知识考点 相交线与平行线】 【题型梳理】 【题型1】平行线中的三角形折叠 【题型2】平行线中的正方形折叠 【题型3】平行线中的长方形折叠 【题型4】平行线中的特殊图形折叠 【题型5】平行线中的旋转 【题型1】平行线中的三角形折叠 1．（2023-2024七年级下·山西晋中·期末）如图，在中，，，点D是上的一点，将沿翻折得到，边交于点F，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 2．（2023-2024七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，为上一点，且，将沿翻折得到，此时，则 ． 3．（2023-2024七年级下·上海·专题练习）将△ABC沿着DE翻折，使点A落到点A′处，A′D、A′E分别与BC交于M、N两点，且DEBC．已知∠A′NM＝27°，则∠NEC＝ ． 4．（2023-2024七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠A＝80°，∠B与∠ADC互为补角，点E在边BC上，将△DCE沿DE翻折，得到△DFE，若，DF平分∠ADE，则∠B的度数为 °． 5．（2023-2024七年级下·福建泉州·期末）在中，，，点D是边上一点，将沿翻折后得到． (1)如图1，当点E落在上时，求的度数； (2)当点E落在下方时，设与相交于点F． ①如图2，若，试说明：； ②如图3，连接平分交的延长线于点G，交于点H．若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【题型2】平行线中的正方形折叠 6．（2023-2024七年级下·河南信阳·期中）学习平行线后，小龙同学想出了“过已知直线m外一点P画这条直线的平行线的新方法”，他是通过折一张半透明的正方形纸得到的． 观察图（1）～（4），经两次折叠展开后折痕CD所在的直线即为过点P的已知直线m的平行线．从图中可知，小龙画平行线的依据有（   ） ①两直线平行，同位角相等； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③同位角相等，两直线平行； ④内错角相等，两直线平行． A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 7．（2023·广东佛山·统考二模）如图，把正方形沿折叠，点的对应点为点，点的对应点为点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．（2023-2024七年级下·江苏无锡·期中）如图，将正方形纸片ABCD沿BE翻折，使点C落在点F处，若∠DEF＝30°，则∠ABF的度数为 ． 9．（2023·江苏扬州·校考二模）如图，将正方形沿着、翻折，点、的对应点分别是点、，若，则 ． 10．（2023-2024七年级下·全国·课时练习）如图，取一张正方形纸片ABCD．如图①，折叠∠A，设顶点A落在点A′的位置，折痕为EF；如图②，折叠∠B，使EB沿EA′的方向落下，折痕为EG．试判断∠FEG的度数是否是定值，并说明理由． 【题型3】平行线中的长方形折叠 11．（2023-2024七年级下·江苏苏州·期中）如图，将长方形沿翻折，使得点D落在边上的点G处，点C落在点H处，若，则（   ） A． B． C． D． 12.（2023-2024七年级下·安徽滁州·期末）如图1，将一条对边互相平行的纸条进行两次折叠，第一次折叠的折痕为，且，第二次折叠的折痕为，如图2，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 13．（2023-2024七年级下·重庆·期末）如图，在长方形ABCD中，点P在AB上，连接PC、PD，将△APD沿PD翻折得到，△BCP沿PC翻折得到，已知，∠PCD＝40°．则的度数为 ． 14．（2023-2024七年级下·上海静安·期中）已知，如图1，四边形，，点E在边上，P为边上一动点，过点P作，交直线于点Q． (1)当时，求； (2)当时，求； (3)如图3，将沿翻折使点D的对应点落在边上，当时，请直接写出的度数，答： ． 15．（2023-2024七年级下·浙江台州·期末）如图，有一张长方形纸条，，在线段，上分别取点G，H，将四边形沿直线折叠，点C，D的对应点为，，将四边形沿直线折叠，点A，B的对应点为，，设． (1)若、在直线的上方，当且满足时，求的度数． (2)在（1）的条件下，猜想直线和的位置关系，并证明 (3)在点G，H运动的过程中，若，请直接用含有的式子表示的度数 【题型4】平行线中的特殊图形折叠 16．（2023-2024七年级下·浙江温州·期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC,点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN， 若∠A=100°，FN∥AB，则∠BNM =（   ） A．40° B．45° C．50° D．55° 17．（2023-2024七年级下·重庆万州·期末）如图，六边形ABCDEF中，AFCD，ABDE，∠A=140°，∠B=100°，∠ECD＝20°，将CDE沿CE翻折，得到，则∠BC的度数为（   ） A．60° B．80° C．100° D．120° 18．（2023-2024七年级·江苏镇江·期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝110°，∠C＝80°，将△BMN沿MN翻折，得到△FMN．若MF∥AD，FN∥DC，则∠D的度数为 ． 19．（2023-2024七年级下·上海徐汇·期中）已知，如图，四边形中，，点E在线段上，为线段上一点，过点作，交直线于点．将沿翻折，使点的对应点落在线段上，当时，的度数是 ． 20．（2023-2024七年级下·福建三明·期中）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为、，若，且，则的度数是 ． 【题型5】平行线中的旋转 21．（2023-2024七年级下·江苏扬州·期中）如图，直线上有两点A、C，分别引两条射线、，，，射线、分别绕A点，C点以1度/秒和4度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间＝ ． 22．（2023-2024七年级下·浙江宁波·期中）如图，直线，一副三角尺（ ）按如图①放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图②，若将三角形绕点以每秒度的速度逆时针方向旋转（的对应点分别为，），设旋转时间为（s）（）； ①在旋转过程中，若边，求的值； ②若在三角形绕点旋转的同时，三角形绕点以每秒度的速度顺时针方向旋转（的对应点为，）请求出当边时的值． 23．（2023-2024七年级·重庆渝北·开学考试）如图1，，点E，F分别在直线上，，过点A作的延长线交于点G，交于点N，平分，交于点H，交于点M． (1)直接写出之间的关系： ． (2)若，求． (3)如图2，在（2）的条件下，将绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，直接写出此时t的值． 24．（2023-2024七年级下·江苏泰州·期末）如图1是一盏可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，支架、为固定支撑杆，支架可绕点C旋转调节．已知灯体顶角，顶角平分线始终与垂直． (1)如图2，当支架旋转至水平位置时，恰好与平行，求支架与水平方向的夹角的度数； (2)若将图2中的绕点顺时针旋转到如图3的位置，求此时与水平方向的夹角的度数． 25.（2023-2024七年级·吉林长春·期末）如图，在中，、、的度数之比为，平分交于点．在中，，．如图①，的边在直线上，将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为． (1)求、、的度数； (2)在旋转过程中，如图②，当 时，求的度数； (3)如图③，当点在内部时，边、分别交、的延长线于、两点． ①的取值范围是______； ②与之间有一种始终保持不变的数量关系，请直接写出该数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 平行线中的折叠与旋转问题 （压轴题常考题型专练） 【知识考点 相交线与平行线】 【题型梳理】 【题型1】平行线中的三角形折叠 【题型2】平行线中的正方形折叠 【题型3】平行线中的长方形折叠 【题型4】平行线中的特殊图形折叠 【题型5】平行线中的旋转 【题型1】平行线中的三角形折叠 1．（2023-2024七年级下·山西晋中·期末）如图，在中，，，点D是上的一点，将沿翻折得到，边交于点F，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质得出，求出，根据，即可得出答案． 【解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据折叠可知，， ∴，故C正确． 故选：C． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是求出． 2．（2023-2024七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，为上一点，且，将沿翻折得到，此时，则 ． 【答案】75 【分析】设，根据翻折得，，由，，从而可得，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【解答】解：∵， ∴． 设， ∵将沿翻折得到， ∴， ∵， ∴， ∴， 由三角形内角和定理得， ， ， 解得， ∴， 故答案为：75． 【点评】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，以及平行线的性质，掌握翻折前后图形的大小、形状不变． 3．（2023-2024七年级下·上海·专题练习）将△ABC沿着DE翻折，使点A落到点A′处，A′D、A′E分别与BC交于M、N两点，且DEBC．已知∠A′NM＝27°，则∠NEC＝ ． 【答案】126° 【分析】利用平行线的性质求出∠DEN＝27°，再利用翻折不变性得到∠AED＝∠DEN＝27°，再根据平角的性质即可解决问题． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠DEN＝∠A′NM＝27°， 由翻折不变性可知：∠AED＝∠DEN＝27°， ∴∠NEC＝180°﹣2×27°＝126°， 故答案为126°． 【点评】本题考查翻折变换，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 4．（2023-2024七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠A＝80°，∠B与∠ADC互为补角，点E在边BC上，将△DCE沿DE翻折，得到△DFE，若，DF平分∠ADE，则∠B的度数为 °． 【答案】120 【分析】由题意可以设∠CDE=∠EDF=∠ADF=x，∠B=y，根据四边形的内角和等于360°，可得3x+y=180°，∠A+∠C=180°，再由∠A=80°，可得∠C=100°，然后根据，可得∠CEF=∠B=y，从而得到y+2x=160°，即可求解． 【解答】解：根据题意得：∠CDE=∠EDF， ∵DF平分∠ADE， ∴∠CDE=∠EDF=∠ADF， 设∠CDE=∠EDF=∠ADF=x，∠B=y，则∠ADC=3x， ∵∠B与∠ADC互为补角， ∴∠B+∠ADC=180°， ∴3x+y=180°，∠A+∠C=180°， ∴y=180°-3x， ∵∠A=80°， ∴∠C=100°， ∵， ∴∠CEF=∠B=y， 由翻折得：∠F=∠C=100°， ∴∠CDF+∠CEF=360°-∠C-∠F， ∴y+2x=360°-200°=160°， ∴180°-3x+2x=160°， 解得：x=20°， ∴y=120°， 即∠B=120°， 故答案为120． 【点评】本题考查翻折变换，四边形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型． 5．（2023-2024七年级下·福建泉州·期末）在中，，，点D是边上一点，将沿翻折后得到． (1)如图1，当点E落在上时，求的度数； (2)当点E落在下方时，设与相交于点F． ①如图2，若，试说明：； ②如图3，连接平分交的延长线于点G，交于点H．若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】（1）根据翻折可得，再利用外角即可求出的度数； （2）①根据翻折可得，再利用垂直可得，即可得到； ②设，根据角平分线和平行线可得，，可求得，再利用外角可得，即可得到． 【解答】（1）∵，， ∴， ∵将沿翻折后得到， ∴， ∴； （2）①根据翻折可得， ∵， ∴， ∴； ②，理由如下： 设， ∵， ∴， ∵平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【点评】本题考查折叠的性质，平行线的性质与判定，三角形的外角性质，解题的关键是理清角度之间的关系． 【题型2】平行线中的正方形折叠 6．（2023-2024七年级下·河南信阳·期中）学习平行线后，小龙同学想出了“过已知直线m外一点P画这条直线的平行线的新方法”，他是通过折一张半透明的正方形纸得到的． 观察图（1）～（4），经两次折叠展开后折痕CD所在的直线即为过点P的已知直线m的平行线．从图中可知，小龙画平行线的依据有（   ） ①两直线平行，同位角相等； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③同位角相等，两直线平行； ④内错角相等，两直线平行． A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】C 【分析】根据折叠可直接得到折痕AB与直线m之间的位置关系是垂直，折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是垂直；然后根据平行线的判定条件由③∠3=∠1可得AB∥CD，由④∠4=∠2，可得AB∥CD． 【解答】解：第一次折叠后，得到的折痕AB与直线m之间的位置关系是垂直，将正方形纸展开，再进行第二次折叠（如图（4）所示），得到的折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是垂直； ∵AB⊥m，CD⊥m， ∴∠1=∠2=∠3=∠4= 90°， ∵∠3=∠1， ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），故③正确； ∵∠4=∠2， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故④正确； 综上分析可知，正确的是①②，故C正确． 故选：C． 【点评】此题主要考查了平行线的判定，以及翻折变换，关键是掌握平行线的判定定理． 7．（2023·广东佛山·统考二模）如图，把正方形沿折叠，点的对应点为点，点的对应点为点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠性质求得，根据平行线的性质可得，继而即可求解． 【解答】∵正方形沿折叠， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 即， 故选：B． 【点评】本题考查折叠的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握并运用折叠的性质，平行线的性质． 8．（2023-2024七年级下·江苏无锡·期中）如图，将正方形纸片ABCD沿BE翻折，使点C落在点F处，若∠DEF＝30°，则∠ABF的度数为 ． 【答案】60°. 【分析】根据折叠图形的性质求解即可 【解答】解：根据折叠图形的性质可得∠BEF=（180°－30°）÷2=75°，∠C=90°， 则∠FBE=15°，∠ABF=90°－15°×2=60°. 9．（2023·江苏扬州·校考二模）如图，将正方形沿着、翻折，点、的对应点分别是点、，若，则 ． 【答案】 【分析】由正方形的性质及折叠的性质可得，，，利用角之间的和差关系可得，进而求得，再利用即可求得结果． 【解答】解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠可知，，， ∵，， ∴，即：， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查正方形与折叠的性质，利用正方形与折叠的性质得到的度数是解决问题的关键． 10．（2023-2024七年级下·全国·课时练习）如图，取一张正方形纸片ABCD．如图①，折叠∠A，设顶点A落在点A′的位置，折痕为EF；如图②，折叠∠B，使EB沿EA′的方向落下，折痕为EG．试判断∠FEG的度数是否是定值，并说明理由． 【答案】为定值． 【分析】根据折叠图形的性质求解即可 【解答】解：由折叠可知，∠FEA′＝∠FEA，∠GEB＝∠GEA′，所以，．因为∠A′EB＋∠A′EA＝180°，所以，即∠FEG的度数为定值． 【题型3】平行线中的长方形折叠 11．（2023-2024七年级下·江苏苏州·期中）如图，将长方形沿翻折，使得点D落在边上的点G处，点C落在点H处，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠的性质和平行线的性质，可以得到的度数和，从而可以得到的度数． 【解答】解：由题意可得，， ∵，， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， 故选：D．    【点评】本题考查平行线的性质、折叠的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 12.（2023-2024七年级下·安徽滁州·期末）如图1，将一条对边互相平行的纸条进行两次折叠，第一次折叠的折痕为，且，第二次折叠的折痕为，如图2，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可得，由可得，即可得到的度数 【解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B 【点评】本题考查了平行线的性质，解题关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系． 13．（2023-2024七年级下·重庆·期末）如图，在长方形ABCD中，点P在AB上，连接PC、PD，将△APD沿PD翻折得到，△BCP沿PC翻折得到，已知，∠PCD＝40°．则的度数为 ． 【答案】40° 【分析】根据平行线的性质可得∠BPC的度数，根据折叠的性质可得，，，可得的度数，进一步可得的度数，再根据平行线的性质即可求出的度数． 【解答】解：在长方形ABCD中，AB∥CD，∠A＝∠ADC＝90°， ∴∠BPC＝∠PCD， ∵∠PCD＝40°， ∴∠BPC＝40°， 根据翻折，可得，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵AB∥CD， ∴∠PDC＝∠APD＝65°， ∴． 故答案为：40°． 【点评】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 14．（2023-2024七年级下·上海静安·期中）已知，如图1，四边形，，点E在边上，P为边上一动点，过点P作，交直线于点Q． (1)当时，求； (2)当时，求； (3)如图3，将沿翻折使点D的对应点落在边上，当时，请直接写出的度数，答： ． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【分析】（1）结合已知先证，利用平行线和平角的性质得到可求解； （2）当点Q在边上时，利用（1）中关系可求解，当点Q在的延长线上时，如图，由（1）可知，可求得，结合已知利用同旁内角互补可求解； （3）由翻折和已知可求得，从而得到，再由翻折可求得，最后结合（1）中的关系可求解． 【解答】（1） （2）当点Q在边上时， 由（1）有，， ∵， ∴，， ； 当点Q在的延长线上时，如图， 由（1）可知， ， ∵， 解得： 即为或． （3）∵， ， ∵， ， 由（1）可知， 由翻折可知 故答案为． 【点评】本题考查了平行线的判定和性质，翻折的性质；解题的关键是证明并灵活应用平行线的性质求解． 15．（2023-2024七年级下·浙江台州·期末）如图，有一张长方形纸条，，在线段，上分别取点G，H，将四边形沿直线折叠，点C，D的对应点为，，将四边形沿直线折叠，点A，B的对应点为，，设． (1)若、在直线的上方，当且满足时，求的度数． (2)在（1）的条件下，猜想直线和的位置关系，并证明 (3)在点G，H运动的过程中，若，请直接用含有的式子表示的度数 【答案】(1) (2)，理由见解析过程 (3) 或 【分析】（1）由折叠的性质可得：，，由平行线的性质可得，即可求解； （2）由平行线的性质可求，可求，即可得结论； （3）分两种情况讨论，由平行线的性质和折叠的性质可求解． 【解答】（1）解：由折叠得：，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：猜想：，理由如下： 如图，过点F作交于点P， ∴， ∵， ∴， 即． 又∵， ∴； （3）解：如图，当、在直线的上方时， 由折叠得：，， ∴． ∵， ∴， ∴； 如图，当、在直线的下方时，    由折叠得：， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴． ∴， ∴， 综上所述： 或． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【题型4】平行线中的特殊图形折叠 16．（2023-2024七年级下·浙江温州·期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC,点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN， 若∠A=100°，FN∥AB，则∠BNM =（   ） A．40° B．45° C．50° D．55° 【答案】C 【分析】根据两直线平行，同位角相等求出∠BMF、∠BNF，再根据翻折的性质求出∠BMN和∠BNM，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【解答】解：∵AD∥BC，∠A=100°，∴∠B=80°， ∵FN∥AB，∴∠CNF=80°，∴∠BNF=100°， ∵△BMN沿MN翻折，得△FMN， ∴∠BNM=∠BNF= ×100°=50°， 故选C． 17．（2023-2024七年级下·重庆万州·期末）如图，六边形ABCDEF中，AFCD，ABDE，∠A=140°，∠B=100°，∠ECD＝20°，将CDE沿CE翻折，得到，则∠BC的度数为（   ） A．60° B．80° C．100° D．120° 【答案】B 【分析】过点B作BG∥AF，利用平行线的性质求得∠BCD=120°，利用折叠的性质求得∠ECD=∠EC=20°，即可求解． 【解答】解：过点B作BG∥AF， ∵AF∥CD， ∴AF∥BG∥CD， ∵∠A=140°，∠ABC=100°， ∴∠ABG=180°-140°=40°，∠GBC=100°-40°=60°， ∴∠BCD=180°-60°=120°， 由折叠的性质得：∠ECD=∠EC=20°， ∴∠BC=120°-∠ECD-∠EC=120°-20°-20°=80°， 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键． 18．（2023-2024七年级·江苏镇江·期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝110°，∠C＝80°，将△BMN沿MN翻折，得到△FMN．若MF∥AD，FN∥DC，则∠D的度数为 ． 【答案】 【分析】根据平行线的性质可得，，由折叠的性质可得，，再根据四边形内角和即可求解． 【解答】解：∵MF∥AD，FN∥DC， ∴ 由折叠的性质可得， 四边形内角和的性质可得， 故答案为： 【点评】此题考查了四边形内角和的性质，涉及了平行线以及折叠的性质，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解． 19．（2023-2024七年级下·上海徐汇·期中）已知，如图，四边形中，，点E在线段上，为线段上一点，过点作，交直线于点．将沿翻折，使点的对应点落在线段上，当时，的度数是 ． 【答案】 【分析】由对折的性质及求出，再和前面方法一样用互余计算即可． 【解答】解：， ， ， ， 由折叠有，， ， ， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查折叠的性质、平行线的性质与判定及余角，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 20．（2023-2024七年级下·福建三明·期中）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为、，若，且，则的度数是 ． 【答案】57° 【分析】利用平行线的性质以及翻折不变性即可得到，再根据同旁内角互补可得，进而得出． 【解答】解：如图，延长到点， 纸带对边互相平行， ， 由折叠得，， ∵， ， ， ， ，即， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，图形的折叠，熟练掌握平行线的性质，图形的折叠的性质是解题的关键． 【题型5】平行线中的旋转 21．（2023-2024七年级下·江苏扬州·期中）如图，直线上有两点A、C，分别引两条射线、，，，射线、分别绕A点，C点以1度/秒和4度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间＝ ． 【答案】或 【分析】运用分类思想，结合平行线的判定，计算即可． 【解答】解：设运动x秒后，使得与平行， 此时转过了，转过了， 当与在的两侧， 此时， ∵， ∴， ∴ 解得； 当与在的同侧， 此时， ∵， ∴， ∴ 解得； 当转了一圈，与在的同侧， 此时， ∵， ∴， ∴ 解得（舍去）； 故答案为：或． 【点评】本题考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，熟练掌握性质，灵活解方程是解题的关键． 22．（2023-2024七年级下·浙江宁波·期中）如图，直线，一副三角尺（ ）按如图①放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图②，若将三角形绕点以每秒度的速度逆时针方向旋转（的对应点分别为，），设旋转时间为（s）（）； ①在旋转过程中，若边，求的值； ②若在三角形绕点旋转的同时，三角形绕点以每秒度的速度顺时针方向旋转（的对应点为，）请求出当边时的值． 【答案】(1)； (2)①；②或． 【分析】利用平行线的性质角平分线的定义即可解决问题． 首先证明，由此构建方程即可解决问题． 分两种情形：如图中，当时，延长交于根据构建方程即可解决问题．如图中，当时，延长交于根据构建方程即可解决问题． 【解答】（1）解：如图中，    ， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）解：如图中， ， ， ， ， ， ， 在旋转过程中，若边，的值为； 如图中，当时，延长交于， ， ， ， ， ， ； 如图中，当时，延长交于， ， ， ， ， ， 综上所述，满足条件的的值为或 ． 【点评】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义是解题的关键． 23．（2023-2024七年级·重庆渝北·开学考试）如图1，，点E，F分别在直线上，，过点A作的延长线交于点G，交于点N，平分，交于点H，交于点M． (1)直接写出之间的关系： ． (2)若，求． (3)如图2，在（2）的条件下，将绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，直接写出此时t的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平行线的性质和三角形的外角性质可得答案； （2）根据，分别表示出和，再由，可得的度数； （3）结合（2），分以下几种情况求解：①当时，延长交边于，②当时，③当时，即与在同一直线上时，④当时，⑤当时． 【解答】（1） ， ， 是的外角， ， ， 故答案为：； （2） ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）①当时，延长交边于，如图， ， ， ， ， ， 当绕点旋转时，， （秒） ②当时，如图， ，， ， ， 当绕点旋转时，， （秒）， ③当时，即与在同一直线上时， 当绕点旋转时，， （秒）， ④当时， ，， 当旋转时，， （秒） ⑤当时， ， ， 当旋转时，， （秒）， 综上所述，当的其中一边与的某一边平行时t的值为． 【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，三角形的内角和，一元一次方程在几何问题中的应用，理清题中的数量关系并分类讨论是解题的关键． 24．（2023-2024七年级下·江苏泰州·期末）如图1是一盏可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，支架、为固定支撑杆，支架可绕点C旋转调节．已知灯体顶角，顶角平分线始终与垂直． (1)如图2，当支架旋转至水平位置时，恰好与平行，求支架与水平方向的夹角的度数； (2)若将图2中的绕点顺时针旋转到如图3的位置，求此时与水平方向的夹角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用角平分线定义可得，由垂直定义可得，得出，再运用平行线性质即可得出答案； （2）过点作，过点作，根据平行线的性质求解即可． 【解答】（1）解：如图2，，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 即； （2）如图3，过点作，过点作， 则， ， ， ，， ， ， ． 【点评】本题考查了平行线性质等，适当添加辅助线，构造平行关系是解题关键． 25.（2023-2024七年级·吉林长春·期末）如图，在中，、、的度数之比为，平分交于点．在中，，．如图①，的边在直线上，将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为． (1)求、、的度数； (2)在旋转过程中，如图②，当 时，求的度数； (3)如图③，当点在内部时，边、分别交、的延长线于、两点． ①的取值范围是______； ②与之间有一种始终保持不变的数量关系，请直接写出该数量关系． 【答案】(1)； (2)； (3)①；②． 【分析】（1）根据三角形内角和是，再按比例分配进行计算即可； （2）根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算即可；由垂直的定义以及三角形的内角和进行计算即可； （3）①根据“端值”检测计算，即当与重合时最小值，当与重合时最大值；②连接，根据三角形内角和定理进行计算即可． 本题考查三角形内角和定理，平行线的性质以及垂直的定义，掌握三角形内角和是，平行线的性质是正确解答的前提． 【解答】（1）解：在中，，，的度数之比为， ， ， ； （2）解：， ， ，． ， ； （3）解：①当与重合时，为最小值， ， ； 当与重合时，为最大值，此时， ， 故答案为：； ②，理由如下： 如图，连接， ， ， 在中， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$