精品解析：山西省晋中市2024-2025学年高二上学期1月期末调研测试数学试卷

晋中市2025年1月高二年级期末调研测试试卷 数学 考生注意： 1、答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 2022年2月，第24届冬季奥林匹克运动会在北京隆重举行，中国代表团获得了9金4银2铜的优异成绩，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力.设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则当时，该运动员的滑雪速度为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“方程表示椭圆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在三棱柱中，，，，为平行四边形对角线的交点，则（ ） A. B. C. D. 5. 设等比数列满足，，则公比（ ） A. 8 B. C. D. 2 6. 在长方体中，，，点满足，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（ ） A. 的单调递减区间是 B. 的单调递增区间是 C. 当时，有极值 D. 当时， 8. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，点，分别在的左、右两支上，且满足，，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在空间直角坐标系中，点，，，则（ ） A. B. 异面直线与所成的角为 C. 点关于轴的对称点为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 10. 若函数在上具有单调性，则函数可以是（ ） A. B. C. D. 11. 设是数列的前项和，则下列说法正确的是（ ） A. 若是等差数列，且，则 B. 若是等差数列，则是与的等差中项 C. 若是等比数列，则是与的等比中项 D. 若是等比数列，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若曲线在点处的切线与直线垂直，则_____. 13. 已知直线与抛物线（）交于、两点，且，于点，点的坐标为，则______． 14. 已知数列的前项和为，若，且，则_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆的圆心在直线上，且直线被圆截得的弦长为. （1）求圆的方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程. 16. 如图，在底面为矩形的四棱锥中，平面，，分别为棱，的中点，点在棱上，且满足，，. （1）判断，，，四点是否共面，若是，请用和表示，否则，请说明理由； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知数列的前项和为，且满足，. （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 18. 已知函数. （1）若，且函数有极值2，求的值； （2）若，且不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 19. 在直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，直线，相交于点，它们的斜率之积为，点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）若斜率为且不经过原点的直线与交于，两点，线段的中点为，直线的斜率记为，求的值； （3）在（2）的条件下，点为上一点，且不与的顶点重合，点关于轴的对称点为，若直线与关于直线对称，求证：，，三点共线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 晋中市2025年1月高二年级期末调研测试试卷 数学 考生注意： 1、答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将直线方程化成斜截式，求出其斜率，再求直线的倾斜角. 【详解】由，可得，故直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，因，故. 故选：D. 2. 2022年2月，第24届冬季奥林匹克运动会在北京隆重举行，中国代表团获得了9金4银2铜的优异成绩，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力.设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则当时，该运动员的滑雪速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的实际意义，对求导再代入求解即可. 【详解】由题意，，故当时，该运动员的滑雪速度为. 故选：B 3. “”是“方程表示椭圆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程表示椭圆可得出的取值范围，再根据范围大小可得结果. 【详解】若方程表示椭圆，则需满足， 解得， 显然是的真子集， 所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B 4. 在三棱柱中，，，，为平行四边形对角线的交点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的加减运算法则计算可得结果. 【详解】如下图所示： 易知 . 故选：C 5. 设等比数列满足，，则公比（ ） A. 8 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】借助等比数列性质计算即可得. 【详解】由题意可得，即. 故选：D. 6. 在长方体中，，，点满足，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据已知条件得出的坐标，进而表示出，的坐标，根据向量法计算即可得出距离. 【详解】 如图，建立空间直角坐标系， 则有. 又， 所以， 所以，，， 则，在上的投影向量的模为. 又， 所以点到直线的距离为. 故选：C. 7. 已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（ ） A. 的单调递减区间是 B. 的单调递增区间是 C. 当时，有极值 D. 当时， 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数图象解不等式可得的单调性，即可判断A正确，B错误，再根据极值定义可得C错误，根据不等式结果可得D错误. 【详解】根据图象可知当时，，可得； 当时，，可得； 结合的图象是一条连续不断的曲线，可知时，单调递减； 当时，，仅当时取等号，可得， 对于AB，时，单调递减，当时，，此时单调递增， 因此的单调递减区间是的单调递增区间是，即A正确，B错误； 对于C，易知当时，，当时，， 即在处左右函数的单调性不改变，因此C错误； 对于D，因为时，，由，可得， 因此，即D错误. 故选：A. 8. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，点，分别在的左、右两支上，且满足，，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行关系利用对称性并结合双曲线定义，利用勾股定理构造方程可解得，可得其离心率. 【详解】连接，延长与双曲线交于点，连接，如下图所示： 由，根据对称性可知，又，所以四边形为矩形； 由可设，则; 由双曲线定义可知，所以，所以； 又，所以； 因为， 在中，，且， 所以，解得； 即，所以； 在中，，即， 解得，即. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据平行关系利用对称性，由双曲线定义和勾股定理计算得出的关系式，即可求解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在空间直角坐标系中，点，，，则（ ） A. B. 异面直线与所成的角为 C. 点关于轴的对称点为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用空间向量数量积的坐标运算可判断A选项；利用空间中点的对称性可判断C选项；利用空间向量法可判断BD选项. 【详解】对于A选项，，，所以，A对； 对于B选项，， 所以异面直线与所成的角余弦值为，故异面直线与所成的角不是，B错； 对于C选项，点关于轴的对称点为，C对； 对于D选项，易知平面为坐标平面，则平面的一个法向量为， 所以，则直线与平面所成角的正弦值为，D对. 故选：ACD. 10. 若函数在上具有单调性，则函数可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由题意可得或在上恒成立，逐个选项计算并判断即可得. 【详解】， 若函数在上具有单调性，由恒成立， 则或在上恒成立， 对A：，不满足题意，故A错误； 对B：恒成立，故B正确； 对C：， 由， ，不符，故C错误； 对D：， 由，故恒成立，故D正确. 故选：BD. 11. 设是数列的前项和，则下列说法正确的是（ ） A. 若是等差数列，且，则 B. 若是等差数列，则是与的等差中项 C. 若是等比数列，则是与的等比中项 D. 若是等比数列，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A由得即可判断，对于B等差数列的前项和为，所以数列为等差数列即可判断，对于C当公比时即可判断，对于D由即可得公比，计算建立方程即可求解. 【详解】对于A：设数列的公差为，由有：， 因为，所以，故A正确； 对于B：因为是等差数列，是数列的前项和，所以，， 所以数列为等差数列，，所以是与的等差中项，故B正确； 对于C：若是等比数列，当公比时，，所以不是与的等比中项，故C错误； 对于D：因为是等比数列，且，所以公比为，所以， 解得，故D正确， 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若曲线在点处的切线与直线垂直，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用导函数的几何意义以及两直线的位置关系与斜率的关系求解. 【详解】因为，所以，所以，所以， 直线的斜率为，因为，所以， 故答案为：. 13. 已知直线与抛物线（）交于、两点，且，于点，点的坐标为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由题知，直线的斜率为，从而求得直线方程，由知，联立直线与抛物线的方程，利用根与系数关系代入计算求出值. 【详解】 ，， ，，则直线的方程为：，即， 设， 联立，消去得：， ， ，， . 故答案为：. 14. 已知数列的前项和为，若，且，则_____. 【答案】4 【解析】 【分析】由题意利用递推关系式确定数列为隔项等差数列，然后结合的值可得的值. 【详解】由题意可得：，， 两式作差可得：①，进一步有：②， 由①—②有：，故数列的偶数项为等差数列，且公差为2， 据此可得：，即：， 故答案为：4. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆的圆心在直线上，且直线被圆截得的弦长为. （1）求圆的方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据圆心坐标以及弦长公式计算可得结果； （2）分别讨论直线斜率是否存在，再由圆心到切线的距离等于半径可得结果. 【小问1详解】 圆的圆心为， 由圆心在直线上可得，即圆心； 易知圆心到直线的距离为， 由弦长公式可得，解得； 所以圆的方程为； 【小问2详解】 当切线斜率不存在时，过点的直线方程为， 显然到的距离等于3，符合题意； 当切线斜率存在时，可设过点的直线方程为， 则圆心到的距离为，解得； 此时切线方程为，即； 综上可知，切线的方程为或. 16. 如图，在底面为矩形的四棱锥中，平面，，分别为棱，的中点，点在棱上，且满足，，. （1）判断，，，四点是否共面，若是，请用和表示，否则，请说明理由； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） ,,,四点共面； （2） 【解析】 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，只需要验证，，之间的关系即可判断四点是否共面； （2）分别求出两个平面的法向量，平面的夹角即为两个法向量所在直线的夹角. 【小问1详解】 由已知，底面是矩形，且底面，可得，，两两垂直，可以为坐标原点，如图所示建立空间直角坐标系： 各点坐标如下：，，， ，， 由坐标计算可知，. 故，，，四点共面，且. 【小问2详解】 由（1）中建立坐标系过程，易知平面，， 另设平面的一个法向量为，可得，代入坐标得， 令可得，则， 设平面与平面的夹角为，. 17. 已知数列的前项和为，且满足，. （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助与的关系结合等比数列定义计算即可得； （2）借助错位相减法计算即可得. 【小问1详解】 当时，，则，即， 当时，，则， 故数列是以为首项，为公比的等比数列，即； 【小问2详解】 ，则， ，则， 故 ， 故. 18. 已知函数. （1）若，且函数有极值2，求的值； （2）若，且不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】（1）代入求导，得出其单调性并求得极值表达式解方程可得的值； （2）分离参数，构造函数并求得的最大值，可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 若，则， 所以； 当时，，因此在单调递减， 当或时，，因此在，单调递增； 即在处取得极大值，在处取得极小值； 若函数的极大值为2，即，此时； 若函数的极小值为2，即，此时； 综上可得，或； 【小问2详解】 若，则， 所以不等式为在上恒成立， 即在上恒成立， 令， 则； 当时，，因此在单调递增， 当时，，因此在单调递减； 因此在处取得极大值，也是最大值，即， 即满足题意， 所以实数的取值范围为. 19. 在直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，直线，相交于点，它们的斜率之积为，点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）若斜率为且不经过原点的直线与交于，两点，线段的中点为，直线的斜率记为，求的值； （3）在（2）的条件下，点为上一点，且不与的顶点重合，点关于轴的对称点为，若直线与关于直线对称，求证：，，三点共线. 【答案】（1）； （2）； （3）设点，则，设直线的斜率为，则的斜率为， 直线的方程为，直线的方程为， 由消去得， 则①， 同理②， 直线的斜率，则 ，将①②代入并整理， 得③，而，即， 因此，由（2）知，，则， 又直线有公共点，所以，，三点共线. 【解析】 【分析】（1）利用斜率的坐标公式列式化简即得. （2）根据给定条件，利用点差法列式，结合斜率的坐标公式求得答案. （3）设点及直线的斜率，直线与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式，结合（2）证得的斜率相等即可. 【小问1详解】 设点，依题意，，，整理得， 所以的方程是. 【小问2详解】 设，则， 由点均在曲线上，得， 两式相减得，则， 而，所以. 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：涉及直线被圆锥曲线所截弦中点及直线斜率问题，可以利用“点差法”，设出弦的两个端点坐标，代入曲线方程作差求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $