精品解析：河南省洛阳市2024—2025学年上学期九年级期末考试数学试卷

河南省洛阳市2024—2025学年上学期九年级期末考试数学试卷 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共6页，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0．5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题共有4个选项，其中只有一个是正确的） 1. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若一元二次方程的一个根为．则的值为（ ） A. B. C. D. 或 3. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点落在上时，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的直径，弦交于点,，则的度数为（ ） A B. C. D. 5. 近几年，洛阳市文旅市场持续火热，从龙门石窟、应天门到洛邑古城、白马寺，处处都是灯火璀璨、人潮涌动的景象．从2021年到2023年洛阳市全年共接待国内外游客从亿人次增长到亿人次，设洛阳市全年共接待国内外游客从2021年到2023年平均增长率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知拋物线的图象经过，四个点，则（ ） A. B. C. D. 7. 数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有分别标记了数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标记数字不同外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，记录小球上的数字后放回，试验结果如图所示，则数学课上进行的摸球试验最有可能是（ ） A. 摸出标记数字为偶数的小球 B. 摸出标记数字比3大的小球 C. 摸出标记数字比2小的小球 D. 摸出标记数字为奇数的小球 8. 根据下表中二次函数的自变量与函数值的对应值估算一元二次方程的一个近似解的范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过原点三点，则下列说法中错误的是（ ） A. 这条圆弧所在圆的半径为 B. 这条圆弧所在圆的圆心为 C. 点在这条圆弧所在圆上 D. 点在这条圆弧所在圆上 10. 某光敏电阻因光电效应使其阻值与所受光照的强弱（即光强，国际单位）之间成反比例关系，其函数图象如图1所示，小明用它设计了一个简易烟雾报警控制器，工作电路如图2所示，激光发生器发出的激光强度恒定不变，当烟雾浓度增大时，光敏电阻上的光照强度减小，已知电源电压．当闭合开关时，下列说法错误的是（ ） 信息框 1．欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比． 2．串联电路中，电路的总电阻等于各电阻的阻值之和． 3．当电路中的电流达到时，报警控制器控制的报警器（图中没有画出）报警． A. 当时， B. 光照强度越大，电路中的电流越大 C. 当报警器报警时，光照强度为 D. 烟雾浓度越大，光敏电阻的阻值越大 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个在第一象限内函数值随自变量增大而减小的函数解析式__________． 12. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是____________． 13. 如图，现有四张正面印有洛阳市四个著名景点的不透明的卡片，这四张卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这四张卡片背面向上洗匀，王明和李洋先后分别从中随机抽取一张（不放回）．他们俩抽取的这两张卡片中，是龙门石窟和白马寺的概率是____________． 14. 如图，直线与轴平行且与反比例函数与的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，且的面积为，则的值为____________． 15. 如图，在等腰直角中，，点是边的中点，点是边上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点落在边上，连接，若为直角三角形，则的长为____________． 三、解答题（本小题共8个小题，共75分） 16. 解下列方程 （1）； （2）． 17. 如图，已知在平面直角坐标系中，线段的坐标分别为 （1）画出线段绕点逆时针旋转得到线段，连接点A、C得到； （2）在（1）的条件下，画出关于原点对称的，点的对应点分别是； （3）在（2）的条件下，已知线段绕平面内的点旋转一个特定的度数可与线段重合（其中点对应点），请直接写出点的坐标为_____________． 18. 在某次数学活动中，有两个如图所示的转盘，甲为三等分数字转盘，分别标有数字1、2、3，乙为四等分数字转盘，分别标有数字1、2、3、4，指针固定不变，转动转盘（如果指针指在等分线上，那么重新转动，直至指针指在某个扇形区域内为止）． （1）若单独转动甲盘，当它停止时，指针指向的数字为偶数的概率是 ； （2）李雷转动甲盘，王明转动乙盘，当两个转盘停止后，记下各个转盘指针所指区域内对应的数字，请用画树状图或列表法求所得两数之和为奇数的概率． 19. 已知抛物线．（其中） （1）求该抛物线的对称轴及其顶点坐标； （2）①已知点，若抛物线经过线段的中点，求拋物线的解析式； ②若抛物线与线段恰有一个公共点，结合图象，直接写出取值范围． 20. 如图，直线与反比例函数图象交于点，与轴交于，为线段上一动点（不包含端点），过点作轴交反比例函数（）的图象于点，连接，． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）当面积最大时，求点的坐标． 21. 如图，是的弦，点是的中点，过点作的切线交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）若的半径为2，则阴影部分的面积为________________． 22. 汽车在行驶途中，为了安全，车与车之间必须保持一定的距离．因为司机发现异常情况刹车后汽车还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．经研究发现汽车开始刹车后行驶距离s满足关系式，其中是开始刹车后汽车行驶时间，v是开始刹车时的速度，a是刹车减速度，大约为． （1）某汽车研发中心研发了一款新型汽车，现对汽车以的速度行驶进行刹车测试，此时与之间的关系式为________； （2）在（1）的条件下，根据国家标准规定，此时的刹车距离在到的范围为合格，请通过计算说明此款新型汽车（刹车距离）是否合格？ （3）李明驾驶汽车以的速度在某公路上行驶，突然发现在汽车正前方处有一障碍物，他立刻刹车，试计算在汽车刹车过程中，经过多长时间汽车与障碍物相距． 23. 我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． （1）如图1，“等对角四边形”内接于，，则 ， ； （2）如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点E在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； （3）如图3，“等对角四边形”内接于，且其一个内角为，，，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省洛阳市2024—2025学年上学期九年级期末考试数学试卷 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共6页，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0．5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题共有4个选项，其中只有一个是正确的） 1. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形”，熟记中心对称图形的定义和轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，则此项不符合题意； 故选：B． 2. 若一元二次方程的一个根为．则的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据一元二次方程的解求参数，把代入方程求出的值是解题的关键． 由题意得，求出的值即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ， ∴， 解得：， 故选： B． 3. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点落在上时，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转得，，进而得出，则，计算即可得到答案． 【详解】解：由旋转得，， ， ， ， 故选：C ． 4. 如图，是的直径，弦交于点,，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同弧所对圆周角相等，直径所对圆周角是直角，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题关键． 连接，得到，，根据三角形内角和定理得到，计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 是的直径， ， 故选：C． 5. 近几年，洛阳市文旅市场持续火热，从龙门石窟、应天门到洛邑古城、白马寺，处处都是灯火璀璨、人潮涌动的景象．从2021年到2023年洛阳市全年共接待国内外游客从亿人次增长到亿人次，设洛阳市全年共接待国内外游客从2021年到2023年平均增长率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程与增长率的计算，理解数量关系，掌握一元二次方程解决实际问题的方法是解题的关键．从2021年到2023年平均增长率为，由此列式即可． 【详解】解：从2021年到2023年洛阳市全年共接待国内外游客从亿人次增长到亿人次，设洛阳市全年共接待国内外游客从2021年到2023年平均增长率为， ∴， 故选：D ． 6. 已知拋物线的图象经过，四个点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由条件可知抛物线与x轴两个交点为，开口向上，据此判定即可． 【详解】解：由条件可知抛物线与x轴两个交点为，开口向上， ∴当时，，当或时，， ∵，， ∴， ∴． 故选：A． 7. 数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有分别标记了数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标记数字不同外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，记录小球上的数字后放回，试验结果如图所示，则数学课上进行的摸球试验最有可能是（ ） A. 摸出标记数字为偶数的小球 B. 摸出标记数字比3大的小球 C. 摸出标记数字比2小的小球 D. 摸出标记数字为奇数的小球 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了频率估算概率，理解图示信息，根据频率估算概率的方法是解题的关键． 根据图示可得频率稳定在，根据概率的计算进行判定即可． 【详解】解：由图示可得频率稳定在， 不透明袋子中有分别标记了数字1，2，3，4，5的五个小球， ∴摸出偶数的概率为，摸出奇数的概率为， A、摸出标记数字为偶数的小球，故原选项不符合题意； B、摸出标记数字比3大的小球的概率为，故原选项不符合题意； C、摸出标记数字比2小的小球的概率为，符合题意； D、摸出标记数字为奇数的小球，故原选项不符合题意； 故选：C ． 8. 根据下表中二次函数的自变量与函数值的对应值估算一元二次方程的一个近似解的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质解一元二次方程，掌握二次函数自变量与函数值的变换是解题的关键． 根据，，，，由函数值的正负变换即可求解． 【详解】解：由表格信息可得当时，；当时，， ∴当一元二次方程的一个近似解的范围是， 故选：B ． 9. 如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过原点三点，则下列说法中错误的是（ ） A. 这条圆弧所在圆的半径为 B. 这条圆弧所在圆的圆心为 C. 点在这条圆弧所在圆上 D. 点在这条圆弧所在圆上 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆、点和圆的位置关系、勾股定理等内容,熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据点与圆的位置关系，确定圆的条件及勾股定理计算解答即可． 【详解】解：如图，连接，作的垂直平分线，垂足分别为，相交于点， 则点为圆弧所在圆的圆心， , ， ， 故选项B正确， 连接， ， 这条圆弧所在圆的半径为， 故选项A正确， 连接， ， 点在这条圆弧所在圆上， 故选项C正确， ， ， ， 点在这条圆弧所在圆外， 故选项D错误， 故选： D． 10. 某光敏电阻因光电效应使其阻值与所受光照的强弱（即光强，国际单位）之间成反比例关系，其函数图象如图1所示，小明用它设计了一个简易烟雾报警控制器，工作电路如图2所示，激光发生器发出的激光强度恒定不变，当烟雾浓度增大时，光敏电阻上的光照强度减小，已知电源电压．当闭合开关时，下列说法错误的是（ ） 信息框 1．欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比． 2．串联电路中，电路的总电阻等于各电阻的阻值之和． 3．当电路中的电流达到时，报警控制器控制的报警器（图中没有画出）报警． A. 当时， B. 光照强度越大，电路中的电流越大 C. 当报警器报警时，光照强度为 D. 烟雾浓度越大，光敏电阻的阻值越大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的运用，掌握待定系数法求解析式，反比例函数图象的性质是解题的关键． 根据图示，运用待定系数法可得反比例函数解析式，由此可判定A，B选项，根据阻值与所受光照的强弱（即光强，国际单位）之间成反比例关系，当电路中的电流达到时，报警控制器控制的报警器报警，运用电路中电压、电流、电阻的关系可判定C选项；根据题意判定D选项即可求解． 【详解】解：设，点在反比例函数图象上， ∴， 解得，， ∴， ∴当时，，故A正确，不符合题意； 根据反比例函数图象可得，当光照强度越大，电路中电阻的值越小， ∵导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比， ∴光照强度越大，电路中电流越大，故B正确，不符合题意； 当电路中的电流达到时，报警控制器控制的报警器报警， ∴， ∴， ∴，故C选项错误，符合题意； 烟雾浓度越大，越小，则越大，即光敏电阻的阻值越大，故D选项正确，不符合题意； 故选：C ． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个在第一象限内函数值随自变量的增大而减小的函数解析式__________． 【答案】答案不唯一，如 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，写出的反比例函数的比例系数k＞0即可． 【详解】解：∵一个在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小， ∴反比例函数的解析式（答案不唯一，只要是k＞0即可）． 故答案为：（答案不唯一，只要是k＞0即可）． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数y＝（k≠0）当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大． 12. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是____________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程（是常数且）根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 根据题意得出，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 解得：且， 故答案为：且 ． 13. 如图，现有四张正面印有洛阳市的四个著名景点的不透明的卡片，这四张卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这四张卡片背面向上洗匀，王明和李洋先后分别从中随机抽取一张（不放回）．他们俩抽取的这两张卡片中，是龙门石窟和白马寺的概率是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，掌握列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式的计算即可求解． 运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据题意得到龙门石窟和白马寺的结果，运用概率公式即可求解． 【详解】解：列表法或画树状图法把所有等可能结果表示如下，用表示龙门石窟，应天门，白马寺，洛阳博物馆， 共有12种等可能结果，其中是龙门石窟和白马寺的有2种，即， ∴抽取龙门石窟和白马寺的概率是， 故答案为： ． 14. 如图，直线与轴平行且与反比例函数与的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，且的面积为，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 设交轴于点，连接，得出，进而得到，从而得到，得到，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得到答案． 【详解】解：如图，设交轴于点，连接， ， 点在反比例函数图象上， ， ， ， ∵反比例函数图象在第二象限， 故答案为： ． 15. 如图，在等腰直角中，，点是边的中点，点是边上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点落在边上，连接，若为直角三角形，则的长为____________． 【答案】2或6 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定、矩形的性质和判定，直角三角形的性质，分情况讨论正确画出图形是解题的关键． 先找出图中可能为直角的角，分情况讨论，构建矩形求出的长． 【详解】解：等腰直角中，，， ，则不为直角， 为直角三角形， 可能的情况为或， 当时， 过点作交于点，如图， ， ， 点是边中点， 为中位线， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 又， 四边形为矩形， ， 线段旋转后得到， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 若，已求得，是以点为直角顶点的等腰直角三角形， 为边的中点， ， 在中， ， ， ， ，即， ，或（舍去）， 如图， 过点作，交于点，过点作，交于点， ， 是的中线， ， ，， 四边形为矩形， ， ， ， 故答案为：2或6． 三、解答题（本小题共8个小题，共75分） 16. 解下列方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先利用完全平方公式得到，再用直接开平方法解方程即可； （2）运用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解： ，； 【小问2详解】 解： ， ， ，． 17. 如图，已知在平面直角坐标系中，线段的坐标分别为 （1）画出线段绕点逆时针旋转得到线段，连接点A、C得到； （2）在（1）的条件下，画出关于原点对称的，点的对应点分别是； （3）在（2）的条件下，已知线段绕平面内的点旋转一个特定的度数可与线段重合（其中点对应点），请直接写出点的坐标为_____________． 【答案】（1）图见详解； （2）图见详解； （3） 【解析】 【分析】本题考查作图——旋转变换，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据中心对称的性质作图即可； （3）连接，，分别作线段，的垂直平分线，相交于点P，则线段绕点P顺时针旋转可与线段重合，即可得出答案． 【小问1详解】 解∶如图，线段、即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 【小问3详解】 解：连接，，分别作线段，的垂直平分线，相交于点P．则线段绕点P顺时针旋转可与线段重合， 点P的坐标为， 故答案为∶． 18. 在某次数学活动中，有两个如图所示的转盘，甲为三等分数字转盘，分别标有数字1、2、3，乙为四等分数字转盘，分别标有数字1、2、3、4，指针固定不变，转动转盘（如果指针指在等分线上，那么重新转动，直至指针指在某个扇形区域内为止）． （1）若单独转动甲盘，当它停止时，指针指向的数字为偶数的概率是 ； （2）李雷转动甲盘，王明转动乙盘，当两个转盘停止后，记下各个转盘指针所指区域内对应的数字，请用画树状图或列表法求所得两数之和为奇数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查列表法与树状图法、概率公式等知识点，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中指针指向的数字为偶数的结果有1种，利用概率公式即可解答； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及所得两数之和为奇数的结果数，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解∶由题意知，共有3种等可能的结果，其中指针指向的数字为偶数的结果有2，共1种，∴指针指向的数字为偶数的概率是． 故答案为∶． 【小问2详解】 解：列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 共有12种等可能的结果，其中所得两数之和为奇数的结果有∶、、、、、，共6种， ∴两数之和为奇数的概率为． 19. 已知抛物线．（其中） （1）求该抛物线的对称轴及其顶点坐标； （2）①已知点，若抛物线经过线段的中点，求拋物线的解析式； ②若抛物线与线段恰有一个公共点，结合图象，直接写出的取值范围． 【答案】（1）对称轴为直线，顶点坐标为； （2）①抛物线的解析式为：；②的取值范围 ． 【解析】 【分析】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，二次函数与方程及不等式的关系，熟练掌握二次函数的性质，并运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）利用对称轴公式求得对称轴为直线，再代入解析式求得的值，即可求得顶点坐标； （2）①求出中点坐标，代入抛物线求得的值，即可求得抛物线的解析式；②当时，，即，解得，当时，，即，解得，即可求得的取值范围． 【小问1详解】 解：， 对称轴为直线， 把代入， 顶点坐标为； 【小问2详解】 解：①线段的中点坐标为，， 中点坐标为， 抛物线经过线段的中点， ， ， 抛物线的解析式为：； ②抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 且抛物线与线段恰有一个公共点， 当时，，即，解得， 当时，，即，解得， 的取值范围为． 20. 如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于，为线段上一动点（不包含端点），过点作轴交反比例函数（）的图象于点，连接，． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）当面积最大时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数综合应用、二次函数的应用等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）首先将点代入直线，解得，易知该直线的解析式为，再将点代入直线，进而确定点，将其代入反比例函数解析式并求解即可； （2）设与x轴交于点，设，则，，易知，，利用三角形面积公式可得，结合二次函数的性质可得当时，面积取最大值，然后确定点的坐标即可． 【小问1详解】 解：将点代入直线， 可得，解得， ∴该直线的解析式为， ∵直线与反比例函数的图像交于点， ∴将点代入直线， 可得，即， 将代入反比例函数， 可得，解得， ∴这个反比例函数的表达式为； 小问2详解】 如下图，设与轴交于点， ∵为线段上一动点，且过点作轴交反比例函数的图像于点， ∴可设，则，， ∴，， ∴， ∴当时，面积取最大值，最大值为4， 此时． 21. 如图，是弦，点是的中点，过点作的切线交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）若的半径为2，则阴影部分的面积为________________． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，切线的性质定理，勾股定理，扇形的面积公式，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）设交于点，连接，则，由点是的中点，根据垂径定理得，由切线的性质得出，得到，即可得到结论； （2）由题意得，则，求出，由，计算即可得到答案． 【小问1详解】 证明：如图，设交于点，连接， 则， ， 点是的中点， ， ， ∵是切线， ， ， ，， ， ； 【小问2详解】 解：，，的半径为， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 22. 汽车在行驶途中，为了安全，车与车之间必须保持一定的距离．因为司机发现异常情况刹车后汽车还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．经研究发现汽车开始刹车后行驶距离s满足关系式，其中是开始刹车后汽车行驶时间，v是开始刹车时的速度，a是刹车减速度，大约为． （1）某汽车研发中心研发了一款新型汽车，现对汽车以速度行驶进行刹车测试，此时与之间的关系式为________； （2）在（1）的条件下，根据国家标准规定，此时的刹车距离在到的范围为合格，请通过计算说明此款新型汽车（刹车距离）是否合格？ （3）李明驾驶汽车以的速度在某公路上行驶，突然发现在汽车正前方处有一障碍物，他立刻刹车，试计算在汽车刹车过程中，经过多长时间汽车与障碍物相距． 【答案】（1） （2）此款新型汽车合格 （3）经过时间与抛锚汽车相距 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法求解析式，顶点式的特点，解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）将，代入计算即可； （2）根据二次函数解析式得到顶点式即可求解； （3）根据，得到，可得当时，取得最大值，最大值为，此时汽车停止，当汽车与障碍物相距时，即，由此即可求解． 【小问1详解】 解：， ． 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴对称轴直线， ∴此时，， ， ∴此款新型汽车刹车距离合格； 【小问3详解】 解：， ， ， ∴当时，取得最大值，最大值为，此时汽车停止， ， 当汽车与障碍物相距时，， 即， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴汽车与障碍物相距时，． 23. 我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． （1）如图1，“等对角四边形”内接于，，则 ， ； （2）如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点E在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； （3）如图3，“等对角四边形”内接于，且其一个内角为，，，若，求的长． 【答案】（1）90，120 （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补，并结合“等对角四边形”的定义计算即可得解； （2）由“等对角四边形”的定义可得，，，再由等腰三角形的性质并结合圆周角定理得出，即可得证； （3）连接，分四种情况：当时，则；当时；当时；当时；分别结合“等对角四边形”定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵“等对角四边形”内接于，， ∴，，， ∴， 故答案为：90，120； 【小问2详解】 证明：∵“等对角四边形”内接于， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”； 【小问3详解】 解：如图1，连接，当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”，是直径， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图2，当时，此时，， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”， 作，交于E， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，则，，， ∴四边形不是“等对角四边形”， 当时，则， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形不是“等对角四边形”， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、勾股定理、“等对角四边形”的定义， 掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $