专题06 解三角形重难点题型专训（11大题型+15道提优训练）-2024-2025学年高一数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版2020必修第二册）

专题06 解三角形重难点题型专训（11大题型+15道提优训练） 题型一 正弦定理及辨析 题型二 余弦定理及辨析 题型三 正弦定理解三角形 题型四 余弦定理解三角形 题型五 正弦定理判定三角形解的个数 题型六 正弦定理求外接圆半径 题型七 射影公式 题型八 正弦定理边角互化的应用 题型九 三角形面积公式及其应用 题型十 余弦定理边角互化的应用 题型十一 三角形几何的综合应用 知识点01 正弦定理 知识点02 余弦定理 对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积。若三边为a，b，c，三角为A，B，C，则余弦定理表述为： 其中c²=a²+b²是c角的对边，而a和b是c角的邻边。 知识点03 三角形的面积公式 已知三角形的两边及其夹角，可以通过公式来计算三角形的面积，其中a、b是两边的长度，C是它们的夹角. 若已知三角形的三边长度a、b、c，则可以使用海伦公式来求面积，先计算半周长，然后面积. 知识点04 射影公式 在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项； 设Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，D为垂足，射影定理如下: 【经典例题一 正弦定理及辨析】 【例1】 （2024高一下·上海虹口·课后作业）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则（   ） A．1:2:3 B．1:2: C．1::2 D．2: :1 1．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）已知，在三角形ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且b＝7，则a＋c＝（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（23-24高一下·上海静安·期中）锐角的三内角的对边分别为在上的射影长等于的外接圆半径，则的值是 . 3．（24-25高一下·上海奉贤·课前预习）在中，，在锐角三角形或钝角三角形中，上述关系是否成立？如何证明呢？ 【经典例题二 余弦定理及辨析】 【例2】（2024高一下·上海·专题练习）已知的内角，，的对边分别为a，b，c，且，若，则角不可能（    ） A．为直角 B．为锐角 C．为钝角 D．在之间 1．（23-24高一下·上海徐汇·阶段练习）秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，他在著作《数书九章》中提出，已知三角形三边长计算三角形面积的一种方法“三斜求积术”，其公式为：.若，，，则利用“三斜求积术”求的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，，则的值为 . 3．（23-24高一下·上海虹口·期末）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且． (1)证明：； (2)若△ABC的面积S＝2，，求角C． 【经典例题三 正弦定理解三角形】 【例3】（24-25高一下·上海闵行·阶段练习）在中，为边的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一下·上海长宁·阶段练习）如图所示的钟楼是马鞍山二中的标志性建筑之一.某同学为测量钟楼的高度，在钟楼的正西方向找到一座建筑物，高为米，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，钟楼顶部的仰角分别为和，在处测得钟楼顶部的仰角为，则钟楼的高度为（    ）米. A． B． C． D． 2．（24-25高一下·上海·阶段练习）设是满足以下条件的的集合：对任意一个单位圆，点，，至少有一个在圆外，已知是直角三角形，且不是中的元素，则周长的取值范围是 ． 3．（23-24高一下·上海崇明·阶段练习）在中，，且，，为内一点，． (1)若，求的长； (2)若，求． 【经典例题四 余弦定理解三角形】 【例4】（2025·上海青浦·一模）如图，已知，，，，则（    ）    A． B． C．或 D． 1．（24-25高一下·上海杨浦·阶段练习）在三角形内到其三个顶点的距离之和最小的点称为“费马点”.意大利数学家托里拆利发现：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点即为费马点，在中，若，且，则该三角形的费马点到各顶点的距离之和为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高一下·全国·专题练习）在中，是边的中点，若，，，则 ． 3．（24-25高一下·上海长宁·阶段练习）在中，已知， (1)求； (2)的周长为9，再从以下条件中选择一个，使三角形存在且唯一确定，并求的面积． ①；②；③． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【经典例题五 正弦定理判定三角形解的个数】 【例5】（23-24高一下·上海嘉定·开学考试）在中，内角、、的对边分别为、、，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 1．（2024·上海长宁·模拟预测）命题：“若与满足：，则”．已知命题是真命题，则的值不可以是（    ） A．1 B．2 C． D． 2．（2024高一下·上海宝山·专题练习）中，已知，，. （1）若恰有一解，则实数的取值范围是 ；（2）若有两解，则实数的取值范围是 ； （3）若无解，则实数的取值范围是 ； 3．（24-25高一下·全国·课堂例题）下列三角形是否有解？有解的作出解答，已知. (1)，，； (2)，，； (3)，，. 【经典例题六 正弦定理求外接圆半径】 【例6】（2024·上海宝山·三模）在中，若，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．    1．（23-24高一下·上海闵行·期中）如图，四边形四点共圆，其中为直径，，，，则的长度为（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25高一下·上海松江·阶段练习）布罗卡尔点（Brocard’s point）是三角形几何中的一个特殊点.罗卡尔点的发现可以追溯到1816年.由德国数学家克雷尔（A．L.Crelle）首次发现，但当时并未受到广泛关注.直到1875年，法国军官布罗卡尔重新发现了这个点，并用自己的名字命名，从而引起了数学界的广泛关注.它的定义是：若内一点P满足，则称P为的布罗卡尔点.若设，则称为布罗卡尔角.已知中，，，若P为的布罗卡尔点，并记、、的外接圆面积分别为、、，则 . 3．（23-24高一下·上海徐汇·期中）在中，内角所对的边分别为，已知，. (1)求的外接圆面积； (2)若为的内心，求周长的最大值. 【经典例题七 射影公式】 【例7】 （23-24高一下·上海宝山·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且，，则（    ） A． B． C．3 D． 1．（2024·上海金山·模拟预测）等边的边长为5，点在平面上，点在的同一侧，且边在上的射影长分别为3，4，则边在上的射影长为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·上海徐汇·一模）已知圆的直径，为圆上一点，，垂足为，且，则 . 3．（23-24高一下·上海长宁·期中）已知函数. (1)求方程在区间的解集； (2)在中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围. 【经典例题八 正弦定理边角互化的应用】 【例8】 （24-25高一下·上海崇明·阶段练习）已知的三个角的对边分别是，若，，则（   ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求其面积的公式，求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积”翻译成公式，即，其中，，分别为中角，，的对边，为的面积．现有面积为的满足，则其内切圆的半径是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海虹口·阶段练习）在中，角的对边分别是，已知，点在边上，是内角的角平分线，且，则面积的最小值是 ． 3．（24-25高一下·上海静安·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，，求的面积. 【经典例题九 三角形面积公式及其应用】 【例9】 （24-25高一下·上海长宁·阶段练习）如图为一块三角形铁片，已知，，，现在这块铁片中间发现一个小洞，记为点，，.过点作一条直线分别交的边，于点，，并沿直线裁掉，则裁掉的面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 1．（2024·上海金山·模拟预测）在中，，D为边BC上一点，若，且，则面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·上海虹口·模拟预测）如图，中，，且的面积为，点在边上，，则的长度等于 ． 3．（2024·上海静安·二模）已知的内角的对边分别为. (1)求的值； (2)若的面积为，且，求的周长. 【经典例题十 余弦定理边角互化的应用】 【例10】 （23-24高一下·上海徐汇·阶段练习）如图，是等腰直角斜边的三等分点，则等于（    ）    A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）在中，角， ，的对边分别为，，，为的面积，且满足，，则角=（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 2．（23-24高一下·上海嘉定·期末）在中，分别为内角的对边，若，，且，则 . 3．（24-25高一下·上海徐汇·阶段练习）在锐角中，内角的对边分别为． (1)求角； (2)若的面积为，求的周长． 【经典例题十一 三角形几何的综合应用】 【例11】（23-24高一下·上海嘉定·期末）几何定理：以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（称为拿破仑三角形）的顶点．在中，已知，，外接圆的半径为，现以其三边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，，则的面积为（    ） A．3 B．2 C． D．    1．（2024·上海闵行·二模）尺规作图三等分角是古希腊三大几何难题之一，现今已证明该问题无解．但借助有刻度的直尺、其他曲线等，可将一个角三等分．古希腊数学家帕普斯曾提出以下作法：如图，以的顶点C为圆心作圆交角的两边于A，B两点；取线段三等分点O，D；以B为焦点，A，D为顶点作双曲线，与圆弧交于点E，连接，则．若图中交于点P，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海虹口·阶段练习）小明同学在一次数学课外兴趣小组活动中，探究知函数在上单调递增，在上单调递减． 于是小明进一步探究求解以下问题： 法国著名的军事家拿破仑．波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”． 在三角形中，角，以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，若三角形的面积为，则三角形的周长最小值为 ． 3．（23-24高一下·上海宝山·期中）法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，以AB，BC，AC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，，． (1)证明：为等边三角形； (2)若求m的最小值． 1．（24-25高一下·上海徐汇·阶段练习）已知边长为3等边三角形中，点为边上一点，，，则下列结论一定正确的为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海静安·阶段练习）我们定义：“”为向量与向量的“外积”，若向量与向量的夹角为，它的长度规定，现已知：在中，若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海徐汇·阶段练习）如图，为了测量河对岸两点间的距离，现在沿岸相距的两点处分别测得，则间的距离为（    ）      A． B． C． D． 4．（24-25高一下·上海虹口·期中）已知四边形的外接圆半径为，若，四边形的周长记为，则当取最大值时，四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·上海闵行·阶段练习）某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边△，已知，，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·上海长宁·期中）已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ， ， c = 2 ，则 的值为 7．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知锐角的内角的对边分别为，若且，则的面积的取值范围为 ． 8．（2024高一下·上海松江·专题练习）若三角形的两个内角和满足，则称该三角形为“准互余三角形”．在中，，，，点是边上一点，若是准互余三角形，则 ；的面积为 ． 9．（24-25高一下·上海金山·期末）某海滨浴场平面图是如图所示的半圆，其中O是圆心，直径MN为400米，P是弧MN的中点．一个急救中心A在栈桥OP中点上，计划在弧NP上设置一个瞭望台B，并在AB间修建浮桥．已知越大，瞭望台B处的视线范围越大，则B处的视线范围最大时，AB的长度为 米．（结果精确到1米） 10．（24-25高一下·上海徐汇·期中）为测量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则塔的高度 米.    11．（2024·上海长宁·模拟预测）在三角形中，已知，为的内角平分线，已知， (1)求角C的值； (2)求三角形的面积. 12．（24-25高一下·上海金山·期末）在中，，，为边上一点，且平分.    (1)若，求； (2)若，求线段的长. 13．（23-24高一下·上海闵行·期中）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周脾算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成，如图1所示）．类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的，，与中间一个小等边拼成的一个较大的等边．记的面积为，的面积为，的面积为． (1)若，求； (2)设，当时，求以及的值． 14．（23-24高一下·上海徐汇·阶段练习）某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中，均与水平面垂直.在已测得可直接到达的两点间距离，的情况下，四名同学用测角仪各自测得下列四组角中的一组角的度数，①，，，②，，，③，，，④，，. (1)请同学们指出其中一定能唯一确定，之间的距离的组号；（指出所有满足条件的组号） (2)若已知，，，，，，，请你结合自己在（1）中的选择，从中选出一组利用所给数据，求的值.（若多做，按第一种方案给分） 15．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一.原纸片为一圆形，直径，点C在圆上. (1)如图1，需要剪去四边形，可以通过对折，沿DC，AC裁剪、展开实现.若，，求四边形的面积； (2)如图2，需要剪去四边形，可以通过对折，沿DC，EC裁剪、展开实现.若，，求镂空的四边形的面积最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 解三角形重难点题型专训（11大题型+15道提优训练） 题型一 正弦定理及辨析 题型二 余弦定理及辨析 题型三 正弦定理解三角形 题型四 余弦定理解三角形 题型五 正弦定理判定三角形解的个数 题型六 正弦定理求外接圆半径 题型七 射影公式 题型八 正弦定理边角互化的应用 题型九 三角形面积公式及其应用 题型十 余弦定理边角互化的应用 题型十一 三角形几何的综合应用 知识点01 正弦定理 知识点02 余弦定理 对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积。若三边为a，b，c，三角为A，B，C，则余弦定理表述为： 其中c²=a²+b²是c角的对边，而a和b是c角的邻边。 知识点03 三角形的面积公式 已知三角形的两边及其夹角，可以通过公式来计算三角形的面积，其中a、b是两边的长度，C是它们的夹角. 若已知三角形的三边长度a、b、c，则可以使用海伦公式来求面积，先计算半周长，然后面积. 知识点04 射影公式 在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项； 设Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，D为垂足，射影定理如下: 【经典例题一 正弦定理及辨析】 【例1】 （2024高一下·上海虹口·课后作业）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则（   ） A．1:2:3 B．1:2: C．1::2 D．2: :1 【答案】C 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】因为在中，A＋B＋C＝π，且， 所以，，， 由正弦定理得. 故选：C． 1．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）已知，在三角形ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且b＝7，则a＋c＝（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】切化弦，化简整理可得，然后由正弦定理和和差化积公式可得. 【详解】因为，所以， 化简得，所以， 因为，所以， 即，由正弦定理，所以 故选：C 2．（23-24高一下·上海静安·期中）锐角的三内角的对边分别为在上的射影长等于的外接圆半径，则的值是 . 【答案】/0.5 【分析】由题可得，化简即可得到答案 【详解】因为是锐角三角形，在上的射影长等于的外接圆半径，所以， 由正弦定理可得：，所以，因此. 故答案为： 3．（24-25高一下·上海奉贤·课前预习）在中，，在锐角三角形或钝角三角形中，上述关系是否成立？如何证明呢？ 【答案】成立，证明见解析 【分析】略 【详解】成立，理由如下： 若是锐角三角形，如图，设CD为AB边上的高，易知.    方法一，故． 同理可证，故； 方法二，由于的面积不变， 故有. 因此，即. 同理可证，即. 若为钝角三角形，若为钝角， 设CD为AB边上的高，    做边上的高交的延长线于点， 所以， 做边上的高交的延长线于点， 所以， 所以， 可得， 且， 所以， 即. 【经典例题二 余弦定理及辨析】 【例2】（2024高一下·上海·专题练习）已知的内角，，的对边分别为a，b，c，且，若，则角不可能（    ） A．为直角 B．为锐角 C．为钝角 D．在之间 【答案】C 【分析】选项A，当时，角为直角，从而判断出选项A的正误；选项B和C，当，根据条件可得，再利用余弦定理可得为锐角，从而可判断出选项B和C的正误；选项D，根据条件可得，，再利用三角形的性质，可得，从而得出选项D的正误. 【详解】当时，由，得到角为直角，故选A错误； 当时，由，且，得到，所以， 故，得到，所以， 即为锐角，不可能为钝角，故选项B错误，选项C正确， 又由，得，，故，即，故选项D错误， 故选：C. 1．（23-24高一下·上海徐汇·阶段练习）秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，他在著作《数书九章》中提出，已知三角形三边长计算三角形面积的一种方法“三斜求积术”，其公式为：.若，，，则利用“三斜求积术”求的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由余弦定理得，又，代入面积公式计算即可. 【详解】因为，， 所以， 则， 故选：D. 2．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，，则的值为 . 【答案】3 【分析】首先分析题意，运用余弦定理求解即可. 【详解】， 即，解得. 故答案为：3 3．（23-24高一下·上海虹口·期末）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且． (1)证明：； (2)若△ABC的面积S＝2，，求角C． 【答案】(1)证明见解析 (2)45° 【分析】（1）利用余弦定理化简已知条件，由此证得 （2）利用正弦定理化简（1）的结论，得到，利用三角形的面积公式列方程，由此求得，进而求得的值，从而求得角C． 【详解】（1）由已知得， 由余弦定理得，∴． （2）由（1）及正弦定理得，即， ∴，∴， ∴． ． ∴，，． 【经典例题三 正弦定理解三角形】 【例3】（24-25高一下·上海闵行·阶段练习）在中，为边的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，取AM 中点为N，过N做AB垂线NO，使，以O为圆心，OA为半径做圆可得C点所在部分轨迹，后由平面几何知识结合正弦定理可得答案. 【详解】设，如图AM 中点为N，过N做AB垂线NO，使，以O为圆心， OA为半径做圆O.由题可得，则，即C点部分轨迹为优弧 （还有部分轨迹为优弧关于AM的对称优弧）.如图，设CB与圆O交于D，连接AD， 由外角定理，，当且仅当C与D重合，即CB与圆O相切时取等号. 由圆幂定理，当CB与圆O相切时可知， 由弦切角定理可知，设. 在中，由正弦定理可得， 又注意到， 则， 解得，结合图形可得，则此时． 故选：B    1．（24-25高一下·上海长宁·阶段练习）如图所示的钟楼是马鞍山二中的标志性建筑之一.某同学为测量钟楼的高度，在钟楼的正西方向找到一座建筑物，高为米，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，钟楼顶部的仰角分别为和，在处测得钟楼顶部的仰角为，则钟楼的高度为（    ）米. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用求出，在中利用正弦定理求出，最后借助于中三角函数的定义即可求得钟楼的高度. 【详解】 如图所示，在中，， 在中，, 则， 由正弦定理，，故得, 在中，. 故选：C. 2．（24-25高一下·上海·阶段练习）设是满足以下条件的的集合：对任意一个单位圆，点，，至少有一个在圆外，已知是直角三角形，且不是中的元素，则周长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】可以根据题目条件的三个顶点必然同在一个半径为的圆内部或圆周上，进而求出三角形的周长的取值范围. 【详解】由已知，直角的三个顶点必然同在一个半径为的圆内部或圆周上， 不妨设的两条直角边为，斜边为. 根据正弦定理可得，；， 故周长的范围为. 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海崇明·阶段练习）在中，，且，，为内一点，． (1)若，求的长； (2)若，求． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据勾股定理，可先确定点的位置，再求的长. （2）在中，利用正弦定理列式求值. 【详解】（1）如图： 因为在中，，，，所以，. 在中，，，，所以，. 所以点在线段上，所以. （2）如图： 设， 在直角中，. 在中，由正弦定理可得： . 所以：. 【经典例题四 余弦定理解三角形】 【例4】（2025·上海青浦·一模）如图，已知，，，，则（    ）    A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】由正弦定理得，从而求出，再由余弦定理得，由此能求出． 【详解】，，，所以. ， ， ， ， 解得或（舍） 故选：D 1．（24-25高一下·上海杨浦·阶段练习）在三角形内到其三个顶点的距离之和最小的点称为“费马点”.意大利数学家托里拆利发现：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点即为费马点，在中，若，且，则该三角形的费马点到各顶点的距离之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“费马点”的定义以及正余弦定理可求得结果. 【详解】设的内角所对的边分别为， 因为， 所以由正弦定所得， 又，所以， 由余弦定理得， 所以，所以顶点为费马点， 故点到各顶点的距离之和为， 故选：. 2．（2025高一下·全国·专题练习）在中，是边的中点，若，，，则 ． 【答案】/ 【分析】作辅助线构造平行四边形，利用余弦定理可求的长. 【详解】 如图，过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线交于点， 则四边形为平行四边形，，， ∴， ∴ . 故答案为：. 3．（24-25高一下·上海长宁·阶段练习）在中，已知， (1)求； (2)的周长为9，再从以下条件中选择一个，使三角形存在且唯一确定，并求的面积． ①；②；③． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可； （2）选择条件①：利用特殊角的三角函数值求解判断即可； 选择条件②：利用特殊角的三角函数值求出则，，可得为等边三角形，进而求解； 选择条件③：由余弦定理结合周长求出，可得为等边三角形，进而求解. 【详解】（1）由， 根据正弦定理得，， 则， 又，所以，则，即， 又，所以. （2）选择条件①： 由，，无解，不符合题意； 选择条件②： 由，，则，， 所以为等边三角形， 因为的周长为9，则，即， 所以的面积为； 选择条件③： 由题意，，， 因为的周长为9，则，即， 由余弦定理得，， 则，即，即， 则，此时为等边三角形， 则的面积为. 【经典例题五 正弦定理判定三角形解的个数】 【例5】（23-24高一下·上海嘉定·开学考试）在中，内角、、的对边分别为、、，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】由条件利用正弦定理以及大边对大角，逐项判断解的个数即可得解． 【详解】对于A，若，，，由正弦定理可得，得， 得，再根据，可得，得可能是锐角也可能是钝角， 即角有个值，故有两解； 对于B，若，，，由正弦定理可得，得， 得，再根据，可得，只能是锐角，故有一个解； 对于C，若，，， 由正弦定理可得，得，得， 再根据，则只能是锐角，故有一解； 对于D，若，，， 则由正弦定理可得，得，求得，故无解，得不存在. 故选：A． 1．（2024·上海长宁·模拟预测）命题：“若与满足：，则”．已知命题是真命题，则的值不可以是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据已知可知三角形有唯一解，根据已知结合正弦定理，以及与2的大小关系、正弦函数的取值范围，求解即可得出答案. 【详解】 在中，由已知可得，. 又，所以为锐角. 由正弦定理可得，， 所以，. 要使命题是真命题，则有唯一满足条件的解. 若，则，显然有唯一满足条件的解； 若，则，满足； 若，且，即， 即，此时有两解满足条件，此时命题是假命题； 当时，此时有，有唯一解，满足； 当时，此时有，显然无解，不满足. 综上所述，当或时，命题是真命题. 故选：D. 2．（2024高一下·上海宝山·专题练习）中，已知，，. （1）若恰有一解，则实数的取值范围是 ；（2）若有两解，则实数的取值范围是 ； （3）若无解，则实数的取值范围是 ； 【答案】 【分析】利用正弦定理可求得，再由三角函数值域即可得出对应结果. 【详解】由已知，， 根据正弦定理得， 又， 若，即时，为直角，只有一解； 若，即时，有两种情况，三角形就有两解； 若，即时，只有一种情形， 若，即，无解 故答案为： ；；. 3．（24-25高一下·全国·课堂例题）下列三角形是否有解？有解的作出解答，已知. (1)，，； (2)，，； (3)，，. 【答案】(1)无解 (2)一解，答案见解析 (3)两解，答案见解析 【分析】（1）由已知，可得，又，所以三角形无解； （2）由已知，可得，又，所以三角形只有一解，由正弦定理可求得，进而求得，再由正弦定理可求得； （3）由已知，可得，所以三角形有两解，由正弦定理，可得或，再利用三角形内角和为和正弦定理，分情况求出和即可. 【详解】（1）由，，可得，所以， 又由，所以这样的三角形无解. （2）由，，可得，所以， 又由，所以这样的三角形只有一解， 由正弦定理，可得， 所以，所以， 所以. （3）由，，可得， 又由，且，所以， 所以这样的三角形有两解； 由正弦定理，可得， 所以或， 当时，，， 当时，，， 所以，，或，，. 【经典例题六 正弦定理求外接圆半径】 【例6】（2024·上海宝山·三模）在中，若，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形外心的性质，结合正弦定理、平面向量数量积的定义、圆的几何性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以为的外心，且为外接圆上一动点， 又，， 所以外接圆的半径. 如图，作，垂足为，则. 所以，当与圆相切时，取最值，即在处取最大值6， 在处取最小值， 故选：B    【点睛】关键点睛：本题的关键是由确定点的轨迹. 1．（23-24高一下·上海闵行·期中）如图，四边形四点共圆，其中为直径，，，，则的长度为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用令可得，，在、应用正弦定理，结合三角恒等变换可得，进而求外接圆直径，最后应用勾股定理求. 【详解】令，则，故，， 中，中， 又，故， 所以，即， 所以外接圆直径，则. 故选：B 2．（24-25高一下·上海松江·阶段练习）布罗卡尔点（Brocard’s point）是三角形几何中的一个特殊点.罗卡尔点的发现可以追溯到1816年.由德国数学家克雷尔（A．L.Crelle）首次发现，但当时并未受到广泛关注.直到1875年，法国军官布罗卡尔重新发现了这个点，并用自己的名字命名，从而引起了数学界的广泛关注.它的定义是：若内一点P满足，则称P为的布罗卡尔点.若设，则称为布罗卡尔角.已知中，，，若P为的布罗卡尔点，并记、、的外接圆面积分别为、、，则 . 【答案】 【分析】利用正弦定理可得的外接圆半径，根据题意分析可知，，进而可得，即可得结果. 【详解】由题意可知：的外接圆半径， 设、、的外接圆半径分别为、、， 在中，则， 可得， 则， 同理可得， 可得 ， 所以. 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海徐汇·期中）在中，内角所对的边分别为，已知，. (1)求的外接圆面积； (2)若为的内心，求周长的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正弦定理以及化简已知条件，可得，从而求得的外接圆半径，即可得到外接圆面积； （2）根据题意可得，设，在中，利用正弦定理化简可得：，结合三角恒等变换公式化简的周长，利用正弦函数的性质即可求解. 【详解】（1）由条件可得， 所以， 因为，故，则，故. 所以的外接圆半径，面积为. （2）由题可知，，故. 设，则，且， 在中，由正弦定理可得， 所以， 故的周长， 因为，所以，所以当，即时， 的周长最大，且最大值为. 【经典例题七 射影公式】 【例7】 （23-24高一下·上海宝山·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且，，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】由射影定理以及可得的值，根据可计算出的值，结合已知条件可求解出的值. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 所以，所以， 又因为，，所以是等边三角形，所以. 故选：C. 【点睛】本题考查解三角形中射影定理的应用以及二倍角公式的化简，难度一般.三角形中的射影定理：，，. 1．（2024·上海金山·模拟预测）等边的边长为5，点在平面上，点在的同一侧，且边在上的射影长分别为3，4，则边在上的射影长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由在平面上的射影长分别为3，4，得点，到的距离分别为4,3，再利用勾股定理即可. 【详解】因为，且边在平面上的射影长分别为3，4，所以点，到的距离分别为4，3. 因在同一侧，在上的射影长为. 故选：D 2．（2024·上海徐汇·一模）已知圆的直径，为圆上一点，，垂足为，且，则 . 【答案】或9 【详解】试题分析：由于为圆的直径，所以，在直角三角形中，是斜边上的高，由射影定理得，，即，解得或． 考点：几何证明 3．（23-24高一下·上海长宁·期中）已知函数. (1)求方程在区间的解集； (2)在中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用三角恒变换公式化简函数，再在指定区间上求方程的根即可. (2)根据给定条件借助三角形射影定理求出角B，进而求得角A的范围即可求解作答. 【详解】（1）依题意，， 则方程化为：，而，即， 于是得，或，或，或， 解得，或，或，或， 所以方程在区间的解集为. （2）在中，角的对边分别是，因，即， 由三角形射影定理得：，即，而，则有， 于是得，又A>0，C>0，因此，，，则， 由(1)知，， 所以的取值范围是. 【经典例题八 正弦定理边角互化的应用】 【例8】 （24-25高一下·上海崇明·阶段练习）已知的三个角的对边分别是，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理将边化为角，利用题设将B换为A，从而求出，再利用二倍角公式求出. 【详解】因为，，所以， 因为，所以，所以，即， 又，得， 所以. 故选：D. 1．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求其面积的公式，求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积”翻译成公式，即，其中，，分别为中角，，的对边，为的面积．现有面积为的满足，则其内切圆的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知根据正弦定理可得，设，，，，代入题目中所给公式可求得，，，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理可知， 设，则，，， 所以，解得， 所以，，， 设内切圆的半径为， 由，得. 故选：. 2．（23-24高一下·上海虹口·阶段练习）在中，角的对边分别是，已知，点在边上，是内角的角平分线，且，则面积的最小值是 ． 【答案】 【分析】利用正弦定理将边化角，即可求出，再由角平分线可得面积线段可得，的关系，再由基本不等式可得的最小值，进而求出该三角形面积的最小值． 【详解】因为， 由正弦定理可得, 即， 所以，即， 因为，则，所以， 而，则， 因为是内角的角平分线，所以， 因为，即，， 可得， 因为，当且仅当时，等号成立，即， 所以， 所以的面积，当且仅当时取等号， 所以该三角形的面积的最小值为． 故答案为：． 3．（24-25高一下·上海静安·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过正弦定理将边的关系化为角的关系，根据两角和的正弦公式即可得解； （2）通过余弦定理得到，最后根据三角形面积公式得结果. 【详解】（1）因为， 所以， 所以，所以，因为，所以. （2）由（1）知，，因为， ，，所以，解得， 所以的面积为. 【经典例题九 三角形面积公式及其应用】 【例9】 （24-25高一下·上海长宁·阶段练习）如图为一块三角形铁片，已知，，，现在这块铁片中间发现一个小洞，记为点，，.过点作一条直线分别交的边，于点，，并沿直线裁掉，则裁掉的面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，结合三角形的面积公式利用等面积法，，可得，再利用基本不等式可得，进而求解即可. 【详解】设，， 因为，，所以， 由，得， 则，平方整理得， 当且仅当，即，时等号成立， 所以. 故选：B. 1．（2024·上海金山·模拟预测）在中，，D为边BC上一点，若，且，则面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等面积法建立边的等量关系，再利用基本不等式求的最小值即可求解. 【详解】 如图，由已知，，且， 的面积， 又， 则有，解得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 2．（2024·上海虹口·模拟预测）如图，中，，且的面积为，点在边上，，则的长度等于 ． 【答案】 【分析】结合三角形的面积公式可得，进而分析可得，再根据正弦定理求解即可. 【详解】由题意，， 则，则或， 当时，由于，则， 又，所以，不符合题意； 当时，由于，则，又， 在中，由正弦定理得，， 则，解得. 故答案为：. 3．（2024·上海静安·二模）已知的内角的对边分别为. (1)求的值； (2)若的面积为，且，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦求解出，从而求解出.(2)利用三角形的面积公式求解出，结合和余弦定理求解出，从而求解出的周长. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 可得， 即， 因为，可得，所以，即， 所以 （2）由（1）知，因为若的面积为， 可得，即，解得， 又因为，由余弦定理得 整理得，解得， 所以，所以的周长为 【经典例题十 余弦定理边角互化的应用】 【例10】 （23-24高一下·上海徐汇·阶段练习）如图，是等腰直角斜边的三等分点，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由全等以及余弦定理得，结合平方关系以及商数关系即可得解. 【详解】由题意及图形：设三角形的直角边为3，则斜边为，又由于为三等分点， 所以，又， 在中有余弦定理得：， 在中，利用余弦定理得：， 在中利用同角间的三角函数关系可知：． 故选：D. 1．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）在中，角， ，的对边分别为，，，为的面积，且满足，，则角=（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】D 【分析】根据正弦定理将边化角，求出角，由面积公式和余弦定理化简，求出角，进而求出角. 【详解】由正弦定理，因为， 所以， 又因为， 所以， 因为，所以， 所以，又，故； 因为， 由面积公式及余弦定理，所以， 所以，又， 所以，所以. 故选：D 2．（23-24高一下·上海嘉定·期末）在中，分别为内角的对边，若，，且，则 . 【答案】4 【分析】根据正弦定理角化边，三角形面积公式及余弦定理，即可求解． 【详解】因为，所以， 所以，即， 由题干及正弦定理得，①， 由余弦定理得，②， 由①②得，，即， 故答案为：4． 3．（24-25高一下·上海徐汇·阶段练习）在锐角中，内角的对边分别为． (1)求角； (2)若的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据已知条件，利用余弦定理求得，再根据，利用正弦的二倍角公式结合正弦定理求得，进而求得角. （2）首先根据面积公式求得，然后再利用余弦定理求得，进而求得，即可求解三角形的周长. 【详解】（1）因为， 所以， 因为，所以， 因为是锐角三角形，所以， 所以，则，因为为锐角，所以． （2）因为的面积为， 所以，即， 由余弦定理得，即， 所以，即， 故的周长为． 【经典例题十一 三角形几何的综合应用】 【例11】（23-24高一下·上海嘉定·期末）几何定理：以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（称为拿破仑三角形）的顶点．在中，已知，，外接圆的半径为，现以其三边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，，则的面积为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理确定，外接圆圆心为对应等边三角形的中心，确定，利用勾股定理得到，为等边三角形，计算面积即可. 【详解】中，，故，， 故，，， 外接圆圆心为对应等边三角形的中心，如图所示，连接，，    则，故， ，，故， ，，则， 根据对称性知：，故为等边三角形， 其面积. 故选：C. 1．（2024·上海闵行·二模）尺规作图三等分角是古希腊三大几何难题之一，现今已证明该问题无解．但借助有刻度的直尺、其他曲线等，可将一个角三等分．古希腊数学家帕普斯曾提出以下作法：如图，以的顶点C为圆心作圆交角的两边于A，B两点；取线段三等分点O，D；以B为焦点，A，D为顶点作双曲线，与圆弧交于点E，连接，则．若图中交于点P，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理及二倍角的正弦公式，得的余弦值，再由二倍角的余弦公式即可求出. 【详解】设，则，. 在中，由正弦定理，得； 在中，由正弦定理，得. 又因为，， 所以，所以， 即. 又因为，所以，故. 所以. 故选：C. 2．（23-24高一下·上海虹口·阶段练习）小明同学在一次数学课外兴趣小组活动中，探究知函数在上单调递增，在上单调递减． 于是小明进一步探究求解以下问题： 法国著名的军事家拿破仑．波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”． 在三角形中，角，以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，若三角形的面积为，则三角形的周长最小值为 ． 【答案】6 【分析】设角A，B，C所对边长分别为a，b，c，将分别用表示，由面积为求，在中，由余弦定理可得，进而可得，，根据已知条件结合的单调性，可求得结果. 【详解】如图，设角A，B，C所对边长分别为a，b，c，，，都是正三角形， 在中，，，可得， 同理，在正三角形中，面积为， 解得，又，可得， 在中，，即， 在中，，则， 又，又，得， ，，令，， 所以，由题在上单调递减， 所以当，即时，的周长最小，最小值为. 故答案为：6. 3．（23-24高一下·上海宝山·期中）法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，以AB，BC，AC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，，． (1)证明：为等边三角形； (2)若求m的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【分析】（1）连接，，在中，由余弦定理可求出，同理可得，再结合正弦定理即可证明，同理可得； （2）由化简可得，再由基本不等式求出的最小值，即可求出m的最小值. 【详解】（1）如图，连接，，则，， 在中，由余弦定理得：， 即      同理可得， ∵，∴，∴.   同理：，即为等边三角形. （2）   则   ∵，， ∴，解得： 当且仅当，时取到最小值1． 1．（24-25高一下·上海徐汇·阶段练习）已知边长为3等边三角形中，点为边上一点，，，则下列结论一定正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理求出，从而求出，即可判断A、B，再由正弦定理判断C，利用余弦定理求出，，即可判断D. 【详解】依题意，，，且， 由余弦定理， 即，解得或， 当时，符合题意， 当时，不符合题意， 因此，，，，A错误，B正确； 又，， 因此，即，C错误； 又，， 所以，D错误. 故选：B 2．（23-24高一下·上海静安·阶段练习）我们定义：“”为向量与向量的“外积”，若向量与向量的夹角为，它的长度规定，现已知：在中，若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设分别为的中点，结合三角形相似推出，由题意可得，确定四边形面积的最大值，根据题意结合面积公式即可得结果. 【详解】设分别为的中点，连接， 则，则∽，故, 则，故， 又因为，即， 当时，四边形面积最大，最大值为， 故的面积的最大值为， 且，所以的最大值为. 故选：D. 3．（24-25高一下·上海徐汇·阶段练习）如图，为了测量河对岸两点间的距离，现在沿岸相距的两点处分别测得，则间的距离为（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在和中应用正弦定理求得BC与BD，然后在中应用余弦定理求得CD. 【详解】在中，由正弦定理得， 即，得， 在中，，是等边三角形，， 在中，，由余弦定理， ， 所以． 故选：C. 4．（24-25高一下·上海虹口·期中）已知四边形的外接圆半径为，若，四边形的周长记为，则当取最大值时，四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理和基本不等式可确定当且时，取得最大值； 根据此时为四边形外接圆直径和解三角形的知识，可求得此时四边形的面积. 【详解】在中，， （当且仅当时取等号）， ； ，， 在中，， （当且仅当时取等号）， ； ； 当取得最大值时，且， 为弦的垂直平分线，为四边形外接圆的直径， ，， 又此时， ，， 当取得最大值时，四边形的面积. 故选：A. 5．（24-25高一下·上海闵行·阶段练习）某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边△，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，在中，分别利用正弦定理和余弦定理，求得边长AC，再利用三角形面积公式求解. 【详解】解：在中，， 又，则，设，则， 在中，由正弦定理得，解得， 在中，由余弦定理得， 即，又，解得，则， 所以， 故选：B 6．（24-25高一下·上海长宁·期中）已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ， ， c = 2 ，则 的值为 【答案】 【分析】首先根据正弦定理得到，再利用同角三角函数基本关系式，以及余弦定理，即可求解. 【详解】由正弦定理可知，，即, 所以 . 故答案为： 7．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知锐角的内角的对边分别为，若且，则的面积的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据正弦定理角化边以及余弦定理可得，从而求得的外接圆半径，再利用正弦定理和三角形面积公式，将边化成角，替换掉，根据锐角三角形求出的范围即可求解. 【详解】由得，， 所以，即， 所以，所以. 设的外接圆半径为，由正弦定理得. 所以， 又，所以 由是锐角三角形得，，解得， 所以，所以. 故答案为：. 8．（2024高一下·上海松江·专题练习）若三角形的两个内角和满足，则称该三角形为“准互余三角形”．在中，，，，点是边上一点，若是准互余三角形，则 ；的面积为 ． 【答案】 ； 【分析】根据以及准互余的定义可得，进而可判断为的平分线，即可根据三角形相似可得，，即可根据面积公式求解. 【详解】，，，由勾股定理得， 易知，所以，又易知， 所以在准互余三角形中，， 又因为， 所以，所以为的平分线， 如图，过点作的垂线交于点， 则，，， 因为，所以，则， 所以．因为， 所以的面积为．    故答案为：， 9．（24-25高一下·上海金山·期末）某海滨浴场平面图是如图所示的半圆，其中O是圆心，直径MN为400米，P是弧MN的中点．一个急救中心A在栈桥OP中点上，计划在弧NP上设置一个瞭望台B，并在AB间修建浮桥．已知越大，瞭望台B处的视线范围越大，则B处的视线范围最大时，AB的长度为 米．（结果精确到1米） 【答案】 【分析】令，，在中应用余弦定理及基本不等式求最值，并确定取值条件，即可得答案. 【详解】令，，且， 在中，， 当且仅当米时，取最小值，此时最大. 故答案为： 10．（24-25高一下·上海徐汇·期中）为测量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则塔的高度 米.    【答案】 【分析】设，在，，分别根据锐角三角函数定义求出，最后利用余弦定理进行求解即可. 【详解】设塔的高， 在中，，同理可得，， 在中，，则， ， 即，解得. 所以塔的高度为米. 故答案为：. 11．（2024·上海长宁·模拟预测）在三角形中，已知，为的内角平分线，已知， (1)求角C的值； (2)求三角形的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式可求得，即可得到角C的值. （2）根据正弦定理得，利用得，求出的值即可得到三角形的面积. 【详解】（1）∵，由正弦定理可得， ∴，即， ∵，∴， ∴. （2） 设三角形中，角所对的边分别为， 由余弦定理得，， ∴. ∵为的内角平分线，∴. ∵，∴， ∴，∴， ∴，解得或（舍）， ∴，即三角形的面积为. 12．（24-25高一下·上海金山·期末）在中，，，为边上一点，且平分.    (1)若，求； (2)若，求线段的长. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）先利用正弦定理结合二倍角正弦公式求得，再利用余弦定理结合二倍角的余弦公式求解即可； （2）由，再利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）设（）. 因为平分，，故. 在中，由正弦定理知， 又由余弦定理有， 由，解得， 所以. （2）由，得. 又由 ， 得. 13．（23-24高一下·上海闵行·期中）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周脾算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成，如图1所示）．类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的，，与中间一个小等边拼成的一个较大的等边．记的面积为，的面积为，的面积为． (1)若，求； (2)设，当时，求以及的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）设，结合向量性质与余弦定理计算即可得； （2）设，结合正弦定理计算可用表示出，即可计算出，从而可用表示出的值并计算. 【详解】（1）因为，所以，记，则， 在中，由余弦定理得 ， 所以； （2）法一：设，则， 在中由正弦定理得（其中为外接圆半径）， 所以，得， 所以， 因为，所以， 当时，，此时，， 所以，即； 法二：设，则， 在中由正弦定理得（其中为外接圆半径）， 而.（以下同法一） 14．（23-24高一下·上海徐汇·阶段练习）某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中，均与水平面垂直.在已测得可直接到达的两点间距离，的情况下，四名同学用测角仪各自测得下列四组角中的一组角的度数，①，，，②，，，③，，，④，，. (1)请同学们指出其中一定能唯一确定，之间的距离的组号；（指出所有满足条件的组号） (2)若已知，，，，，，，请你结合自己在（1）中的选择，从中选出一组利用所给数据，求的值.（若多做，按第一种方案给分） 【答案】(1)③④ (2)按方案③；按方案④. 【分析】（1）综合应用正弦定理和余弦定理解三角形，结合提供的角逐个分析； （2）综合应用正弦定理和余弦定理解三角形. 【详解】（1）不妨记，，，，，，，，，，，，. ①中，已知，在中，由，可确定，同理在中，可确定， 在中，已知，利用余弦定理解三角形可能有两解， 例如若，，，则，解得或， 由可得有两个值，故①错误； ②中，已知，在中，由，可确定，， 在中，利用余弦定理可得，在中，由勾股定理可得， 在中，由余弦定理得， 又，解此关于的二元二次方程组，可得，但此二元二次方程组可能有两解，故②错误； ③中，已知，在中，由，可确定， 同理在中，可确定，在中，由余弦定理可唯一确定，故③正确； ④中，已知，由及余弦定理，可确定，在中，由，可确定， 同理在中，可确定，再由可唯一确定，故④正确. （2）若按方案③，在中，，，可得， 在中，，，可得； 又因为，在中， 由余弦定理可得，所以. 若按方案④，在中，，，可得， 在中，，，可得，， 在中，，，，可得； 过点向作垂线，垂足为， 在中，，， 所以， 所以. 15．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一.原纸片为一圆形，直径，点C在圆上. (1)如图1，需要剪去四边形，可以通过对折，沿DC，AC裁剪、展开实现.若，，求四边形的面积； (2)如图2，需要剪去四边形，可以通过对折，沿DC，EC裁剪、展开实现.若，，求镂空的四边形的面积最小值. 【答案】(1)30 (2) 【分析】（1）由角平分线性质定理得到，结合勾股定理得到，再利用面积比计算可得； （2）由对称性可得，所以求面积的最小值即可，设，根据的面积公式及余弦定理可得的关系，再根据不等式即可求面积的最小值. 【详解】（1）如图1所示，设圆心为，连接， 则，，又，则， 由平分，则，又， 解得，. 又， 故， 则， 所以四边形的面积为 （2）如图2，连接作于点， 由题意得cm，故， 所以cm， 设，，， 则，即， 由余弦定理可得， 则，即， 当且仅当等号成立， 所以. 所以镂空的四边形的面积最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$