压轴题03 解三角形（七类压轴必考题型+压轴能力测评）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学下册压轴题攻略（沪教版2020必修第二册）

压轴题03 解三角形 （七类压轴必考题型+压轴能力测评） 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 类型一、正弦定理解三角形 3 类型二、正弦定理判定三角形解的个数 4 类型三、正弦定理求外接圆半径 5 类型四、正弦定理边角互化的应用 6 类型五、三角形面积公式及其应用 8 类型六、余弦定理解三角形 10 类型七、余弦定理边角互化的应用 15 压轴能力测评（10题） 16 知识点01正弦定理 正弦定理：． 【规律方法】 1．正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个． 2．适用正弦定理的两种情形： (1)已知三角形的任意两角与一边． (2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角． 3．判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行转化，既可以转化为边与边的关系，也可以转化为角与角的关系． 4．注意在边角互化过程中，正弦定理的变形使用，如＝等. 5.已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值．或者根据该正弦值(不等于1时)在0°～180°范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求. 6.借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，转化为角的关系后，常利用三角变换公式进行变形、化简，确定角的大小或关系，继而判断三角形的形状、证明三角恒等式． 知识点02余弦定理 余弦定理：． 【规律方法】 1.已知三角形的两边及一角解三角形的方法 先利用余弦定理求出第三边，然后利用余弦定理的推论求出其余角． 2．已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一． 3．若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解． 4.判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． 知识点03三角形面积公式 任意三角形的面积公式为： (1)S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半． (2)S△ABC＝ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长． (3)S△ABC＝r(a＋b＋c)＝rl，其中r，l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长． 【规律方法】 已知三角形的两边和夹角可求三角形的面积，三角形的面积公式为S＝ab·sin C＝ac·sin B＝bc·sin A. 知识点04正余弦定理的实际应用 1.三角形中与距离有关问题的求解策略： (1)解决与距离有关的问题，若所求的线段在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解． (2)解决与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决． 2.解决测量高度问题的一般步骤： (1)画图：根据已知条件画出示意图． (2)分析三角形：分析与问题有关的三角形． (3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解．在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用. 3.解决实际问题应注意的问题 (1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步． (2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题． 类型一、正弦定理解三角形 1．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）平面四边形ABCD中，，，则边AB长度的取值范围是 ． 2．（22-23高一下·上海青浦·阶段练习）在三角形ABC中，，的平分线AD交BC于D，且，则 ． 3．（23-24高一下·上海浦东新·期中）在中，若，，，则C的值为 . 4．（23-24高一下·上海·期中）已知分别为三内角的对边，且，若，角B的平分线，则的面积为 . 5．（2024·上海金山·二模）某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为 m．(结果精确到1 m) 6．已知函数． (1)求的最小正周期； (2)设的三个角、、所对的边分别为，若，且，求的取值范围． 7．（23-24高一下·上海·阶段练习）在中，设角、及所对边的边长分别为、及．已知． (1)求角的大小； (2)当，时，求边长． 8．（23-24高一下·上海·阶段练习）设分别是的三个内角所对的边，且， (1)求； (2)时，求的面积． 类型二、正弦定理判定三角形解的个数 1．在△中，角、、所对的边分别为、、，若，，且该三角形有唯一解，则的取值范围为 2．（23-24高一下·上海·假期作业）下列条件判断三角形解的情况，正确的是 （填序号）； ①，，，有两解； ②，，，有一解； ③，，，无解； ④，，，有一解． 3．（22-23高一下·上海青浦·阶段练习）如果满足的恰有一个，则实数的取值范围是 . 4．（23-24高一下·上海·阶段练习）在中，，，要使被唯一确定，那么的取值范围是 . 5．（22-23高一下·上海徐汇·期中）在中，，，，则的解的个数是 个. 类型三、正弦定理求外接圆半径 1．（2023·上海普陀·一模）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则该三角形外接圆的半径为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（22-23高一下·上海虹口·期末）在△中，，，为边的中点，则△的外接圆面积与的外接圆面积之比为 . 3.（22-23高一下·上海青浦·期中）在中，已知，，设，以下说法正确的是 ①若有两解，；②若有唯一解， ③若无解，；④当，外接圆半径为6 类型四、正弦定理边角互化的应用 1．（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列四个条件中有几个是△ABC为直角三角形的充分条件（    ） ①； ②； ③； ④. A．1 B．2 C．3 D．4 2．（21-22高一下·上海浦东新·阶段练习）设的内角、、的对边长分别为、、，且，则的值（    ） A．2 B．4 C．6 D．以上都不对 3．（23-24高一下·上海·阶段练习）在中，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一下·上海青浦·阶段练习）已知中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列命题中，真命题的个数是（    ） （1）若，则是等腰三角形； （2）若，则是直角三角形； （3）若，则是钝角三角形； （4）若，则是等边三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 5．若不等式对于任意恒成立，则的最小正值为 ． 6．（22-23高一下·上海徐汇·期中）若不等式对任意都成立，则实数的最小值为 ． 7．（23-24高一下·上海·阶段练习）在中，，则的形状是 ． 8．（2024高一下·上海·专题练习）在中， (1)若与是方程的两个实根，求角的值； (2)若，判断的形状． 9．（23-24高一下·上海徐汇·期中）在中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，满足． (1)求的值； (2)求的值． 10．在△中，三内角、、的对边分别为、、，满足. （1）证明：△为直角三角形； （2）当，时，设表示成的形式，并写出定义域； （3）对（2）中函数，当为何值时，有最值？并求出最值. 类型五、三角形面积公式及其应用 1．（20-21高一下·上海·期中）在非等边斜三角形中，为的外接圆半径，为的面积，下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·甘肃金昌·期中）如图，在扇形AOB中，，，点C在扇形AOB内部，，，则阴影部分的面积为 ． 3．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）中，，，，则 ． 4．（23-24高一下·上海·期末）已知是大于3的正整数，平面直角坐标系中，正边形内接于单位圆.若集合，则集合表示的平面区域的面积为 .（结果用表示） 5．（22-23高一下·上海静安·期中）在中，已知，，，求和. 6．（20-21高一下·浙江·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角C为，且． （1）求的值； （2）若的内切圆的半径，求的面积． 7．（21-22高一下·上海宝山·期中）某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天场所，地面形状如图所示.已知已有两面墙的夹角，墙的长度为8米，已有两面墙的可利用长度足够大，记. (1)若，求三角形的周长（结果精确到0.01）； (2)为了使小动物能健康成长，要求所建造的三角形露天活动室面积尽可能大，问当边长如何设计时，该活动室面积最大？并求出最大面积. 类型六、余弦定理解三角形 1．（23-24高一下·上海·期中）已知的面积为，角，，所对的边分别为，，，且，则 . 2．（23-24高一下·上海·期中）在中，若，，且，则 . 3．（23-24高一下·上海黄浦·期中）在中，若，且，则的周长为 . 4．（23-24高一下·上海金山·期末）为了研究问题方便，有时候余弦公式会写成：，利用这个结构解决如下问题：如果三个正实数满足：，，则 . 5．（23-24高一下·上海闵行·期末）疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理，某消毒装备的设计如图所示，为路面，为消毒设备的高，为喷杆，，，处是喷酒消毒水的喷头，且喷射角，已知，.则消毒水喷洒在路面上的宽度的最小值为 . 6．（23-24高一下·上海·期末）在中，内角所对的边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 7．（23-24高一下·上海宝山·期末）锐角中角、、的对边分别为、、，且． (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围． 8．（23-24高一下·上海闵行·期末）如图，某快递小哥从A地出发，沿小路以平均时速20km/h，送快件到C处，已知，，，，． (1)求的面积． (2)快递小哥出发25分钟后，公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均时速50km/h，问汽车能否先到达C处？ 9．（23-24高一下·上海黄浦·期末）在中，已知边上的中线长为． (1)求证：； (2)若边上的中线长分别为，当为钝角三角形时，求m、n、t之间所满足的关系式，并指出哪个角为钝角． 10．（23-24高一下·上海·期中）某农场计划圈出一块平面四边形区域种植两种农作物.如图，经测量已知，.现在将连接，在区域内种植农作物甲，在区域内种植农作物乙. (1)计算发现：无论多长，始终为定值.请你验证该结论，并求出这个定值； (2)已知农作物甲的经济收益与种植面积的平方成正比，比例系数为1；农作物乙的经济收益与种植面积的平方成正比，比例系数为2.记与的面积分别为和.请你帮助该农场规划四边形区域的大小，使得该种植计划经济收益最大. 11．（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，. (1)求的值； (2)若，求bc的最大值. 12．（23-24高一下·上海·期中）如图，三地在以为圆心的圆形区域边界上，公里，公里，，是圆形区域外一景点，，． (1)半径的长（精确到小数点后两位）； (2)若一汽车从处出发，以每小时50公里的速度沿公路行驶到处，需要多少小时？（精确到小数点后两位） 13．（23-24高一下·上海·期末）某新能源汽车公司计划建设一个锂电池工厂，工厂必须建在河边，锂电池需要锂和钴两种矿产资源.如图，是锂矿，是钴矿，直线是一条河流.两点在直线上的投影分别为两点.已知，.假设工厂建在线段上（包含端点）的点处，设. (1)求的长. (2)若沿线段与建两条公路用于矿产运输，且要求是钝角，求的取值范围. (3)若要建设公路连接三点，假设公路建设成本和公路长度成正比，请你运用数学建模的思想设计一个最佳的工厂选址和公路建设方案.（已知的最大值约为.） 14．（23-24高一下·上海松江·期末）在滴水湖公园湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，，其中． (1)若米，求烧烤区的面积？ (2)为了保证烧烤区的占地面积最大，那么需要修建多长的隔离防护栏？ (3)在（2）条件下，为了使得花卉观赏区的面积也尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 类型七、余弦定理边角互化的应用 1．（22-23高一下·上海虹口·期中）某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是，则该三角形（    ）． A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．有可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 2．（22-23高一下·上海长宁·期末）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题． 已知的内角，，的对边分别为，，，其中，，__________，求和的外接圆半径． 3．（22-23高一下·上海闵行·期中）在中，角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； 4．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）2021年5月，第十届中国花卉博览会将在美丽的崇明岛举办，主办方要对布展区域精心规划.如图，凸四边形ABCD是一个花卉布展区域的平面示意图，为了展示不同品种的花卉，将BD连接，经测量已知 (1)若 ，求此花卉布展区域总面积； (2)求证： 为一个定值； (3)在锐角中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c.若 ，求的取值范围 一、填空题 1．（22-23高一下·上海松江·阶段练习）在中，角所对应的边分别是，满足，则该三角形的形状是 ． 2．（23-24高一下·上海·开学考试）已知中，，，若为钝角三角形，则的取值范围是 ． 3．（22-23高一下·上海宝山·期中）在中，，，面积，则边长为 ． 4．（22-23高一下·上海黄浦·期末）在中，若，，且，则 ． 5．（21-22高一下·上海嘉定·期末）三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，，则三角形ABC的周长为 ． 6．（22-23高一下·上海松江·阶段练习）在中，，则下列结论正确的是 ． ①外接圆的面积为 ②若，则 ③当时，有一解  ④ 的面积有最大值 7．（22-23高一下·上海青浦·阶段练习）为了研究问题方便，有时将余弦定理写成：，利用这个结构解决如下问题：若三个正实数，满足，，，则 . 8．（23-24高一下·上海奉贤·期中）由于四边形不具有稳定性，所以求四边形面积公式需要有限制条件.我们将四个点在圆上的四边形称为圆内接四边形，圆内接四边形具有对角互补的性质.印度数学家婆罗摩笈多发现了圆内接四边形的面积公式为，其中、、、分别为圆内接四边形的4条边，，与海伦公式有类似之处.已知在圆内接四边形中，，，，，则四边形的面积为 . 9．（22-23高一下·上海宝山·期末）如图，为计算湖泊岸边两景点与之间的距离，在岸上选取和两点，现测得，，，，，据以上条件可求得两景点与之间的距离为 （精确到）.    10．（22-23高一下·上海奉贤·期中）的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则下列命题正确的序号是 ． ①．若，则 ②．若，则是锐角三角形 ③．若，则是直角三角形 ④．若，则为等腰三角形 ⑤．若锐角中，则恒成立 二、单选题 11．（21-22高一下·上海浦东新·期末）某大学校园内有一个“少年湖”，湖的两侧有一个健身房和一个图书馆，如图，若设音乐教室在处，图书馆在处，为测量､两地之间的距离，甲同学选定了与､不共线的处，构成，以下是测量的数据的不同方案：①测量；②测量；③测量；④测量.其中要求能唯一确定､两地之间距离，甲同学应选择的方案的序号为（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 12．（23-24高一下·上海·期末）的内角，，的对边分别为，，，满足，则角的范围是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高一下·上海·阶段练习）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若且，则是（    ） A．等边三角形 B．顶角为的等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．非直角三角形，也非等腰三角形 14．（20-21高一下·上海杨浦·期中）设的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，则下列命题 ①若，则； ②若，则； ③若，则为钝角三角形； ④若，则； 中，真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 三、解答题 15．（22-23高一下·上海普陀·期末）在中，已知． (1)求角的大小； (2)设角、、的对边分别为、、．若，且边上的高为，求的周长． 16．（23-24高一上·上海宝山·期末）在中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且. (1)求； (2)若，的周长为3，求的面积S. 17．（23-24高一下·上海·阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若； (1)求B； (2)若，试判断的形状. (3)若，求的面积的最大值． 18．（22-23高一下·上海宝山·期末）已知中，是角所对的边，，且.    (1)求角； (2)若，在的边上分别取两点，使沿线段折叠到平面后，顶点正好落在边（设为点）上，设，试求关于的函数解析式； (3)在（2）的条件下，求的最小值并求此时的值. 19．（22-23高一下·上海静安·期末）如图，某人位于临河的公路上，已知公路两个相邻路灯、之间的距离是，为了测量点与河对岸一点之间的距离，此人先后测得，.    (1)求、两点之间的距离； (2)假设你只携带着量角器（可以测量以你为顶点的角的大小）.请你设计一个通过测量角可以计算出河对岸两点、之间距离的方案，用字母表示所测量的角的大小，并用其表示出的长. 20．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）在临港滴水湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB､BC､CD､DA修建观赏步道，边BD修建隔离防护栏，其中米，米，.    (1)若米，求烧烤区的面积？ (2)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏？（精确到0.1米） (3)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 21．（23-24高一下·上海·阶段练习）“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地AOB分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点P在扇形的弧上，点Q在OB上，且． (1)求扇形空地AOB的周长和面积； (2)当米时，求PQ的长； (3)综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大．设，求面积的最大值． 22．（22-23高一下·上海松江·阶段练习）某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为，墙AB的长度为12米．（已有两面墙的可利用长度足够大）    (1)若，求的周长（结果精确到0.01米） (2)如因实际需要，在墙角C的正上方5.5米高的位置，安装一照明灯源D，且要使得仰角，求此时角的大小．（结果精确到0.1度） (3)如为了使小动物能健康成长，要求所建的三角形露天活动室即的面积尽可能大，如何建造能使得该活动室面积最大？并求出最大面积． 23．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）如图，A、C两岛相距海里，上午9点整有一客轮在位于C岛的北偏西40°且距C岛10海里的D处，沿直线方向匀速开往A岛，在A岛停留10分钟后前往B市，上午9：30测得客轮位于C岛的北偏西70°且距C岛海里的E处，此时小张从C岛乘坐速度为v海里/小时的小艇沿直线方向前往A岛换乘客轮去B市. (1)求客轮的速度； (2)若小张能乘上这班客轮，问小艇的速度至少为多少海里/小时？（由小艇换乘客轮的时间忽略不计） (3)现测得，，已知速度为海里/时的小艇每小时的总费用为元，若小张由岛C直接乘小艇去B市，则至少需要多少费用？ 24．（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）元荡湖位于长三角一体化示范区内，2018年青浦㨦手吴江启动实施了元荡生态岸线整治，2023年8月实现元荡青浦段岸线全线贯通．如图，为拓展旅游业务，现准备在元荡湖边建造一个观景台，已知射线，为元荡湖两边夹角为的公路（长度均超过2千米），在两条公路，上分别设立游客接送点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米，千米． (1)求线段的长度； (2)若，求两条观光线路与之和的最大值． 25．（22-23高一下·上海宝山·阶段练习）通常用分别表示的三个内角所对边的边长，表示的外接圆半径.    (1)如图，在以为圆心的中，和是的弦，其中，，求弦的长； (2)在中，若是钝角，求证：； (3)给定三个正实数，其中.问：满足怎样的关系时，以为边长，为外接圆半径的不存在､存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在存在的情况下，用表示. 试卷第1页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴题03 解三角形 （七类压轴必考题型+压轴能力测评） 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 类型一、正弦定理解三角形 3 类型二、正弦定理判定三角形解的个数 9 类型三、正弦定理求外接圆半径 11 类型四、正弦定理边角互化的应用 13 类型五、三角形面积公式及其应用 20 类型六、余弦定理解三角形 26 类型七、余弦定理边角互化的应用 40 压轴能力测评（10题） 45 知识点01正弦定理 正弦定理：． 【规律方法】 1．正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个． 2．适用正弦定理的两种情形： (1)已知三角形的任意两角与一边． (2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角． 3．判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行转化，既可以转化为边与边的关系，也可以转化为角与角的关系． 4．注意在边角互化过程中，正弦定理的变形使用，如＝等. 5.已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值．或者根据该正弦值(不等于1时)在0°～180°范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求. 6.借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，转化为角的关系后，常利用三角变换公式进行变形、化简，确定角的大小或关系，继而判断三角形的形状、证明三角恒等式． 知识点02余弦定理 余弦定理：． 【规律方法】 1.已知三角形的两边及一角解三角形的方法 先利用余弦定理求出第三边，然后利用余弦定理的推论求出其余角． 2．已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一． 3．若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解． 4.判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． 知识点03三角形面积公式 任意三角形的面积公式为： (1)S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半． (2)S△ABC＝ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长． (3)S△ABC＝r(a＋b＋c)＝rl，其中r，l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长． 【规律方法】 已知三角形的两边和夹角可求三角形的面积，三角形的面积公式为S＝ab·sin C＝ac·sin B＝bc·sin A. 知识点04正余弦定理的实际应用 1.三角形中与距离有关问题的求解策略： (1)解决与距离有关的问题，若所求的线段在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解． (2)解决与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决． 2.解决测量高度问题的一般步骤： (1)画图：根据已知条件画出示意图． (2)分析三角形：分析与问题有关的三角形． (3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解．在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用. 3.解决实际问题应注意的问题 (1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步． (2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题． 类型一、正弦定理解三角形 1．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）平面四边形ABCD中，，，则边AB长度的取值范围是 ． 【答案】 【分析】取点D与点C重合，点D与点A重合时的两种特殊情况，利用正弦定理，即可求出AB的取值范围. 【详解】解：如图所示， 因为，所以， 当点D与点C重合时，， 由正弦定理可得， 而， 所以， 当点D与点A重合时，， 由正弦定理可得， 所以 因为ABCD平面四边形，所以， 故答案为： 2．（22-23高一下·上海青浦·阶段练习）在三角形ABC中，，的平分线AD交BC于D，且，则 ． 【答案】 【分析】 在三角形ABC中，由正弦定理可得，利用同角三角函数的基本关系可得，利用二倍角公式可求的值，根据三角形的内角和定理可求的值. 【详解】在三角形ABC中，由正弦定理可得:, 所以 . 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海浦东新·期中）在中，若，，，则C的值为 . 【答案】或 【分析】根据正弦定理可求得或，再由三角形面内角和可得C的值. 【详解】利用正弦定理可求得， 又，可得或； 因为，可得或. 故答案为：或 4．（23-24高一下·上海·期中）已知分别为三内角的对边，且，若，角B的平分线，则的面积为 . 【答案】 【分析】根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换可得，设，再利用正弦定理可得，分析可知，即可求三角形面积. 【详解】因为， 由正弦定理可得， 又因为， 可得， 整理可得， 且，则，可得，整理可得， 且，则，可得，即， 如图，设，则， 在中，由正弦定理可得， 即，解得， 且为锐角，可得，即 可知，则， 所以的面积为. 故答案为：. 5．（2024·上海金山·二模）某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为 m．(结果精确到1 m) 【答案】 【分析】先在中求出AC，再利用正弦定理，在中求出，进而转化到中求解即可. 【详解】解：作交于E，由题意可得如图： ， 所以， ， 在中，由正弦定理可得： ， 所以， 所以， ， 在直角中，， 故答案为：475. 6．已知函数． (1)求的最小正周期； (2)设的三个角、、所对的边分别为，若，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式以及周期公式即可求解； （2）根据函数求解角度A，再由正弦定理和诱导公式以及两角和与差的正弦公式即可求解. 【详解】（1）函数 函数的最小正周期为． （2）， 所以， 因为， 所以， 由正弦定理得，， 所以 ， 因为， 所以， 所以， 所以，， 所以的取值范围为． 7．（23-24高一下·上海·阶段练习）在中，设角、及所对边的边长分别为、及．已知． (1)求角的大小； (2)当，时，求边长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角，结合及两角和的正弦公式计算化简即可得； （2）根据正弦定理即可计算出，结合可求出，再使用正弦定理即可得到. 【详解】（1）由正弦定理得， 由于，则， 展开得， 即，因为， 化简得，则， 又，所以； （2）由正弦定理，得，即有， 因为，所以是锐角，即， 所以， ， 所以. 8．（23-24高一下·上海·阶段练习）设分别是的三个内角所对的边，且， (1)求； (2)时，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系及两角和的正弦公式求解； （2）由正弦定理及三角形面积公式求解. 【详解】（1）在中，，故， 因为，所以由正弦定理可知， 由大边对大角可得，故， 所以. （2）时，由正弦定理可得，， 所以. 类型二、正弦定理判定三角形解的个数 1．在△中，角、、所对的边分别为、、，若，，且该三角形有唯一解，则的取值范围为 【答案】 【分析】由正弦定理得，依题意得或，进而可得结果. 【详解】因为，，由正弦定理得， 要使三角形有唯一解，则或，所以或， 即或，解得或. 故答案为：. 2．（23-24高一下·上海·假期作业）下列条件判断三角形解的情况，正确的是 （填序号）； ①，，，有两解； ②，，，有一解； ③，，，无解； ④，，，有一解． 【答案】④ 【分析】对于①，由正弦定理求得，可判断三角形解的个数；对于②，由正弦定理求得，结合三角形中大边对大角性质，可判断三角形解的个数；对于③，由正弦定理，结合，可得解的个数；对于④，由正弦定理得 ，结合可得三角形的解有一个，由此可得答案. 【详解】对①：由正弦定理，所以， 又因为，所以有一解，故①错误； 对②：正弦定理，所以， 又因为，所以，则三角形的解有两解，故②错误； 对③：由正弦定理，所以， 又因为且，可得有一解，所以三角形的解有一个，故③错误； 对于④，由正弦定理，所以， 又因为且，可得有一解，所以三角形的解有一个，故④正确， 故答案为：④. 3．（22-23高一下·上海青浦·阶段练习）如果满足的恰有一个，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用正弦定理可求出，由只有一个结合正弦函数的性质可得解. 【详解】由，得， 又，所以， 则当时，三角形只有一个解， 此时， 所以. 故答案为：. 4．（23-24高一下·上海·阶段练习）在中，，，要使被唯一确定，那么的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据利用正弦定理，结合三角形有1个解的条件即可求解. 【详解】根据题意，，， 由正弦定理得：，则， 三角形只有一个解，则或， 则或，即或， 所以的取值范围是. 故答案为：. 5．（22-23高一下·上海徐汇·期中）在中，，，，则的解的个数是 个. 【答案】2 【分析】利用正弦定理即可判断三角形有两解. 【详解】在中，，，， ，由则，如图： 所以此时有两解. 故答案为: 2. 类型三、正弦定理求外接圆半径 1．（2023·上海普陀·一模）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则该三角形外接圆的半径为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先应用正弦定理及两角和的正弦公式化简求出角A,再根据正弦定理求出外接圆半径即可. 【详解】. , 设该三角形外接圆的半径为 由正弦定理得 故选：A. 2．（22-23高一下·上海虹口·期末）在△中，，，为边的中点，则△的外接圆面积与的外接圆面积之比为 . 【答案】 【分析】利用正弦定理以及图形的几何关系求解. 【详解】设△的外接圆为,的外接圆半径为, 在△由正弦定理得,在中由正弦定理得, 又∵,∴， ∴, 故答案为：. 3.（22-23高一下·上海青浦·期中）在中，已知，，设，以下说法正确的是 ①若有两解，；②若有唯一解， ③若无解，；④当，外接圆半径为6 【答案】①③④ 【分析】由题设可得到上的高为，根据各项三角形解的个数及三角形性质判断的范围，应用正弦定理求外接圆半径. 【详解】 由，即到上的距离为， 若有两解，则，即，①对； 若有唯一解，则或，即，②错； 若无解，则，即，③对； 当时，△ABC外接圆半径，④对. 故答案为：①③④ 类型四、正弦定理边角互化的应用 1．（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列四个条件中有几个是△ABC为直角三角形的充分条件（    ） ①； ②； ③； ④. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】分别对各选项化简，分析是否能得出△ABC为直角三角形即可. 【详解】①由正弦定理，，则，即， 故或，即或， 故不能推出△ABC为直角三角形，故①错误； ②，则， 即，故. 因为，故或， 即（舍）或，则不能推出△ABC为直角三角形，故②错误； ③，则， 即， 故， 即， 即，故. 因为，故，即，则△ABC为直角三角形，故③正确； ④，则， 即， 故， 故， 即，故. 因为，故，即，则△ABC为直角三角形，故④正确. 综上有③④是△ABC为直角三角形的充分条件. 故选：B 2．（21-22高一下·上海浦东新·阶段练习）设的内角、、的对边长分别为、、，且，则的值（    ） A．2 B．4 C．6 D．以上都不对 【答案】B 【分析】利用正弦定理及三角形内角和关系，化简得，从而； 【详解】解：在中，由正弦定理及可得 即，则； 故选：B 3．（23-24高一下·上海·阶段练习）在中，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理以及三角恒等变换公式将化为，再根据的范围可求得结果. 【详解】在中，，，由及正弦定理， 得 ， 由，，得，且， 则，因此，， 所以的取值范围为. 故选：B 4．（22-23高一下·上海青浦·阶段练习）已知中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列命题中，真命题的个数是（    ） （1）若，则是等腰三角形； （2）若，则是直角三角形； （3）若，则是钝角三角形； （4）若，则是等边三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用三角形的性质、正弦定理、同角三角函数的基本关系进行计算求解. 【详解】中，，由正弦定理有： ，因为中， 所以，即，即， 所以或，故（1）错误； 中，因为，所以， 所以或，故（2）错误； 中，，当时， ，，，显然不满足； 当中有1为负，2个为正，不妨设， 则，，，所以是钝角三角形；故（3）正确； 中，，所以， 所以 因为， 所以，所以， 则是等边三角形，故（4）正确；故A，C，D错误. 故选：B. 5．若不等式对于任意恒成立，则的最小正值为 ． 【答案】/4.5 【分析】由正弦定理角化边，三角形两边之和大于第三边，再利用配方法求出结果. 【详解】根据正弦定理：不等式可转换为，不等式对于任意恒成立，故， 由于， 所以，故，所以的最小正值为. 故答案为： 6．（22-23高一下·上海徐汇·期中）若不等式对任意都成立，则实数的最小值为 ． 【答案】144 【分析】利用正弦定理角化边，可得恒成立，化简为恒成立，将化为二次函数性形式，结合二次函数性质即可求得答案. 【详解】由对任意都成立，可得， 即恒成立， 又因为中，， 则 ， 当时，取得最大值144，即， 故，即实数的最小值为144， 故答案为：144 7．（23-24高一下·上海·阶段练习）在中，，则的形状是 ． 【答案】等腰三角形 【分析】由诱导公式及正弦定理化简后，由正弦函数的性质可得解. 【详解】由诱导公式可得，由正弦定理可得， 所以， 由，可得，即， 因为, 所以或（舍去）， 故三角形为等腰三角形. 故答案为：等腰三角形 8．（2024高一下·上海·专题练习）在中， (1)若与是方程的两个实根，求角的值； (2)若，判断的形状． 【答案】(1)； (2)等腰三角形或直角三角形. 【分析】（1）利用韦达定理，结合和角的正切公式及诱导公式求解即得. （2）利用正弦定理边化角，再结合二倍角公式及正弦函数性质推理判断即可. 【详解】（1）在中，与是方程的两个实根， 则，，， ，又， 所以. （2）在中，由正弦定理及，得，即， 则，即，而， 因此或，即或, 所以为等腰三角形或直角三角形． 9．（23-24高一下·上海徐汇·期中）在中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，满足． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)4. 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和差角的正余弦公式计算即得. （2）由（1）的信息，利用和差角的余弦公式、二倍角的余弦公式化简即得. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 即 则，而， 因此，， 则，所以. （2）由（1）知，， . 10．在△中，三内角、、的对边分别为、、，满足. （1）证明：△为直角三角形； （2）当，时，设表示成的形式，并写出定义域； （3）对（2）中函数，当为何值时，有最值？并求出最值. 【答案】（1）证明见解析；（2）（）；（3）当时，. 【分析】（1）依题意，利用三角恒等变换可得，进而可得； （2）由（1）知，解直角三角形可得，，进而可得结果； （3）利用换元法及辅助角公式可将函数变形，再次还元结合单调性可得结果. 【详解】（1）依题意得，则， 又， 所以，从而， 又有意义，所以，即，故为直角三角形. （2）由（1）知，在中，，则，所以，，故，. （3）令，由得，且，则. 令，则，则， 显然在上单调递增，则在上单调递减， 所以当时，即，即时，. 类型五、三角形面积公式及其应用 1．（20-21高一下·上海·期中）在非等边斜三角形中，为的外接圆半径，为的面积，下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于A，利用诱导公式化简已知可得2cos2cos1＝0，解方程可解得cos的值，可求范围∈（0，），即可判断； 对于B，利用SabsinC＝2R2sinAsinBsinC判定； 对于C，利用tanA＝﹣tan（B+C），计算即可； 对于D，利用正弦定理，同角三角函数基本关系式可求A＝B＝C，结合已知即可判断得解． 【详解】解：对于A，因为sinsin（）＝cos， 若cosA＝sin，则可得2cos2cos1＝0，解得cos1，或， 因为A∈（0，π），可得∈（0，），可得cos∈（0，1），故错误； 对于B，SabsinC•2RsinA•2RsinB•sinC＝2R2sinAsinBsinC，故错误； 对于C，因为△ABC为非直角三角形，所以tanA＝﹣tan（B+C）， 则tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC，故正确； 对于D，若，则，即tanA＝tanB＝tanC，即A＝B＝C，即△ABC是等边三角形，由于△ABC为非等边斜三角形，故错误． 故选：C． 2．（23-24高一下·甘肃金昌·期中）如图，在扇形AOB中，，，点C在扇形AOB内部，，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】根据阴影部分的面积为，利用扇形面积公式、三角形面积公式和正弦定理进行求解. 【详解】设，则，， 由，，得， 在中，由正弦定理得，即， 所以，则，， 所以，，则， ， 所以， 又知扇形AOB的面积为， 故阴影部分的面积为． 故答案为： 3．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）中，，，，则 ． 【答案】/ 【分析】 根据正弦定理可求得c，再求出B，根据三角形面积公式即可求得答案. 【详解】因为， 在中，由正弦定理可得， 因为，，故， 所以， 故答案为： 4．（23-24高一下·上海·期末）已知是大于3的正整数，平面直角坐标系中，正边形内接于单位圆.若集合，则集合表示的平面区域的面积为 .（结果用表示） 【答案】 【分析】根据给定信息，确定集合表示的平面区域，再结合三角形面积求解即得. 【详解】由，得点在线段的垂直平分线分平面含点一侧的区域， 线段的垂直平分线与线段的垂直平分线交于点，线段的垂直平分线与线段的垂直平分线交于点， 照此进行，线段的垂直平分线与线段的垂直平分线交于点， 集合表示的平面区域是正边形及内部，其内切圆半径为， 显然，，， 所以集合表示的平面区域的面积为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：由题设信息，确定集合表示的平面区域对应的图形是求解本题的关键. 5．（22-23高一下·上海静安·期中）在中，已知，，，求和. 【答案】或，或 【分析】与正弦定理可得，则或，即可求出，再由两角和与差的余弦公式结合三角形的面积公式即可得出答案. 【详解】因为，所以，所以， 由正弦定理可得：，则，则， 则或. 若，，则， 则， 若，，则， 则. 故或，或. 6．（20-21高一下·浙江·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角C为，且． （1）求的值； （2）若的内切圆的半径，求的面积． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由已知及正弦定理可得，从而知为等腰三角形，进而可解； （2）设的内切圆圆心为，与圆相切于点，与圆相切于点，根据三角函数的知识，可求出和的长，再由即可求解． 【详解】解：（1），， ， 由正弦定理得， ， ． （2）由（1）知，，， 设的内切圆圆心为，与圆相切于点，与圆相切于点， 在中，， ， ， 的面积． 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是（2）问中，根据内切圆的性质，在直角三角形中，利用三角函数的知识求出和的长. 7．（21-22高一下·上海宝山·期中）某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天场所，地面形状如图所示.已知已有两面墙的夹角，墙的长度为8米，已有两面墙的可利用长度足够大，记. (1)若，求三角形的周长（结果精确到0.01）； (2)为了使小动物能健康成长，要求所建造的三角形露天活动室面积尽可能大，问当边长如何设计时，该活动室面积最大？并求出最大面积. 【答案】(1)22.45米． (2)米时，活动室面积最大，最大面积为． 【分析】（1）由正弦定理求得后可得周长； （2）由正弦定理求得（用表示），然后计算面积，结合两角和与差的正弦公式、二倍角公式化简函数，利用正弦函数性质得最大值． 【详解】（1）由正弦定理，即，， ， 由得， 三角形周长为 （米）． 所以三角形周长约为22.45米． （2）由得， 又， 得， 所以， ， 因为，所以，即时，，此时， 此时三角形取得最大面积． 类型六、余弦定理解三角形 1．（23-24高一下·上海·期中）已知的面积为，角，，所对的边分别为，，，且，则 . 【答案】 【分析】由三角形的面积公式、余弦定理可得，即，又可得和，代入即可得出答案. 【详解】因为，则， 所以，即， 即，因为， 所以，即， 又因为，所以，所以， 所以由可得：，所以， 因为，所以， 所以，即， 所以. 故答案为：. 2．（23-24高一下·上海·期中）在中，若，，且，则 . 【答案】/ 【分析】根据正弦定理求得，再根据余弦定理可得求解即可. 【详解】由余弦定理可得，即. 由正弦定理，故. 又，故，即. 又，故， 故. 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海黄浦·期中）在中，若，且，则的周长为 . 【答案】 【分析】由正弦定理及余弦定理求出，求解即可． 【详解】由正弦定理可得，故， 所以，由余弦定理可得， 所以，可得，则， 则周长为： 故答案为：． 4．（23-24高一下·上海金山·期末）为了研究问题方便，有时候余弦公式会写成：，利用这个结构解决如下问题：如果三个正实数满足：，，则 . 【答案】 【分析】设的角的对边分别为、、，在内取点，使得，设，，，利用余弦定理得出的三边长，由此计算出的面积，再利用可得出的值. 【详解】设的角的对边分别为、、， 在内取点，使得， 设，，， 由余弦定理得，， ，∴， ，∴， 则，即角B为直角，则， 由， 得， 即，所以. 故答案为：. 5．（23-24高一下·上海闵行·期末）疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理，某消毒装备的设计如图所示，为路面，为消毒设备的高，为喷杆，，，处是喷酒消毒水的喷头，且喷射角，已知，.则消毒水喷洒在路面上的宽度的最小值为 . 【答案】/ 【分析】由题知，底边上的高，又，可得，根据余弦定理和均值不等式得到，则计算可得答案. 【详解】 设中，定点到底边的距离为h， 已知，，，， 则 又， 则， 即， 在中，由余弦定理： ， 当且仅当时，等号成立， 故，而， 所以，则， 所以的最小值为. 故答案为：. 6．（23-24高一下·上海·期末）在中，内角所对的边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用三角函数关系式和恒等变换，求得，进而求得的值； （2）根据题意，利用正弦定理和三角形的面积公式，求得和，结合余弦定理，列出方程，求得的值，进而得到三角形的周长. 【详解】（1）解：由题意知， 因为，可得， 所以，可得，即 由于，可得，所以，解得． （2）解：因为，由正弦定理得， 又因为的面积为，可得，解得， 所以，解得， 由余弦定理， 即，可得，所以的周长为． 7．（23-24高一下·上海宝山·期末）锐角中角、、的对边分别为、、，且． (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助正弦定理将角化为边后，借助余弦定理计算即可得； （2）借助正弦定理将边化为角后，结合两角和的正弦公式与辅助角公式可将化为正弦型函数形式，再利用锐角三角形性质可得角的范围，即可得解. 【详解】（1）由正弦定理可得，即， 由余弦定理可得，又，则； （2）由，则、， 则 ， 由为锐角三角形，可得，解得， 则，则， 故. 8．（23-24高一下·上海闵行·期末）如图，某快递小哥从A地出发，沿小路以平均时速20km/h，送快件到C处，已知，，，，． (1)求的面积． (2)快递小哥出发25分钟后，公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均时速50km/h，问汽车能否先到达C处？ 【答案】(1) (2)汽车先到达C处，理由见解析 【分析】（1）由余弦定理求出，利用三角形面积公式求出答案； （2）由正弦定理求出，得到汽车所需时间，由余弦定理求出，进而得到快递小哥出发25分钟的路程和剩余时间，作差比较后得到结论. 【详解】（1）因为，，， 由余弦定理得， 即，故， 解得，负值舍去， 故 （2）在中，由正弦定理得， 又，故， 因为，所以， ， 故汽车所需时间为h， 因为，由余弦定理得 ， 故， 故， 快递小哥出发25分钟，骑行路程为， 剩余路程为，到达C处所需时间为， 其中， 故，所以汽车先到达C处. 9．（23-24高一下·上海黄浦·期末）在中，已知边上的中线长为． (1)求证：； (2)若边上的中线长分别为，当为钝角三角形时，求m、n、t之间所满足的关系式，并指出哪个角为钝角． 【答案】(1)证明见解析 (2)，为钝角 【分析】（1）根据两次余弦定理并结合角互补即可即可证明； （2）同（1）得到，，再利用合理变形即可得到m、n、t之间关系式，再通过作差法即可得到的大小关系，则得到为钝角. 【详解】（1）因为， 则， 则在和利用余弦定理得， 化简得. （2）由（1）知①， 同理可得②，③， ①②③得④， 则m、n、t满足④式， ④①得， 同理可得，， 因为，则 则，则， ，则， 则，则，根据大边对大角，则为钝角. 10．（23-24高一下·上海·期中）某农场计划圈出一块平面四边形区域种植两种农作物.如图，经测量已知，.现在将连接，在区域内种植农作物甲，在区域内种植农作物乙. (1)计算发现：无论多长，始终为定值.请你验证该结论，并求出这个定值； (2)已知农作物甲的经济收益与种植面积的平方成正比，比例系数为1；农作物乙的经济收益与种植面积的平方成正比，比例系数为2.记与的面积分别为和.请你帮助该农场规划四边形区域的大小，使得该种植计划经济收益最大. 【答案】(1)验证见解析，为定值 (2)时，该种植计划经济收益最大 【分析】（1）利用余弦定理推出与的关系，即可求得为一个定值； （2）由题意可知该种植计划经济收益为，求出的表达式，利用二次函数的基本性质以及余弦函数值的取值范围，可得出的最大值，从而可规划农场四边形区域的大小． 【详解】（1）在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， ，则， 故为定值； （2）由题意可知该种植计划经济收益为，由（1）知， 则 ， 当时，取到最大值. 11．（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，. (1)求的值； (2)若，求bc的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数的基本关系化简后，得到一个关于的关系式，把的值代入即可求出值； （2）根据余弦定理表示出，然后把等式变为，利用基本不等式和的值即可求出的最大值． 【详解】（1）因为， 所以. （2）根据余弦定理可知：， ， 又，即， ，当且仅当时，， 故的最大值是． 12．（23-24高一下·上海·期中）如图，三地在以为圆心的圆形区域边界上，公里，公里，，是圆形区域外一景点，，． (1)半径的长（精确到小数点后两位）； (2)若一汽车从处出发，以每小时50公里的速度沿公路行驶到处，需要多少小时？（精确到小数点后两位） 【答案】(1)15.28公里 (2)1.25小时 【分析】（1）在中，利用余弦定理解得，利用正弦定理求外接圆半径； （2）根据题意利用正弦定理可得，在，利用余弦定理求得. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得 ， 即， 所以（公里）. （2）在中，可得， 在中，由正弦定理可知， 即  可得， 所以， 在中，由余弦定理可得， ， 即（公里），所以所需时间为小时. 13．（23-24高一下·上海·期末）某新能源汽车公司计划建设一个锂电池工厂，工厂必须建在河边，锂电池需要锂和钴两种矿产资源.如图，是锂矿，是钴矿，直线是一条河流.两点在直线上的投影分别为两点.已知，.假设工厂建在线段上（包含端点）的点处，设. (1)求的长. (2)若沿线段与建两条公路用于矿产运输，且要求是钝角，求的取值范围. (3)若要建设公路连接三点，假设公路建设成本和公路长度成正比，请你运用数学建模的思想设计一个最佳的工厂选址和公路建设方案.（已知的最大值约为.） 【答案】(1)； (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）作于，利用直角三角形结合已知求出. （2）利用余弦定理建立不等式求解即得. （3）根据给定条件，可得公路连接点到点的距离和最小，推得，通过旋转确定点位置并计算得解. 【详解】（1）依题意，，则，由，得， 作于，则，， 所以. （2）在中，， 由是钝角及余弦定理，得， 即，于是，整理得， 解得，所以的取值范围是. （3）最佳方案：工厂建在处，，中间有一个三岔路口，，且. 由公路建设成本和公路长度成正比，得当且仅当公路长度最短时，公路建设成本最低， 即三岔路口到点的距离和最小，此时必有，否则令点在上的投影为， 则有与最小矛盾， 将绕点逆时针旋转得，则为正三角形， ，显然， 则，当且仅当点共线时取等号， 此时必有，， 显然，由（1）得， ，而， 令交直线于点，则，， ， 所以工厂建在处，，中间有一个三岔路口，，且. 14．（23-24高一下·上海松江·期末）在滴水湖公园湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，，其中． (1)若米，求烧烤区的面积？ (2)为了保证烧烤区的占地面积最大，那么需要修建多长的隔离防护栏？ (3)在（2）条件下，为了使得花卉观赏区的面积也尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 【答案】(1) (2)修建的隔离防护栏长米时，烧烤区的占地面积最大 (3)设计观赏步道米时，花卉观赏区的面积最大 【分析】（1）先由余弦定理求出，即可由面积公式求解. （2）设米，先由余弦定理求出与的关系式，进而得，进而代入面积公式结合一元二次函数的性质研究最值即可得解. （3）先利用正弦定理求得，接着代入结合三角恒等变换公式计算即可求解. 【详解】（1）若，则， 又，所以， 所以烧烤区的面积为. （2）设米，则， 又，所以， 所以烧烤区的面积为， 所以当即时，烧烤区的面积最大为，此时米， 所以修建的隔离防护栏长米时，烧烤区的占地面积最大. （3）由（2）得米， 所以在中由题意得，即， 所以， 所以 ， 又，所以， 所以当即时，有最大值为， 此时，， 所以在（2）条件下，设计观赏步道米时，花卉观赏区的面积最大. 【点睛】思路点睛：对求花卉观赏区的面积最大值，先在中利用正弦定理得，接着代入结合三角恒等变换公式计算化简得，再利用三角函数值的有界性即可求出解. 类型七、余弦定理边角互化的应用 1．（22-23高一下·上海虹口·期中）某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是，则该三角形（    ）． A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．有可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 【答案】C 【分析】设的边上的高分别为,由此可令，，由余弦定理即可判断三角形形状. 【详解】设的内角的对边分别是， 且边上的高分别为, 则,令，则， 故，故A为钝角， 又，A为三角形最大角，故该三角形为钝角三角形， 故选：C 2．（22-23高一下·上海长宁·期末）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题． 已知的内角，，的对边分别为，，，其中，，__________，求和的外接圆半径． 【答案】任选一条件，都有， 【分析】若选择①：由余弦定理和三角形的面积公式得到，利用正弦定理即可求解； 若选择②：由正弦定理边化角得到，进而，求得，由正弦定理得和； 若选择③：由，得，求得，由正弦定理得和． 【详解】若选择①： ，， 又， ，所以，由，，， 又，， ， ，，则， ，； 若选择②：，则由正弦定理得， 因为，所以， 因为，所以； 由正弦定理，得， ，； 若选择③：，则， 所以， 因为，所以， 所以，所以； 由正弦定理，得， ，． 3．（22-23高一下·上海闵行·期中）在中，角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用正余弦定理即可求解； （2）利用正弦定理将周长转化为关于角的三角函数，利用三角函数的值域即可求解； 【详解】（1）由正弦定理，， 由 可得， 由余弦定理， 则，则， 因为，所以； （2）由为锐角三角形，，可得， 由正弦定理，则， 则， 则的周长为， 由，则，因为，整理得： ，解得或（舍去）， 所以，则周长范围是. 4．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）2021年5月，第十届中国花卉博览会将在美丽的崇明岛举办，主办方要对布展区域精心规划.如图，凸四边形ABCD是一个花卉布展区域的平面示意图，为了展示不同品种的花卉，将BD连接，经测量已知 (1)若 ，求此花卉布展区域总面积； (2)求证： 为一个定值； (3)在锐角中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c.若 ，求的取值范围 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先求出 的面积，，在中用余弦定理求出 可以求出 面积，即可求出总面积； （2）分别在 和 中，用余弦定理表示出BD，即可证明为定值； （3）由，结合余弦定理可得，由正弦定理得，则 ，再由，即可求得的取值范围. 【详解】（1）由题意，在 中，且 ， 则 ， 又由余弦定理，得 ， 解得 ， 又在 中，， 得 ， 所以 ， 所以 的面积为 ， 所以花卉布展区域的总面积为 （2）在 中，因为 ，所以 ， 在 中，，由余弦定理，得 ， 所以 ，则 ， 得 ，所以 为一个定值1. （3）因为在锐角中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c， 因为 ， 所以 ，则， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 又 ， 则 ， 则 ， 故 所以的取值范围为. 一、填空题 1．（22-23高一下·上海松江·阶段练习）在中，角所对应的边分别是，满足，则该三角形的形状是 ． 【答案】等腰直角三角形 【分析】根据正弦定理，可得，然后利用余弦定理可得，最后可得结果. 【详解】由正弦定理及， 得     ，， ， ， 又， 由余弦定理， 得， 即，， 为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形 2．（23-24高一下·上海·开学考试）已知中，，，若为钝角三角形，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据已知条件，结合三角形的性质，推得，再结合余弦定理，即可求解． 【详解】在中，，， 则，即， ，，， 则角为钝角或角为钝角， 若角是钝角， 则，即， 故， 若角是钝角， 则，即，解得． 综上所述，的取值范围是． 故答案为：． 3．（22-23高一下·上海宝山·期中）在中，，，面积，则边长为 ． 【答案】或 【分析】根据三角形面积公式求出角，再根据余弦定理求得. 【详解】，， 又，所以或， 当时，根据余弦定理得： ，； 当时，根据余弦定理得： ，， 故答案为：或. 4．（22-23高一下·上海黄浦·期末）在中，若，，且，则 ． 【答案】或 【分析】由正弦定理可求出，再由余弦定理可得，解方程即可得出答案. 【详解】由正弦定理可得：，故， 所以，由余弦定理可得：， 所以，可得，则， 又因为，所以可以看成是一元二次方程的两根， 所以，解得：或， 故或. 故答案为：或 5．（21-22高一下·上海嘉定·期末）三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，，则三角形ABC的周长为 ． 【答案】/ 【分析】先求出，利用余弦定理求出，即可求出三角形ABC的周长. 【详解】三角形ABC中，若A为钝角，则.由大角对大边可得：. 因为，所以，这与相矛盾，所以. 因为，所以. 由余弦定理得： ,解得：. 又，所以，所以， 三角形ABC的周长为. 故答案为： 6．（22-23高一下·上海松江·阶段练习）在中，，则下列结论正确的是 ． ①外接圆的面积为 ②若，则 ③当时，有一解  ④ 的面积有最大值 【答案】①④ 【分析】由正弦定理可判断①②，由余弦定理和基本不等式可判断④，由方程的解的情况可判断③. 【详解】由可知，，由正弦定理得：，所以， 所以外接圆的面积，①正确； 若，由正弦定理得：，解得：， 所以或（均符合题意），②错误； 由，得， 解得：，当且仅当时取等号， 所以，④正确； ，得， 当有一解时，关于方程只有一个正根 此方程有唯一正解等价于或，又， 解得：或，则③错误. 故答案为：①④ 7．（22-23高一下·上海青浦·阶段练习）为了研究问题方便，有时将余弦定理写成：，利用这个结构解决如下问题：若三个正实数，满足，，，则 . 【答案】 【分析】设的角、、的对边分别为、、，在内取点，使得，设，，，利用余弦定理得出的三边长，由此计算出的面积，再利用可得出的值. 【详解】设的角、、的对边分别为、、， 在内取点，使得， 设，，， 由余弦定理得，， ，∴， ，∴， 则， 则，所以， 由， 得， 即，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：在内取点，使得是解决本题的关键. 8．（23-24高一下·上海奉贤·期中）由于四边形不具有稳定性，所以求四边形面积公式需要有限制条件.我们将四个点在圆上的四边形称为圆内接四边形，圆内接四边形具有对角互补的性质.印度数学家婆罗摩笈多发现了圆内接四边形的面积公式为，其中、、、分别为圆内接四边形的4条边，，与海伦公式有类似之处.已知在圆内接四边形中，，，，，则四边形的面积为 . 【答案】 【分析】连接，利用余弦定理分别得到，的长，再利用圆内接四边形的面积公式即可得到答案. 【详解】连接 因为在圆内接四边形中，，，，，所以， 在中，由余弦定理可得：， 所以在中，由余弦定理可得：， 化简可得，解得或(舍去)， 所以，则圆内接四边形的面积公式为 故答案为： 9．（22-23高一下·上海宝山·期末）如图，为计算湖泊岸边两景点与之间的距离，在岸上选取和两点，现测得，，，，，据以上条件可求得两景点与之间的距离为 （精确到）.    【答案】5.8 【分析】在中，根据余弦定理求出，然后在，先求出，然后根据正弦定理，即可求出答案. 【详解】在中，有，，， 由余弦定理可得，， 即， 整理可得， 解得或（舍去）. 在中，有，，， 所以，. 由正弦定理可得， (km). 故答案为：. 10．（22-23高一下·上海奉贤·期中）的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则下列命题正确的序号是 ． ①．若，则 ②．若，则是锐角三角形 ③．若，则是直角三角形 ④．若，则为等腰三角形 ⑤．若锐角中，则恒成立 【答案】①③ 【分析】根据正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用逐一判断各个选项即可． 【详解】对于①，若，则， ， 在递减，所以，故①正确； 对于②，中，∵，则，∴角C为锐角， 但锐角三角形需判定三个顶角均为锐角，所以不一定是锐角三角形，故②错误； 对于③，若，即，化简可得，所以是直角三角形，故③正确； 对于④，由正弦定理及，得 所以或， 则为等腰三角形或直角三角形，故④错误． 对于⑤．角A，B，C分别取，代入不成立． 故选：①③． 二、单选题 11．（21-22高一下·上海浦东新·期末）某大学校园内有一个“少年湖”，湖的两侧有一个健身房和一个图书馆，如图，若设音乐教室在处，图书馆在处，为测量､两地之间的距离，甲同学选定了与､不共线的处，构成，以下是测量的数据的不同方案：①测量；②测量；③测量；④测量.其中要求能唯一确定､两地之间距离，甲同学应选择的方案的序号为（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】由题意结合所给的条件确定三角形解的个数即可确定是否能够唯一确定A，B两地之间的距离. 【详解】①测量∠A，∠C，∠B，知道三个角度值，三角形有无数多组解，不能唯一确定点A，B两地之间的距离； ②测量∠A，∠B，BC，已知两角及一边，由正弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定点A，B两地之间的距离； ③测量∠A，AC，BC，已知两边及其一边的对角，由正弦定理可知，三角形可能有2个解，不能唯一确定点A，B两地之间的距离； ④测量∠C，AC，BC，已知两边及夹角，由余弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定点A，B两地之间的距离. 综上可得，一定能唯一确定A，B两地之间的距离的所有方案的序号是②④. 故选：C 12．（23-24高一下·上海·期末）的内角，，的对边分别为，，，满足，则角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理的推论求得，求解即可. 【详解】因为，所以， 即，所以， 因为，所以， 故选：B 13．（23-24高一下·上海·阶段练习）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若且，则是（    ） A．等边三角形 B．顶角为的等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．非直角三角形，也非等腰三角形 【答案】A 【分析】由条件利用余弦定理求得，可得，由，再根据正弦定理和余弦定理再可得，从而得出结论． 【详解】在中， ， ，， 又由可得， ，故是等边三角形. 故选：A. 14．（20-21高一下·上海杨浦·期中）设的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，则下列命题 ①若，则； ②若，则； ③若，则为钝角三角形； ④若，则； 中，真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据已知条件结合余弦定理以及不等式的性质即可判断；②举出反例即可说明；③利用诱导公式以及正弦函数的单调性即可判断；④结合两角和的正弦和余弦公式进行化简，再结合均值不等式即可判断. 【详解】①若，所以，则，故①正确； ②当时，，但是，故②错误； ③若，则，，故，所以，所以，则为钝角三角形，故③正确； ④若，则所以，即，所以,所以，故，而，所以则，故④正确； 故选：C. 三、解答题 15．（22-23高一下·上海普陀·期末）在中，已知． (1)求角的大小； (2)设角、、的对边分别为、、．若，且边上的高为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可得出关于的方程，结合角的取值范围先得出的值，进而可得出角的值； （2）设，则，利用余弦定理求得，利用三角形的面积公式求出的值，即可得出的周长. 【详解】（1）解：因为， 所以，，即. 因为，则，所以，，解得， 所以，，因此，. （2）解：因为，设，则， 由余弦定理可得，所以，， 因为边上的高为，则， 即，解得， 因此，的周长为. 16．（23-24高一上·上海宝山·期末）在中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且. (1)求； (2)若，的周长为3，求的面积S. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据倍角公式结合三角形内角和关系分析求解； （2）由（1）可知：，由题意可知，利用余弦定理可得，代入面积公式即可得结果. 【详解】（1）因为，则， 即，解得. （2）由（1）可知：，且，可得， 由题意可知，即， 由余弦定理可得， 即，解得， 所以的面积. 17．（23-24高一下·上海·阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若； (1)求B； (2)若，试判断的形状. (3)若，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2)为等边三角形 (3) 【分析】（1）根据题意结合正弦定理分析求解； （2）根据题意结合余弦定理分析求解； （3）根据题意利用基本不等式可得，代入面积公式运算求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 因为，则，可得， 即，所以. （2）由（1）可知：， 由余弦定理可得：， 又因为，即， 可得，整理得，即， 所以为等边三角形. （3）由（2）可知：，即， 当且仅当时，等号成立， 所以的面积的最大值为. 18．（22-23高一下·上海宝山·期末）已知中，是角所对的边，，且.    (1)求角； (2)若，在的边上分别取两点，使沿线段折叠到平面后，顶点正好落在边（设为点）上，设，试求关于的函数解析式； (3)在（2）的条件下，求的最小值并求此时的值. 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）由正弦定理边角互化及三角形内角关系，通过变换得，再结合二倍角公式可求； （2）由题意可知为等边三角形，且，，在中，由余弦定理整理可得； （3）通过换元变换后再利用基本不等式即可求其最值． 【详解】（1）由正弦定理及，知，因为，所以，即， 因为，所以，所以，所以,解得． （2）,是等边三角形， 又因为， 由题意,， 在中,由余弦定理得， ， ， 因为，， （3）由（2）知，， 设，，当且仅当，即，时取等号， 此时的最小值为. 19．（22-23高一下·上海静安·期末）如图，某人位于临河的公路上，已知公路两个相邻路灯、之间的距离是，为了测量点与河对岸一点之间的距离，此人先后测得，.    (1)求、两点之间的距离； (2)假设你只携带着量角器（可以测量以你为顶点的角的大小）.请你设计一个通过测量角可以计算出河对岸两点、之间距离的方案，用字母表示所测量的角的大小，并用其表示出的长. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）在中利用正弦定理直接求解即可； （2）测得，，，在中利用正弦定理求出，再在中利用余弦定理可求出 【详解】（1）在中，由正弦定理，有 ， 即. 答：、两点之间的距离为. （2）测得，，. 在中，由正弦定理，有 ，即. 在中，由余弦定理，有 或. 20．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）在临港滴水湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB､BC､CD､DA修建观赏步道，边BD修建隔离防护栏，其中米，米，.    (1)若米，求烧烤区的面积？ (2)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏？（精确到0.1米） (3)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 【答案】(1)平方米 (2)米 (3)修建观赏步道时应使得， 【分析】（1）由余弦定理求出cosC，再求面积即可； （2）由三角形的面积公式解得，由是钝角，得，利用余弦定理即可求解； （3）由烧烤区的占地面积最大得到，利用正弦定理解得和，代入三角形面积公式利用三角函数性质即可求解. 【详解】（1）由余弦定理可知，所以 所以平方米. （2）， 解得， 因为是钝角，所以， ， 故需要修建米的隔离防护栏； （3）， 当且仅当时取到等号，此时， 设， 在中，， 解得：， 花卉观赏区的面积为 ， 因为，所以， 故当，即时，取的最大值为1， ， 当且仅当时取到等号，此时 答：修建观赏步道时应使得，. 【点睛】关键点点睛：本题第3小问解决的关键是，利用正弦定理与三角恒等变换将花卉观赏区的面积转化为关于的表达式，从而得解. 21．（23-24高一下·上海·阶段练习）“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地AOB分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点P在扇形的弧上，点Q在OB上，且． (1)求扇形空地AOB的周长和面积； (2)当米时，求PQ的长； (3)综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大．设，求面积的最大值． 【答案】(1)周长为米，面积为平方米 (2)米 (3)平方米 【分析】（1）借助面积公式与周长公式计算即可得； （2）结合平行线的性质与余弦定理计算即可得； （3）结合题意，利用正弦定理与面积公式表示出面积后，借助三角恒等变换将其变形为正弦型函数，结合正弦函数的性质计算即可得. 【详解】（1），则扇形空地AOB的周长为， 面积； （2）由，故， 由余弦定理可得， 即，即有， 即，故（负值舍去）或， 即； （3）由，故，又， 由正弦定理可得，即， 则， 令， 则 ， 有最大值，此时，即，可取， 此时平方米. 22．（22-23高一下·上海松江·阶段练习）某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为，墙AB的长度为12米．（已有两面墙的可利用长度足够大）    (1)若，求的周长（结果精确到0.01米） (2)如因实际需要，在墙角C的正上方5.5米高的位置，安装一照明灯源D，且要使得仰角，求此时角的大小．（结果精确到0.1度） (3)如为了使小动物能健康成长，要求所建的三角形露天活动室即的面积尽可能大，如何建造能使得该活动室面积最大？并求出最大面积． 【答案】(1)米； (2)或； (3)为正三角形，最大面积为平方米. 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理直接计算即得. （2）利用直角三角形边角关系求出，再利用正弦定理求解即得. （3）利用余弦定理建立关系，再借助均值不等式求解即得. 【详解】（1）在中，由正弦定理得： ，， 所以的周长为（米）. （2）在中，由，得，， ，又，则， 在中，由正弦定理得，而， 所以或. （3）在中，由余弦定理得：， 则，即，当且仅当时取等号， ， 所以当，即是正三角形时，，面积取得最大值平方米. 【点睛】 思路点睛：解三角形应用题的一般步骤： ①阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系； ②根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型； ③根据题意选择正弦定理或余弦定理求解； ④将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 23．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）如图，A、C两岛相距海里，上午9点整有一客轮在位于C岛的北偏西40°且距C岛10海里的D处，沿直线方向匀速开往A岛，在A岛停留10分钟后前往B市，上午9：30测得客轮位于C岛的北偏西70°且距C岛海里的E处，此时小张从C岛乘坐速度为v海里/小时的小艇沿直线方向前往A岛换乘客轮去B市. (1)求客轮的速度； (2)若小张能乘上这班客轮，问小艇的速度至少为多少海里/小时？（由小艇换乘客轮的时间忽略不计） (3)现测得，，已知速度为海里/时的小艇每小时的总费用为元，若小张由岛C直接乘小艇去B市，则至少需要多少费用？ 【答案】(1)20海里/小时 (2)海里/小时 (3)至少需385元 【分析】（1）由题意可得，，，，由余弦定理可求得，进而可求客轮的航行速度； （2）由余弦定理可得，可求得，利用，可求小艇的速度的最小值； （3）由已知可得，进而可求得，利用正弦定理可得，小张由岛C直接乘小艇去城市B的总费用为，可求费用的最小值. 【详解】（1）根据题意得：，，，. 在中，由余弦定理得， 所以客轮的航行速度（海里/小时） （2）因为，所以， 所以. 在中，由余弦定理得，， 整理得：，解得或（舍去）. 所以客轮从E处到岛A所用的时间小时， 小张若能赶上这班客轮，则满足，解得. 所以，小艇的速度至少为海里/小时. （3）在中，，， 所以. 由正弦定理，解得， 所以小张由岛C直接乘小艇去城市B的总费用为 ， 当且仅当，即时，（元） 所以若小张由岛直接乘小艇去市，其费用至少需385元. 24．（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）元荡湖位于长三角一体化示范区内，2018年青浦㨦手吴江启动实施了元荡生态岸线整治，2023年8月实现元荡青浦段岸线全线贯通．如图，为拓展旅游业务，现准备在元荡湖边建造一个观景台，已知射线，为元荡湖两边夹角为的公路（长度均超过2千米），在两条公路，上分别设立游客接送点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米，千米． (1)求线段的长度； (2)若，求两条观光线路与之和的最大值． 【答案】(1)千米 (2)千米． 【分析】（1）在中，利用余弦定理得到； （2）设，得到，利用正弦定理将用表示，结合三角函数的有界性求最值． 【详解】（1）在中，由余弦定理得， ， 所以千米． （2）设，因为，所以 在中，由正弦定理得，． 因为， 所以，， 因此， ， 因为，所以． 所以当，即时，取到最大值． 故两条观光线路距离之和的最大值为千米． 25．（22-23高一下·上海宝山·阶段练习）通常用分别表示的三个内角所对边的边长，表示的外接圆半径.    (1)如图，在以为圆心的中，和是的弦，其中，，求弦的长； (2)在中，若是钝角，求证：； (3)给定三个正实数，其中.问：满足怎样的关系时，以为边长，为外接圆半径的不存在､存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在存在的情况下，用表示. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)答案见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理计算作答. （2）由三角形的边角关系，结合余弦定理推理作答. （3）按与的大小关系分类讨论，结合三角恒等变换、余弦定理求解作答. 【详解】（1）在中，，，由正弦定理得， 所以 . （2）因为是钝角，则不过圆心，于是， 由余弦定理知，即， 所以. （3）当或时，所求的不存在； 当且时，直径所对的圆周角是直角，因此，所求的只存在一个，且； 当且时，，且都是锐角，由， 确定，所求的只存在一个，且； 当时，总是锐角，可以是钝角也可以是锐角，则所求的存在两个， 由，得当时，，， ， 因此， 当时，，， 所以. 【点睛】结论点睛：的三边分别为a，b，c（a≥b≥c），若，则是锐角三角形；若，则是直角三角形；若，则是钝角三角形. 试卷第1页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$