精品解析：北京市怀柔区2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试卷

2025北京怀柔初一（上）期末 数 学 1．本试卷共6页，共三道大题，25道小题，满分100分，考试时间90分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名、考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将答题卡交回． 一、选择题（本题共20分，每小题2分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 如图，这是位于北京市怀柔区雁栖湖东路的中国科学院大学校门口的钟楼，它可以看为是一个四棱柱，以下为四棱柱的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了立体图形的识别，注意几何体的分类，一般分为柱体、锥体和球，柱体又分为圆柱和棱柱，锥体又分为圆锥和棱锥． 【详解】解：A．该图是四棱锥，故不符合题意； B．该图是圆柱，故不符合题意； C．该图是四棱柱，符合题意； D．该图是三棱柱，故不符合题意； 故选：C． 2. 2024年11月28日，环塔克拉玛干沙漠一圈的绿色屏障完全闭合，即塔克拉玛干沙漠完成“锁边合龙”，合计米，请用科学记数法表示米（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 这里． 【详解】解：（米）． 故选：C． 3. 下列各选项中计算结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了乘方，多重符号化简，绝对值的性质，掌握以上知识进行计算是解题的关键． 根据乘方，多重符号化简，绝对值的性质化简即可求解． 【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：C ． 4. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若b与c互为相反数，则a，b，c中绝对值最大的数是（　　） A. a B. b C. c D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了数轴，绝对值，相反数，正确得出原点位置是解题关键．直接利用相反数的定义得出原点位置，进而结合绝对值的几何意义得出答案． 【详解】∵b与c互为相反数， ∴原点在b，c的中间，如图 ∴a距离原点最远， ∴a，b，c三个数中绝对值最大的数是a． 故选：A． 5. 如果，那么下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等式的基本性质，等式的基本性质是：等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个数（除数不能为），等式仍然成立． 根据等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A.等式左边加，右边减，等式不一定成立，故该选项不符合题意； B.等式两边同时除以，等式仍然成立，故该选项符合题意； C. 等式左边加，右边减，等式不一定成立，故该选项不符合题意； D. 等式左边乘，右边乘，等式不一定成立，故该选项不符合题意； 故选：B ． 6. 下列判断中正确的是（ ） A. 单项式的系数为 B. 单项式的次数是1 C. 多项式的次数是3 D. 多项式的常数项为3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了单项式和多项式的有关概念，单项式中的数字因数叫做单项式的的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和；多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数． 【详解】解：A单项式的系数为，故不正确； B．单项式的次数是2，故不正确； C．多项式的次数是3，正确； D．多项式的常数项为，故不正确； 故选：C． 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，去括号，正确的计算是解题的关键．根据合并同类项，去括号法则逐项分析判断即可． 【详解】解：A.与不能合并，故该选项不正确，不符合题意； B.，故该选项不正确，不符合题意； C.，故该选项正确，符合题意； D.，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 8. 如下，在的方阵图中，填写了一些数、式子和汉字（其中每个式子或汉字都表示一个数）．若处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和都相等，则这个方阵图中x的值为 （ ） 5 x 航 筑 1 天 梦 A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确得出关于x的等式是解题的关键．根据第一行的和与第3列的和相等列方程求解即可． 【详解】解：由题意，得 ， 解得． 故选D． 9. 如图，用一根质地均匀长30厘米的木杆和一些相同的重物做实验．已知支撑点到木杆左右两端的距离分别为a，b，通过实验可得到如下结论：左端重物个数右端重物个数（×为乘号），木杆就能平衡．已知厘米，并且右端放了一个重物，若要木杆平衡则左端需要放置的重物个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设左端需要放置的重物个数为x个，根据左端重物个数右端重物个数列方程求解即可． 【详解】解：设左端需要放置的重物个数为x个， ∵厘米， ∴厘米， ∵左端重物个数右端重物个数， ∴， ∴． 故选B． 10. 下图是某航海区域的情况，在灯塔O附近有A，B，C，D，E，F，6座海轮，其中F到灯塔的距离为，海轮F在灯塔和海轮D的中点处． 且，． 则下列说法正确的是（ ） ①若海轮F的速度为，则海轮F抵达灯塔需要20分钟； ②； ③； ④C在灯塔的北偏东的方向上． A. ①④ B. ①② C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了方向角和度分秒的换算，熟练掌握方向角的定义和度分秒的换算是关键．分别根据方向角和度分秒的换算判断即可． 【详解】解：①若海轮F的速度为，则海轮F抵达灯塔需要小时=20分钟，故①正确； ②，故②错误； ③，故③正确； ④∵， ∴C在灯塔的北偏东的方向上，故④正确． 故选：C． 二、填空题（本题共12分，每小题2分） 11. －6的相反数是____________． 【答案】6 【解析】 【分析】求一个数的相反数，即在这个数的前面加负号． 【详解】解：根据相反数的概念，得 -6的相反数是-（-6）=6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了相反数的定义，解题的关键是掌握相关的定义． 12. 古人讲“三十而立”，如果以30岁为基准年龄，大明36岁，记为岁，那么大刚的年龄记为，大刚今年____岁． 【答案】21 【解析】 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据正负数的意义即可得到答案． 【详解】解：∵以30岁为基准年龄，大明36岁，记为岁， ∴大刚的年龄记为，大刚今年岁． 故答案为：21． 13. 对单项式“”可以解释为：一块橡皮2元，买了a块，共花费元．请你再对 “”赋予一个实际意义____________． 【答案】一辆汽车每小时行驶a千米，2小时行驶千米（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了给予代数式实际意义的能力，关键是能准确理解并运用该知识．根据该代数式赋予一个实际意义即可． 【详解】解：由题意得，一辆汽车每小时行驶a千米，2小时行驶千米． 故答案为：一辆汽车每小时行驶a千米，2小时行驶千米（答案不唯一）． 14. 如图，要把一个木架固定到墙上至少要钉两颗钉子，其中的原理是__________________． 【答案】两点确定一条直线 【解析】 【分析】本题主要考查了直线的性质，根据两点确定一条直线即可得到答案． 【详解】解：要把一个木架固定到墙上至少要钉两颗钉子，其中的原理是两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 15. 如图，点，，在线段上，．为靠近点的三等分点，是的中点．若，则__________，_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了线段的和与差，两点之间的距离，熟练掌握线段的和差计算，两点间的距离是解题的关键． 根据题意得出，进而得出，，由，求出，可得到，计算即可． 【详解】解：，， ， 为靠近点的三等分点， ， ， ， ∵是的中点， ， ， 故答案为：①，② ． 16. 当今是高度信息化的时代，信息安全至关重要，密码技术已经渗透到我们生活中的各个角落．密码学是研究编制和破译密码的技术科学，它与数学有密切关系．有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘字母排列分解，其中Q，W，E，…，N，M这个字母依次对应1，2，3，…，，这个正整数（见下表） Q W E R T Y U I O P A S D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 F G H J K L Z X C V B N M 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 以下是密文与明文之间的关系： 当明文字母所对应的数字x为奇数时，密文字母所对应的数字为；当明文字母所对应的数字x为偶数时，密文字母所对应的数字为． 例如：将明文Y转换成密文： 按上述方法将明文U转换成密文为___________；若按上述方法将明文转换成的密文是，那么它的明文是___________． 【答案】 ①. R ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，理解题中所给密文与明文之间的对应关系是解题的关键． 根据所给密文与明文之间的关系，进行计算，解一元一次方程即可． 【详解】解∶ 由题知， U对应数字为7． 则． 所以明文U转换成密文为R． C对应的数字为． 由，解得： (舍去)； 由，解得：． 所以它对应的明文是K． 同理可得，W对应的明文是E，H对应的明文是Y． 所以密文是时，那么它的明文是． 故答案为∶R；． 三、解答题（本题共68分，其中第17题每小题4分共16分，第18题第小题5分共10分，22小题5分，第19、20、21、23、24小题，每小题6分；第25小题7分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2）7 （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据加法的交换律和结合律计算即可； （2）先利用乘法分配律计算，再算加减； （3）先算乘方，并把除法转化为乘法，再算乘法即可； （4）先算乘方、括号并把除法转换为乘法，再算乘法，后算加减． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 【小问4详解】 解： 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程； （1）按照移项，合并，系数化为1的步骤求解即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并，系数化为1的步骤求解即可． 【小问1详解】 解： 移项得， 合并同类项得， 化系数为1得： 【小问2详解】 去分母得： 去括号得， 移项合并同类项得， 化系数为1得： 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减－化简求值，先去括号合并同类项，然后把代入计算即可． 【详解】解：原式 ∵， ∴． 20. 如图，平面上有四个点A，B，D，F．选择恰当的工具按要求画图，并完成填空． （1）连接线段，延长到点C，使得； （2）作射线，直线； （3）射线上取； （4）若，C和E两点分别表示公路两侧的社区，要在公路上修建一个公交站，使得其到两所社区的距离和最小，请在图中标出点，并写出最小的距离和为 ． 【答案】（1）如图，线段，点C即为所求作； （2）如图，射线，直线即为所求作； （3）如图，线段即为所求作； （4）如图，点P即为所求作． 4 【解析】 【分析】本题主要考查了线段、射线以及直线，两点之间线段最短，掌握相关定义和性质是解题关键． （1）根据线段的定义作图即可； （2）根据射线和直线的定义作图即可； （3）根据直线的定义作图即可； （4）由两点间线段最短可知，与的交点即为点P的位置，根据求出结果即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：∵，， ∴， ∴， 即最小的距离和为4． 21. 列方程解应用题： 新年将至，某校编织社团负责装饰校园，学生编织了大、小两种中国结．已知编织一个大号中国结需用绳4米，编织一个小号中国结需用绳3米．学生编织大、小两种中国结共计18个，总计用绳60米．问这两种中国结各编织了多少个？ 【答案】大号中国结编了6个，则小号中国结编了12个 【解析】 【分析】本题考查实际问题与一元一次方程，找准数量关系，列方程是解题的关键；设编织大号中国结个，则小号中国结编织个，根据题意列方程即可； 【详解】解：设大号中国结编了个，小号中国结编了个， 由题意列方程得：， 解得 ， ， 答：大号中国结编了6个，则小号中国结编了12个． 22. 已知关于x的方程的解为，求a的值． 下面是小明同学的解题过程，请认真阅读并完成相应问题． 解：第一步 把____________代入原方程： 第二步 整理得： 第三步 去分母得： 第四步 去括号得： 第五步 移项得： 第六步 合并同类项得： 第七步 系数化1得： 回答下列问题： （1）补全解答过程； （2）第三步的依据是 ； （3）第 步开始出错，这一步错误的原因是 ； （4）直接写出 ． 【答案】（1） （2）等式的基本性质2 （3）五；移项没变号 （4） 【解析】 【分析】本题考查了已知方程的解求字母及解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤和注意事项是解题的关键．先将方程的解代入方程，转化为关于a的一元一次方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类型，系数化1的步骤求解即可，同时注意防止几个易错点出错． 【小问1详解】 依题意，将代入原方程即可， 故答案为： 【小问2详解】 根据等式的基本性质2，方程两边同时乘以6，去分母，各项都乘，不要漏乘； 故答案为：等式的基本性质2 【小问3详解】 第5步，移项时移项没变号，移项时，注意变号 故答案为：五；移项没变号 【小问4详解】 正确的解答为： 第一步 把代入原方程： 第二步 整理得： 第三步 去分母得： 第四步 去括号得： 第五步 移项得： 第六步 合并同类项得： 第七步 系数化1得： 故答案为： 23. 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．对于任何一种进制N进制，就表示某一位置上的数运算时是逢N进一位，N进制表示的数中，右起第一位上的1表示，第二位上的1表示，第三位上的1表示，第四位上的1表示．故，其中． 例如：，，转化为十进制的数11，转化为十进制的数31（注意：对于任何非零数a都有，即）． 结合以上材料，解决下列问题： （1）把下列进制数转化为十进制表示的数（在横线上列式并写出结果）： ， ； （2）《易经》中记载：远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，一位女孩在从右到左依次排列的绳子上打结用来记数，如右图，图中表示女孩用绳结记录的数字，按照六进制记数法，即右边的绳子打结满6个，则此绳子左边的绳子打1个结，原来绳子的结全部打开清零，以此类推，最左边的绳子上的每个结都是中间绳子满6进1得来．根据图中记录的数字，写出这个六进制数字为（ ）6，若用十进制表示的数表示女孩采集到的野果数， 她一共采集到的野果数量为 个； （3）如果五进制三位数与八进制两位数分别转化为十进制表示的数，则两数和为，根据题意请列出等式 ，此时满足条件的 ． 【答案】（1） （2） （3）（或）； 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握进制之间的换算方法，是解题的关键： （1）利用题干给定的方法列式计算即可； （2）仿照N进制计数和转化为十进制的方法分别表示计算即可； （3）仿照N进制转化为十进制的方法，分别计算表示对应得十进制数并依题意列方程求解即可． 【小问1详解】 ； 故答案为： 【小问2详解】 由图可知，这个六进制的数为， 化为10进制数：， 故答案为： 【小问3详解】 依题意： 即， 解得： 故答案为：（或）， 24. 已知：如图1，在直线上取一点O，以点O为端点作射线，，分别作平分，平分，令，． （1）如图2，若与重合，其中，，则________； （2）如图3，B，C为直线同侧的点，，是钝角， ①依题意，在图3中画出射线及的平分线； ②求的度数（用含α的式子表示）； （3）当，都是锐角时，直接写出的角度（若不是确定角度则用含α，β的代数式表示）． 【答案】（1） （2）由题意，画图如下， （3）或或180°或 【解析】 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的相关计算．熟练掌握角平分线定义，得出角之间的关系是解决问题的关键． （1）根据图根据题意得到，则问题可解； （2）①根据题意画图即可； ②由题意得到，进而得到，再由角平分线得到，根据图形表示即可； （3）分当，在直线同侧时和，在直线异侧且不同的大小关系，分别计算即可． 【小问1详解】 解：由题意，，， ∵平分，平分， ∴， ∴， 故答案为： 【小问2详解】 ① 略 ②∵，平分， ∴， ∴, ∵,平分， ∴, ∴ 【小问3详解】 如图，当，在直线同侧时， 由题意，，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴ 当，在直线异侧，且时，如图， 同理可求，∴， ∴ ； 当，在直线异侧，且时，如图， 同理可求，∴， ∴ ； 当，在直线异侧，且时，共线，，为对顶角的角平分线，则 综上，的角度为或或或 25. 在数轴上，我们把表示数的点称为共点，记作点P． 对于两个不同的点A和点B，若点A、点B到点P的距离相等，则称点A与点B关于点P互为共点联系点． 如图1，点A表示的数是，点B表示的数是1，它们到共点P的距离都是2个单位长度，则点A与点B关于点P互为共点联系点． （1）已知点A表示数a，点B表示数b，点A与点B关于点P互为共点联系点． 若，则 ；若，则 ； 计算： ； （2）对点A进行如下操作：先把点A表示的数乘以，再把所得数表示的点沿着数轴移动2个单位长度得到点B． 若点A与点B关于点P互为共点联系点，则点A表示的数是 ； （3）在图2中，M、是数轴上两点，且，点M以每秒2个单位长度的速度从数轴上表示－6的点出发，在－6与6之间来回运动，点N从数轴上表示2的点出发，以每秒1个单位长度的速度向数轴负半轴方向运动，若t秒后，点M或与点N关于点P互为共点联系点，求M或与N距离最大时，运动时间 秒，M或与N距离最小时，运动时间_____秒． 【答案】（1）①0；；② （2）或0 （3），2 【解析】 【分析】本题考查了新定义，数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用． （1）①根据共点联系点的定义求解即可； ②设点A、点B到点P的距离为m，根据共点联系点的定义表示出a，b，然后相加即可； （2）先根据题意表示出b，再根据共点联系点表示的两数之和等于列方程求解即可； （3）先判断M或与N距离最大和M或与N距离最小的位置，再表示出M或与N，然后根据共点联系点表示的两数之和等于列方程求解即可． 【小问1详解】 解：①当时，由题意，得 ∴； 当时，由题意，得 ∴． 故答案为：①0；； ②设点A、点B到点P的距离为m， 由题意，得 ， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得，或， ∴或， 解得或． 故答案为：或0； 【小问3详解】 解：假设M在的左侧，由题意知，当M到大P之前时，与N距离最小；当M从6表示的点返回后，与N距离最大． 当到大P之前时，， 由题意，得 ， 解得； 当M从6表示的点返回后，， 由题意，得 ， 解得； 故答案为：，2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025北京怀柔初一（上）期末 数 学 1．本试卷共6页，共三道大题，25道小题，满分100分，考试时间90分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名、考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将答题卡交回． 一、选择题（本题共20分，每小题2分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 如图，这是位于北京市怀柔区雁栖湖东路的中国科学院大学校门口的钟楼，它可以看为是一个四棱柱，以下为四棱柱的是（ ） A. B. C. D. 2. 2024年11月28日，环塔克拉玛干沙漠一圈的绿色屏障完全闭合，即塔克拉玛干沙漠完成“锁边合龙”，合计米，请用科学记数法表示米（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 3. 下列各选项中计算结果正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若b与c互为相反数，则a，b，c中绝对值最大的数是（　　） A. a B. b C. c D. 无法确定 5. 如果，那么下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列判断中正确的是（ ） A. 单项式的系数为 B. 单项式的次数是1 C. 多项式的次数是3 D. 多项式的常数项为3 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如下，在的方阵图中，填写了一些数、式子和汉字（其中每个式子或汉字都表示一个数）．若处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和都相等，则这个方阵图中x的值为 （ ） 5 x 航 筑 1 天 梦 A. 2 B. 3 C. D. 9. 如图，用一根质地均匀长30厘米的木杆和一些相同的重物做实验．已知支撑点到木杆左右两端的距离分别为a，b，通过实验可得到如下结论：左端重物个数右端重物个数（×为乘号），木杆就能平衡．已知厘米，并且右端放了一个重物，若要木杆平衡则左端需要放置的重物个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 下图是某航海区域的情况，在灯塔O附近有A，B，C，D，E，F，6座海轮，其中F到灯塔的距离为，海轮F在灯塔和海轮D的中点处． 且，． 则下列说法正确的是（ ） ①若海轮F的速度为，则海轮F抵达灯塔需要20分钟； ②； ③； ④C在灯塔的北偏东的方向上． A. ①④ B. ①② C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（本题共12分，每小题2分） 11. －6的相反数是____________． 12. 古人讲“三十而立”，如果以30岁为基准年龄，大明36岁，记为岁，那么大刚的年龄记为，大刚今年____岁． 13. 对单项式“”可以解释为：一块橡皮2元，买了a块，共花费元．请你再对 “”赋予一个实际意义____________． 14. 如图，要把一个木架固定到墙上至少要钉两颗钉子，其中的原理是__________________． 15. 如图，点，，在线段上，．为靠近点的三等分点，是的中点．若，则__________，_______． 16. 当今是高度信息化的时代，信息安全至关重要，密码技术已经渗透到我们生活中的各个角落．密码学是研究编制和破译密码的技术科学，它与数学有密切关系．有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘字母排列分解，其中Q，W，E，…，N，M这个字母依次对应1，2，3，…，，这个正整数（见下表） Q W E R T Y U I O P A S D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 F G H J K L Z X C V B N M 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 以下是密文与明文之间的关系： 当明文字母所对应的数字x为奇数时，密文字母所对应的数字为；当明文字母所对应的数字x为偶数时，密文字母所对应的数字为． 例如：将明文Y转换成密文： 按上述方法将明文U转换成密文为___________；若按上述方法将明文转换成的密文是，那么它的明文是___________． 三、解答题（本题共68分，其中第17题每小题4分共16分，第18题第小题5分共10分，22小题5分，第19、20、21、23、24小题，每小题6分；第25小题7分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，平面上有四个点A，B，D，F．选择恰当的工具按要求画图，并完成填空． （1）连接线段，延长到点C，使得； （2）作射线，直线； （3）射线上取； （4）若，C和E两点分别表示公路两侧的社区，要在公路上修建一个公交站，使得其到两所社区的距离和最小，请在图中标出点，并写出最小的距离和为 ． 21. 列方程解应用题： 新年将至，某校编织社团负责装饰校园，学生编织了大、小两种中国结．已知编织一个大号中国结需用绳4米，编织一个小号中国结需用绳3米．学生编织大、小两种中国结共计18个，总计用绳60米．问这两种中国结各编织了多少个？ 22. 已知关于x的方程的解为，求a的值． 下面是小明同学的解题过程，请认真阅读并完成相应问题． 解：第一步 把____________代入原方程： 第二步 整理得： 第三步 去分母得： 第四步 去括号得： 第五步 移项得： 第六步 合并同类项得： 第七步 系数化1得： 回答下列问题： （1）补全解答过程； （2）第三步的依据是 ； （3）第 步开始出错，这一步错误的原因是 ； （4）直接写出 ． 23. 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．对于任何一种进制N进制，就表示某一位置上的数运算时是逢N进一位，N进制表示的数中，右起第一位上的1表示，第二位上的1表示，第三位上的1表示，第四位上的1表示．故，其中． 例如：，，转化为十进制的数11，转化为十进制的数31（注意：对于任何非零数a都有，即）． 结合以上材料，解决下列问题： （1）把下列进制数转化为十进制表示的数（在横线上列式并写出结果）： ， ； （2）《易经》中记载：远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，一位女孩在从右到左依次排列的绳子上打结用来记数，如右图，图中表示女孩用绳结记录的数字，按照六进制记数法，即右边的绳子打结满6个，则此绳子左边的绳子打1个结，原来绳子的结全部打开清零，以此类推，最左边的绳子上的每个结都是中间绳子满6进1得来．根据图中记录的数字，写出这个六进制数字为（ ）6，若用十进制表示的数表示女孩采集到的野果数， 她一共采集到的野果数量为 个； （3）如果五进制三位数与八进制两位数分别转化为十进制表示的数，则两数和为，根据题意请列出等式 ，此时满足条件的 ． 24. 已知：如图1，在直线上取一点O，以点O为端点作射线，，分别作平分，平分，令，． （1）如图2，若与重合，其中，，则________； （2）如图3，B，C为直线同侧的点，，是钝角， ①依题意，在图3中画出射线及的平分线； ②求的度数（用含α的式子表示）； （3）当，都是锐角时，直接写出的角度（若不是确定角度则用含α，β的代数式表示）． 25. 在数轴上，我们把表示数的点称为共点，记作点P． 对于两个不同的点A和点B，若点A、点B到点P的距离相等，则称点A与点B关于点P互为共点联系点． 如图1，点A表示的数是，点B表示的数是1，它们到共点P的距离都是2个单位长度，则点A与点B关于点P互为共点联系点． （1）已知点A表示数a，点B表示数b，点A与点B关于点P互为共点联系点． 若，则 ；若，则 ； 计算： ； （2）对点A进行如下操作：先把点A表示的数乘以，再把所得数表示的点沿着数轴移动2个单位长度得到点B． 若点A与点B关于点P互为共点联系点，则点A表示的数是 ； （3）在图2中，M、是数轴上两点，且，点M以每秒2个单位长度的速度从数轴上表示－6的点出发，在－6与6之间来回运动，点N从数轴上表示2的点出发，以每秒1个单位长度的速度向数轴负半轴方向运动，若t秒后，点M或与点N关于点P互为共点联系点，求M或与N距离最大时，运动时间 秒，M或与N距离最小时，运动时间_____秒． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $