专题04 两角和与差的正弦、余弦、正切公式重难点题型专训（13大题型+15道提优训练）-2024-2025学年高一数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版2020必修第二册）

专题04 两角和与差的正弦、余弦、正切公式重难点题型专训（13大题型+15道提优训练） 题型一 已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 题型二 求15°等特殊角的余弦 题型三 用和、差角的余弦公式化简、求值 题型四 逆用和、差角的余弦公式化简、求值 题型五 已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 题型六 求15°等特殊角的正弦 题型七 用和、差角的正弦公式化简、求值 题型八 逆用和、差角的正弦公式化简、求值 题型九 已知两角的正、余弦，求和、差角的正切 题型十 求15°等特殊角的正切 题型十一 用和、差角的正切公式化简、求值 题型十二 逆用和、差角的正切公式化简、求值 题型十三 两角和与差的综合应用 知识点01 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 ⑴；⑵； ⑶；⑷； ⑸〔〕； ⑹〔〕． 【经典例题一 已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦】 【例1】（23-24高一下·上海金山·阶段练习）在平面直角坐标系中，为第四象限角，的终边与以2为半径的圆交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角函数的定义知，因为，所以利用两角差的余弦公式可求. 【详解】在平面直角坐标系中，为第四象限角， 角的终边与半径为2的圆交于点， , , . 故选: 1．（2024·上海静安·一模）在平面直角坐标系中，、是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆(圆心在坐标原点)于A、B两点.若A、B两点的纵坐标分别为正数a、b，且，则a+b的最大值为(    ) A． B． C． D．不存在 【答案】B 【分析】用a、b表示出点A、B的坐标，利用三角函数定义结合探求出a、b的关系再求解即得. 【详解】、是位于不同象限的任意角，依题意它们的终边在x轴上方，不妨令为第一象限角，为第二象限角，则点，， 由三角函数定义知， ，而a>0，b>0， ，当且仅当时取“=”， ，当且仅当时取“=”， 所以a+b的最大值是. 故选：B 【点睛】基本不等式处理最值问题的三要素：“一正，二定，三相等”；不只一次涉及取等号，要确保各次取等号的条件不矛盾. 2．（24-25高一·上海·随堂练习）可以验证：； 已知：不论α取何值且，，均有意义， 都有， 则有一般的结论： ． 【答案】若，，则． 【分析】根据题意，得到答案，并利用诱导公式，同角三角函数关系，正弦和角公式，余弦和角公式化简得到答案. 【详解】若，，则． 理由如下：，，则， 则， 则 ， 所以 故答案为：若，，则． 3．（23-24高一下·上海嘉定·期中）（1）已知，，求； （2）已知，且，，用，表示，求． 【答案】（1）；（2），． 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值； （2）求出、的取值范围，利用同角三角函数的基本关系求出、的值，用、表示出，利用两角和的余弦公式可求得的值. 【详解】解：（1）因为，，则， 因此，； （2）因为，则，， 因为，， 则， ， 因为， 所以， . 【经典例题二 求15°等特殊角的余弦】 【例2】（23-24高一下·全国·课后作业）的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据及两角差的余弦公式直接求解. 【详解】 . 故选:C. 1．（23-24高一下·上海闵行·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据结合两角差的余弦公式运算求解. 【详解】由题意可得： ， 所以. 故选：D. 2．（23-24高一下·上海·课后作业）求值： ． 【答案】 【分析】将非特殊角转化为特殊角与的和，然后由两角和的余弦公式即可求解. 【详解】解：. 故答案为：. 3．（24-25高一下·上海·课后作业）如图，在中，，，，.    (1)若，，求的长，由此推出的值； (2)设，（、、均为锐角），试由图推出求的公式. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）过C作，利用直角三角形边角关系求出即可得解. （2）求得，再分别求出即可得解. 【详解】（1）如图，过C作于，    由，得四边形为矩形， 又，，，则，， 而，，则，， 于是，，在中，同理， 所以，. （2）由，，得， ， 而，，则， 又，，则， 所以. 【经典例题三 用和、差角的余弦公式化简、求值】 【例3】（2024·上海徐汇·模拟预测）已知角满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，即可由和差角公式求解. 【详解】故， 因此 故选：C 1．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）设是锐角，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两角和与差的余弦公式，结合齐次式弦化切可得，进而可得答案. 【详解】因为且， 所以， 故，结合， 解得. 故选：C. 2．（24-25高一下·上海·阶段练习）某同学在同一坐标系中分别画出曲线，曲线，曲线，作出直线，.直线交曲线、于、两点，且在的上方，测得；直线交曲线、于、两点，且在上方，测得.则 . 【答案】 【分析】由题意易得，，通过引入辅助角，分别求得，再利用两角和的余弦公式求即得. 【详解】，. 则由，得， 令，， 则， 又∵，∴，∴， 同理，， 又∵，∴，则. ∴ . 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海·期末）已知，角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点． (1)求 (2)设函数，求的最小正周期． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出 和 的值，再根据两角和与差的正弦公式计算即可； （2）化简，然后根据周期公式求出 的最小正周期. 【详解】（1）, , 的终边经过点, 由三角函数的定义可知， . （2）， 又由 (1) 可知 , 所以 ， . 所以的最小正周期为. 【经典例题四 逆用和、差角的余弦公式化简、求值】 【例4】（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知结合同角基本关系及和差角公式进行化简即可求解． 【详解】 ． 故选：B． 1．（23-24高一下·上海·期末）假设实数满足，，，则的取值（   ） A．是唯一确定的 B．不唯一，但有限多 C．有无穷多 D．不存在符合题意的 【答案】B 【分析】先应用三角换元，再结合两角和差公式及同角三角函数关系计算即可. 【详解】因为设, 因为设, 所以可得， 因为,所以, 所以. 故选：B. 2．（2024高一·全国·专题练习）函数的最大值为 ；函数的值域为 ． 【答案】 2 【分析】中设换元后化为二次函数可得最大值，函数中用三角换元，然后利用两角和的余弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，再由余弦函数的性质得取值范围． 【详解】(1)设=t(t≥0)，所以x=1－t2.所以y=f(x)=x+2=1－t2+2t=－t2+2t+1=－(t－1)2+2.所以当t=1即x=0时，ymax=f(x)max=2. (2)由4－x2≥0，得－2≤x≤2， 所以设x=2cos θ(θ∈[0，π])， 则y=2cos θ－=2cos θ－2sin θ =2cos， 因为， 所以cos∈，所以y∈[－2，2]． 故答案为：2；． 3．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在. 条件①：； 条件②：函数在区间上是增函数； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. (1)求的值； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)选择见解析；答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意先把函数进行化简，然后根据所选的条件，去利用三角函数辅助角公式，三角函数单调递增区间而分别计算并判断是否使函数存在，从而求解； （2）根据（1）中选的不同条件下得出不同的函数的解析式，然后求出在区间上的最大值和最小值. 【详解】（1）由题意得： . 当选条件①：， 又因为，所以，所以， 所以时，即得：，即. 当选条件②： 从而得：当时，单调递增， 化简得：当时，单调递增， 又因为函数在区间上是增函数， 所以得：，解之得：， 与已知条件矛盾，故条件②不能使函数存在. 故：若选条件②，不存在. 当选条件③： 由，， 得当时，，又因为， 所以得，得. （2）由（1）知：，则得：， 又因为，所以， 所以当时，有最大值； 所以当时，有最小值. 【经典例题五 已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦】 【例5】（23-24高一下·上海青浦·期末）已知为锐角，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用商数关系和平方关系求出，然后由正弦的两角差公式可得. 【详解】因为为锐角，，所以， 联立，解得， 因为，所以， 所以 . 故选：A 1．（2024·上海长宁·一模）设点是以原点为圆心的单位圆上的动点，它从初始位置出发，沿单位圆按逆时针方向转动角后到达点，然后继续沿单位圆按逆时针方向转动角到达.若点的横坐标为，则点的纵坐标（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由在单位圆上，得到的坐标，再根据三角函数的定义得出的值，从而求出的值，再运用两角差的正弦公式求解. 【详解】由题可知，且， 因为，可知 则， 所以 . 故选：D. 2．（24-25高一下·上海嘉定·阶段练习）与家庭电路不同，从发电厂到用户端的高压电路只有三根火线而没有零线．实际上，发电厂通常采用三相正弦交流进行发电，三根火线的瞬时电流表达式分别为，．假设三根火线的电流分别进入用户端并通过一根零线流出，则零线瞬时电流 ． 【答案】0 【分析】利用给定计算公式结合两角和差的正弦公式求解即可. 【详解】由题意得， 原式， ， ， . 故答案为：0 3．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知是方程的根. (1)求的值； (2)若是第四象限角，，求的值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据是方程的根，得到，再利用诱导公式求解；式 （2）由所以，利用两角差的正弦公式求解. 【详解】（1）解：因为是方程的根， 所以或（舍）， 则原式， ， 由，所以是第三象限或第四象限角， 若是第三象限角，则，此时； 若是第四象限角，则，此时. 故所求式子的值为或. （2）由（1）知，当是第四象限角时，， 由，得， 所以 . 【经典例题六 求15°等特殊角的正弦】 【例6】（24-25高一下·上海长宁·期末）已知函数，则在的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角公式化简函数，再利用正弦函数的性质，结合二次函数求出值域. 【详解】函数在上单调递增，而， ，即 函数，当时，， 当时，， 所以在的值域为. 故选：A 1．（24-25高一下·上海·阶段练习）计算（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由两角和差的正弦公式求出，再代入原式求解即可. 【详解】， 代入原式可得. 故选：A. 2．（23-24高一下·上海松江·期末）若将函数（其中，）的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位可得到的图象，则 . 【答案】 【分析】利用三角函数图象变换可求得函数的解析式，利用两角和的正弦公式计算可得的值. 【详解】将函数的图象向左平移个单位，得到函数， 再将所得函数图象的横坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象， 故. 故答案为：. 3．（24-25高一下·上海闵行·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，质点A与B沿单位圆周运动，点A与B初始位置如图所示，A点坐标为，，现质点A与B分别以，的速度运动，点A逆时针运动，点B顺时针运动，问：    (1)ls后，扇形AOB的面积及的值． (2)质点A与质点B的每一次相遇的位置记为点，连接一系列点，，构成一个封闭多边形，求该多边形的面积． 【答案】(1)扇形AOB的面积为， (2)2 【分析】（1）先求时刻，质点A与质点B旋转的角度，令，可得，结合扇形面积公式以及两角和差公式运算求解； （2）根据题意可得，结合任意角可知：交点有4个，求对应角，分析可知，即可求面积. 【详解】（1）由题意可知：时刻，质点A与质点B旋转的角度分别为，，且点， 若，则， 所以扇形AOB的面积， 且. （2）若质点A与质点B的每一次相遇， 由（1）可知：，解得， 此时， 结合任意角的概念可知：的周期为4，即交点有4个， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 可得， 即以及均三点共线，且，， 所以该多边形的面积为. 【经典例题七 用和、差角的正弦公式化简、求值】 【例7】（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意先求出，再通过辅助角公式结合和差角公式解出即可. 【详解】因为，所以， 因为， 所以， 所以 . 故选：C. 1．（24-25高一下·上海松江·阶段练习）已知，且，设，则的值约为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件结合同角关系求，再结合两角和差正弦余弦公式求结论. 【详解】因为，所以， 又，所以， 又，， 所以， 所以， 故选：A. 2．（24-25高一·上海·随堂练习）发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是时间t的函数：，，，则的值为 ． 【答案】0 【分析】根据两角和的正弦公式展开化简即可. 【详解】因为，，， 所以 . 故答案为：0 3．（23-24高一下·上海松江·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知是第二象限角，其终边上有一点． (1)若将角绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，求的值； (2)若，求x； (3)在（2）的条件下，将OP绕坐标原点顺时针旋转至，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用三角函数定义求出，再利用差角的正弦公式计算即得. （2）利用三角函数定义求出x值. （3）利用和差角的正余弦公式求出，再利用三角函数定义求出点的坐标. 【详解】（1）依题意，，则，显然点在角的终边上， 于是， 所以. （2）依题意，，，因此，， 所以. （3）由（2）知，， 显然点在角的终边上，， ， ， ，， 所以点的坐标是. 【点睛】结论点睛：角终边上点到原点的距离为，则点. 【经典例题八 逆用和、差角的正弦公式化简、求值】 【例8】（24-25高一下·全国·课后作业）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角三角函数的商式关系与正切的二倍角公式，结合角的取值范围，可得答案. 【详解】由得， 即，则， 又，则，故，即． 故选：B. 1．（23-24高一下·上海宝山·开学考试）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两角和与差的三角公式化简后再比较． 【详解】由得， ,, 所以, 故选：A． 2．（2024高一·全国·专题练习）已知角，则 . 【答案】 【分析】利用切弦互化将已知等式展开，借助于和、差角公式整理成，最后根据角的范围确定即可. 【详解】因， 去分母得，， 展开得，， 即， 整理得：. . 则，解得. 故答案为：. 3．（23-24高一·全国·课后作业）三角比内容丰富，公式很多．若仔细观察、大胆猜想、科学求证，你也能发现其中的一些奥秘．请你完成以下问题： (1)计算：______；______；______；（直接写答案） (2)根据（1）的计算结果，请你猜出一个一般性的结论．（用数学式子加以表达，并证明你的结论，写出推理过程．） 【答案】(1)；； (2)一般性结论为，证明见解析 【分析】 （1）利用三角函数的诱导公式、三角函数的和角差角公式化简得：；同理：，的值； （2）根据（1）的计算结果，请你猜出一个一般性的结论：，利用三角函数的诱导公式、三角函数的和角差角公式证明即得． 【详解】（1） 解： ， 同理可得：，， 故答案为：；；． （2） 解：根据（1）的计算结果，猜出一个一般性的结论：，证明如下： ， 故一般性结论为. 【经典例题九 已知两角的正、余弦，求和、差角的正切】 【例9】（23-24高一下·上海金山·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由同角三角函数的基本关系可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出的值，再利用两角和的正切公式可求得的值. 【详解】由已知可得，解得， 所以，， 故. 故选：D. 1．（2024·上海徐汇·模拟预测）1471年米勒提出了一个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆看上去最长即可见角最大后人称其为“米勒问题”.我们把地球表面抽象为平面，悬杆抽象为直线l上两点A，，则上述问题可以转化为如下模型：如图1，直线l垂直于平面，l上的两点A，B位于平面同侧，求平面上一点C，使得最大.建立图2所示的平面直角坐标系.设，当最大时，（    ） A．2ab B． C． D．ab 【答案】B 【分析】根据题意可得，然后由正切的和差角公式即可得到，再由基本不等式即可得到结果. 【详解】有题意可知，是锐角且， 因为， 所以， 且，当且仅当，即时，等号成立， 故当，，此时最大. 故选:B 2．（23-24高一下·上海静安·期中）已知，且是方程的两根，则的值是 ；的值是 . 【答案】 / / 【分析】根据韦达定理，两角和的正切公式、两角差的余弦公式化简求解即可. 【详解】由题意，， ， 又，故， 故，. 由， ， 两式联立可得，，， 所以. 故答案为：； 3．（23-24高一下·上海静安·期中）在平面直角坐标系中，锐角，均以为始边，终边分别与单位圆交于点，，已知点的纵坐标为，点的横坐标为. (1)直接写出和的值，并求的值； (2)求的值； (3)将点绕点逆时针旋转得到点，求点的坐标. 【答案】(1)，； (2)10； (3). 【分析】（1）利用三角函数定义求出和，再利用差角的正切计算得解. （2）利用诱导公式及正余弦的齐次式法计算即得. （3）求出点所在终边的角，再利用三角函数定义及和角的正余弦计算即可. 【详解】（1）由锐角，，得点，都在第一象限，而点的纵坐标为，点的横坐标为， 则点的横坐标为，点的纵坐标为，因此； . （2）由（1）知，. （3）依题意，点在角的终边上，且，由（1）知， 则点的横坐标为， 点的纵坐标为， 所以点的坐标为. 【经典例题十 求15°等特殊角的正切】 【例10】（2024·上海奉贤·模拟预测）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式、两角差的正切公式及特殊角的三角函数值计算可得答案. 【详解】 ． 故选：C. 1．（24-25高一下·上海·开学考试）如图所示，为测量一座古塔的高度，工作人员从塔底同一水平面的处测得塔顶C的仰角为，然后从处出发朝古塔方向走了60米到达处，在处测得塔顶C的仰角为，把塔顶正下方的一点记为点，则该古塔的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】利用两角差的正切公式结合锐角三角函数定义求解即可. 【详解】由题意得，，，， 所以，且设， 而， 由锐角三角函数的定义得， 解得，故C正确. 故选：C 2．（23-24高一下·上海徐汇·阶段练习） ． 【答案】/ 【分析】将拆成，利用两角差的正余弦公式，可将分子分母化简得到，再将拆成，计算即得. 【详解】. 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海静安·阶段练习）（1）求值； （2）求值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据两角和的正切公式的逆运用化简即可得出答案； （2）根据结合两角和的正余弦公式计算，再结合两角差的正切公式即可得解. 【详解】（1）原式 . （2）原式= 【经典例题十一 用和、差角的正切公式化简、求值】 【例11】（24-25高一下·上海杨浦·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由两角和正切公式展开求出，再利用“”的代换转化为齐次比式，化弦为切求解可得. 【详解】由，解得； 则 . 故选：D. 1．（2024高一·全国·专题练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角恒等变换求解． 【详解】由， 可知， 则有，即， 化简可得，将代入可得， 故． 故选：B 2．（2025高一·全国·专题练习）设，，，则 （用含的代数式表示）；若，则 . 【答案】 1 【分析】由切化弦和同角三角函数的基本关系可得的值，利用两角和的正弦公式求得；当时，利用两角差的正切公式求出，进而可得. 【详解】由得，即. 因为，所以，所以， 又，所以. 又， 所以， 所以，所以， 所以. 当时，， 则， 得，所以. 故答案为：；1. 3．（23-24高一下·上海静安·阶段练习）已知，. (1)求和的值. (2)求以及的值 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系式，即可求解； （2）利用两角差的正弦公式和两角和的正切公式，即可求解. 【详解】（1）因为，根据同角三角函数的基本关系式，可得， 又因为，所以，则. （2）由（1）知，，和， 则根据两角差的正弦公式，可得， 再结合两角和的正切公式，可得． 【经典例题十二 逆用和、差角的正切公式化简、求值】 【例12】（2024·上海嘉定·模拟预测）已知角，其终边上有一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数定义利用两角和的正切公式再根据角的范围即可得. 【详解】由正切函数的定义可知： ； 又，所以. 故选：D 1．（23-24高一下·上海金山·期中）已知，且满足，则可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两角互补或者互余的情况下结合正切函数的性质讨论可排除A、B、C三项. 【详解】若A正确；则， 即，显然不成立，故A错误； 若B、C正确，则， 即，显然不成立， 故B、C错误； 对于D项，， 则恒成立，故D正确. 故选：D 2．（24-25高一下·上海·课后作业）（1） ； （2） ； （3） ； （4） . 【答案】 ； 1； ； . 【分析】（1）直接逆用两角差的正切公式； （2）利用变形，后逆用两角差的正切公式； （3）余切化为正切，后逆用两角差的正切公式；； （4）直接逆用两角和的正切公式 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； 故答案为：；1；；. 3．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）已知，其中. (1)求的值； (2)求的值； (3)设，且，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知条及两角和的正切公式即可求解； （2）根据（1）的结论及诱导公式，利用同角三角函数的平方关系和商数关系即可求解； （3）根据已知条件及（1）的结论，利用同角三角函数的平方关系及凑角法，结合两角差的正弦公式即可求解. 【详解】（1）由，得， 解得. （2）由（1）知，， . （3）因为，， 所以. 因为， 所以，， 所以. 所以, 因为， 所以. 【经典例题十三 两角和与差的综合应用】 【例13】（24-25高一下·上海奉贤·开学考试）已知. (1)化简函数； (2)若，求的值； (3)若且，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用诱导公式化简即可； （2）依题意可得，再由平方关系及商数关系将弦化切，代入计算可得； （3）首先可得，，再由两角和的正切公式求出，结合角的范围，即可得解. 【详解】（1） ； （2）由已知，所以， 所以 . （3）由，，可知，， 所以. 因为，，则， 且，可得， 则，所以. 1．（23-24高一下·上海·期中）矩形ABCD中，P，Q为边AB的两个三等分点，满足，R是折线段BC-CD-DA（不包括A，B两点）上的动点，设， (1)当△APR是等腰三角形，求； (2)当R在线段BC（不包括B，C两点）上运动时，证明：； (3)当R在线段CD（包括C，D两点）上运动时，求的最大值. 【答案】(1)或 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）△APR是等腰三角形分三种情况：①当时，R和D重合，②当时，，③当时，R在AP中垂线上，分类讨论得解； （2）将角度大小的比较，转化为对应正切值大小的比较，即证即可得证； （3）设，，用表示，最后借助基本不等式求得最大值. 【详解】（1）① 当时，R和D重合，此时为等腰直角三角形，， ②当时，，此时为等腰直角三角形，， ③当时，R在AP中垂线上，， 所以或； （2）证明：设，则有, 所以，即， 因为 所以，即 （3）作于M， 设，，，， （1）M在PQ上时， （2）M在BQ，AP上时，两个角的正切值不变. 所以，， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于数学中转化与化归思想的应用，第（2）小题的角度转化为正切值，第（3）小题中，引入未知量，把所求转化为关于未知量的式子，结合基本不等式求最值，平时多积累和总结这种转化化归的题型，拓展自己转化化归思维，提升转化的灵活性. 2．（24-25高一下·上海闵行·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用三角函数的定义及同角三角函数的平方关系计算即可； （2）利用两角和的正切公式求解； （3）利用两角差的余弦公式计算即可. 【详解】（1）根据题意可知：，，则， 同理，，则； （2）由（1）知，，， 所以. （3）易知， 所以 . 3．（23-24高一下·上海奉贤·期末）如图，ABCD是边长为80米的正方形菜园，计划在矩形ECFG区域种植蔬菜．E，F分别在BC，CD上，G在弧MN上，米，设矩形ECFG的面积为S（单位：平方米）    (1)若，请写出S（单位：平方米）关于的函数关系式； (2)求S的最小值． 【答案】(1) (2)1400平方米 【分析】（1）由题意用的三角函数表示出，的长，即可求得答案； （2）将化简，利用三角代换，即令，即可将转化为关于t的二次函数，结合二次函数性质，即可求得答案. 【详解】（1）延长FG交AB于H，    则米，米， 则米，米， 故． （2）由（1）得：． 令，则． 因为， 所以． 所以， 因为， 所以当时，． 即当时，矩形ECFG面积的最小值为1400平方米． 1．（24-25高一下·上海杨浦·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，可得，由，可得与，结合两角差的正切公式可得解. 【详解】由，可得， 又，所以， 故， 又， 解得， 故选：B. 2．（成渝经济圈名校联盟2024-2025学年高一下学期第一次联考数学试题）在锐角三角形中，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可求出，进而得出，借助诱导公式，正切的和角公式以及重要不等式即可求. 【详解】因为三角形为锐角三角形，且， 所以，解得， 所以， 又， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为4. 故选：A 3．（2024高一·全国·专题练习）若，且，，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由题设条件分别求出和的值，再利用拆角变换与和角公式计算即得. 【详解】因则.又，则， 可得. 又则 由，可得 由 . 因则 . 故选：A. 4．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计．弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，直角三角形中较大的锐角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件求出和的值，利用两角和与差的三角函数公式求出结果即可. 【详解】由题意可知，设直角三角形两直角边为a，， 则，解得， ， ， 故选：B 5．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）如图，已知足球比赛的球门宽度AB大约为7米，D在场地的底线上，与点B距离5米，CD与底线垂直，CD长为15米，若在训练中，球员亚马尔从点C开始带球沿直线向点 D 奔跑并选择一点 P 处射门，要想获得最大的射门角度(∠APB)，则他需要带球的距离CP 大约是(参考数据： （   ） A．3.6米 B．3.9米 C．7.2米 D．7.8米 【答案】C 【分析】设，得出，，由正切函数单调性，两角差的正切公式及基本不等式即可求解． 【详解】设，，， 同理可得， 则， 当且仅当，即时等号成立，此时． 故选：C． 6．（24-25高一下·上海金山·期末）已知，为第二象限角，则 . 【答案】 【分析】由及同角三角函数的基本关系可求得，再根据并结合两角和的正弦公式即可得解． 【详解】∵， ∴， ， ∵为第二象限角，∴，∴， ∴ . 故答案为： 7．（2024·上海·模拟预测）已知，则的值为 . 【答案】 【分析】利用两角和与差的余弦公式进行化简； 【详解】由，得， 则， 即得，即， 则. 故答案为：. 8．（2024高一·全国·专题练习）在中，已知，．锐角，满足.当取最小值时， ． 【答案】 【分析】由条件可知，展开后利用三角恒等变形，得到 ，代入后，利用基本不等式求最值，即可求解. 【详解】 ，两边同时除以，得， 因为在中，，所以、都是锐角， 由，解得， 由，解得，可得 ，，，， 化简为，则， ， 设，则， 则， 当时，即时等号成立， 此时，， 所以. 故答案为：. 9．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若其终边经过点，且，定义：，称为的余正弦函数．若函数的最小正周期为，则 ． 【答案】 【分析】由余正弦函数的定义结合辅助角公式化简，由函数的最小正周期求出，即可求出，再由两角差的余弦公式和正弦公式求解即可. 【详解】由题意，． 所以 ， 故函数的最小正周期，解得． 由可得，即， 所以，则，所以． 所以 ． 故答案为：. 10．（2025高一·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，在轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点、.试在轴的正半轴（坐标原点除外）上确定一点，当C的坐标为 时.取得最大值． 【答案】 【分析】设三个点的坐标，及，，则，结合正切的和差角公式，用三个点的坐标参数表示出，借助基本不等式求得等式分母的最小值，并得出此时的值，结合正切函数的单调性即可得出此时取最大值. 【详解】设，，且，设所求点． 记，，则．显然，． 现在有． 记，因为， 所以，当且仅当，即时取等号， 因此，当时，取得最大值． 因为在内是增函数，所以当时，取最大值． 故所求点的坐标为． 故答案为：. 11．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知 α，β为锐角，且角 α 的终边经过点 . (1)求  的值； (2)若 ，求sinβ 的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用三角函数定义求值，再结合诱导公式化简单求值； （2）利用平方关系求值，再结合拆角和两角差正弦公式，即可求出结果. 【详解】（1）由是锐角，且终边经过点，可得， 再由； （2）若，是锐角，则， 由， 代入，，可得： ， 故. 12．（24-25高一下·上海嘉定·期末）已知 (1)化简； (2)若，，且，，求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）运用诱导公式进行化简求解即可； （2）根据同角的三角函数关系式，结合两角差的余弦公式进行求解即可. 【详解】（1）， （2）因为， 由（1）得，， 结合，，则，所以, 又因为 所以 所以， 所以. 13．（23-24高一下·上海闵行·期中）定义函数的“积向量”为，向量的“积函数”为． (1)若向量的“积函数”满足，求的值； (2)已知，设，且的“积函数”为，其最大值为t，求的最小值，并判断此时，的关系． 【答案】(1) (2)最小值为，此时 【分析】(1) 由题意知向量的“积函数”为，把和分别代入，得到，化简后令，得，即可求出，从而求出，即的值； (2) 设，，则可得到，令，由三角函数的有界性得到，可得，代入消去得，所以，把代入化为二次函数即可求出最小值及此时，的关系. 【详解】（1）由题意知向量的“积函数”为， 所以， 令，上式化为， 所以，，， 即； （2）设，， 因为， 所以 ， 令， 此时存在，满足.当且仅当时，等号成立，其中， 所以，即，所以，， 所以， 所以， 此时， 所以的最小值为，此时． 14．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，锐角的终边分别与单位圆交于两点． (1)如果，点的横坐标为，求的值； (2)设的终边与单位圆交于均与轴垂直，垂足分别为，求证：以线段的长为三条边长能构成三角形． 【答案】(1) (2)证明详见解析 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系式、两角和的余弦公式求得正确答案. （2）先求得，然后根据三角形的知识求得正确答案. 【详解】（1）依题意，是锐角， 由，解得. 由于的横坐标为，则纵坐标为， 所以， 所以. （2）由于， 由（1）得，所以， 所以在第二象限，且， 依题意可知：， 即， ，， ， 所以以线段的长为三条边长能构成三角形． 15．（2024·上海松江·二模）如图，农户在100米，米的长方形地块上种植向日葵，并在处安装监控摄像头及时了解向日葵的生长情况.监控摄像头可捕捉到图象的角度范围为，其中点，分别在长方形的边，上，监控的区域为四边形.记 (1)当时，求，两点间的距离；（结果保留整数） (2)问当取何值时，监控区域四边形的面积最大？最大值为多少？（结果保留整数） 【答案】(1)82米 (2)，4886平方米 【分析】（1）根据，求解，再用勾股定理求解即可； （2）分别求得的面积，进而表达出四边形的面积，再令，化简再用基本不等式求解最小值即可． 【详解】（1）， . ， ， （米）. （2）， ， ， ， . 令，则， ，， ， ， 此时，即. 故当时，监控区域四边形的面积最大，约为4886平方米. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 两角和与差的正弦、余弦、正切公式重难点题型专训（13大题型+15道提优训练） 题型一 已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 题型二 求15°等特殊角的余弦 题型三 用和、差角的余弦公式化简、求值 题型四 逆用和、差角的余弦公式化简、求值 题型五 已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 题型六 求15°等特殊角的正弦 题型七 用和、差角的正弦公式化简、求值 题型八 逆用和、差角的正弦公式化简、求值 题型九 已知两角的正、余弦，求和、差角的正切 题型十 求15°等特殊角的正切 题型十一 用和、差角的正切公式化简、求值 题型十二 逆用和、差角的正切公式化简、求值 题型十三 两角和与差的综合应用 知识点01 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 ⑴；⑵； ⑶；⑷； ⑸〔〕； ⑹〔〕． 【经典例题一 已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦】 【例1】（23-24高一下·上海金山·阶段练习）在平面直角坐标系中，为第四象限角，的终边与以2为半径的圆交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 1．（2024·上海静安·一模）在平面直角坐标系中，、是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆(圆心在坐标原点)于A、B两点.若A、B两点的纵坐标分别为正数a、b，且，则a+b的最大值为(    ) A． B． C． D．不存在 2．（24-25高一·上海·随堂练习）可以验证：； 已知：不论α取何值且，，均有意义， 都有， 则有一般的结论： ． 3．（23-24高一下·上海嘉定·期中）（1）已知，，求； （2）已知，且，，用，表示，求． 【经典例题二 求15°等特殊角的余弦】 【例2】（23-24高一下·全国·课后作业）的值是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海闵行·期中）（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海·课后作业）求值： ． 3．（24-25高一下·上海·课后作业）如图，在中，，，，.    (1)若，，求的长，由此推出的值； (2)设，（、、均为锐角），试由图推出求的公式. 【经典例题三 用和、差角的余弦公式化简、求值】 【例3】（2024·上海徐汇·模拟预测）已知角满足，则（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）设是锐角，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·上海·阶段练习）某同学在同一坐标系中分别画出曲线，曲线，曲线，作出直线，.直线交曲线、于、两点，且在的上方，测得；直线交曲线、于、两点，且在上方，测得.则 . 3．（23-24高一下·上海·期末）已知，角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点． (1)求 (2)设函数，求的最小正周期． 【经典例题四 逆用和、差角的余弦公式化简、求值】 【例4】（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海·期末）假设实数满足，，，则的取值（   ） A．是唯一确定的 B．不唯一，但有限多 C．有无穷多 D．不存在符合题意的 2．（2024高一·全国·专题练习）函数的最大值为 ；函数的值域为 ． 3．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在. 条件①：； 条件②：函数在区间上是增函数； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. (1)求的值； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【经典例题五 已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦】 【例5】（23-24高一下·上海青浦·期末）已知为锐角，若，则（    ） A． B． C． D． 1．（2024·上海长宁·一模）设点是以原点为圆心的单位圆上的动点，它从初始位置出发，沿单位圆按逆时针方向转动角后到达点，然后继续沿单位圆按逆时针方向转动角到达.若点的横坐标为，则点的纵坐标（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·上海嘉定·阶段练习）与家庭电路不同，从发电厂到用户端的高压电路只有三根火线而没有零线．实际上，发电厂通常采用三相正弦交流进行发电，三根火线的瞬时电流表达式分别为，．假设三根火线的电流分别进入用户端并通过一根零线流出，则零线瞬时电流 ． 3．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知是方程的根. (1)求的值； (2)若是第四象限角，，求的值. 【经典例题六 求15°等特殊角的正弦】 【例6】（24-25高一下·上海长宁·期末）已知函数，则在的值域为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高一下·上海·阶段练习）计算（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海松江·期末）若将函数（其中，）的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位可得到的图象，则 . 3．（24-25高一下·上海闵行·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，质点A与B沿单位圆周运动，点A与B初始位置如图所示，A点坐标为，，现质点A与B分别以，的速度运动，点A逆时针运动，点B顺时针运动，问：    (1)ls后，扇形AOB的面积及的值． (2)质点A与质点B的每一次相遇的位置记为点，连接一系列点，，构成一个封闭多边形，求该多边形的面积． 【经典例题七 用和、差角的正弦公式化简、求值】 【例7】（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高一下·上海松江·阶段练习）已知，且，设，则的值约为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一·上海·随堂练习）发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是时间t的函数：，，，则的值为 ． 3．（23-24高一下·上海松江·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知是第二象限角，其终边上有一点． (1)若将角绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，求的值； (2)若，求x； (3)在（2）的条件下，将OP绕坐标原点顺时针旋转至，求点的坐标． 【经典例题八 逆用和、差角的正弦公式化简、求值】 【例8】（24-25高一下·全国·课后作业）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海宝山·开学考试）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．（2024高一·全国·专题练习）已知角，则 . 3．（23-24高一·全国·课后作业）三角比内容丰富，公式很多．若仔细观察、大胆猜想、科学求证，你也能发现其中的一些奥秘．请你完成以下问题： (1)计算：______；______；______；（直接写答案） (2)根据（1）的计算结果，请你猜出一个一般性的结论．（用数学式子加以表达，并证明你的结论，写出推理过程．） 【经典例题九 已知两角的正、余弦，求和、差角的正切】 【例9】（23-24高一下·上海金山·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 1．（2024·上海徐汇·模拟预测）1471年米勒提出了一个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆看上去最长即可见角最大后人称其为“米勒问题”.我们把地球表面抽象为平面，悬杆抽象为直线l上两点A，，则上述问题可以转化为如下模型：如图1，直线l垂直于平面，l上的两点A，B位于平面同侧，求平面上一点C，使得最大.建立图2所示的平面直角坐标系.设，当最大时，（    ） A．2ab B． C． D．ab 2．（23-24高一下·上海静安·期中）已知，且是方程的两根，则的值是 ；的值是 . 3．（23-24高一下·上海静安·期中）在平面直角坐标系中，锐角，均以为始边，终边分别与单位圆交于点，，已知点的纵坐标为，点的横坐标为. (1)直接写出和的值，并求的值； (2)求的值； (3)将点绕点逆时针旋转得到点，求点的坐标. 【经典例题十 求15°等特殊角的正切】 【例10】（2024·上海奉贤·模拟预测）的值为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一下·上海·开学考试）如图所示，为测量一座古塔的高度，工作人员从塔底同一水平面的处测得塔顶C的仰角为，然后从处出发朝古塔方向走了60米到达处，在处测得塔顶C的仰角为，把塔顶正下方的一点记为点，则该古塔的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（23-24高一下·上海徐汇·阶段练习） ． 3．（23-24高一下·上海静安·阶段练习）（1）求值； （2）求值. 【经典例题十一 用和、差角的正切公式化简、求值】 【例11】（24-25高一下·上海杨浦·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 1．（2024高一·全国·专题练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025高一·全国·专题练习）设，，，则 （用含的代数式表示）；若，则 . 3．（23-24高一下·上海静安·阶段练习）已知，. (1)求和的值. (2)求以及的值 【经典例题十二 逆用和、差角的正切公式化简、求值】 【例12】（2024·上海嘉定·模拟预测）已知角，其终边上有一点，则（   ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海金山·期中）已知，且满足，则可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·上海·课后作业）（1） ； （2） ； （3） ； （4） . 3．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）已知，其中. (1)求的值； (2)求的值； (3)设，且，求的值. 【经典例题十三 两角和与差的综合应用】 【例13】（24-25高一下·上海奉贤·开学考试）已知. (1)化简函数； (2)若，求的值； (3)若且，求的值. 1．（23-24高一下·上海·期中）矩形ABCD中，P，Q为边AB的两个三等分点，满足，R是折线段BC-CD-DA（不包括A，B两点）上的动点，设， (1)当△APR是等腰三角形，求； (2)当R在线段BC（不包括B，C两点）上运动时，证明：； (3)当R在线段CD（包括C，D两点）上运动时，求的最大值. 2．（24-25高一下·上海闵行·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 3．（23-24高一下·上海奉贤·期末）如图，ABCD是边长为80米的正方形菜园，计划在矩形ECFG区域种植蔬菜．E，F分别在BC，CD上，G在弧MN上，米，设矩形ECFG的面积为S（单位：平方米）    (1)若，请写出S（单位：平方米）关于的函数关系式； (2)求S的最小值． 1．（24-25高一下·上海杨浦·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（成渝经济圈名校联盟2024-2025学年高一下学期第一次联考数学试题）在锐角三角形中，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一·全国·专题练习）若，且，，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 4．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计．弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，直角三角形中较大的锐角为，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）如图，已知足球比赛的球门宽度AB大约为7米，D在场地的底线上，与点B距离5米，CD与底线垂直，CD长为15米，若在训练中，球员亚马尔从点C开始带球沿直线向点 D 奔跑并选择一点 P 处射门，要想获得最大的射门角度(∠APB)，则他需要带球的距离CP 大约是(参考数据： （   ） A．3.6米 B．3.9米 C．7.2米 D．7.8米 6．（24-25高一下·上海金山·期末）已知，为第二象限角，则 . 7．（2024·上海·模拟预测）已知，则的值为 . 8．（2024高一·全国·专题练习）在中，已知，．锐角，满足.当取最小值时， ． 9．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若其终边经过点，且，定义：，称为的余正弦函数．若函数的最小正周期为，则 ． 10．（2025高一·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，在轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点、.试在轴的正半轴（坐标原点除外）上确定一点，当C的坐标为 时.取得最大值． 11．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知 α，β为锐角，且角 α 的终边经过点 . (1)求  的值； (2)若 ，求sinβ 的值. 12．（24-25高一下·上海嘉定·期末）已知 (1)化简； (2)若，，且，，求. 13．（23-24高一下·上海闵行·期中）定义函数的“积向量”为，向量的“积函数”为． (1)若向量的“积函数”满足，求的值； (2)已知，设，且的“积函数”为，其最大值为t，求的最小值，并判断此时，的关系． 14．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，锐角的终边分别与单位圆交于两点． (1)如果，点的横坐标为，求的值； (2)设的终边与单位圆交于均与轴垂直，垂足分别为，求证：以线段的长为三条边长能构成三角形． 15．（2024·上海松江·二模）如图，农户在100米，米的长方形地块上种植向日葵，并在处安装监控摄像头及时了解向日葵的生长情况.监控摄像头可捕捉到图象的角度范围为，其中点，分别在长方形的边，上，监控的区域为四边形.记 (1)当时，求，两点间的距离；（结果保留整数） (2)问当取何值时，监控区域四边形的面积最大？最大值为多少？（结果保留整数） 学科网（北京）股份有限公司 $$