精品解析：北京市房山区2024-2025学年上学期九年级期末数学试卷

2024-2025学年北京市房山区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分），下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 如图，在中，，. 若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ，   故选：C ． 2. 将二次函数化成的形式，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的三种形式的转化，熟练掌握和运用配方法是解题的关键，①一般式： (a，b，c为常数，)；②顶点式： (a，b，c为常数，)；③交点式：． 把右边加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，然后再减去一次项系数的一半的平方，以使式子的值不变，把一般式转化为顶点式． 【详解】解：， 所以，； 故选B． 3. 如图，在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及正弦的定义，掌握勾股定理及正弦的定义是解题的关键． 先利用勾股定理求出的长度，然后利用即可求解． 【详解】解：∵，，， ， ∴． 故选：A． 4. 如图，点A，B，C在上，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．直接根据圆周角定理求解． 【详解】解：， ． 故选：B． 5. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则下列关系式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，反比例函数图像上点的坐标特征，解题关键是明确题意，利用反比例函数的性质或反比例函数图像上点的坐标特征解决问题． 结合题意，根据反比例函数的性质，可得反比例函数的图像经过一，三象限，且在每一象限内y随着x的增大而减小，再结合点和的坐标即可解答． 【详解】解：反比例函数， 反比例函数的图象经过第一、三象限，在第一象限中函数值随的增大而减小， 在点和中，， ，即， 故答案为：A． 6. 如图，为的直径，弦于点H．若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，根据垂径定理由得到，再根据勾股定理计算出． 【详解】解：， ， 直径， ， 在中，， 故选：B． 7. 已知圆的半径为9，那么的圆心角所对的弧长是（ ） A. 4 B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查弧长的计算，掌握弧长计算公式是正确解决问题的关键． 根据弧长公式计算即可． 【详解】解∶ ， 故选∶D． 8. 如图，抛物线与x轴交于点，其中，下列四个结论：①；②；③；④不等式的解集为．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象可得出a，b，c的符号即可判断①，当时，即可判断②；根据对称轴为，可判断③；，数形结合即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确． ∵当时，， ∴，故②错误． ∵抛物线与x轴交于两点，其中， ∴， ∴， 当时，， 当时，， ， ， ∴， ∴，故③正确； 设，，如图： 由图得，时，，故④正确． 综上，正确的有①③④，共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质巧妙借助数学结合思想解决问题是解题的关键． 二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分） 9. 抛物线的顶点坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式．根据形如的抛物线的顶点坐标是解答即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 10. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为______． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题主要考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形的性质求出即可． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，， ∴， 故答案为：． 11. 如图，，，是的切线，P，C，D为切点，若，，则的长为 __． 【答案】3； 【解析】 【分析】本题考查切线长定理，根据圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵，，是的切线，P，C，D为切点， ∴，， ∵，， ∴， 故答案为：3． 12. 如图，，交于点E，，，，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 由，证明，则，而，则，即，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ∴， 故答案为：5． 13. 如图，、两点在函数的图象上，轴于点，轴于点，若△，△的面积分别记为，，则 _____（填“<”“＝”或“>”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据反比例函数比例系数的几何意义求解即可． 【详解】解：、两点在函数的图象上，轴于点，轴于点， ，， ， 故答案为：． 14. 如图，甲、乙两座建筑物间的距离为，甲建筑物的高为，在甲建筑物的顶端处测得乙建筑物的顶端的仰角为，则乙建筑物的高为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得：，， 在中，， ， ， 乙建筑物的高为， 故答案为：55． 15. 下面是“过圆外一点作圆的切线”的作图过程． 已知：和外一点． 求作：过点的的切线． 作法：如图， （1）连接； （2）作线段的中点，以为圆心，以为半径作，与交于两点和； （3）作直线，． 直线和直线是的两条切线． 证明：连接，． 是直径，点在上， _______°． ． 又点在上， 直线是的切线（ ）（填推理的依据）． 同理可证直线是的切线． 【答案】 ①. ②. 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图、圆周角定理、切线的判定，根据圆周角定理、切线的判定定理填空即可． 【详解】证明：连接，． 是直径，点在上， ． ． 又点在上， 直线是的切线（经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线）． 同理可证直线是的切线． 故答案为：90；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 16. 如图，为的弦，，为圆上的两个动点，记弦所对的圆心角度数为，弦所对的圆心角度数为． 若，给出如下四个结论： ①； ②若，则； ③若为弧的中点，则； ④． 上述结论中一定正确的有______（填写所有正确结论的序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】延长交于点，连接，根据圆周角定理，得到，进而得到，证明，得到，，进而得到判断①；根据，推出为等边三角形，进而得到，解直角三角形得到，判断②；假设，求出，得到只有当，，判断③；勾股定理结合等量代换判断④即可． 【详解】解：延长交于点，连接，则：，， ∴， ∵弦所对的圆心角度数为．弦所对的圆心角度数为， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴；故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 在中，；故②正确； ∵若为弧的中点， ∴， ∴， ∴， 当时，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴只有当时，③成立；故③不正确， 在中，， ∵， ∴；故④正确； 综上所述，一定正确的有①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造直角三角形和全等三角形是解题的关键． 三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第题27-28题每题7分，共68分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，根据特殊角三角函数值，计算即可，熟记特殊角三角函数值是解题的关键． 【详解】解： ． 18. 如图，在中，，分别为，边上的点，．求证：． 【答案】 证明：∵，分别为，边上的点， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据公共角，已知，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，证明，根据“相似三角形的对应边成比例”，即可得证 【详解】略 19. 如图，在中，，，于点，若，求的长． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正切的定义是解题的关键． 先根据正切的定义得出的长，再利用的正切值得出的长，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，历来中国有“制扇王国”之称．如图，已知折扇的骨柄长为a，折扇扇面的宽度是骨柄长的，折扇张开的角度为，求折扇的扇面面积．（用含a的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列代数式，扇形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据图形可知：折扇的扇面面积大扇形的面积小扇形的面积，然后代入数据计算即可． 【详解】解：由图可得，折扇的扇面面积为： ． 21. 在平面直角坐标系中，点是函数的图象与函数的图象的交点． （1）求的值和函数的表达式； （2）若函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1），函数的表达式为 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的图象与性质，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据交点，代入代入函数，求出的值，得出点的坐标为，再把代入，求出的值，即可得出函数的表达式； （2）由（1）得函数的表达式为，联立函数表达式，整理得出方程，求解得出函数的图象与函数的图象的交点，画出两函数的图象，根据图象，函数的值大于函数的值，即函数的图象在函数的图象上方时，得出的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵点是函数的图象与函数的图象的交点， ∴把点代入函数得：， 解得：， ∴点的坐标为， 把代入得：， ∴， ∴函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵由（1）得函数的表达式为， ∴联立函数表达式得：， 整理得方程：， 解得：，， ∴，；，， ∴函数的图象与函数的图象的交点是和， 如图，画出两函数的图象， ∵函数的值大于函数的值， ∴或． 22. 如图，是直径，是的一条弦，且于点E，连接和． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和解直角三角形． （1）先利用得到，再根据圆周角定理得到，然后利用等量代换得到结论； （2）先根据垂径定理得到，再根据正切的定义计算出，设的半径为r，则，在中利用勾股定理建立方程，然后解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 在中，∵， ∴， 设的半径为r，则， 在中，， 则， 解得， 即的半径为3． 23. 综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线交于点H．经测量，点A距地面，到树的距离，．求树的高度（结果精确到）． 【答案】树的高度为 【解析】 【分析】由题意可知，，，易知，可得，进而求得，利用即可求解． 【详解】解：由题意可知，，， 则， ∴， ∵，， 则， ∴， ∵，则， ∴， ∴， 答：树的高度为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，得到是解决问题的关键． 24. 已知二次函数图象上的部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y m 3 4 3 0 … 根据以上信息回答下列问题： （1）二次函数图象的顶点坐标是 ，m的值为 ； （2）求二次函数的表达式； （3）当时，二次函数的最小值是1，则k的值为 ． 【答案】（1）；0； （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解不等式、二次函数的图象和性质，分类求解是解题的关键． （1）由表格数据知，顶点坐标为，根据函数的对称性和关于抛物线的对称轴对称，故，即可求解； （2）由待定系数法即可求解； （3）当即时，则当时，，即可求解；当或时，同理可解． 【小问1详解】 解∶由表格数据知，顶点坐标为∶， 根据函数的对称性和关于抛物线的对称轴对称，故， 故答案为∶ ，0； 【小问2详解】 解∶设抛物线的表达式为∶ ， 将代入上式得∶ ， 则． 故抛物线的表达式为∶ ； 【小问3详解】 解∶抛物线的对称轴为直线， 当时，， 当时，同理可得∶ ； 当时，， 当即时， 则当时，， 解得∶ (舍去)； 当时， 同理可得∶ 解得∶ (舍去)； 当时， 当即， 则． 解得∶； 当时， 同理可得∶ (不合题意的值已舎去)， 综上，或． 故答案为∶或． 25. 如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结． （1）求证：是的切线； （2）当时，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质定理得到，求得，连接，根据角平分线的定义得到，求得，得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ， 连接， 平分， ， ， ， 是的直径， ， ． 26. 在平面直角坐标系中，，是抛物线（）上任意两点，设抛物线的对称轴为． （1）若，，求t的值； （2）若对于，，都有，求t的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，二次函数的对称性等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）依据题意，将，，代入解析式得，从而，进而可以得解； （2）依据题意， 对于，，都有，可得点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离；分两种情况，利用二次函数的性质判断即可． 【小问1详解】 解：，， ， ， ； 【小问2详解】 解：，是抛物线（）上任意两点， 对于，，都有， 点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离； ， ， ， ， ①当时， ， ， ，， ， ； ②当时， ， ， ， ，， ， ， ， 综上所述，或． 27. 如图，在等边中，点D是边上一点（点D不与B，C重合），连接． 点D关于直线的对称点为点E，连接交于点N． 在上取一点F，使，延长交于点G． （1）若，求的度数（用含α的代数式表示）； （2）用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及解直角三角形等知识，解题的关键是利用等边三角形和轴对称的性质构造辅助线，通过角度转化和线段关系推导，将所求问题与已知条件建立联系．​ （1）利用等边三角形性质得，结合得；通过角的和差关系表示；再根据三角形内角和定理求出的度数． （2）在上截取构造证明利用轴对称性质得、及；结合证四边形是平行四边形，得故通过直角三角形中与之间关系及的关系推导与的数量关系． 【小问1详解】 如图1， ∵是等边三角形， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ．理由如下： 如图2中，在上截取，连接，，，交于点H， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D关于直线的对称点为点E， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 记与的交点为点N，则由轴对称可知：，， 在中，， ， 28. 记二次函数和的图像分别为抛物线G和．给出如下定义：若抛物线的顶点在抛物线G上，则称是G的伴随抛物线． （1）若抛物线和抛物线都是抛物线的伴随抛物线，则 ， ； （2）设函数的图像为抛物线．若函数的图像为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ①求p，q的值； ②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】题目主要考查二次函数的综合应用及新定义理解，熟练掌握二次函数的性质结合图像求解是解题关键． （1）根据题意确定点在的伴随抛物线上，代入求解即可； （2）①根据题意确定顶点坐标为：，然后代入解析式得出，即可求解； ②根据题意得出顶点坐标在图像上滑动，然后分情况分析即可得出结果． 【小问1详解】 解：二次函数和都是抛物线的伴随抛物线， ∴点在的伴随抛物线上， 代入得：， 解得：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①， ∴顶点坐标为：， ∵函数的图像为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ， 整理得：， ． ②∵与轴有两个不同的交点， 由①得：函数的图像为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴顶点坐标在图像上滑动，顶点为， 当时， 解得：， 抛物线与x轴交两个点， ∵顶点坐标为：， 故当时，的顶点在轴上方，则与轴没有交点， 当时，抛物线与轴有两个交点，， 当时，∵的顶点也在上， ∴． 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年北京市房山区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分），下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 如图，在中，，. 若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 9 2. 将二次函数化成的形式，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点A，B，C在上，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则下列关系式中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为的直径，弦于点H．若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 已知圆的半径为9，那么的圆心角所对的弧长是（ ） A. 4 B. 8 C. D. 8. 如图，抛物线与x轴交于点，其中，下列四个结论：①；②；③；④不等式的解集为．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分） 9. 抛物线的顶点坐标为_______． 10. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为______． 11. 如图，，，是的切线，P，C，D为切点，若，，则的长为 __． 12. 如图，，交于点E，，，，则______． 13. 如图，、两点在函数的图象上，轴于点，轴于点，若△，△的面积分别记为，，则 _____（填“<”“＝”或“>”）． 14. 如图，甲、乙两座建筑物间的距离为，甲建筑物的高为，在甲建筑物的顶端处测得乙建筑物的顶端的仰角为，则乙建筑物的高为 _______． 15. 下面是“过圆外一点作圆的切线”的作图过程． 已知：和外一点． 求作：过点的的切线． 作法：如图， （1）连接； （2）作线段的中点，以为圆心，以为半径作，与交于两点和； （3）作直线，． 直线和直线是的两条切线． 证明：连接，． 是直径，点在上， _______°． ． 又点在上， 直线是的切线（ ）（填推理的依据）． 同理可证直线是的切线． 16. 如图，为的弦，，为圆上的两个动点，记弦所对的圆心角度数为，弦所对的圆心角度数为． 若，给出如下四个结论： ①； ②若，则； ③若为弧的中点，则； ④． 上述结论中一定正确的有______（填写所有正确结论的序号）． 三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第题27-28题每题7分，共68分） 17. 计算：． 18. 如图，在中，，分别为，边上的点，．求证：． 19. 如图，在中，，，于点，若，求的长． 20. 中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，历来中国有“制扇王国”之称．如图，已知折扇的骨柄长为a，折扇扇面的宽度是骨柄长的，折扇张开的角度为，求折扇的扇面面积．（用含a的代数式表示） 21. 在平面直角坐标系中，点是函数的图象与函数的图象的交点． （1）求的值和函数的表达式； （2）若函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 22. 如图，是直径，是的一条弦，且于点E，连接和． （1）求证：； （2）若，求的半径． 23. 综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线交于点H．经测量，点A距地面，到树的距离，．求树的高度（结果精确到）． 24. 已知二次函数图象上的部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y m 3 4 3 0 … 根据以上信息回答下列问题： （1）二次函数图象的顶点坐标是 ，m的值为 ； （2）求二次函数的表达式； （3）当时，二次函数的最小值是1，则k的值为 ． 25. 如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结． （1）求证：是的切线； （2）当时，求的长． 26. 在平面直角坐标系中，，是抛物线（）上任意两点，设抛物线的对称轴为． （1）若，，求t的值； （2）若对于，，都有，求t的取值范围． 27. 如图，在等边中，点D是边上一点（点D不与B，C重合），连接． 点D关于直线的对称点为点E，连接交于点N． 在上取一点F，使，延长交于点G． （1）若，求的度数（用含α的代数式表示）； （2）用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 28. 记二次函数和的图像分别为抛物线G和．给出如下定义：若抛物线的顶点在抛物线G上，则称是G的伴随抛物线． （1）若抛物线和抛物线都是抛物线的伴随抛物线，则 ， ； （2）设函数的图像为抛物线．若函数的图像为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ①求p，q的值； ②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $