精品解析：湖北省黄冈市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

黄冈市2024年秋季九年级期末教学质量监测 数学试题 （考试时间：120分钟满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试题卷上无效． 3．非选择题的作答：用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷上无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 四个有理数，其中最小的数是（ ） A. 2 B. 0 C. D. 2. 如图，是一个正方体的表面展开图，原正方体中与“美”字所在的面相对的面上标的字是（ ） A. 设 B. 丽 C. 中 D. 国 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 关于的一元一次不等式组的解集如图所示，则它的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 在下列调查中，适宜全面调查的是（ ） A. 调查某品牌汽车的抗撞力 B. 了解全国中学生的视力和用眼卫生情况 C. 调查某批白板笔的使用寿命 D. 调查某架隐形战斗机各零部件的质量情况 7. 我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两，若客人为人，银子为两，可列方程组（ ） A. B. C. D. 8. 如图，若是的直径，是的弦，，则度数为（ ） A. B. C. D. 9. 为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为，，则“技”所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 抛物线的对称轴为，与轴的一个交点坐标为，与y轴交于点，其部分图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. 当时， C. D. 关于的方程有两个不等的实数根 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 写出一个比大的负整数为_____． 12. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取1本，则抽到《论语》的概率是_____________． 13. 化简：_____． 14. 生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度与观察时间（天）的关系，画出如图所示的函数图象（轴）．则该植物最高长到_______． 15. 如图所示，在中，，将绕点C逆时针旋转．得到，连接，并延长交于点D，则_____°，的长为_______． 三、解答题（共9小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 如图，在菱形中，过点作于点，过点作于点，求证：． 18. 为测量学校旗杆的高度，某中学数学兴趣小组的同学经过讨论，设计了以下两种方案： 方案一 方案二 测量工具 含角的教学用直角三角板、足够长的皮尺． 升旗用的绳子、足够长的皮尺． 测量方案 示意图 实施方案及测量数据 一同学站在C点，双手水平托好直角三角板，恰好看到旗杆顶A点，测得旗杆底部B处与C点的距离，人的眼睛与地面的距离． 升旗用的绳子从旗杆顶端垂落地面后还多出1m，将绳子斜拉直后，使得绳子底端C刚好接触地面，此时测得． 备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②旗杆半径忽略不计． ①实施过程中，旗杆顶端绳子保持不动． 请从以上两种方案中任选一种，计算旗杆的高度． 19. 某中学举行了“奥运会知识竞赛”活动，以下是七、八年级学生竞赛成绩的抽样与数据分析过程． 【收集数据】从七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩． 【整理数据】将抽取的成绩进行整理，用（得分）表示成绩，分成四组：组，组，组，组． 【描述数据】根据八年级抽取的学生竞赛成绩，绘制出如下不完整的扇形统计图． 已知八年级落在组的学生成绩分别是：91，94，93，95，93，92． 【分析数据】七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 班级 平均数 中位数 众数 七年级 91 92 95 八年级 91 96 根据以上信息，解答下列问题： （1）八年级抽取的组学生所在扇形的圆心角度数是_____°；_____； （2）该校八年级共500人参加了此次竞赛，请估计参加此次竞赛成绩为优秀的八年级学生有多少人？ （3）你认为七、八年级哪个年级竞赛成绩较好？请说明理由． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点，且与轴，轴分别交于点，． （1）直接写出的值； （2）结合图象，直接写出时的取值范围； （3）点在线段上，过点作轴的垂线，交反比例函数图象于点，若，求点的坐标． 21. 如图，是的直径，是的弦，半径，交于点，点在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 22. 大课间30分钟，同学们兴高采烈地参加跳绳活动，跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为6米，到地面的距离和均为0.9米，以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，点刚好落在轴上．设此抛物线的解析式为．不考虑跳跃带来的头部高度变化． （1）求该抛物线的解析式； （2）绳子甩到最高处时，最高点与地面的距离是多少米？如果身高为1.75米的张老师也想跳绳，问绳子能否顺利从他头顶越过？请说明理由； （3）小丽同学的身高为1.4米，她参加跳绳时，绳子甩到最高处时必须超过她的头顶．如果小丽同学在地面的位置离点的距离为米，请结合图象，求出的取值范围． 23. 在中，延长到，使，是上方一点，且，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，，如果，求的长； （3）如图3，若，，将沿直线翻折得到，连接交于点，探究的值，并说明理由． 24. 如图，在平面直角坐标系中，经过点的抛物线（，为常数）与轴交于点，顶点为点．点为点右侧抛物线上一点，其横坐标为． （1）求抛物线的解析式． （2）在抛物线的对称轴上找一点，使得取得最小值，求点坐标； （3）若点坐标为，连接，取线段的中点，将点绕点顺时针方向旋转得到点，连接，以，为邻边构造矩形． ①设的长为，求关于的函数解析式； ②请直接写出当点在矩形外部时，的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黄冈市2024年秋季九年级期末教学质量监测 数学试题 （考试时间：120分钟满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试题卷上无效． 3．非选择题的作答：用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷上无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 四个有理数，其中最小的数是（ ） A. 2 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握比较原则是解题的关键．根据有理数大小比较的方法解答即可． 【详解】解：根据题意，得， 故最小的数是， 故选：D． 2. 如图，是一个正方体的表面展开图，原正方体中与“美”字所在的面相对的面上标的字是（ ） A. 设 B. 丽 C. 中 D. 国 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “美”与“中”是相对面． 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项，熟练掌握公式和运算的法则是解题的关键．根据运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：∵，不是同类项，无法计算，原计算错误， 故A不合题意． ∵，原计算错误， ∴B不合题意． ∵，原计算错误， ∴C不合题意． ∵，原计算正确， ∴D合题意． 故选：D． 4. 如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，先理解题意，结合两直线平行，同位角相等，得，得出即可． 【详解】解：如图所示； ∵直尺两边平行， ∴， ∴， 故选：B． 5. 关于的一元一次不等式组的解集如图所示，则它的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数轴表示不等式的解集，熟练掌握解集确定的法则是解题的关键． 根据实心圆表示有等号，结合解集确定的口诀，小大大小中间找，确定． 【详解】根据实心圆表示有等号，结合解集确定的口诀，小大大小中间找， 故表示的解集是， 故选：B． 6. 在下列调查中，适宜全面调查的是（ ） A. 调查某品牌汽车的抗撞力 B. 了解全国中学生的视力和用眼卫生情况 C. 调查某批白板笔的使用寿命 D. 调查某架隐形战斗机各零部件的质量情况 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了调查的两种方式，熟练掌握两种方式使用的基本特点是解题的关键．根据抽样调查和全面调查的特点，选择合适的调查方式． 【详解】解：调查调查某品牌汽车的抗撞力，采用抽样调查方式， ∴A不符合题意； 调查了解全国中学生的视力和用眼卫生情况，采用抽样调查方式， ∴B不符合题意； 调查调查某批白板笔的使用寿命，采用抽查方式， ∴C不符合题意； 调查某架隐形战斗机各零部件的质量情况，采取全面调查的方式， ∴D符合题意； 故选：D． 7. 我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两，若客人为人，银子为两，可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列二元一次方程组，设客人为x人，银子为y两，根据题意列出二元一次方程组，即可解答． 【详解】解：设客人为x人，银子为y两，根据题意得， 故选：A． 8. 如图，若是的直径，是的弦，，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理及推论，根据圆周角定理求解即可． 【详解】是的直径 即 根据圆周角定理： 故选：A． 9. 为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为，，则“技”所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，先根据题意确定平面直角坐标系，然后确定点的位置． 【详解】解：如图建立直角坐标系，则“技”在第一象限， 故选A． 10. 抛物线的对称轴为，与轴的一个交点坐标为，与y轴交于点，其部分图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. 当时， C. D. 关于的方程有两个不等的实数根 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的对称轴是直线，据此即可判断结论C；根据轴对称的性质及中点坐标公式，可求出抛物线与x轴的另一个交点坐标为，据此即可判断结论A；由一元二次方程根与系数的关系可得，解得，进而可得抛物线开口向下，利用图象法解一元二次不等式，据此即可判断结论B；代入、、的值将方程变形为，利用因式分解法解一元二次方程，据此即可判断结论D；综上，即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴对称轴为直线， ∴，故结论C错误； ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，与y轴交于点，， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，， ∴抛物线与x轴有两个不同交点，的两个根为，， ∴，， 解得：， ∴抛物线开口向下， ∴当时，，故结论A，结论B正确； ∵， ∴方程变形为， ∵，， ∴， ∴方程变形为， 解得：，，故结论D正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了的图象与性质，抛物线与轴的交点问题，轴对称的性质，中点坐标公式，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的图象与系数的关系，图象法解一元二次不等式，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 写出一个比大的负整数为_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了负整数的意义，负数的大小比较，熟练掌握负数大小比较是解题的关键．根据两个负数相比较，绝对值大的反而小，解答即可． 【详解】解：，， 故比大的负整数为． 故答案为：． 12. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取1本，则抽到《论语》的概率是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了概率公式，解题的关键是熟悉概率公式．根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意得：共有种等可能的结果， 故， 故答案为：． 13. 化简：_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减．根据同分母的分式的加减法计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 14. 生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度与观察时间（天）的关系，画出如图所示的函数图象（轴）．则该植物最高长到_______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的运用，理解图示，掌握待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象的性质是解题的关键． 根据图示，设一次函数为，把点代入得到解析式，再把代入即可求解． 【详解】解：根据函数图象设一次函数为，把点代入得， 解得，， ∴一次函数解析式为， 当时，， 当时，，则该植物达到最高高度， ∴该植物最高长到， 故答案为：． 15. 如图所示，在中，，将绕点C逆时针旋转．得到，连接，并延长交于点D，则_____°，的长为_______． 【答案】 ①. 45 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、解直角三角形、相似三角形的判断与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：过点作交的延长线于点E，由旋转的性质可得是等腰直角三角形，则；再证明，根据相似三角形的性质列比例式可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：过点作交的延长线于点E， ∵将绕点C逆时针旋转．得到，连接，并延长交于点D， ∴，，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴．． 故答案为∶ 45，． 三、解答题（共9小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算零指数幂，绝对值，立方根，负整数指数幂，再计算加减即可． 【详解】解： ． 17. 如图，在菱形中，过点作于点，过点作于点，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质．熟知菱形的性质证全等是解题的关键．根据菱形的性质和垂线的定义，证明即可解答． 【详解】证明：四边形是菱形， ，． ，， ． 在与中， ． ． 18. 为测量学校旗杆的高度，某中学数学兴趣小组的同学经过讨论，设计了以下两种方案： 方案一 方案二 测量工具 含角的教学用直角三角板、足够长的皮尺． 升旗用的绳子、足够长的皮尺． 测量方案 示意图 实施方案及测量数据 一同学站在C点，双手水平托好直角三角板，恰好看到旗杆顶A点，测得旗杆底部B处与C点的距离，人的眼睛与地面的距离． 升旗用的绳子从旗杆顶端垂落地面后还多出1m，将绳子斜拉直后，使得绳子底端C刚好接触地面，此时测得． 备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②旗杆半径忽略不计． ①实施过程中，旗杆顶端绳子保持不动． 请从以上两种方案中任选一种，计算旗杆的高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理，解方程是解题的关键． 方案一过D作于E，则四边形是矩形，利用等腰直角三角形的性质，解答即可；方案二，设旗杆的高，，在中，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：若选方案一： 过D作于E，如图所示， 依题意：， 四边形为矩形， ，， 在中，， ， 若选方案二： 设，则， 在中，， ， 解得：， 19. 某中学举行了“奥运会知识竞赛”活动，以下是七、八年级学生竞赛成绩的抽样与数据分析过程． 【收集数据】从七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩． 【整理数据】将抽取的成绩进行整理，用（得分）表示成绩，分成四组：组，组，组，组． 【描述数据】根据八年级抽取的学生竞赛成绩，绘制出如下不完整的扇形统计图． 已知八年级落在组的学生成绩分别是：91，94，93，95，93，92． 【分析数据】七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 班级 平均数 中位数 众数 七年级 91 92 95 八年级 91 96 根据以上信息，解答下列问题： （1）八年级抽取的组学生所在扇形的圆心角度数是_____°；_____； （2）该校八年级共500人参加了此次竞赛，请估计参加此次竞赛成绩为优秀的八年级学生有多少人？ （3）你认为七、八年级哪个年级竞赛成绩较好？请说明理由． 【答案】（1）， （2）350人 （3）八年级成绩较好；理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用圆心角计算公式，求出A、B两组人数，利用中位数的定义计算即可． （2）利用样本估计总体的思想列式解答即可； （3）根据中位数，平均数，选择一条解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得． 样本中A组人数为：（人）， 样本中B组人数为：（人）， 根据题意，中位数是第10个，第11个数据的平均数， ∵91，94，93，95，93，92． ∴从小到大排序为：91，92，93，93，94，95， 第10个，第11个数为93，94， 故中位数为． 故答案为：36，． 【小问2详解】 解：根据题意，参加此次竞赛成绩为优秀的八年级学生为：（人）． 答：参加此次竞赛成绩为优秀的八年级学生数350人． 【小问3详解】 解：从中位数的角度看：大于92， 故八年级更好些． 【点睛】本题考查了扇形统计图中圆心角的计算，样本估计总体，中位数的计算，根据平均数、中位数、平均数提出决策，熟练掌握中位数，样本估计总体是解题的关键． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点，且与轴，轴分别交于点，． （1）直接写出的值； （2）结合图象，直接写出时的取值范围； （3）点在线段上，过点作轴的垂线，交反比例函数图象于点，若，求点的坐标． 【答案】（1），， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据点，先确定反比例函数解析式，再根据反比例函数解析式确定点，最后代入确定一次函数的解析式计算即可 ； （2）根据图象交点坐标为，点，结合，利用交点的横坐标，直接写出解集即可； （3）根据题意，设，则，故，解答即可． 【小问1详解】 解：将点代入反比例函数 得 在的图象上 直线AB的函数解析式为 根据题意，可得 解得 直线解析式为 【小问2详解】 解：根据（1）得图象交点坐标为 或 【小问3详解】 解：根据题意，设，则 故 整理，得 解得 故点的坐标为 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式、图象交点的意义、根据图象求不等式的解集、解一元二次方程、一次函数以及反比例函数的解析式，求出函数解析式是解题的关键． 21. 如图，是的直径，是的弦，半径，交于点，点在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质、等腰三角形的性质以及扇形面积的计算： （1）连接，根据等腰三角形的性质得到，，求得，得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据三角形的内角和定理得到，求得，，求得 ，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 证明：连接． ， ． ， ． ， ． ， ， ． ， ． 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：，， ． ， ， ， ． ， ，． 图中阴影部分的面积的面积扇形的面积． 22. 大课间30分钟，同学们兴高采烈地参加跳绳活动，跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为6米，到地面的距离和均为0.9米，以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，点刚好落在轴上．设此抛物线的解析式为．不考虑跳跃带来的头部高度变化． （1）求该抛物线的解析式； （2）绳子甩到最高处时，最高点与地面的距离是多少米？如果身高为1.75米的张老师也想跳绳，问绳子能否顺利从他头顶越过？请说明理由； （3）小丽同学的身高为1.4米，她参加跳绳时，绳子甩到最高处时必须超过她的头顶．如果小丽同学在地面的位置离点的距离为米，请结合图象，求出的取值范围． 【答案】（1） （2）1.8米； 当张老师距O点超过米且不足米跳绳时，绳子能顺利从他头顶越过，理由： 配方，， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为， 当时， ， 解得，或， ∵绳子顺利越过头顶， ∴， 故当张老师距O点超过米且不足米跳绳时，绳子能顺利从他头顶越过； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数应用——跳绳问题．熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数与不等式，是解题的关键． （1）把代入，解方程即得； （2），可知y最大值为，当时，求出x的值，即可得到绳子顺利越过张老师头顶的位置； （3）根据小丽同学头顶位置为，得，即为m的取值范围． 【小问1详解】 解：把代入， 得， 解得， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵小丽同学所在的位置头顶E为， ∴， 解得或， ∵绳子甩到最高处时必须超过她的头顶E． ∴． 23. 在中，延长到，使，是上方一点，且，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，，如果，求的长； （3）如图3，若，，将沿直线翻折得到，连接交于点，探究的值，并说明理由． 【答案】（1） 证明：，，， ． 在与中， ， ． ． （2） （3） 解：如图，连接． ，， 是等腰直角三角形． ． ， ． 由（1）得：， 也是等腰直角三角形． 根据折叠的性质，四边形是正方形， ． 是等腰三角形． ． ， ． ，， ． 设，则，． ． ． ． 【解析】 【分析】（1）证明，可得结论； （2）由，，并由（1）得，可知，求出和的长，可知的长．又因，，可得是等边三角形，可得出的长； （3）如图，连接．可得是等腰直角三角形，从而得出．由（1）得：，则也是等腰直角三角形．根据折叠的性质，四边形是正方形，可得．则是等腰三角形．可得，据三角形内角和为，可求出，则，，可知．设，则，． ． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中， ，， ，，． 由（1）得：． ，． ． ， ，． ． ，， 是等边三角形， ． 【小问3详解】 略 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，正方形的判定与性质，折叠的性质，分母有理化等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 24. 如图，在平面直角坐标系中，经过点的抛物线（，为常数）与轴交于点，顶点为点．点为点右侧抛物线上一点，其横坐标为． （1）求抛物线的解析式． （2）在抛物线的对称轴上找一点，使得取得最小值，求点坐标； （3）若点坐标为，连接，取线段的中点，将点绕点顺时针方向旋转得到点，连接，以，为邻边构造矩形． ①设的长为，求关于的函数解析式； ②请直接写出当点在矩形外部时，的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）① ②或或． 【解析】 【分析】（1）把，点分别代入抛物线，后利用待定系数法确定解析式即可． （2）确定点A、B是关于对称轴的对称点，连接点B与点C，与对称轴的交点就是线段和最小的位置，解得即可． （3） ①根据点M坐标为，点，线段的中点Q，得到，当即时，点在点A的右侧，此时；当即时，点在点A的左侧侧，此时，解答即可； ②根据题意，分类讨论，数形结合分析即可求解． 【小问1详解】 解：把，点分别代入抛物线， 得， ∴， 故抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵，点满足， ∴两点是关于直线的对称点， 连接，交直线于点，则点就是满足取得最小值的点， ∵，令，则， ∴， 设直线的解析式为， 将代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 【小问3详解】 解：①∵点坐标为，点， ∴线段的中点的横坐标为， ∴， 如图所示，点在点右边， ∴，即时，点在点A的右侧， 此时； 如图所示，点在点左边， ∴，即时，点在点A的左侧， 此时． 综上所述，l关于m的函数解析式为； ②点为点右侧抛物线上一点，其横坐标为， 点坐标为，点是线段的中点，且， 第一种情况，当点在点右边，此时矩形在直线下方，点在直线上方，此时点在矩形外部， ∴在点中，，则，在点中，， ∴此种情况不存在； 第二种情况，如图所示，当点在点右边，此时矩形在直线下方，点在直线下方，过点作于点，当时点在矩形外部，， ∴，即， ∴，， ∴， 解得，或， ∴； 第三种情况，如图所示，点在点左边，则，即，点在点右边，则，此时点在矩形外部， ∴； 第四种情况，如图所示，点在点左边，则，即，点在点左边，点右边，则，当时点在矩形外部，， ∴，， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，点在矩形外部时，或或． 【点睛】本题是二次函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，矩形的性质，解方程组与不等式，熟练掌握待定系数法，二次函数的图象与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $