2025年山东九年级中考数学复习讲义 专题28 统计

专题28 统计 （山东专用） 【人教版】 【基本知识梳理】 1.全面调查与抽样调查 全面调查：考察全体对象的调查叫做全面调查。 抽样调查：只抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况，这种调查方法叫做抽样调查。 2.总体、个体及样本 总体是要考察的全体对象。其中每一个考察对象叫做个体。 当总体中个体数目较多时，一般从总体中抽取一部分个体，这部分个体叫做总体的样本。样本中个体的数目叫做样本容量。 3.常见统计图表 （1）条形统计图：条形统计图就是用长方形的高来表示数据的图形； （2）折线统计图：用几条线段连成的折线来表示数据的图形； （3）扇形统计图：用一个圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分在总体中所占百分比大小，这样的统计图叫扇形统计图； （4）频数分布直方图、频数折线图：能显示各组频数分布的情况，显示各组之间频数的差别． 4.平均数 （1）平均数：一般地，如果有n个数那么，叫做这n个数的平均数，读作“x拔”． （2）加权平均数：如果n个数中，出现次，出现次，…，出现次（这里），那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为，这样求得的平均数叫做加权平均数，其中叫做权． 5.众数与中位数 众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。 中位数：将一组数据按由小到大(或由大到小)的顺序排列。如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数。 6.方差与标准差 方差： 方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。 标准差：方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即 考点1 调查方式 【例1】（2024·山东淄博·中考二模）在下面的调查中，最适合用全面调查的是（     ） A．了解一批节能灯管的使用寿命 B．了解某校初四1班学生的视力情况 C．了解京杭大运河中鱼的种类 D．了解某省初中生每周上网时长情况 【变式1-1】（2024·山东济宁·中考一模）下列调查中，适宜抽样调查的是（    ） A．了解某班级学生的身高情况 B．选拔出某校跑最快的学生参加全省比赛 C．调查某批次汽车的抗撞击能力 D．调查某校九年级一班学生课外体育锻炼时间 【变式1-2】（2024·山东泰安·中考模拟）某食品厂对其生产的甲、乙两种品牌产品的质量进行调查，已知两种产品共3000个，其中甲产品1800个，乙产品1200个，用简单随机抽样的方式产生样本，如果样本大小为30，现有四种调查方案，其中调查结果更精确的是（    ） A．在甲产品抽取30个进行调查 B．在甲“乙产品各抽取15个进行调查 C．分别在甲产品抽取18个，在乙产品抽取12个进行调查 D．分别在甲产品抽取12个，在乙产品抽取18个进行调查 【变式1-3】（2023·山东济宁·中考模拟）某市为了调查九年级学生的体质情况，在全市的98000名学生中随机抽取了1000名学生．下列说法错误的是（    ） A．此次调查属于全面调查 B．98000名学生的体质情况是总体 C．被抽取的每一名学生的体质情况称为个体 D．样本容量是1000 考点2 平均数、中位数、众数 【例2】（2024·山东日照·中考真题）某班40名同学一周参加体育锻炼的时间统计图如图所示，那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-1】（2024·山东东营·中考真题）4月23日是世界读书日，东营市组织开展“书香东营，全民阅读”活动，某学校为了解学生的阅读时间，随机调查了七年级50名学生每天的平均阅读时间，统计结果如下表所示．在本次调查中，学生每天的平均阅读时间的众数是 小时． 时间（小时） 0.5 1 1.5 2 2.5 人数（人） 10 18 12 6 4 【变式2-2】（2024·山东淄博·中考真题）数学兴趣小组成员小刚对自己的学习质量进行了测试．如图是他最近五次测试成绩（满分为100分）的折线统计图，那么其平均数和方差分别是（    ） A．95分， B．96分， C．95分，10 D．96分，10 【变式2-3】（2024·山东东营·中考模拟）在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式：，由公式提供的信息：样本的容量是；样本的中位数是；样本的众数是；样本的平均数是．则说法正确的有 ． 考点3 方差 【例3】（2024·山东德州·中考真题）甲、乙、丙三名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩（单位:环）如下表所示： 甲 乙 丙 则三名运动员中成绩最稳定的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【变式3-1】（2024·山东烟台·中考真题）射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下图，其成绩的方差分别记为和，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式3-2】（2024·山东东营·中考模拟）在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式：，由公式提供的信息：样本的容量是；样本的中位数是；样本的众数是；样本的平均数是．则说法正确的有 ． 【变式3-3】（2024·山东临沂·中考模拟）已知数据x1，x2，…，xn的平均数是5，方差是5，则数据2x1+3，2x2+3，2x3+3，…，2xn+3的平均数是 ，方差是 ． 考点4 用样本估计总体 【例4】（2024·山东青岛·中考一模）某校随机抽取50名学生进行每周课外阅读时间的问卷调查，将调查结果制成频数直方图如图所示（每组包含最大值，不包含最小值）．估计该校1800名学生中每周阅读时间多于6小时的学生共有（    ） A．20人 B．396人 C．720人 D．1080人 【变式4-1】（2024·山东滨州·一模）今年哈尔滨的旅游火了，某商场准备进400双滑冰鞋，了解了某段时间内销售的40双滑冰鞋的鞋号，数据如下：根据以下数据，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为 双． 鞋号 35 36 37 38 39 40 41 42 43 销售量/双 2 4 5 5 12 6 3 2 1 【变式4-2】（2023·山东滨州·中考三模）某地区为估计该地区黄羊的只数，先捕捉20只黄羊给它们分别作上标志，然后放回，待有标志的黄羊完全混合于黄羊群后，第二次捕捉40只黄羊，发现其中两只有标志．从而估计该地区有黄羊 只． 【变式4-3】（2023·山东青岛·中考一模）元旦期间，某游乐场发布一游戏规则：在一个装有6个红球和若干个白球的不透明袋子中，随机摸出一个球，摸到红球就可获得欢动世界通票一张．已知有300人参加这个游戏，游乐场为此发放欢动世界通票60张，请你估计袋子中白球的数量是 个． 考点5 统计综合题 【例5】（2024·山东临沂·枣庄·菏泽·聊城·中考真题）某学校开展了“校园科技节”活动，活动包含模型设计、科技小论文两个项目．为了解学生的模型设计水平，从全校学生的模型设计成绩中随机抽取部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用表示），并将其分成如下四组：，，，． 下面给出了部分信息： 的成绩为：81，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89． 根据以上信息解决下列问题： (1)请补全频数分布直方图； (2)所抽取学生的模型设计成绩的中位数是________分； (3)请估计全校1000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数； (4)根据活动要求，学校将模型设计成绩、科技小论文成绩按的比例确定这次活动各人的综合成绩． 某班甲、乙两位学生的模型设计成绩与科技小论文成绩（单位：分）如下： 模型设计 科技小论文 甲的成绩 94 90 乙的成绩 90 95 通过计算，甲、乙哪位学生的综合成绩更高？ 【变式5-1】（2024·山东德州·中考真题）某校随机调查了本学期部分学生读课外书的册数情况，整理得到如下不完整的统计表和扇形图． 册数 四册 五册 六册 七册 人数 6 a 9 7 (1)本次调查的学生人数为________； (2) ________； (3)已知该校共有1800名学生，请估计全校本学期读四册课外书的学生人数________； (4)学校随后又补查了另外几人读课外书的册数情况，发现这几人读课外书的册数恰好相同．将其与之前的数据合并后，发现册数的众数变成了另外一个数，则补查的人数最少为________． 【变式5-2】（2024·山东青岛·中考真题）某校准备开展“行走的课堂，生动的教育”研学活动，并计划从博物馆、动物园、植物园、海洋馆（依次用字母A，B，C，D表示）中选择一处作为研学地点．为了解学生的选择意向，学校随机抽取部分学生进行调查，整理绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图；扇形统计图中A所对应的圆心角的度数为______°； (2)该校共有1600名学生，请你估计该校有多少名学生想去海洋馆； (3)根据以上数据，学校最终将海洋馆作为研学地点，研学后，学校从八年级各班分别随机抽取10名学生开展海洋知识竞赛．甲班10名学生的成绩（单位：分）分别是：75，80，80，82，83，85，90，90，90，95；乙班10名学生的成绩．（单位：分）的平均数、中位数、众数分别是：84，83，88．根据以上数据判断______班的竞赛成绩更好．（填“甲”或“乙”） 【变式5-3】（2024·山东潍坊·中考真题）在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可从“产品质量”“商家服务”“发货速度”“快递服务”等方面给予商家分值评价（分值为分、分、分、分和分）．该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款T恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析． 【数据描述】 下图是根据样本数据制作的不完整的统计图，请回答问题（）（）． （）平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分值？请补全条形统计图； （）求甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角的度数． 【分析与应用】 样本数据的统计量如下表，请回答问题（）（）． 商家 统计量 中位数 众数 平均数 方差 甲商家 乙商家 （）直接写出表中和的值，并求的值； （）小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款T恤衫．你认为小亮应该选择哪一家？说明你的观点． 【变式5-4】（2024·山东泰安·中考真题）某超市打算购进一批苹果，现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取10个，测得它们的直径（单位：mm），并制作统计图如下： 根据以上信息，解答下列问题： (1) 统计量供应商 平均数 中位数 众数 甲 80 80 乙 76 则__________，__________，__________． (2)苹果直径的方差越小，苹果的大小越整齐，据此判断，__________供应商供应的苹果大小更为整齐．（填“甲”或“乙”） (3)超市规定直径（含）以上的苹果为大果，超市打算购进甲供应商的苹果2000个，其中，大果约有多少个？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题28 统计 （山东专用） 【人教版】 【基本知识梳理】 1.全面调查与抽样调查 全面调查：考察全体对象的调查叫做全面调查。 抽样调查：只抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况，这种调查方法叫做抽样调查。 2.总体、个体及样本 总体是要考察的全体对象。其中每一个考察对象叫做个体。 当总体中个体数目较多时，一般从总体中抽取一部分个体，这部分个体叫做总体的样本。样本中个体的数目叫做样本容量。 3.常见统计图表 （1）条形统计图：条形统计图就是用长方形的高来表示数据的图形； （2）折线统计图：用几条线段连成的折线来表示数据的图形； （3）扇形统计图：用一个圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分在总体中所占百分比大小，这样的统计图叫扇形统计图； （4）频数分布直方图、频数折线图：能显示各组频数分布的情况，显示各组之间频数的差别． 4.平均数 （1）平均数：一般地，如果有n个数那么，叫做这n个数的平均数，读作“x拔”． （2）加权平均数：如果n个数中，出现次，出现次，…，出现次（这里），那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为，这样求得的平均数叫做加权平均数，其中叫做权． 5.众数与中位数 众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。 中位数：将一组数据按由小到大(或由大到小)的顺序排列。如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数。 6.方差与标准差 方差： 方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。 标准差：方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即 考点1 调查方式 【例1】（2024·山东淄博·中考二模）在下面的调查中，最适合用全面调查的是（     ） A．了解一批节能灯管的使用寿命 B．了解某校初四1班学生的视力情况 C．了解京杭大运河中鱼的种类 D．了解某省初中生每周上网时长情况 【答案】B 【分析】本题主要考查全面调查与抽样调查的知识，熟练掌握全面调查和抽样调查的适用范围是解题的关键．根据全面调查的适用范围作出判断即可． 【详解】解：A．了解一批节能灯管的使用寿命，应采用抽样调查的方式，故A选项不符合题意； B．了解某校初四1班学生的视力情况，应采用全面调查的方式，故B选项符合题意； C．了解京杭大运河中鱼的种类，应采用抽样调查的方式，故C选项不符合题意； D．了解某省初中生每周上网时长情况，应采用抽样调查的方式，故D选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】（2024·山东济宁·中考一模）下列调查中，适宜抽样调查的是（    ） A．了解某班级学生的身高情况 B．选拔出某校跑最快的学生参加全省比赛 C．调查某批次汽车的抗撞击能力 D．调查某校九年级一班学生课外体育锻炼时间 【答案】C 【分析】根据抽样调查和普查的特点，选择合适的调查方式．本题考查了调查的两种方式，熟练掌握两种方式使用的基本特点是解题的关键． 【详解】了解某班级学生的身高情况，采用普查方式， ∴A不符合题意； 选拔出某校跑最快的学生参加全省比赛，采用普查方式， ∴B不符合题意； 调查某批次汽车的抗撞击能力，采用抽查方式， ∴C符合题意； 调查某校九年级一班学生课外体育锻炼时间，采取普查的方式， ∴D符合题意； 故选C． 【变式1-2】（2024·山东泰安·中考模拟）某食品厂对其生产的甲、乙两种品牌产品的质量进行调查，已知两种产品共3000个，其中甲产品1800个，乙产品1200个，用简单随机抽样的方式产生样本，如果样本大小为30，现有四种调查方案，其中调查结果更精确的是（    ） A．在甲产品抽取30个进行调查 B．在甲“乙产品各抽取15个进行调查 C．分别在甲产品抽取18个，在乙产品抽取12个进行调查 D．分别在甲产品抽取12个，在乙产品抽取18个进行调查 【答案】C 【分析】本题考查抽样调查的可靠性：利用抽样调查的可靠性，即所占比例相同，即抽取的样本得当，就能很好地反映总体的情况，否则抽样调查的结果会偏离总体情况，应分别在甲产品抽取18个，在乙产品抽取12个进行调查． 【详解】解：∵两种产品共3000个，其中甲产品1800个，乙产品1200个，用简单随机抽样的方式产生样本，样本大小为30， ∴分别在甲产品抽取18个，在乙产品抽取12个进行调查． 故选：C． 【变式1-3】（2023·山东济宁·中考模拟）某市为了调查九年级学生的体质情况，在全市的98000名学生中随机抽取了1000名学生．下列说法错误的是（    ） A．此次调查属于全面调查 B．98000名学生的体质情况是总体 C．被抽取的每一名学生的体质情况称为个体 D．样本容量是1000 【答案】A 【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 【详解】解：A、此次调查属于抽样调查，原说法错误，故本选项符合题意； B、98000名学生的体质情况是总体，说法正确，故本选项不符合题意； C、被抽取的每一名学生的体质情况称为个体，说法正确，故本选项不符合题意； D、样本容量是1000，说法正确，故本选项不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 考点2 平均数、中位数、众数 【例2】（2024·山东日照·中考真题）某班40名同学一周参加体育锻炼的时间统计图如图所示，那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了众数、中位数，根据众数和中位数的定义即可得出答案，熟练掌握众数和中位数的定义是解此题的关键． 【详解】解：由统计图可知，该班40名同学一周参加体育锻炼时间出现次数最多的是小时，故众数是9， 处在第、位的是，故中位数是， 故选：A． 【变式2-1】（2024·山东东营·中考真题）4月23日是世界读书日，东营市组织开展“书香东营，全民阅读”活动，某学校为了解学生的阅读时间，随机调查了七年级50名学生每天的平均阅读时间，统计结果如下表所示．在本次调查中，学生每天的平均阅读时间的众数是 小时． 时间（小时） 0.5 1 1.5 2 2.5 人数（人） 10 18 12 6 4 【答案】1 【分析】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．直接根据众数的定义求解． 【详解】解：由统计表可知，每天阅读1小时的人数最多，为18人， 所以学生每天的平均阅读时间的众数是1小时． 故答案为：1． 【变式2-2】（2024·山东淄博·中考真题）数学兴趣小组成员小刚对自己的学习质量进行了测试．如图是他最近五次测试成绩（满分为100分）的折线统计图，那么其平均数和方差分别是（    ） A．95分， B．96分， C．95分，10 D．96分，10 【答案】D 【分析】本题考查折线图，求平均数和方差，根据平均数和方差的计算方法，进行计算即可． 【详解】解：平均数为：（分）； 方差为：； 故选D． 【变式2-3】（2024·山东东营·中考模拟）在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式：，由公式提供的信息：样本的容量是；样本的中位数是；样本的众数是；样本的平均数是．则说法正确的有 ． 【答案】 【分析】本题考查了方差，掌握样本容量的概念、方差、中位数、众数及平均数的定义是关键． 先根据小华所列方差计算公式得出这组数据为2、3、3、4，再分别根据样本容量的概念、中位数、众数及平均数的定义逐一判断即可． 【详解】解：由题意知，这组数据为2、3、3、4，样本容量为4，故①说法正确； 样本的中位数是，故②说法正确； 样本的众数为3，故③说法正确； 样本的平均数为，故④说法错误； 故答案为：①②③． 考点3 方差 【例3】（2024·山东德州·中考真题）甲、乙、丙三名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩（单位:环）如下表所示： 甲 乙 丙 则三名运动员中成绩最稳定的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查通过方差判断数据的稳定性，计算3名运动员测试成绩的方差，根据“方差越小，数据的波动越小，方差越大，数据的波动越大”即可解答． 【详解】解：甲的平均数为 方差； 乙的平均数为 方差； 丙的平均数为 方差； ∴ ∴甲的成绩最稳定． 故选：A． 【变式3-1】（2024·山东烟台·中考真题）射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下图，其成绩的方差分别记为和，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查比较方差的大小，根据折线图，得到乙选手的成绩波动较小，即可得出结果． 【详解】解：∵方差表示数据的离散程度，方差越大，数据波动越大，方差越小，数据波动越小，由折线图可知乙选手的成绩波动较小， ∴； 故选A． 【变式3-2】（2024·山东东营·中考模拟）在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式：，由公式提供的信息：样本的容量是；样本的中位数是；样本的众数是；样本的平均数是．则说法正确的有 ． 【答案】 【分析】本题考查了方差，掌握样本容量的概念、方差、中位数、众数及平均数的定义是关键． 先根据小华所列方差计算公式得出这组数据为2、3、3、4，再分别根据样本容量的概念、中位数、众数及平均数的定义逐一判断即可． 【详解】解：由题意知，这组数据为2、3、3、4，样本容量为4，故①说法正确； 样本的中位数是，故②说法正确； 样本的众数为3，故③说法正确； 样本的平均数为，故④说法错误； 故答案为：①②③． 【变式3-3】（2024·山东临沂·中考模拟）已知数据x1，x2，…，xn的平均数是5，方差是5，则数据2x1+3，2x2+3，2x3+3，…，2xn+3的平均数是 ，方差是 ． 【答案】 13 20 【分析】根据平均数与方差公式计算即可求解． 【详解】解：由题意，得=（）=5， S2= = =5 新数据平均数为 = =2 =2+3 =2×5+3 =13， 新数据方差为 = = =4×5 =20， 故答案为：13，20． 【点睛】本题考查平均数与方差，熟练掌握平均数与方差计算公式是解题的关键． 考点4 用样本估计总体 【例4】（2024·山东青岛·中考一模）某校随机抽取50名学生进行每周课外阅读时间的问卷调查，将调查结果制成频数直方图如图所示（每组包含最大值，不包含最小值）．估计该校1800名学生中每周阅读时间多于6小时的学生共有（    ） A．20人 B．396人 C．720人 D．1080人 【答案】C 【分析】本题考查了条形统计图，样本估计总体，用乘以阅读时间多于6小时的学生的占比，即可求解． 【详解】解：（人） 故选：C． 【变式4-1】（2024·山东滨州·一模）今年哈尔滨的旅游火了，某商场准备进400双滑冰鞋，了解了某段时间内销售的40双滑冰鞋的鞋号，数据如下：根据以下数据，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为 双． 鞋号 35 36 37 38 39 40 41 42 43 销售量/双 2 4 5 5 12 6 3 2 1 【答案】120 【分析】本题主要考查了用样本估计总体，用400乘以统计表中卖得最多的鞋号的数量占比即可得到答案． 【详解】解：根据统计表可得，39号的鞋卖的最多， ∴估计需求最多的鞋号为双． 故答案为：120． 【变式4-2】（2023·山东滨州·中考三模）某地区为估计该地区黄羊的只数，先捕捉20只黄羊给它们分别作上标志，然后放回，待有标志的黄羊完全混合于黄羊群后，第二次捕捉40只黄羊，发现其中两只有标志．从而估计该地区有黄羊 只． 【答案】400 【分析】设这个地区有黄羊x只，根据第二次捕捉40只绵羊，其中有2只有记号，即可列方程求解. 【详解】设这个地区有黄羊x只，由题意得 解得 则估计这个地区有黄羊400只． 故答案为：400 【点睛】本题考查的是用样本估计总体,解答本题的关键是读懂题意，得到第二次捕捉的绵羊中有记号的占全部有记号的比例. 【变式4-3】（2023·山东青岛·中考一模）元旦期间，某游乐场发布一游戏规则：在一个装有6个红球和若干个白球的不透明袋子中，随机摸出一个球，摸到红球就可获得欢动世界通票一张．已知有300人参加这个游戏，游乐场为此发放欢动世界通票60张，请你估计袋子中白球的数量是 个． 【答案】24 【分析】设袋中共有个白球，根据摸到红球的概率求出球的总个数，即可解答． 【详解】解：设袋中共有个白球，则摸到红球的概率， 由题意得，， 解得， 经检验：是分式方程的解，且符合题意， 估计袋子中白球的数量是24个． 故答案为：24． 【点睛】本题考查了利用样本估计总体和频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率． 考点5 统计综合题 【例5】（2024·山东临沂·枣庄·菏泽·聊城·中考真题）某学校开展了“校园科技节”活动，活动包含模型设计、科技小论文两个项目．为了解学生的模型设计水平，从全校学生的模型设计成绩中随机抽取部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用表示），并将其分成如下四组：，，，． 下面给出了部分信息： 的成绩为：81，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89． 根据以上信息解决下列问题： (1)请补全频数分布直方图； (2)所抽取学生的模型设计成绩的中位数是________分； (3)请估计全校1000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数； (4)根据活动要求，学校将模型设计成绩、科技小论文成绩按的比例确定这次活动各人的综合成绩． 某班甲、乙两位学生的模型设计成绩与科技小论文成绩（单位：分）如下： 模型设计 科技小论文 甲的成绩 94 90 乙的成绩 90 95 通过计算，甲、乙哪位学生的综合成绩更高？ 【答案】(1)画图见解析 (2) (3)人 (4)甲的综合成绩比乙高. 【分析】（1）先求解总人数，再求解的人数，再补全图形即可； （2）根据中位数的含义确定第25个，第26个数据的平均数即可得到中位数； （3）由总人数乘以80分含80以上的人数百分比即可得到答案； （4）根据加权平均数公式分别计算甲，乙二人成绩，再比较即可 【详解】（1）解：∵，而有20人， ∴有， 补全图形如下： 。 （2）解：∵， 而的成绩为：81，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89． ∴50个成绩按照从小到大排列后，排在第25个，第26个数据分别是：83,83； 中位数为：； （3）解：全校1000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数为： （人）； （4）解：甲的成绩为：（分）； 乙的成绩为：（分）； ∴甲的综合成绩比乙高. 【点睛】本题考查的是频数分布直方图，中位数的含义，利用样本估计总体，加权平均数的含义，掌握基础的统计知识是解本题的感觉. 【变式5-1】（2024·山东德州·中考真题）某校随机调查了本学期部分学生读课外书的册数情况，整理得到如下不完整的统计表和扇形图． 册数 四册 五册 六册 七册 人数 6 a 9 7 (1)本次调查的学生人数为________； (2) ________； (3)已知该校共有1800名学生，请估计全校本学期读四册课外书的学生人数________； (4)学校随后又补查了另外几人读课外书的册数情况，发现这几人读课外书的册数恰好相同．将其与之前的数据合并后，发现册数的众数变成了另外一个数，则补查的人数最少为________． 【答案】(1)36 (2)14 (3)300 (4)6 【分析】本题考查了扇形统计图、用样本估计总体、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）用读书为6册的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数； （2）用总人数分别减去读书为4册、6册和7册的人数得到读书5册的人数； （3）用样本估计总体即可； （4）根据原来的众数是读书册数为5册，且读课外书为5册的人数为14人，根据读课外书册数为6册的人数为9人，与读书册数为5册的人数最接近，再根据补查后众数发生改变，从而得到最少补查的人数． 【详解】（1）解：本次调查的学生人数为： （人）； （2）解：； （3）解：该校本学期读四册课外书的学生人数约为： （人）； （4）解：∵补查前读课外书册数最多的是五册， ∴补查前读课外书册数的众数为5， ∵补查的几人读课外书的册数恰好相同，且补查后读课外书册数的众数变成了另外一个数， ∴补查的人数最少为（人）． 【变式5-2】（2024·山东青岛·中考真题）某校准备开展“行走的课堂，生动的教育”研学活动，并计划从博物馆、动物园、植物园、海洋馆（依次用字母A，B，C，D表示）中选择一处作为研学地点．为了解学生的选择意向，学校随机抽取部分学生进行调查，整理绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图；扇形统计图中A所对应的圆心角的度数为______°； (2)该校共有1600名学生，请你估计该校有多少名学生想去海洋馆； (3)根据以上数据，学校最终将海洋馆作为研学地点，研学后，学校从八年级各班分别随机抽取10名学生开展海洋知识竞赛．甲班10名学生的成绩（单位：分）分别是：75，80，80，82，83，85，90，90，90，95；乙班10名学生的成绩．（单位：分）的平均数、中位数、众数分别是：84，83，88．根据以上数据判断______班的竞赛成绩更好．（填“甲”或“乙”） 【答案】(1)补全条形统计图见解析，54 (2)640人 (3)甲 【分析】（1）用B的人数除以求得本次调查的学生总数，进而得出D组的人数，画出统计图，用乘“A”所占比例可以求得“A”部分所占圆心角的度数； （2）用1600乘样本中D所占比例即可； （3）求出甲班的平均数，众数，中位数，再对比，即可解答． 【详解】（1）解：总人数：（人）， D组人数：；如图： A所对应的圆心角的度数为：， 故答案为：54； （2）解：去海洋馆：（人） 答：该校约有640名学生想去海洋馆； （3）解：∵甲班10名学生的成绩：75，80，80，82，83，85，90，90，90，95， ∴甲班10名学生的成绩的平均数：， 甲班10名学生的成绩的众数：90； 甲班10名学生的成绩的中位数：， ∵乙班10名学生的成绩的平均数、中位数、众数分别是：84，83，88． ∴甲班的平均数，中位数，众数都高于乙班， ∴甲班的竞赛成绩更好． 故答案为：甲． 【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图，中位数，众数，平均数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件、利用数形结合的思想解答问题． 【变式5-3】（2024·山东潍坊·中考真题）在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可从“产品质量”“商家服务”“发货速度”“快递服务”等方面给予商家分值评价（分值为分、分、分、分和分）．该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款T恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析． 【数据描述】 下图是根据样本数据制作的不完整的统计图，请回答问题（）（）． （）平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分值？请补全条形统计图； （）求甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角的度数． 【分析与应用】 样本数据的统计量如下表，请回答问题（）（）． 商家 统计量 中位数 众数 平均数 方差 甲商家 乙商家 （）直接写出表中和的值，并求的值； （）小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款T恤衫．你认为小亮应该选择哪一家？说明你的观点． 【答案】（）平台从甲商家抽取了个评价分值，从乙商家抽取了个评价分值，补图见解析；（）；（），，；（）小亮应该选择乙商家，理由见解析． 【分析】（）分别用分的评价分值个数除以其百分比即可求出从甲、乙两个商家各抽取的评价分值个数，进而求出甲、乙商家分的评价分值个数，即可补全条形统计图； （）用乘以甲商家分的占比即可求解； （）根据中位数、众数和加权平均数的定义计算即可求解； （）根据中位数、众数、平均数和方差即可判断求解； 本题考查了条形统计图和扇形统计图，中位数、众数、平均数和方差，看懂统计图是解题的关键． 【详解】解：（）由题意可得，平台从甲商家抽取了个评价分值， 从乙商家抽取了个评价分值， ∴甲商家分的评价分值个数为个， 乙商家分的评价分值个数为个， 补全条形统计图如下： （）； （）∵甲商家共有个数据， ∴数据按照由小到大的顺序排列，中位数为第位和第位数的平均数， ∴， 由条形统计图可知，乙商家分的个数最多， ∴众数， 乙商家平均数； （）小亮应该选择乙商家，理由：由统计表可知，乙商家的中位数、众数和平均数都高于甲商家的，方差较接近， ∴小亮应该选择乙商家． 【变式5-4】（2024·山东泰安·中考真题）某超市打算购进一批苹果，现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取10个，测得它们的直径（单位：mm），并制作统计图如下： 根据以上信息，解答下列问题： (1) 统计量供应商 平均数 中位数 众数 甲 80 80 乙 76 则__________，__________，__________． (2)苹果直径的方差越小，苹果的大小越整齐，据此判断，__________供应商供应的苹果大小更为整齐．（填“甲”或“乙”） (3)超市规定直径（含）以上的苹果为大果，超市打算购进甲供应商的苹果2000个，其中，大果约有多少个？ 【答案】(1)80，， (2)甲 (3)600 【分析】本题主要考查了平均数、中位数、众数、方差以及用样本估计总体等知识点，掌握相关统计量的计算方法是解答本题的关键． （1）分别根据算术平均数，中位数和众数的定义解答即可； （2）根据方差的意义解答即可； （3）利用样本估计总体，即用2000乘样本中直径（含）以上所占比例即可． 【详解】（1）解：由题意得：； 把乙的10个苹果的直径从小到大排列，排在中间的两个数分别是79，80，故中位数； 甲10个苹果的直径中，83出现的次数最多，故众数． 故答案为：80，，． （2）解：甲的方差为： ； 乙的方差为： ， 因为， 所以甲供应商供应的苹果大小更为整齐． 故答案为：甲． （3）解：（个）． 答：大果约有600个． 学科网（北京）股份有限公司 $$