精品解析：江西省丰城中学2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题

丰城中学2024-2025学年上学期高一期末考试试卷 数学 一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分.每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1. 为庆祝中国共产党成立100周年，上饶市举办“红歌大传唱”主题活动，以传承红色革命精神，某高中学校分别有高一、高二、高三学生1200人、1000人、800人，现欲采用分层随机抽样法组建一个30人的高一、高二、高二学生红歌传唱队，则应抽取高三学生（ ） A. 6人 B. 8人 C. 10人 D. 12人 2. 设集合，若，则实数的值有（ ）个 A. 0 B. 3 C. 2 D. 1 3. 已知函数，若，则（ ） A. 或 B. C. D. 4. 函数的部分图像大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是定义在上的函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：） A. 72 B. 73 C. 74 D. 75 8. 已知，则以下关于的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 关于的不等式（）的解集可以是（ ） A. B. C. D. 10. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，用数字x表示第一次抛掷骰子的点数，数字y表示第二次抛掷骰子的点数，用表示一次试验的结果．记事件，事件，事件，[注：余数运算表示整数除以整数所得余数为．则（ ） A. B. 与为对立事件 C. 与相互独立 D. 与相互独立 11. 已知函数，.若关于的方程有3个实数解，，，且，则（ ） A. 的最小值为4 B. 的取值范围是 C. 的取值范围是 D. 的最小值是9 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700．从中抽取70个样本，若从下图提供随机数表中第1行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是________. 84 42 12 53 31  34 57 86 07 36  25 30 07 32 86  23 45 78 89 07  23 68 96 08 04 32 56 78 08 43  67 89 53 55 77  34 89 94 83 75  22 53 55 78 32  45 77 89 23 45 13. 设函数，则使得成立的x的取值范围是______． 14. 某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的定义域为，集合． （1）若，求，； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16. 为了检验同学们高二以来的学习效果，某市在期末的时候将组织调研考试．在某次调研考试中学校为了解同学们的调考情况，从所有同学中随机抽取某学科的100份答卷作为样本，将样本成绩按从低到高依次分为第组（如下图所示，成绩满分为100分且成绩均为不低于40分的整数），得到如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图求样本成绩的上四分位数；（上四分位数即75百分位数） （2）已知第2组的平均成绩是54，方差是4，第3组的平均成绩为66，方差是4， ①分别求第2组和第3组的人数； ②求这两组成绩的总平均数和总方差. 参考公式或数据： 方差：. 17. 用水清洗一堆蔬菜上的农药，设用x个单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为，且．已知用1个单位量的水清洗一次，可洗掉本次清洗前残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上． （1）求实数k和m的值； （2）现用a（）个单位量的水可以清洗一次，也可以把水平均分成两份后清洗两次，问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量较少，并说明理由． 18. 已知函数. （1）解不等式； （2）讨论函数的零点个数. 19. 设函数的定义域为，如果，都有，满足，那么函数的图象称为关于点的中心对称图形，点就是其对称中心．如果，且，使得，满足，那么函数的图象称为关于点的弱中心对称图形，点就是其弱对称中心． （1）若函数的图象是关于点的中心对称图形，求实数的值； （2）判断函数的图象是否为关于原点的弱中心对称图形，并说明理由； （3）若函数的图象是弱中心对称图形，且弱对称中心为，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城中学2024-2025学年上学期高一期末考试试卷 数学 一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分.每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1. 为庆祝中国共产党成立100周年，上饶市举办“红歌大传唱”主题活动，以传承红色革命精神，某高中学校分别有高一、高二、高三学生1200人、1000人、800人，现欲采用分层随机抽样法组建一个30人的高一、高二、高二学生红歌传唱队，则应抽取高三学生（ ） A. 6人 B. 8人 C. 10人 D. 12人 【答案】B 【解析】 【分析】利用分层抽样的计算公式即可求解． 【详解】依题意，设应抽取高三学生人， 则，解得， 所以应抽取高三学生人. 故选：B． 2. 设集合，若，则实数的值有（ ）个 A. 0 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的结果转化为子集关系，分类讨论求出即可得解. 【详解】因为，所以， 若，由知，满足； 若，则， 由可知，或，解得或， 综上，的取值为. 故选：B. 3. 已知函数，若，则（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出的值，分、两种情况讨论，根据可求得实数的值. 【详解】因为，则， 当时，由，解得，不合乎题意，舍去； 当时，由，解得，合乎题意. 综上所述，. 故选：C. 4. 函数的部分图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性及其最小值，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对任意的，，则函数的定义域为， 因为， ，则函数为偶函数，排除CD选项， 又因为，当且仅当时，等号成立，排除B选项. 故选：A. 5. 已知是定义在上的函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由， 得，构造函数，则是上的减函数，对实数分类讨论即可. 【详解】因为对任意，，所以，即， 构造函数，则， 所以函数是上的减函数. 当时，函数是上的减函数，符合题意； 当时，函数图象的对称轴为直线， 当时，函数是上的减函数，符合题意； 当时，要使得函数是上的减函数，只需，解得. 综上所述，实数的取值范围足， 故选：C. 6. 已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知即有解，且无最大值，分为，，三种情况讨论求解. 【详解】由，可知有解，且无最大值， 即有解，且无最大值， 当时，有解，无最大值，符合题意； 当时，，则有解， 当时，有最大值，则有最大值，不符合题意； 当时，有解需满足，解得， 此时无最大值，无最大值，满足题意． 综上，实数的取值范围是． 故选：A． 7. 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：） A. 72 B. 73 C. 74 D. 75 【答案】C 【解析】 【分析】由题意先得，接着由和得，再结合对数运算性质解不等式即可得解. 【详解】由题，，所以， 又由题当时，，即， 所以，令即即， 解得，故， 所以学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为74. 故选：C. 8. 已知，则以下关于的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据零点存在性定理可求解，进而根据指数对数的运算性质结合基本不等式求解的范围，即可比较大小． 【详解】由，令，则在定义域内单调性递增，且， 由零点存在性定理可得， ， 又，因此， ，可得， ，， ， ，，， ． 故选：D 【点睛】方法点睛：比较大小问题，常常根据： （1）结合函数性质进行比较； （2）利用特殊值进行估计，再进行间接比较； （3）根据结构特征构造函数，利用导数分析单调性，进而判断大小. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 关于的不等式（）的解集可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，分类求解不等式，进而判断得解. 【详解】不等式中，当时，，解得，A可能； 当时，不等式化为，解得， 当时，不等式化为，若，则；B可能； 若，则或；若，则或， C不可能，D可能. 故选：ABD 10. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，用数字x表示第一次抛掷骰子的点数，数字y表示第二次抛掷骰子的点数，用表示一次试验的结果．记事件，事件，事件，[注：余数运算表示整数除以整数所得余数为．则（ ） A. B. 与为对立事件 C. 与相互独立 D. 与相互独立 【答案】AC 【解析】 【分析】用列举法列出所有可能结果，再结合互斥事件、对立事件、相互独立事件及古典概型的概率公式计算可得. 【详解】依题意，依次拋郑两枚质地均匀的骰子，基本事件总数为个， 事件“”包含的样本点有：，共6个； 事件，包含的样本点有：， ，共18个； 事件，包含的样本点有：，共7个， 对于A，，A正确； 对于B，包含样本点，事件A与C不为对立事件，B错误； 对于C，事件AB包含的样本点有，3个，， 则，即，事件A与相互独立，C正确； 对于D，事件BC包含的样本点有：，共4个， 而，， 事件与不相互独立，D错误． 故选：AC 11. 已知函数，.若关于的方程有3个实数解，，，且，则（ ） A. 的最小值为4 B. 的取值范围是 C. 的取值范围是 D. 的最小值是9 【答案】BCD 【解析】 【分析】作图，结合图象分析可得，，，，，结合基本不等式逐项分析判断. 【详解】作出的大致图象，如图所示． 由题意可得， 可得，即， 其中，，，， 对于选项A：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 但，所以的最小值不为4，A错误； 对于选项BC：因为， 所以，，故BC正确； 对于选项D：因为， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是9，故D正确． 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700．从中抽取70个样本，若从下图提供随机数表中第1行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是________. 84 42 12 53 31  34 57 86 07 36  25 30 07 32 86  23 45 78 89 07  23 68 96 08 04 32 56 78 08 43  67 89 53 55 77  34 89 94 83 75  22 53 55 78 32  45 77 89 23 45 【答案】007 【解析】 【分析】直接由随机数表依次读取数据即可. 【详解】从表中第1行第6列开始向右读取数据，依次为253，313，457，860（舍去）， 736（舍去），253（舍去），007， 故得到的第4个样本编号是007. 故答案为：007 13. 设函数，则使得成立的x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先证明函数为偶函数，且在上单调递增，结合单调性以及奇偶性得出的取值范围. 【详解】，则函数为偶函数 易知函数在上单调递增 ， ，即， 解得 故答案为： 14. 某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】计算对立事件的概率，从下雨次数入手分类讨论计算两天都不淋雨的概率，即可得到至少有一天淋雨的概率. 【详解】“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”. 连续上班两天，上班、下班的次数共4次. （1）次均不下雨，概率为：. （2）有次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为：. （3）有次下雨但不被淋雨，共种情况： ①同一天上下班均下雨，②两天上班时下雨，下班时不下雨， ③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二天上班时不下雨，下班时下雨， 概率为：. （4）有次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨， 概率为：. （5）次均下雨：. 两天都不淋雨的概率为：， 至少有一天淋雨的概率为： . 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题考查概率问题，具体思路如下： （1）至少有一天淋雨的概率不易分析，则计算两天都不淋雨的概率. （2）从下雨次数入手分类讨论：次均不下雨；有次下雨但不被淋雨；有次下雨但不被淋雨；有次下雨但不被淋雨；次均下雨.计算概率求和. （3）利用对立事件概率的性质即可得到至少有一天淋雨的概率. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的定义域为，集合． （1）若，求，； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）解不等式化简集合，再利用交集、补集、并集的定义求解. （2）利用必要不充分条件，结合集合的包含关系列式求解. 【小问1详解】 由，即，解得，则， ，当时，， 所以，. 【小问2详解】 由“”是“”的必要不充分条件，得是的真子集， 当时，，解得； 当时，，解得， 所以实数的取值范围是. 16. 为了检验同学们高二以来的学习效果，某市在期末的时候将组织调研考试．在某次调研考试中学校为了解同学们的调考情况，从所有同学中随机抽取某学科的100份答卷作为样本，将样本成绩按从低到高依次分为第组（如下图所示，成绩满分为100分且成绩均为不低于40分的整数），得到如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图求样本成绩的上四分位数；（上四分位数即75百分位数） （2）已知第2组的平均成绩是54，方差是4，第3组的平均成绩为66，方差是4， ①分别求第2组和第3组的人数； ②求这两组成绩的总平均数和总方差. 参考公式或数据： 方差：. 【答案】（1）84； （2）①10，20；②总平均数是62，总方差是36 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图结合百分位数的定义计算即可； （2）①利用频率分布直方图直接计算可得；②利用平均数与方差的计算公式计算即可. 【小问1详解】 上四分位数即75百分位数， 成绩落在内的频率为 成绩落在内的频率为， 设第75百分位数为，则其位于区间， 则，解得， 所以上四分位数为84； 【小问2详解】 ①由图可知，成绩在的人数为， 成绩在的人数为， ②两组成绩的总平均数为， 设成绩在中10人的分数分别为； 成绩在中20人的分数分别为， 则由题意可得，，， 即， 所以， 所以两组成绩的总平均数是62，总方差是36. 17. 用水清洗一堆蔬菜上的农药，设用x个单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为，且．已知用1个单位量的水清洗一次，可洗掉本次清洗前残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上． （1）求实数k和m的值； （2）现用a（）个单位量的水可以清洗一次，也可以把水平均分成两份后清洗两次，问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量较少，并说明理由． 【答案】（1） （2）当时，把水平均分成两份后清洗两次蔬菜上残留的农药量较少； 当时，两种方案清洗后蔬菜上残留的农药量一样多； 当时，清洗一次后蔬菜上残留的农药量较少． 【解析】 【分析】（1）由求解即可. （2）分别表示出两种方案中清洗后蔬菜上残留的农药量，作差比较大小即可. 【小问1详解】 由题意，即，解得． 【小问2详解】 由（1）可知，设清洗前残留的农药量为t（）， 若清洗一次，设清洗后蔬菜上残留的农药量为， 则，（，）， 若把水平均分成两份后清洗两次，清洗后蔬菜上残留的农药量为， ，（，）， 所以，（，）， ①当，即时，， 把水平均分成两份后清洗两次蔬菜上残留的农药量较少； ②当，即时，， 两种方案清洗后蔬菜上残留的农药量一样多； ③当，即时，， 清洗一次后蔬菜上残留的农药量较少． 综述：①当时，把水平均分成两份后清洗两次蔬菜上残留的农药量较少； ②当时，两种方案清洗后蔬菜上残留的农药量一样多； ③当时，清洗一次后蔬菜上残留的农药量较少． 18. 已知函数. （1）解不等式； （2）讨论函数的零点个数. 【答案】（1） （2） 当时，有1个零点；当或时，有3个零点；当时，有5个零点. 【解析】 【分析】（1）结合函数的奇偶性与单调性计算即可得； （2）当时，等式恒成立，故为的一个零点，当时，表示出，可借助换元法，构造函数，结合零点与方程的关系计算即可得. 【小问1详解】 的定义域为， 因为，所以是奇函数. 因为是增函数，所以是增函数， 由得，即， 所以，解得， 即原不等式的解集为； 【小问2详解】 由得， ①当，即时，等式成立， 所以为的一个零点. ②当，即时， 即 ， 令，则， 因为，所以为偶函数， 当时，令，在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 设，则在上单调递减，在上单调递增， ，， 又因为，， 所以当时，方程无解，所以没有零点； 当时，方程的解，此时有2个解， 所以有2个零点； 当时，方程有两个解，不妨设为，，且， 此时有4个解，所以有4个零点； 当时，方程有一个解，且， 此时有2个解，所以有2个零点. 综上所述：当时，有1个零点；当或时，有3个零点；当时，有5个零点. 【点睛】关键点睛：本题第二问关键在于使用换元法，将复杂的的值转化为，从而可结合方程的根的个数进行分类讨论. 19. 设函数的定义域为，如果，都有，满足，那么函数的图象称为关于点的中心对称图形，点就是其对称中心．如果，且，使得，满足，那么函数的图象称为关于点的弱中心对称图形，点就是其弱对称中心． （1）若函数的图象是关于点的中心对称图形，求实数的值； （2）判断函数的图象是否为关于原点的弱中心对称图形，并说明理由； （3）若函数的图象是弱中心对称图形，且弱对称中心为，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）函数的图象不是关于原点的弱中心对称图形，理由：函数的图象不是关于原点的弱中心对称图形． 理由如下：假设，使得，解得，与矛盾， 所以函数的图象不是关于原点的弱中心对称图形； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意“中心对称图形”的定义分析判断即可； （2）根据反证法，以及“弱对称中心图形”定义即可证明； （3）根据“弱对称中心图形”定义，代入解出表达式，讨论取值范围，再利用换元法即可求解. 【小问1详解】 由，解得． 当时，，对于任意的， 都有， 所以函数的图象是关于点的中心对称图形， 故． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意可知，存在，且，使得， 当时，，则， 所以， 又知对勾函数在上单调递增，所以， 所以； 当时，，则不成立； 当时，，则， ， 令，则在上单调递增，所以， 所以． 综上可知，实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $