6.2 常用三角公式 (第1课时)（十大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

6.2 常用三角公式 (第1课时) 题型一 两角和与差的余弦公式 1．已知锐角满足，，则 . 2．已知角为第二象限角，，则的值为 3．已知，，则 . 4．已知，且，则 ． 题型二 两角和与差的正弦公式 5．设角的终边经过点，则 = ． 6．若，且，，则 . 7．已知、均为锐角，且，，则 . 8．已知，是第三象限角，则 . 题型三 用和、差角的正、余弦公式求值化简 9．已知，则 ． 10．若，则 . 11．已知，则 12．已知点与点关于原点对称，则 ． 题型四 逆用和、差角的正、余弦公式 13． . 14．已知，，则 . 15．已知，且为第三象限角，则 . 16．已知，则 . 题型五 15°特殊角的正、余弦，正切值 17．求值： ． 18． 19．求下列函数值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 20．在平面内将点绕原点按逆时针方向旋转，得到点，则点的坐标为 ． 题型六 两角和与差的正切公式 21．已知，则的值为 ． 22．若且，则 ． 23．若，，则 . 24．的值为（    ） A． B． C．1 D． 25．（    ） A． B． C． D． 题型七 两角和与差的正切公式的综合应用 26．如图，三个相同的正方形相接，则 . 27．已知，，且，则的最大值为 ． 28．已知，若，则（    ） A． B． C． D． 29．已知，且满足，则可能是（   ） A． B． C． D． 30．已知，则的值是（    ） A．2 B． C． D． 31．已知是方程的两个根，且，，求的值． 32．已知，则（ ） A． B． C． D． 题型八 化简求值综合解答题 33．（1）化简：； （2）计算：. 34．化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 35．已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 36．已知，，且. (1)求的值； (2)求的值. 37．已知，，其中，． (1)求的值； (2)的值． 38．如图，角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，若点的坐标为（其中）．    (1)求的值； (2)若将绕原点按逆时针方向旋转45°，得到角，求的值． 题型九 证明恒等式 39．用两角和的余弦公式证明：． 40．（1）若，求的值； （2）证明：． 41．证明下列恒等式： (1)； (2)． 题型十 实际应用题 42．如图所示，设计一种测量建筑物高度的方法.，，三点在同一条水平基线上，在，两点处用测角仪器测得的仰角分别为，，米，若测角仪器高度忽略不计，当建筑物高度 米时，角的值最大． 43．1471年德国数学家米勒向诺德尔教授提出一个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即视角最大，视角是指由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角），这个问题被称为米勒问题，诺德尔教授给出解答，以悬杆的延长线和水平地面的交点为圆心，悬杆两端点到地面的距离的积的算术平方根为半径在地面上作圆，则圆上的点对悬杆视角最大.米勒问题在实际生活中应用十分广泛.某人观察一座山上的铁塔，塔高，山高，此人站在对塔“最大视角”（忽略人身高）的水平地面位置观察此塔，则此时“最大视角”的正弦值为（    ） A． B． C． D． 44．1471年米勒提出了一个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆看上去最长即可见角最大后人称其为“米勒问题”.我们把地球表面抽象为平面，悬杆抽象为直线l上两点A，，则上述问题可以转化为如下模型：如图1，直线l垂直于平面，l上的两点A，B位于平面同侧，求平面上一点C，使得最大.建立图2所示的平面直角坐标系.设，当最大时，（    ） A．2ab B． C． D．ab 45．电视塔是县城的标志性建筑，我校高一年级数学兴趣小组去测量电视塔AB的高度，该兴趣小组同学在电视塔底B的正东方向上选取两个测量点C与D，记，（左图），测得米，，． (1)请据此算出电视塔AB的高度； (2)为庆祝即将到来的五一劳动节，县政府决定在电视塔上A到E处安装彩灯烘托节日气氛．已知米，市民在电视塔底B的正东方向上的F处欣赏彩灯（图右），请问当BF为多少米时，欣赏彩灯的视角最大? 一、填空题 1．若，则 . 2．已知为方程的两个实数根，且，，则的最大值为 . 二、单选题 3．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4．若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 三、解答题 5．已知，是方程（）的两个根，求证：. 6．如图，在中，，，，.    (1)若，，求的长，由此推出的值； (2)设，（、、均为锐角），试由图推出求的公式. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2 常用三角公式 (第1课时) 题型一 两角和与差的余弦公式 1．已知锐角满足，，则 . 【答案】/ 【分析】利用同角三角函数关系可求得，代入两角和差余弦公式即可. 【解析】均为锐角，，， . 故答案为：. 2．已知角为第二象限角，，则的值为 【答案】 【分析】结合同角三角函数的基本关系式、两角差的余弦公式求得正确答案. 【解析】因为角为第二象限角，， 所以， 所以. 故答案为：. 3．已知，，则 . 【答案】 【分析】由条件根据同角关系求，再由两角差余弦公式求. 【解析】因为，， 所以， 又， 所以. 故答案为：. 4．已知，且，则 ． 【答案】 【分析】根据，得到，求出，利用凑角法，结合余弦的和角公式求出答案. 【解析】，故， 因为，所以， 所以， 故 . 故答案为：. 题型二 两角和与差的正弦公式 5．设角的终边经过点，则 = ． 【答案】 【分析】根据任意角三角函数的定义可得，再结合两角和差公式运算求解. 【解析】由于角的终边经过点，可得， 则， 所以 . 故答案为： ． 6．若，且，，则 . 【答案】 【分析】根据同角的三角函数关系式，结合两角和的正弦公式进行求解即可. 【解析】因为且，所以， 又因为且，所以， 所以， 故答案为： 7．已知、均为锐角，且，，则 . 【答案】/ 【分析】利用题目信息以及平方关系分别计算得、角的正弦、余弦值，再利用两角差的正弦公式即可求得结果. 【解析】因为，，即， 所以， 又，即，则， 又、均为锐角，所以，， 所以，， 所以. 故答案为： 8．已知，是第三象限角，则 . 【答案】 【分析】先利用两角和的正弦公式将条件变形得到，根据角所在象限可得，再利用两角差的正弦公式将展开计算即可. 【解析】由已知， ，又是第三象限角， ， . 故答案为：. 题型三 用和、差角的正、余弦公式求值化简 9．已知，则 ． 【答案】 【分析】利用同角的三角函数关系求出，再利用两角差的余弦公式求值，即得答案. 【解析】由已知得， 又，则， 故 ． 故答案为： 10．若，则 . 【答案】 【分析】利用整体代换法并由两角和与差的正弦、余弦公式计算可得结果. 【解析】令，则，即， 所以， ； 因此 . 故答案为： 11．已知，则 【答案】/ 【分析】根据两角差的余弦公式求出，再利用两角和的余弦公式即可求出答案. 【解析】由于，即， 结合，可得， 故， 故答案为： 12．已知点与点关于原点对称，则 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，列出方程组，求得，得到，结合，即可求解． 【解析】因为点与点关于原点对称， 所以，即， 所以，解得， 所以． 故答案为：. 题型四 逆用和、差角的正、余弦公式 13． . 【答案】/ 【分析】利用诱导公式及余弦的差角公式统一角度计算即可. 【解析】 . 故答案为：. 14．已知，，则 . 【答案】 【分析】两式平方后相加得到，得到答案. 【解析】已知 ①， ②， 则得：， 即， 所以， 整理得， 所以． 故答案为： 15．已知，且为第三象限角，则 . 【答案】 【分析】根据两角差的余弦公式，化简条件等式，再利用同角三角函数基本关系式，即可求解. 【解析】， 即. 又为第三象限角， . 故答案为：. 16．已知，则 . 【答案】 【分析】根据题意，化简得到即，由，得到，结合，即可求得的值. 【解析】由， 可得， 两式平方相加，可得：， 即， 又由，可得，所以，所以 因为，且，所以. 故答案为：. 题型五 15°特殊角的正、余弦，正切值 17．求值： ． 【答案】 【分析】将非特殊角转化为特殊角与的和，然后由两角和的余弦公式即可求解. 【解析】解：. 故答案为：. 18． 【答案】/ 【分析】利用诱导公式结合两角差的余弦公式可求得所求代数式的值. 【解析】原式 . 故答案为：. 19．求下列函数值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）利用余弦两角差公式进行求解即可； （2）利用诱导公式，结合（1）的结论进行求解即可； （3）利用诱导公式，结合余弦两角和公式进行求解即可； （4）利用诱导公式，结合（1）的结论进行求解即可； （5）利用正切两角差的公式进行求解即可； （6）利用诱导公式，结合正切两角和公式进行求解即可 【解析】（1）； （2）； （3） ； （4） （5） （6） 20．在平面内将点绕原点按逆时针方向旋转，得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】依题意可得与轴正向的夹角为且，则与轴正向的夹角为且，设点的坐标为，根据三角函数的定义及两角和的正（余）弦公式计算可得. 【解析】解：由条件可得与轴正向的夹角为且，故与轴正向的夹角为且． 设点的坐标为， 则， ， ∴点的坐标为． 故答案为： 题型六 两角和与差的正切公式 21．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据求解即可. 【解析】. 故答案为： 22．若且，则 ． 【答案】 【分析】先根据平方关系及商数关系求出，再利用两角差的正切公式即可得解. 【解析】因为且，所以， 所以， 则. 故答案为：. 23．若，，则 . 【答案】 【分析】首先根据同角三角函数的基本关系将弦化切，从而求出，再根据两角差的正切公式计算可得； 【解析】解：因为，所以解得， 又， 所以. 故答案为： 24．的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】将1变为，再利用正切的两角差的公式计算即可. 【解析】. 故选：B. 25．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意利用诱导公式结合两角和差公式运算求解. 【解析】由题意可得 ， 所以. 故选：A. 题型七 两角和与差的正切公式的综合应用 26．如图，三个相同的正方形相接，则 . 【答案】/ 【分析】根据给定的几何图形，利用差角的正切求解作答. 【解析】依题意，， 所以. 故答案为： 27．已知，，且，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】由两角和的正弦公式化简得，然后转化正切可得，进而将用来表示，从而利用基本不等式可得最大值. 【解析】由得，即， ， 由于，则， ，当且仅当，即时，等号成立， 故． 故答案为：. 28．已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件算出即可求解. 【解析】因为，所以， 因为， 所以， 所以. 故选：C. 29．已知，且满足，则可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两角互补或者互余的情况下结合正切函数的性质讨论可排除A、B、C三项. 【解析】若A正确；则， 即，显然不成立，故A错误； 若B、C正确，则， 即，显然不成立， 故B、C错误； 对于D项，， 则恒成立，故D正确. 故选：D 30．已知，则的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角和与差的正切公式即可得到答案. 【解析】 . 故选：B. 31．已知是方程的两个根，且，，求的值． 【答案】 【分析】根据韦达定理求出的值，然后根据展开式，代入的值求解，再根据的范围求出的范围得到的值. 【解析】是方程的两个根，根据韦达定理可得： ， 又因为 又因为 所以 故答案为： 32．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明，再逆向使用正切差公式和余弦差公式推出. 【解析】假设，则， 则， 矛盾，所以. 由已知有， 故，而，故，即. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对三角函数和差公式的逆用. 题型八 化简求值综合解答题 33．（1）化简：； （2）计算：. 【答案】（1）；（2）1 【分析】（1）利用诱导公式化简得到答案； （2）根据得到，再对原式化简即可得到结果. 【解析】（1） （2）因为， 所以， 所以. 34．化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）根据两角和差的正余弦公式及正切公式即可求解． 【解析】（1）． （2）． （3）． （4）． 35．已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角关系可得，即可得，再利用两角和差公式运算求解； （2）根据同角三角关系可得，再利用两角和差公式运算求解. 【解析】（1）由题意可得：，解得或， 且，则，可得， 则，所以. （2）由题意可得，解得或， 且，则，可得， 所以. 36．已知，，且. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化成关于的齐次式即可求解； （2）根据平方关系、商数关系以及角的范围可得，由两角和的正切公式以及角的范围即可得解. 【解析】（1）因为， 所以. （2）因为，所以， 又因为，所以，， 所以， 又，所以由，解得， 所以，又，，故， 所以. 37．已知，，其中，． (1)求的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知结合同角基本关系先求出，然后结合两角差的正切公式求出，进而可求； （2）结合同角基本关系及二倍角公式先求，，然后结合两角差的余弦公式即可求解． 【解析】（1）因为，，其中，， 所以，， 所以， 因为，所以； （2）由，可知，，， 所以，， 则． 38．如图，角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，若点的坐标为（其中）．    (1)求的值； (2)若将绕原点按逆时针方向旋转45°，得到角，求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由三角函数定义求得，再由平方关系求得作答. （2）根据给定条件得，利用两角和的正切公式求解作答． 【解析】（1）依题意，由三角函数定义得，且为第二象限的角，则， 所以. （2）由（1）知，，而， 所以. 题型九 证明恒等式 39．用两角和的余弦公式证明：． 【答案】证明见解析 【分析】利用两角和的余弦公式即可证明结论. 【解析】证明：， 故. 40．（1）若，求的值； （2）证明：． 【答案】（1）2；（2）证明见解析 【分析】（1）利用诱导公式及和角的正切公式求解即得. （2）利用诱导公式及和差角的正切公式推理得证. 【解析】（1）由，且， 即，整理得， 所以． （2）左边 右边， 所以原等式成立. 41．证明下列恒等式： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）运用恒等变换公式，同角三角函数的商数关系即可化简； （2）运用两角和的正切公式证明即可． 【解析】（1） ； （2） 题型十 实际应用题 42．如图所示，设计一种测量建筑物高度的方法.，，三点在同一条水平基线上，在，两点处用测角仪器测得的仰角分别为，，米，若测角仪器高度忽略不计，当建筑物高度 米时，角的值最大． 【答案】 【分析】设出未知数，表达出，，，利用基本不等式求出答案. 【解析】设，， ， 其中，当且仅当，即取得最大值. 故答案为： 43．1471年德国数学家米勒向诺德尔教授提出一个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即视角最大，视角是指由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角），这个问题被称为米勒问题，诺德尔教授给出解答，以悬杆的延长线和水平地面的交点为圆心，悬杆两端点到地面的距离的积的算术平方根为半径在地面上作圆，则圆上的点对悬杆视角最大.米勒问题在实际生活中应用十分广泛.某人观察一座山上的铁塔，塔高，山高，此人站在对塔“最大视角”（忽略人身高）的水平地面位置观察此塔，则此时“最大视角”的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设此时视角为，塔底离地面高度为，塔顶离地面高度为，根据题意，，然后利用两角差的正切值公式求得，进而利用同角三角函数关系求得“最大视角”的正弦值. 【解析】由米勒问题的解答可知，此人应站在离塔水平距离为处观察， 设此时视角为，塔底离地面高度为，塔顶离地面高度为， 则，则， 故. 故选：B 44．1471年米勒提出了一个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆看上去最长即可见角最大后人称其为“米勒问题”.我们把地球表面抽象为平面，悬杆抽象为直线l上两点A，，则上述问题可以转化为如下模型：如图1，直线l垂直于平面，l上的两点A，B位于平面同侧，求平面上一点C，使得最大.建立图2所示的平面直角坐标系.设，当最大时，（    ） A．2ab B． C． D．ab 【答案】B 【分析】根据题意可得，然后由正切的和差角公式即可得到，再由基本不等式即可得到结果. 【解析】有题意可知，是锐角且， 因为， 所以， 且，当且仅当，即时，等号成立， 故当，，此时最大. 故选:B 45．电视塔是县城的标志性建筑，我校高一年级数学兴趣小组去测量电视塔AB的高度，该兴趣小组同学在电视塔底B的正东方向上选取两个测量点C与D，记，（左图），测得米，，． (1)请据此算出电视塔AB的高度； (2)为庆祝即将到来的五一劳动节，县政府决定在电视塔上A到E处安装彩灯烘托节日气氛．已知米，市民在电视塔底B的正东方向上的F处欣赏彩灯（图右），请问当BF为多少米时，欣赏彩灯的视角最大? 【答案】(1)150米 (2)米 【分析】（1）分别在和中，利用正切函数表示出，然后根据题意列方程可求出； （2）由图可知，设米，给两边取正切化简，结合基本不等式可求得其最大值. 【解析】（1）在中，，得 在中，，得 因为， 所以，解得米． 答：电视塔的高度大约是150米． （2）由图可知，设米，则 当且仅当，即时等号成立． 显然且在单调递增，即最大时最大． 答：当为米时，欣赏彩灯的视角最大． 一、填空题 1．若，则 . 【答案】/0.5 【分析】利用这个等式来求解与正切函数相关的比值。解题的关键在于将已知条件利用三角恒等变换转化为所求表达式的形式. 【解析】由得： ， 所以 化简得到： ， 所以； 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：将给定的条件与所求表达式联系起来，通过正弦和正切的性质以及和差化积的公式，最终化简求解。这一过程体现了数学解题中转化和化归的思想，即通过一系列的数学变换，将复杂问题转化为较为简单的问题，从而求解。在解决这类问题时，熟悉和灵活运用三角恒等变换公式是非常重要的. 2．已知为方程的两个实数根，且，，则的最大值为 . 【答案】 【分析】由根与系数的关系及已知可求得，由,化简为关于的一元二次方程，根据方程有解，利用判别式计算即可得出结果. 【解析】因为为方程的两个实数根，， 所以，解得，或， 若，则即， 因为，故， 若，则，不成立， 若，则，故， 故也不成立，故， 所以，则， 则， 化简可得 ，由方程有解，可知： ，即. 解得：， 则的最大值为. 故答案为：. 二、单选题 3．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角恒等变换求解． 【解析】由， 可知， 则有，即， 化简可得，将代入可得， 故． 故选：B 4．若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由知，由两角和的正弦公式展开并整理得到，再利用得到，由基本不等式得. 【解析】若，则， 所以， 所以，即， ， 若使得取得最大值，不妨设， 则， 当且仅当，即时取等号. 故选：D. 【点睛】方法点睛：三角函数中的凑角技巧 ； ； . 三、解答题 5．已知，是方程（）的两个根，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据根与系数的关系结合两角和的正切公式可得，然后利用同角三角函数的关系化简等式的左边即可. 【解析】证明：因为，是方程（）的两个根， 所以，， 所以. 所以左边 右边. 所以原等式成立. 6．如图，在中，，，，.    (1)若，，求的长，由此推出的值； (2)设，（、、均为锐角），试由图推出求的公式. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）过C作，利用直角三角形边角关系求出即可得解. （2）求得，再分别求出即可得解. 【解析】（1）如图，过C作于，    由，得四边形为矩形， 又，，，则，， 而，，则，， 于是，，在中，同理， 所以，. （2）由，，得， ， 而，，则， 又，，则， 所以. 27 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$