专题03 诱导公式重难点题型专训（6大题型+15道提优训练）-2024-2025学年高一数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版2020必修第二册）

专题03 诱导公式重难点题型专训（6大题型+15道提优训练） 题型一 利用诱导公式求值 题型二 利用诱导公式化简 题型三 利用诱导公式证明恒等式 题型四 正切函数的诱导公式 题型五 诱导公式的综合问题 题型六 诱导公式和三角形内角的综合应用 知识点01 诱导公式 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα （k∈Z） cos（2kπ＋α）＝cosα （k∈Z） tan（2kπ＋α）＝tanα （k∈Z） cot（2kπ＋α）＝cotα （k∈Z） 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα (以上k∈Z) tan2α＝2tanα/[1－tan^2(α)] 【经典例题一 利用诱导公式求值】 【例1】（24-25高一下·上海青浦·期末）求值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】利用诱导公式、特殊角的三角函数值计算可得答案； 【详解】（1） ； （2）. . 1．（24-25高一下·上海虹口·阶段练习）已知角 的始边为 轴非负半轴，终边经过点 ，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得tanθ的值，再利用诱导公式、同角三角函数的基本关系求得要求式子的值． 【详解】∵角θ的始边为x轴非负半轴，终边经过点， ∴， 则. 故选：D 2．（24-25高一下·上海嘉定浦·阶段练习）若是第三象限角，且，求的值 【答案】/ 【分析】利用诱导公式整理函数解析式以及求得正弦值，根据同角三角函数的平方式，可得答案. 【详解】， 若是第三象限角，且，有， 则，，所以. 故答案为：. 3．（24-25高一下·上海杨浦·阶段练习）已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，若终边经过点. (1)计算的值. (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正切函数定义求出函数值. （2）利用诱导公式化简，再利用正余弦齐次法计算即得. 【详解】（1）依题意，. （2）由（1）知， . 【经典例题二 利用诱导公式化简】 【例2】（24-25高一下·上海金山·阶段练习）化简求值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合指数幂运算性质和对数运算性质化简求值； （2）根据平方关系及特殊角三角函数值化简求值. 【详解】（1）原式； （2）原式. 1．（23-24高一下·上海长宁·阶段练习）化简：（    ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】C 【分析】根据诱导公式、同角三角函数的基本关系，化简即可得解. 【详解】 , 因为, 所以原式. 故选：C 2．（23-24高一下·上海崇明·阶段练习）化简： . 【答案】 【分析】利用诱导公式运算即可得解. 【详解】解：∵， ，， ，， ∴. 故答案为：. 3．（23-24高一·全国·随堂练习）化简： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】根据特殊角的三角函数值和三角函数的诱导公式，准确化简、运算，即可求解. 【详解】（1）解：根据三角函数的诱导公式，可得： . （2）解：根据三角函数的诱导公式，可得： . （3）解：根据特殊角的三角函数值，可得： . （4）解：根据特殊角的三角函数值，可得： . （5）解：根据特殊角的三角函数值和三角函数的诱导公式，可得： . 【经典例题三 利用诱导公式证明恒等式】 【例3】（24-25高一下·上海·课堂例题）证明：． 【答案】证明见解析 【分析】利用诱导公式化简即可. 【详解】左边右边， 所以． 1．（24-25高一下·上海·课后作业）已知，求证：. 【答案】证明见解析. 【分析】由已知可得（），代入等式左边，再利用诱导公式推理即得. 【详解】由，得（），则（）， 因此 ， 所以原等式成立. 2．（2024高三·全国·专题练习）求证：当k＝2或3时，. 【答案】证明见解析 【详解】证明：当k＝2时，左边＝＝＝＝＝右边； 当k＝3时，左边＝＝＝＝＝右边． 综上，k＝2或k＝3原等式恒成立． 3．（23-24高一下·上海青浦·期末）已知函数的定义域为，且的图象连续不间断，若函数满足：对于给定的实数且，存在，使得，则称具有性质． (1)已知函数，判断是否具有性质，并说明理由； (2)求证：任取，函数，具有性质； (3)已知函数，，若具有性质，求的取值范围． 【答案】(1)具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据新定义可知，即，代入求即可进行判断； （2）根据条件验证时的取值范围即可； （3）考虑和两种情况，再用反证法即可求出取值范围． 【详解】（1）解：具有性质， 设，令，则， 解得，又，所以具有性质； （2）证明：任取，令，则， 因为，解得，又，所以， 当，时，， 即，即任取实数，都具有性质； （3）解：若，取，则且，故， 又，，所以具有性质； 假设存在使得具有性质，即存在，使得， 若，则，，，， 若，则，进而，，，， ，所以假设不成立，所以． 【经典例题四 正切函数的诱导公式】 【例4】（23-24高一下·上海闵行·期中）已知函数 (1)求的定义域； (2)若，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，，解得函数的定义域为. （2）化简，代入求得 然后根据以及同角三角函数间的关系，解得， 最后化简解得： 【详解】（1）依题意，，. 所以有. 所以函数的定义域为. （2）. 由，得. 又因为， 所以. 所以. 所以 1．（23-24高一下·上海静安·阶段练习）已知是方程的根，且是第三象限角，求的值. 【答案】 【分析】利用是方程的根，且是第三象限角，得到，进而求出，再利用诱导公式对所求式子进行化简即可得到答案. 【详解】方程的根为，是第三象限角，为负，故， ，.. 2．（23-24高一下·上海徐汇·期末）已知 (1)求的值． (2)求 【答案】(1) (2) 【分析】根据条件可解出与的值，再利用商数关系求解 【详解】（1），又，解得 故 （2）由诱导公式得 3．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）已知． (1)化简,并求的值; (2)若,且,求的值． 【答案】(1); (2) 【分析】(1)先根据诱导公对进行化简,再将代入进算出结果即可; (2)将代入可求,根据的正负及,可判断正负,从而判断正负,对平方再开方,代入即可得所求. 【详解】（1）解:由题知 , ; （2）,, ,且, , 故. 【经典例题五 诱导公式的综合问题】 【例5】 （24-25高一下·上海青浦·阶段练习）已知是第三象限角，且． (1)求的值； (2)求的值； (3)角的终边与角的终边关于轴对称，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由诱导公式化简原式，即可得到结果. （2）先对式子除以，再分子分母同时除以，将第一问的结果代入即可. （3）因为角的终边与角的终边关于轴对称，所以，利用用诱导公式化简，再分子分母同除，即可得到结果. 【详解】（1）根据诱导公式得， 因为是第三象限角，所以，所以． （2） ． （3）因为是第三象限角，且，角的终边与角关于轴对称， 则， 所以 1．（24-25高一下·上海杨浦·阶段练习）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点. (1)求和的值； (2)求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由三角函数的定义可得； （2）由同角的三角函数和诱导公式求解即可； 【详解】（1）由角的终边经过点，可知，. （2）由（1）得， 原式. 2．（24-25高一下·上海奉贤·期末）在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心O和P得到射线，将射线绕点O按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点B，其中． (1)求出m的值和锐角的大小； (2)求的值； (3)记点B的横坐标为，若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先根据点在单位圆上求得，再根据三角函数的定义求得角； （2）利用诱导公式整体化简求解即可； （3）结合三角函数的定义及同角三角函数基本关系求得，再根据诱导公式化简代入求值即可. 【详解】（1）根据题意，可得，，解得， 所以，又是锐角，则. （2） . （3）根据三角函数定义可得：， ，， ，则， 所以 . 3．（24-25高一下·上海长宁·阶段练习）如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为. (1)求的值，并求，，的值. (2)求的值； (3)若，求的坐标. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用点在单位圆上与角的范围求得，再利用三角函数的定义即可得解； （2）利用三角函数的诱导公式与正余弦的齐次式法即可得解； （3）根据题意得，再利用三角函数的诱导公式与定义即可得解. 【详解】（1）因为点在单位圆上且， 所以且，解得，即， 由三角函数定义得，. （2） . （3）依题意，得， 则， ， 故. 【经典例题六 诱导公式和三角形内角的综合应用】 【例6】（24-25高一下·上海·随堂练习）已知为的内角，求证：，，. 【答案】证明见解析 【分析】利用三角形内角和定理，结合诱导公式即可证明. 【详解】在中，， ∴， ∴， ∴， ， . 1．（23-24高一·全国·课后作业）已知A，B，C为的三个内角，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用和诱导公式，即可证明； （2）利用和诱导公式，即可证明. 【详解】（1）在中，，则. 又∵ ∴ （2）在中，，则. ∴， ∴． 2．（23-24高一下·上海徐汇·期末）已知 (1)化简； (2)若角是三角形ABC的内角，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由诱导公式即可化简； （2）由同角三角函数的平方和商的关系即可求解． 【详解】（1） ．． 即． （2）由，得，所以，． 所以角是钝角，． ，， 所以．． 3．（24-25高一下·上海黄浦·阶段练习）（1）化简，并求时该式的值； （2）设的三个内角为A，B，C，且，判断的符号并说明理由. 【答案】化简后结果为，时原式；（2），理由见解析 【分析】（1）由诱导公式化简，然后代入计算； （2）由三角形内角和判断出中有一个钝角，从而只能为锐角，从而得其余弦符号． 【详解】（1）， 时，原式； （2）因为A，B，C为的三个内角，， ∴或，从而中有一个是钝角， 因此为锐角，从而． 1．（24-25高一下·上海虹口·阶段练习）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的解析式，结合分段条件，代入计算，列出方程，即可求解. 【详解】因为 故选：D. 2．（24-25高一下·上海嘉定·阶段练习）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式结合同角三角函数的平方关系可化简所求代数式. 【详解】因为，则，则， 所以， ， 故选：A. 3．（2025高一·全国·专题练习）英国著名数学家布鲁克・泰勒（Brook Taylor）以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世．泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限项连加式来表示一个函数，如：，其中．根据该展开式可知，与的值最接近的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，再根据，转化为角度制求解. 【详解】解：由题意知， 因为， 所以． 故选：B． 4．（24-25高一下·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边与单位圆交于点P，且.点P在该单位圆上按逆时针方向做圆周运动到达点Q.若经过的圆弧的长为，则点Q的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点的坐标为，由，利用三角函数定义可得点Q的纵坐标. 【详解】设点的坐标为，由， 有，解得， 所以点的纵坐标为. 故选：C. 5．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里面有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石.”黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为称为黄金分割比.黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）.由此我们可得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意画出三角形及列出等式，由此可算，再由诱导公式可求. 【详解】如图，在中，，，点为中点，底与腰之比为黄金分割比， 所以，， 所以， 所以. 故选：A. 6．（24-25高一下·上海青松江·阶段练习）已知 ，且， 则 = . 【答案】 【分析】根据角的范围可确定，利用同角三角函数的基本关系及诱导公式可得结果. 【详解】∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴. 故答案为：. 7．（24-25高一下·上海青浦·期末）已知函数，则 . 【答案】 【分析】根据函数的对称性可得，即可求解. 【详解】因为， 所以 ， 故， 故答案为： 8．（23-24高一下·上海杨浦·阶段练习）若、是关于的方程的两个根，则 . 【答案】/ 【分析】先根据韦达定理得到，进而求得，，再结合诱导公式化简求值即可. 【详解】由题意得，，则或， 又，即，解得或（舍去）， 则， 所以 . 故答案为：. 9．（24-25高一下·上海嘉定·阶段练习）已知角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则角的一个可能值为 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】由正切函数的定义结合诱导公式求解即可； 【详解】因为的终边经过点， 所以， 所以角的一个可能值为. 故答案为：（答案不唯一）. 10．（23-24高一下·上海青浦·期末）如图，单位圆被点，，，…，平均分成份，以轴的正半轴为始边，（…）为终边的角记为，则= ，= ．（说明：∑是一个连加符号，…） 【答案】 / 【分析】根据题意，可先确定的值，再求三角函数值. 【详解】 由题意得，所以，所以. 单位圆被平均分成12份，则， ，所以. 故答案为：； 11．（24-25高一下·上海闵行·期末）（1）已知，求的值； （2）若，求的值 【答案】（1）（2） 【分析】（1）利用弦化切可得答案； （2）利用诱导公式计算可得答案. 【详解】（1）因为，所以， 所以 ； （2）因为， 所以 . 12．（23-24高一下·全国·课后作业）已知是关于x的方程的两实根，且，求的值. 【答案】. 【分析】根据题意，由韦达定理表示出两根之和列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出两根之和，联立求出与的值，根据的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出与的值，所求式子利用诱导公式化简后将各自的值代入计算即可求出值． 【详解】∵是关于的方程的两实根， ∴由韦达定理得，解得. 又∵∴∴(舍去)， ∴或，∵， ∴或 ∴. 13．（23-24高一下·上海奉贤·阶段练习）已知为的一个内角，且满足. （1）求的值； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）因为则，，由原方程两边平方整理得，即可求解； （2）利用诱导公式将原式化简再求值即可． 【详解】解：（1）因为，， 所以，若，则， 因为，所以，， 所以，所以， 所以，所以， 整理得， 解得或（舍去）， 所以 （2）原式 ． 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键在于运用了弦化切方法以及诱导公式的运用． 14．（24-25高一下·上海长宁·阶段练习）（1）已知是第四象限角.若，求的值； （2）已知是关于的方程的两个实根，且求 的值. 【答案】（1）；（2）或. 【分析】（1）先由平方和关系求出，再由诱导公式即可计算求解； （2）先由韦达定理结合题设求出k，进而求出，接着由平方和关系齐次化再弦化切即可计算求解. 【详解】（1）因为是第四象限角，， 所以， 所以. （2）由题可得由②可得：解得， 因，所以则， 故， 代入①，可得：，即，解得或， 当时，； 当时，. 故 的值为或. 15．（24-25高一下·上海徐汇·期末）如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为.    (1)求的值； (2)若，求的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数的定义可得，即可由诱导公式化简，利用齐次式弦切互化即可代入求解 （2）根据，利用诱导公式即可结合三角函数的定义求解. 【详解】（1）由于点的坐标为且在单位圆上，结合，故， 因此， （2）由于，故， 因此，， 又点的坐标为，则点的坐标为 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 诱导公式重难点题型专训（6大题型+15道提优训练） 题型一 利用诱导公式求值 题型二 利用诱导公式化简 题型三 利用诱导公式证明恒等式 题型四 正切函数的诱导公式 题型五 诱导公式的综合问题 题型六 诱导公式和三角形内角的综合应用 知识点01 诱导公式 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα （k∈Z） cos（2kπ＋α）＝cosα （k∈Z） tan（2kπ＋α）＝tanα （k∈Z） cot（2kπ＋α）＝cotα （k∈Z） 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα (以上k∈Z) tan2α＝2tanα/[1－tan^2(α)] 【经典例题一 利用诱导公式求值】 【例1】（24-25高一下·上海青浦·期末）求值： (1)； (2). 1．（24-25高一下·上海虹口·阶段练习）已知角 的始边为 轴非负半轴，终边经过点 ，则 的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·上海嘉定浦·阶段练习）若是第三象限角，且，求的值 3．（24-25高一下·上海杨浦·阶段练习）已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，若终边经过点. (1)计算的值. (2)求的值. 【经典例题二 利用诱导公式化简】 【例2】（24-25高一下·上海金山·阶段练习）化简求值： (1)； (2). 1．（23-24高一下·上海长宁·阶段练习）化简：（    ） A．1 B．0 C． D．2 2．（23-24高一下·上海崇明·阶段练习）化简： . 3．（23-24高一·全国·随堂练习）化简： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【经典例题三 利用诱导公式证明恒等式】 【例3】（24-25高一下·上海·课堂例题）证明：． 1．（24-25高一下·上海·课后作业）已知，求证：. 2．（2024高三·全国·专题练习）求证：当k＝2或3时，. 3．（23-24高一下·上海青浦·期末）已知函数的定义域为，且的图象连续不间断，若函数满足：对于给定的实数且，存在，使得，则称具有性质． (1)已知函数，判断是否具有性质，并说明理由； (2)求证：任取，函数，具有性质； (3)已知函数，，若具有性质，求的取值范围． 【经典例题四 正切函数的诱导公式】 【例4】（23-24高一下·上海闵行·期中）已知函数 (1)求的定义域； (2)若，且，求的值. 1．（23-24高一下·上海静安·阶段练习）已知是方程的根，且是第三象限角，求的值. 2．（23-24高一下·上海徐汇·期末）已知 (1)求的值． (2)求 3．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）已知． (1)化简,并求的值; (2)若,且,求的值． 【经典例题五 诱导公式的综合问题】 【例5】 （24-25高一下·上海青浦·阶段练习）已知是第三象限角，且． (1)求的值； (2)求的值； (3)角的终边与角的终边关于轴对称，求的值． 1．（24-25高一下·上海杨浦·阶段练习）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点. (1)求和的值； (2)求的值. 2．（24-25高一下·上海奉贤·期末）在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心O和P得到射线，将射线绕点O按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点B，其中． (1)求出m的值和锐角的大小； (2)求的值； (3)记点B的横坐标为，若，求的值． 3．（24-25高一下·上海长宁·阶段练习）如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为. (1)求的值，并求，，的值. (2)求的值； (3)若，求的坐标. 【经典例题六 诱导公式和三角形内角的综合应用】 【例6】（24-25高一下·上海·随堂练习）已知为的内角，求证：，，. 1．（23-24高一·全国·课后作业）已知A，B，C为的三个内角，求证： (1)； (2)． 2．（23-24高一下·上海徐汇·期末）已知 (1)化简； (2)若角是三角形ABC的内角，且，求的值． 3．（24-25高一下·上海黄浦·阶段练习）（1）化简，并求时该式的值； （2）设的三个内角为A，B，C，且，判断的符号并说明理由. 1．（24-25高一下·上海虹口·阶段练习）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·上海嘉定·阶段练习）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（2025高一·全国·专题练习）英国著名数学家布鲁克・泰勒（Brook Taylor）以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世．泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限项连加式来表示一个函数，如：，其中．根据该展开式可知，与的值最接近的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边与单位圆交于点P，且.点P在该单位圆上按逆时针方向做圆周运动到达点Q.若经过的圆弧的长为，则点Q的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里面有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石.”黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为称为黄金分割比.黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）.由此我们可得（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·上海青松江·阶段练习）已知 ，且， 则 = . 7．（24-25高一下·上海青浦·期末）已知函数，则 . 8．（23-24高一下·上海杨浦·阶段练习）若、是关于的方程的两个根，则 . 9．（24-25高一下·上海嘉定·阶段练习）已知角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则角的一个可能值为 . 10．（23-24高一下·上海青浦·期末）如图，单位圆被点，，，…，平均分成份，以轴的正半轴为始边，（…）为终边的角记为，则= ，= ．（说明：∑是一个连加符号，…） 11．（24-25高一下·上海闵行·期末）（1）已知，求的值； （2）若，求的值 12．（23-24高一下·全国·课后作业）已知是关于x的方程的两实根，且，求的值. 13．（23-24高一下·上海奉贤·阶段练习）已知为的一个内角，且满足. （1）求的值； （2）. 14．（24-25高一下·上海长宁·阶段练习）（1）已知是第四象限角.若，求的值； （2）已知是关于的方程的两个实根，且求 的值. 15．（24-25高一下·上海徐汇·期末）如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为.    (1)求的值； (2)若，求的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $$