专题02 任意角的三角函数重难点题型专训（17大题型+15道提优训练）-2024-2025学年高一数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版2020必修第二册）

专题02 任意角的三角函数重难点题型专训（17大题型+15道提优训练） 题型一 特殊角的三角函数值 题型二 已知三角函数值求角 题型三 利用定义求某角的三角函数值 题型四 由终边或终边上的点求三角函数值 题型五 由三角函数值求终边上的点或参数 题型六 由单位圆求三角函数值 题型七 三角函数定义的其他应用 题型八 三角函数的定义域 题型九 各象限角三角函数值的符号 题型十 已知正（余）弦求余（正）弦 题型十一 由条件等式求正、余弦 题型十二 利用平方关系求参数 题型十三 sinα±cosα和sinα·cosα的关系 题型十四 已知弦（切）求切（弦） 题型十五 正、余弦齐次式的计算 题型十六 三角函数恒等式的证明——同角三角函数基本关系 题型十七 三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 知识点01 三角函数 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tan α. 2．三角函数的诱导公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sinα －sinα sinα cosα cosα 余弦 cos α －cosα cosα －cosα sinα －sinα 正切 tan α tanα －tanα －tanα 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 3.特殊角的三角函数值 角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 150° 180° 角α的弧度数 0 π sin α 0 1 0 cos α 1 0 － － －1 tan α 0 1 － － 0 知识点02任意角的三角比 我们将锐角置于平面直角坐标系中，锐角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限. 在角的终边上任取异于原点的一点，则点与原点的距离为过P作x轴的垂线垂足为M，则线段OM的长度为x，线段MP的长度为y。 知识点03单位圆 根据定义，角的正弦、余弦、正切及余弦值仅与角的大小有关，而与角的终边上的点的位置无关，因此我们可以用角的终边上到原点距离为1（）的点来确定角的正弦、余弦、正切及余切值. 半径为1个单位的圆称为单位圆. 【经典例题一 特殊角的三角函数值】 【例1】（23-24高一下·上海长宁·阶段练习）函数，则（    ） A．1 B．2 C．0 D．8 1．（2024高一下·全国·专题练习）已知命题，；命题，．则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 2．（23-24高一·全国·课后作业）在中，，设a、b、c分别为、、所对的边长，若，，则 ． 3．（24-25高一下·上海奉贤·开学考试）计算 (1) (2) (3) 【经典例题二 已知三角函数值求角】 【例2】（23-24高一下·上海静安·阶段练习）已知函数的图象在区间上与轴有2024个交点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·上海·二模）命题且满足.命题且满足.则是的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一·上海·随堂练习）写出方程在在内的解集 ． 3．（24-25高一下·上海·课堂例题）分别求出满足下列条件的角的集合． (1)，； (2)，； (3)，． 【经典例题三 利用定义求某角的三角函数值】 【例3】（23-24高一下·上海徐汇·阶段练习）设，角的终边经过点，则的值等于（    ） A． B．－ C． D．－ 1．（23-24高一下·上海虹口·期末）赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形．如图所示的是一张弦图，已知大正方形的面积为100，小正方形的面积为20，若直角三角形较小的锐角为，则sincos的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海嘉定·期末）如图，在平面四边形中，，，，，则 . 3．（23-24高一下·上海崇明·期中）已知，且有意义． (1)试判断角所在的象限； (2)若角的终边与单位圆相交于点，求的值及的值． 【经典例题四 由终边或终边上的点求三角函数值】 【例4】（24-25高一下·上海闵行·阶段练习）已知的终边经过点，则下列不正确的是（   ） A． B．可能等于 C． D． 1．（24-25高一下·上海金山·期末）已知函数（且）的图象经过定点A，且点A在角的终边上，则（   ） A． B．0 C．7 D． 2．（23-24高一下·上海·假期作业）已知是角α终边上一点，且，则 3．（24-25高一·上海·随堂练习）已知角的终边在直线上． (1)若角终边上一点的横坐标为，求和的值； (2)求的值． 【经典例题五 由三角函数值求终边上的点或参数】 【例5】（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）已知角终边经过点，且，则（   ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知，，则的终边与以原点为圆心，为半径的圆的交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海嘉定·期末）已知角的终边上一点，且，则 . 3．（23-24高一下·上海·假期作业）已知角的终边上有一点，且，求：的值 【经典例题六 由单位圆求三角函数值】 【例6】（23-24高一下·上海宝山·期末）1988年3月14日，Lany Shaw在旧金山科学博物馆组织举办了最早的大型以为主题的活动，之后博物馆继承了这一传统，后来3月14日成为了国际圆周率日（日）.历史上，求圆周率的方法有多种，其中的一种方法：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形的周长，将它们的算术平均数作为的近似值.按照这种方法，的近似值的表达式是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海杨浦·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，分别是单位圆上的四段弧（不含与坐标轴的交点），点在其中一段上，角以为始边，为终边，若，则所在的圆弧是（    ）    A． B． C． D． 2．（2024高一下·全国·专题练习）若点A（cosθ，sinθ）与关于x轴对称，则θ的一个取值为 . 3．（23-24高一下·上海松江·阶段练习）点是角的终边与单位圆的交点． (1)求的最小值； (2)求的最大值． 【经典例题七 三角函数定义的其他应用】 【例7】（2024·浙江·模拟预测）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 1．（2024·浙江·二模）古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数，正割函数，余割函数，正矢函数，余矢函数.如图角始边为轴的非负半轴，其终边与单位圆交点，、分别是单位圆与轴和轴正半轴的交点，过点作垂直轴，作垂直轴，垂足分别为、，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线分别交的终边于、，其中、、、为有向线段，下列表示正确的是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，，则 ． 3．（23-24高一下·上海长宁·阶段练习）在平面直角坐标系中，单位圆与x轴的正半轴及负半轴分别交于点A，B，角的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆交于x轴下方一点P． (1)如图，若，求点P的坐标； (2)若点P的横坐标为，求的值． 【经典例题八 三角函数的定义域】 【例8】（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海宝山·期中）如图，为测量旗杆的高，在水平线上选取相距的两点，用两个垂直于水平面且高度均为的测量标杆观测旗杆的顶点，记处测量标杆的上端点分别为，直线与水平线分别交于点，且测得的长分别为，则旗杆的高为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海长宁·阶段练习）函数的定义域为 ． 3．（24-25高一下·上海·课后作业）求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3). 【经典例题九 各象限角三角函数值的符号】 【例9】（23-24高一下·上海宝山·期中）若， 则的终边在（ ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限或在轴的非负半轴上 D．第二、四象限或在轴的非负半轴上 1．（24-25高一下·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一·全国·课后作业）已知为第二象限角，则的符号为 ． 3．（24-25高一·上海·随堂练习）（1）若，且，则角属于第几象限？ （2）若，且，则角属于第几象限？ 【经典例题十 已知正（余）弦求余（正）弦】 【例10】（24-25高一下·上海嘉定·阶段练习）是三角形的一个内角，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知均为第二象限角，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一下·上海·期末）已知α为第三象限的角，且，则 ． 3．（24-25高一下·上海杨浦·阶段练习）（1）已知，且为第二象限角，求的值； （2）已知，计算的值. （3）已知，且，求的值. 【经典例题十一 由条件等式求正、余弦】 【例11】（23-24高一下·上海·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海长宁·开学考试）已知，则cos θ的值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海宝山·期中）若，，则 ． 3．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知，，求下列各式的值. （1）； （2）. 【经典例题十二 利用平方关系求参数】 【例12】（24-25高一下·上海青浦·期中）当时，若存在实数，使得成立，则实数的最小值为（    ） A．6 B．10 C．12 D．16 1．（24-25高一下·上海崇明·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 2．（23-24高一下·上海·课后作业）若、是关于x的方程的两个根，则 . 3．（23-24高一下·全国·课后作业）已知关于的方程的两根为和，． （1）求实数的值； （2）求的值． 【经典例题十三 sinα±cosα和sinα·cosα的关系】 【例13】（2024·上海闵行·模拟预测）函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海崇明·期末）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为（），且小正方形与大正方形面积之比为，则的值为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海金山·期末）如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形中较小的内角为，大正方形的面积为1，小正方形的面积是，则 ． 3．（23-24高一下·上海虹口·期末）求解下列问题： (1)角的终边经过点，且，求的值． (2)已知，，求的值． 【经典例题十四 已知弦（切）求切（弦）】 【例14】（23-24高一下·上海·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，以下命题中所有正确的命题有（    ）个 ①已知的值，则可以确定的其余四个三角比的值 ②已知的两个三角比的值，则可以确定的其余四个三角比的值 ③已知的值，则可以确定的其余五个三角比的绝对值 ④已知的值和的符号，则可以确定所有六个三角比的值 A．4 B．3 C．2 D．1 2．（23-24高一下·上海静安·期末）若，，则 ． 3．（24-25高一下·上海闵行·期末）（1）已知是第二象限角，且，求，的值； （2）已知是第三象限角，且，求，的值． 【经典例题十五 正、余弦齐次式的计算】 【例15】（24-25高一下·上海宝山·期末）已知，则（    ） A．1 B． C．2 D． 1．（23-24高一下·上海金山·期末）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为，大正方形的面积为，小正方形的面积为，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一·上海·专题练习）已知，是关于x的方程的两个实根，且，则 ， ． 3．（23-24高一下·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点． (1)若，求及的值； (2)若，求点P的坐标． 【经典例题十六 三角函数恒等式的证明——同角三角函数基本关系】 【例16】 （24-25高一下·上海青浦·期末）若都是第一象限角，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（2024·上海闵行·一模）设，若、为同一象限的角，且不存在、，使得，则、所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（23-24高一下·上海虹口·阶段练习）若，则 ． 3．（23-24高一·全国·随堂练习）求证： (1)； (2)； (3)． 【经典例题十七 三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系】 【例17】（24-25高一下·上海长宁·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 1．（2024高一下·浙江·学业考试）《九章算术》是我国古代的数学著作，在《方田》章节中给出了“弦”和“矢”的定义，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，记圆心角，若“弦”为，“矢”为1时，则等于（    ）    A．1 B． C． D． 2．（23-24高一下·上海黄浦·期中）如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为1的大正方形，若直角三角形中较小的内角为，小正方形的边长为，则 ． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）（1）完成下表（为弧度数）； 1 0.5 0.1 0.01 0.001 （2）观察上表中的数据，你能发现什么规律？ （3）已知，利用图形面积公式证明，并应用该公式说明（2）中猜想的合理性． 1．（23-24高一·全国·课后作业）若，则属于第（    ）象限角. A．一 B．二 C．三 D．四 2．（23-24高一下·上海·课后作业）若为象限角，则化简的结果可能值有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24高一下·上海·阶段练习）设是正整数，集合，若集合A有100个元素，则（    ） A．200或198 B．199或200 C．198或197 D．199或198 4．（2024高一·全国·竞赛）定义在上的三个函数，其零点分别为，则它们的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一·全国·课后作业）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·上海·课后作业）若，则 . 7．（23-24高一下·上海·阶段练习）若，则角的取值范围是 ． 8．（23-24高一下·上海浦东新·期末）下列四个命题：①若，则是第二象限角或第三象限角；②且是为第三象限角的充要条件；③若，则角和角的终边相同；④若，则.其中真命题的序号是 . 9．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）设，若存在唯一一组使得成立，其中为实数，则的取值范围是 . 10．（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则的值是 ． 11．（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列条件，确定角所属的象限： (1)且； (2)． 12．（23-24高一·上海·课堂例题）（1）已知，求的值； （2）若，求的值． 13．（2024高一·上海·专题练习）若，证明： (1)； (2). 14．（23-24高一下·上海·单元测试）（1）设，请运用任意角的三角函数定义证明：. （2）设，求证：. 15．（23-24高一下·上海黄浦·期中）（1）是否存在实数，使，使，，且是第二象限角？若存在，请求出实数；若不存在，情说明理由. （2）若，，求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 任意角的三角函数重难点题型专训（17大题型+15道提优训练） 题型一 特殊角的三角函数值 题型二 已知三角函数值求角 题型三 利用定义求某角的三角函数值 题型四 由终边或终边上的点求三角函数值 题型五 由三角函数值求终边上的点或参数 题型六 由单位圆求三角函数值 题型七 三角函数定义的其他应用 题型八 三角函数的定义域 题型九 各象限角三角函数值的符号 题型十 已知正（余）弦求余（正）弦 题型十一 由条件等式求正、余弦 题型十二 利用平方关系求参数 题型十三 sinα±cosα和sinα·cosα的关系 题型十四 已知弦（切）求切（弦） 题型十五 正、余弦齐次式的计算 题型十六 三角函数恒等式的证明——同角三角函数基本关系 题型十七 三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 知识点01 三角函数 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tan α. 2．三角函数的诱导公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sinα －sinα sinα cosα cosα 余弦 cos α －cosα cosα －cosα sinα －sinα 正切 tan α tanα －tanα －tanα 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 3.特殊角的三角函数值 角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 150° 180° 角α的弧度数 0 π sin α 0 1 0 cos α 1 0 － － －1 tan α 0 1 － － 0 知识点02任意角的三角比 我们将锐角置于平面直角坐标系中，锐角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限. 在角的终边上任取异于原点的一点，则点与原点的距离为过P作x轴的垂线垂足为M，则线段OM的长度为x，线段MP的长度为y。 知识点03单位圆 根据定义，角的正弦、余弦、正切及余弦值仅与角的大小有关，而与角的终边上的点的位置无关，因此我们可以用角的终边上到原点距离为1（）的点来确定角的正弦、余弦、正切及余切值. 半径为1个单位的圆称为单位圆. 【经典例题一 特殊角的三角函数值】 【例1】（23-24高一下·上海长宁·阶段练习）函数，则（    ） A．1 B．2 C．0 D．8 【答案】C 【分析】先求得，再求即可. 【详解】因为，所以. 故选：C 1．（2024高一下·全国·专题练习）已知命题，；命题，．则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【分析】根据全称量词命题与存在量词命题及它们的否定的真假判断，可求得结果． 【详解】因为，， ，， 所以为真命题，故为假命题； 对于命题，当，， 故为真命题，所以为假命题． 故选：C． 2．（23-24高一·全国·课后作业）在中，，设a、b、c分别为、、所对的边长，若，，则 ． 【答案】 【分析】利用直角三角形锐角三角函数定义直接计算即得. 【详解】在中，，则，而，， 于是得， 所以. 故答案为： 3．（24-25高一下·上海奉贤·开学考试）计算 (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)1； (3). 【分析】（1）（2）（3）利用诱导公式及特殊角的三角函数值求解即得. 【详解】（1） （2）. （3）. 【经典例题二 已知三角函数值求角】 【例2】（23-24高一下·上海静安·阶段练习）已知函数的图象在区间上与轴有2024个交点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 求出方程的根，再找到取最小值时的零点,求得结果即可. 【详解】由得， 解得或， 所以或， 令,,,,, ,,当,时， 取最小值，最小值为. 故选：A. 1．（2024·上海·二模）命题且满足.命题且满足.则是的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用三角函数值求出角，再结合充分条件、必要条件的定义求解作答. 【详解】由得，，即，则有， 由，则，有， 所以是的充要条件． 故选：C 2．（24-25高一·上海·随堂练习）写出方程在在内的解集 ． 【答案】 【分析】化简可得，结合正弦函数性质可得，或，，结合，即可得到方程的解集. 【详解】，， ∴，或， ∴，或， ∵，∴． 故答案为：． 3．（24-25高一下·上海·课堂例题）分别求出满足下列条件的角的集合． (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用三角函数的特殊值对应的特殊角，得到，再由，即可得到角的取值集合； （2）利用三角函数的特殊值对应的特殊角，得到，再由，即可得到角的取值集合； （3）利用三角函数的特殊值对应的特殊角，得到，再由，即可得到角的取值集合； 【详解】（1）由题意得，或，， ∴或． ∵，∴ （2）由题意得或，， ∴或． ∵，∴． （3）由题意得，， ∴． ∵，∴． 【经典例题三 利用定义求某角的三角函数值】 【例3】（23-24高一下·上海徐汇·阶段练习）设，角的终边经过点，则的值等于（    ） A． B．－ C． D．－ 【答案】B 【分析】求出，再用三角函数的定义分别求出的值，可得答案. 【详解】. 由三角函数的定义：， 当时，， 故选：B 1．（23-24高一下·上海虹口·期末）赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形．如图所示的是一张弦图，已知大正方形的面积为100，小正方形的面积为20，若直角三角形较小的锐角为，则sincos的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求出直角三角形的两条直角边，即可求出答案. 【详解】设直角三角形的短边为，一个直角三角形的面积为， 小正方形的面积为20，则边长为.大正方形的面积为100，则边长为10. 直角三角形的面积为. 则直角三角形的长边为.   故. 即. 故选：B. 2．（23-24高一下·上海嘉定·期末）如图，在平面四边形中，，，，，则 . 【答案】 【分析】由题意补图形为直角三角形，计算各个边的长度，即可求出. 【详解】延长相交于点（如图所示）则为等腰直角三角形， 设，则.由勾股定理可得，解得（负值已舍去），则. 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海崇明·期中）已知，且有意义． (1)试判断角所在的象限； (2)若角的终边与单位圆相交于点，求的值及的值． 【答案】(1)第四象限 (2)， 【分析】（1）由条件可分别判断的正负，即可判断所在的象限； （2）由可得，再由是第四象限角可判断，即可求出，根据定义可求出． 【详解】（1）∵，∴，① 由有意义，∴，②， 由①②得，角在第四象限； （2）∵点在单位圆上， ∴，解得， 又是第四象限角，即， ∴ ， 由三角函数定义知． 【经典例题四 由终边或终边上的点求三角函数值】 【例4】（24-25高一下·上海闵行·阶段练习）已知的终边经过点，则下列不正确的是（   ） A． B．可能等于 C． D． 【答案】C 【分析】根据可得选项A正确；写出与终边相同的角可得选项B正确；根据可得选项C错误；根据可得选项D正确. 【详解】由题意得，. A.，选项A正确. B.由题意得，为第四象限角，由得，可能等于，选项B正确. C.，选项C错误. D. ，选项D正确. 故选：C. 1．（24-25高一下·上海金山·期末）已知函数（且）的图象经过定点A，且点A在角的终边上，则（   ） A． B．0 C．7 D． 【答案】D 【分析】由指数函数过定点求出，再由三角函数的定义求出，代入计算即可. 【详解】由题意可得， 因为点A在角的终边上，所以， 所以. 故选：D. 2．（23-24高一下·上海·假期作业）已知是角α终边上一点，且，则 【答案】/ 【分析】根据三角函数的定义及题中条件可求得，再利用定义即可求得. 【详解】因为是角α终边上一点， 所以 所以， 所以，解得， 所以， 故答案为：. 3．（24-25高一·上海·随堂练习）已知角的终边在直线上． (1)若角终边上一点的横坐标为，求和的值； (2)求的值． 【答案】(1)，  ； (2) 【分析】（1）求出点的坐标，再根据三角函数的定义求解即可； （2）任取的终边上一点，，分两种情况，根据三角函数的定义求解即可. 【详解】（1）因为点的横坐标为， 所以， 即点的坐标为， 所以， 所以， ， （2）设的终边上任一点为， 则， 当时，， 所以， ， 所以； 当时，， 所以，， 所以； 综上：的值为0． 【经典例题五 由三角函数值求终边上的点或参数】 【例5】（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）已知角终边经过点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由终边上的点及三角函数定义求得，进而求余弦值. 【详解】根据三角函数定义得，故， 则． 故选：A 1．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知，，则的终边与以原点为圆心，为半径的圆的交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设交点为，根据三角函数的定义得到方程组，解得即可. 【详解】设交点为，则，解得， 所以交点坐标为. 故选：D 2．（23-24高一下·上海嘉定·期末）已知角的终边上一点，且，则 . 【答案】 【分析】利用正弦函数的定义列出关于m的方程，解之即可求得m的值. 【详解】由角的终边上一点，且， 可得，解之得或（舍） 故答案为： 3．（23-24高一下·上海·假期作业）已知角的终边上有一点，且，求：的值 【答案】或 【分析】由三角函数的定义可得的值，为第一象限角和第二象限角两种情况分别求解即可. 【详解】由已知， 又，所以，所以是第一或第二象限角， 当为第一象限角时，，，则， 当为第二象限角时，，，则. 【经典例题六 由单位圆求三角函数值】 【例6】（23-24高一下·上海宝山·期末）1988年3月14日，Lany Shaw在旧金山科学博物馆组织举办了最早的大型以为主题的活动，之后博物馆继承了这一传统，后来3月14日成为了国际圆周率日（日）.历史上，求圆周率的方法有多种，其中的一种方法：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形的周长，将它们的算术平均数作为的近似值.按照这种方法，的近似值的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出内接正边形的边长和周长，求出外切正边形的边长和周长，再求出周长的算术平均数可得答案. 【详解】单位圆的内接正边形的边长为，则其内接正边形的周长为， 单位圆的外切正边形的边长为，则其外切正边形的周长为， 则有. 故选：B.    1．（23-24高一下·上海杨浦·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，分别是单位圆上的四段弧（不含与坐标轴的交点），点在其中一段上，角以为始边，为终边，若，则所在的圆弧是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的定义得到，再逐一分析各弧度对应的坐标情况即可得解. 【详解】依题意，设点的坐标为， 所以由三角函数的定义可得， 因为，即， 对于A，在第一象限，且，不满足题意，故A错误； 对于B、C，、在第三象限，且，则，不满足题意，故B、C错误； 对于D，在第四象限，且，则，所以，满足题意，故D正确. 故选：D. 2．（2024高一下·全国·专题练习）若点A（cosθ，sinθ）与关于x轴对称，则θ的一个取值为 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】作图，数形结合得到，解之即可. 【详解】解：因为A（cosθ，sinθ）与均在单位圆上， 设圆与x轴交于P､Q两点，A在第二象限，B在第三象限，如图所示： 则∠AOP=θ，∠AOB=， 因为A､B关于x轴对称，所以∠BOP=θ， 所以2θ+=2π，解得θ=， 则符合题意的θ的一个值可以为. 故答案为：（答案不唯一）. . 3．（23-24高一下·上海松江·阶段练习）点是角的终边与单位圆的交点． (1)求的最小值； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2)2 【分析】由三角函数的定义与基本不等式求解即可 【详解】（1）由题意得： 即，得， 解得，当且仅当时，；时，， 所以的最小值为 （2）由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以的最大值为2 【经典例题七 三角函数定义的其他应用】 【例7】（2024·浙江·模拟预测）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角函数性质知，当时，，同为正数，相同正数次方，大小不变，从而求得结果. 【详解】由三角函数性质知，当时，， ， 当时，，则， 故， ，则 则 即 故选：B 1．（2024·浙江·二模）古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数，正割函数，余割函数，正矢函数，余矢函数.如图角始边为轴的非负半轴，其终边与单位圆交点，、分别是单位圆与轴和轴正半轴的交点，过点作垂直轴，作垂直轴，垂足分别为、，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线分别交的终边于、，其中、、、为有向线段，下列表示正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用单位圆以及三角函数的定义可知，，，然后结合新定义简单计算可判断各个选项. 【详解】根据题意，易得， 对于A，因为，即，故A错误； 对于B，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，故D错误. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题属于新定义题，解题关键是读懂题意，根据新定义，利用三角函数定义结合相似三角形相似比求解，注意有向线段. 2．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，，则 ． 【答案】 【分析】根据三角函数的有界性和二次函数式的有界性即可得出当且仅当时等式成立，进而可求解. 【详解】由， 可得． 因为， 而， 所以当且仅当，时，等式成立． 又因为，所以，故． 故答案为： 3．（23-24高一下·上海长宁·阶段练习）在平面直角坐标系中，单位圆与x轴的正半轴及负半轴分别交于点A，B，角的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆交于x轴下方一点P． (1)如图，若，求点P的坐标； (2)若点P的横坐标为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，则，求得即可得出的坐标； （2）由题意设，结合条件求出的坐标，利用三角函数的定义求出. 【详解】（1） 过点作于点， 若，则， 又，则， 由题意点在第四象限，所以的坐标为. （2）由题意设， ∵点在单位圆上，且在x轴下方， ∴，且，解得， ∴. 【经典例题八 三角函数的定义域】 【例8】（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由真数大于零求出的定义域，再利用整体角范围求解单调增区间可得. 【详解】由题意可得， 首先有，解得. 故的定义域为， 要使单调递增，则单调递增， 故令，解得. 则的单调递增区间是. 故选：B. 1．（23-24高一下·上海宝山·期中）如图，为测量旗杆的高，在水平线上选取相距的两点，用两个垂直于水平面且高度均为的测量标杆观测旗杆的顶点，记处测量标杆的上端点分别为，直线与水平线分别交于点，且测得的长分别为，则旗杆的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由锐角三角函数的定义可得，，再结合条件，即可求出结果. 【详解】由题可得，，所以， 又，得到， 又，所以，解得m， 故选：A. 2．（23-24高一下·上海长宁·阶段练习）函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】函数有意义，则： ， 求解三角不等式可得函数的定义域为. 3．（24-25高一下·上海·课后作业）求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2)，且. (3). 【分析】（1）由函数特征得到，求出定义域； （2）由对数函数的真数大于0及分母不为0，得到不等式组，求出定义域； （3）由对数函数的真数大于0及根式里大于等于0，得到不等式组，求出定义域. 【详解】（1）要使函数有意义，需满足，即， 解得函数的定义域为. （2）要使函数有意义，需满足解不等式组得， 函数的定义域为，且. （3）要使函数有意义，需满足 解得 在数轴上标出①②式的解集如下， 可得函数的定义域为. 【经典例题九 各象限角三角函数值的符号】 【例9】（23-24高一下·上海宝山·期中）若， 则的终边在（ ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限或在轴的非负半轴上 D．第二、四象限或在轴的非负半轴上 【答案】B 【分析】由已知得出的终边在第四象限，再求出的范围得出结果. 【详解】因为，所以的终边在第四象限，即， 则，当时，的终边在第二象限；当时，的终边在第四象限； 故选：B 1．（24-25高一下·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角关系凑出平方关系去掉根号，结合范围即可求解. 【详解】易知， 故. 故选：B 2．（23-24高一·全国·课后作业）已知为第二象限角，则的符号为 ． 【答案】负号 【分析】 根据三角函数定义确定上式正负即可得出答案. 【详解】因为为第二象限角，所以，为第一象限角，，为第四象限角 故，，，符号为负 故答案为：负号 3．（24-25高一·上海·随堂练习）（1）若，且，则角属于第几象限？ （2）若，且，则角属于第几象限？ 【答案】（1）第三象限；（2）第四象限． 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系式化切为弦，再根据三角函数在各象限内的符号即可得解； （2）根据三角函数在各象限内的符号即可得解. 【详解】（1）因为，则，即， 又因为，则，即， 所以角属于第三象限； （2）由，且，知， 又因为，所以角属于第四象限． 【经典例题十 已知正（余）弦求余（正）弦】 【例10】（24-25高一下·上海嘉定·阶段练习）是三角形的一个内角，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平方关系，列出方程组求解即可. 【详解】由解得或（舍去，是三角形的一个内角）． 故． 故选：A． 1．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知均为第二象限角，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】结合三角函数的单调性、平方关系，并根据充分、必要条件的知识判断即可. 【详解】由题意， 若，因为均为第二象限角，所以， 所以，即， 所以，且均为第二象限角， 所以，所以，即充分性成立. 若，因为均为第二象限角， 所以，即， 所以，即， 因为均为第二象限角，所以， 所以，故必要性成立, 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 2．（23-24高一下·上海·期末）已知α为第三象限的角，且，则 ． 【答案】 【分析】由平方关系求得，再由商数关系即可求得． 【详解】因为为第三象限的角，， 所以， 所以 故答案为：． 3．（24-25高一下·上海杨浦·阶段练习）（1）已知，且为第二象限角，求的值； （2）已知，计算的值. （3）已知，且，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）利用平方关系计算得解. （2）利用齐次法计算即可. （3）利用与的关系计算得解. 【详解】（1）由，且为第二象限角，得. （2）由，得. （3）由，两边平方得，则， 而，则，， 所以. 【经典例题十一 由条件等式求正、余弦】 【例11】（23-24高一下·上海·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题设有，结合平方关系可得，再求出目标式的值. 【详解】由题设，又， 所以， 则. 故选：C 1．（23-24高一下·上海长宁·开学考试）已知，则cos θ的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由同角三角函数平方关系，将已知条件化为求，结合及平方关系求即可. 【详解】由题设，，可得或（舍）， 又，则. 故选：C 2．（23-24高一下·上海宝山·期中）若，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据题意结合求，，即可得. 【详解】因为，即， 且， 整理可得，解得或， 且，则，可得，， 所以. 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知，，求下列各式的值. （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由结合条件可知是第四象限角，从而，由此可知，再利用平方关系求解即可； （2）利用条件及（1）的结论求出，再带入原式即可求出结果. 【详解】（1）， ，则， 又，则， 由，可得； （2）由可得， 【经典例题十二 利用平方关系求参数】 【例12】（24-25高一下·上海青浦·期中）当时，若存在实数，使得成立，则实数的最小值为（    ） A．6 B．10 C．12 D．16 【答案】D 【分析】由同角三角函数的基本关系和基本不等式求最值. 【详解】因为，所以. 由，得. 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以实数的最小值为16. 故选：D. 1．（24-25高一下·上海崇明·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】A选项，利用基本不等式得到；B选项，举出反例；C选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最值；D选项，由指数函数图象可得，则，D错误. 【详解】对于A，当时，， 当且仅当，即时，等号成立，所以A错误； 对于B，若，，，，则，， 此时，所以B错误； 对于C， ,当且仅当时，等号成立，所以C正确； 对于D，，故，由指数函数图象可得，则，所以D错误. 故选：C 2．（23-24高一下·上海·课后作业）若、是关于x的方程的两个根，则 . 【答案】 【分析】先通过根与系数的关系得到的关系，再通过同角三角函数的基本关系即可解得. 【详解】由题意：，所以或，且， 所以，即，因为或，所以. 故答案为：. 3．（23-24高一下·全国·课后作业）已知关于的方程的两根为和，． （1）求实数的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）由一元二次方程，根据根与系数关系及判别式、同角三角函数的平方关系有，求的值，注意根据的范围验证的值. （2）由（1）求、，代入求值即可. 【详解】（1）∵和是方程的两根，有：， 由，可知：， ∴，此时，又，， ∴． （2）由（1）得，又，即，则有， ∴． 【经典例题十三 sinα±cosα和sinα·cosα的关系】 【例13】（2024·上海闵行·模拟预测）函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先换元，即令，即可把原函数转化成二次函数，即可求出函数最小值. 【详解】， 令，即， 所以， 由，得， 从而原函数化为， 当时，． 故选:B． 1．（23-24高一下·上海崇明·期末）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为（），且小正方形与大正方形面积之比为，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设大正方形的边长为，求出小正方形的边长，根据小正方形与大正方形面积之比得，再利用弦化切求解可得答案. 【详解】如图，设大正方形的边长为， 则小正方形的边长为， 所以小正方形与大正方形面积之比为， 化简得，且， 由， 解得. 故选：D.    2．（23-24高一下·上海金山·期末）如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形中较小的内角为，大正方形的面积为1，小正方形的面积是，则 ． 【答案】 【分析】直角三角形的两条直角边分别为，可得小正方形的边长为，利用同角三角函数基本关系即可求解. 【详解】直角三角形中较小的内角为， 则直角三角形的两条直角边分别为， 所以小正方形的边长为， 所以， 即， 即， 所以， 所以. 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海虹口·期末）求解下列问题： (1)角的终边经过点，且，求的值． (2)已知，，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）结合三角函数的定义求得，由此求得. （2）通过平方的方法求得，由此求得. 【详解】（1）依题意或. 所以或， 所以或. （2）由于，所以， ， 由于，所以，，， 所以， 所以， 所以，， 所以． 【经典例题十四 已知弦（切）求切（弦）】 【例14】（23-24高一下·上海·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合同角公式求出即可得解. 【详解】由，得，解得， 由，得，则，于是， 解得，所以. 故选：C 1．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，以下命题中所有正确的命题有（    ）个 ①已知的值，则可以确定的其余四个三角比的值 ②已知的两个三角比的值，则可以确定的其余四个三角比的值 ③已知的值，则可以确定的其余五个三角比的绝对值 ④已知的值和的符号，则可以确定所有六个三角比的值 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】利用三角函数的定义，逐一判断各个命题即得. 【详解】依题意，，，，， 给定，可求出，，，，①正确； 已知的两个三角比的值，如给出与的值，由于，相当于只给出其中一个值， 显然值的正负不确定，此时不能确定的其余四个三角比的值，②错误； 由的值，可求出的值，由及可求出， 进而可求出，因此的值，则可以确定的其余五个三角比的绝对值，③正确； 由的值，可求出的值，由结合的符号可求出， 进而可求出，，，④正确， 所以所有正确的命题有3个. 故选：B 2．（23-24高一下·上海静安·期末）若，，则 ． 【答案】0或 【分析】根据，代入整理求解得出的值，进而得出的值，即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 所以，， 整理可得，，解得或. 当时，，，； 当时，，，. 综上所述，或. 故答案为：0或. 3．（24-25高一下·上海闵行·期末）（1）已知是第二象限角，且，求，的值； （2）已知是第三象限角，且，求，的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）根据同角三角函数关系结合角度范围求解即可得答案. （2）根据同角三角函数关系结合角度范围求解即可得答案. 【详解】（1）因为是第二象限角， 所以；． （2）或 因为是第三象限角，所以 【经典例题十五 正、余弦齐次式的计算】 【例15】（24-25高一下·上海宝山·期末）已知，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数的商数关系求解即可. 【详解】由题意若，则，不符合题意， 所以， 即，解得， 故选：D 1．（23-24高一下·上海金山·期末）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为，大正方形的面积为，小正方形的面积为，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设大正方形的边长为，从而可得直角三角形的直角边，分别求出，再根据求得，在化弦为切即可得出答案. 【详解】设大正方形的边长为，则直角三角形的直角边分别为， 因为为直角三角形较小的锐角，所以， ， 则， 即， 所以，解得或（舍去）， 所以. 故选：C. 2．（2024高一·上海·专题练习）已知，是关于x的方程的两个实根，且，则 ， ． 【答案】 2 /0.5 【分析】根据韦达定理可得，进而可得方程的根，即可利用齐次式求解. 【详解】根据根与系数的关系得， ，∴． 而，∴，． 则，∴， 故，故，因此， ． 故答案为：2；． 3．（23-24高一下·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点． (1)若，求及的值； (2)若，求点P的坐标． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据给定条件，求出点的坐标及，再利用齐次式法计算即得. （2）利用同角公式，结合三角函数定义求解即得. 【详解】（1）角以Ox为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点， 当时，，则， 所以． （2）依题意，， 由，得，代入， 于是，解得， 即，所以点P的坐标为． 【经典例题十六 三角函数恒等式的证明——同角三角函数基本关系】 【例16】 （24-25高一下·上海青浦·期末）若都是第一象限角，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由同角三角函数关系及举特例可完成判断. 【详解】因都是第一象限角，则， 则，则当时，； 则“”是“”的充分条件； 注意到，但， 则“”不是“”的必要条件. 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 1．（2024·上海闵行·一模）设，若、为同一象限的角，且不存在、，使得，则、所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合同角公式，逐项分析确定的取值的正负情况即可判断得解. 【详解】对于A，若，， 由，解得，显然， 令方程的根为，，当时，， 当时，，而当时，， 当时，，取，则，A不是； 对于B，当为第二象限时，，， 取，， 则，B不是； 对于C，当为第三象限时，，取， ，，C不是； 对于D，当为第四象限时，，， 则，当为第四象限时，，D正确. 故选：D 2．（23-24高一下·上海虹口·阶段练习）若，则 ． 【答案】1 【分析】根据商数关系将切化弦，然后再利用平方关系将余弦化为正弦即可得答案. 【详解】解：因为，所以， 所以， 所以， 所以， 故答案为：1. 3．（23-24高一·全国·随堂练习）求证： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用平方差公式及证明. （2）利用提取公因式及证明. （3）利用通分，因式分解等式的运算结合证明. 【详解】（1）. 故成立. （2） 故成立. （3） . 故成立. 【经典例题十七 三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系】 【例17】（24-25高一下·上海长宁·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知条件平方，得，从而得，再将平方，求解即可. 【详解】解：因为， 平方得：， 所以， 所以， 所以， 所以， 又因为， 所以. 故选：A. 1．（2024高一下·浙江·学业考试）《九章算术》是我国古代的数学著作，在《方田》章节中给出了“弦”和“矢”的定义，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，记圆心角，若“弦”为，“矢”为1时，则等于（    ）    A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用图形以及“弦”和“矢”的定义，由平方关系可求得角的三角函数值，即可计算得出结果. 【详解】根据题意可设半径长， 可得， 由同角三角函数值之间的基本关系可得， 解得； 即可得,； 所以. 故选：D 2．（23-24高一下·上海黄浦·期中）如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为1的大正方形，若直角三角形中较小的内角为，小正方形的边长为，则 ． 【答案】 【分析】根据已知条件列方程组来求得，进而求得. 【详解】如图所示，在直角三角形中，，，， 则，，所以，， 所以，解得，， 所以. 故答案为： 3．（23-24高一·上海·课堂例题）（1）完成下表（为弧度数）； 1 0.5 0.1 0.01 0.001 （2）观察上表中的数据，你能发现什么规律？ （3）已知，利用图形面积公式证明，并应用该公式说明（2）中猜想的合理性． 【答案】（1）完善表格见解析；（2）当趋近于0时，的值趋近于1；（3）证明见解析. 【分析】（1）利用计算器计算完善表格. （2）由（1）中表格中的数据写出规律. （3）利用三角形、扇形面积公式证明即可. 【详解】（1） 1 0.5 0.1 0.01 0.001 0.8415 0.4794 0.0998 0.0099998 0.001 0.8415 0.9589 0.9983 0.99998 0.9999998 （2）观察上述表格中的数据，得当趋近于0时，的值趋近于1. （3）如图： 在单位圆中，点，，且的终边交单位圆于点， 单位圆在点处切线与射线交于，的面积为，扇形的面积为， 的面积为，观察图形知，于是， 所以，则，整理得， 而当趋近于0时，趋近于1，所以的值趋近于1. 1．（23-24高一·全国·课后作业）若，则属于第（    ）象限角. A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【分析】化简得到故，得到答案. 【详解】 则 则属于第三象限角 故答案选C 【点睛】本题考查了同角三角函数关系和诱导公式，意在考查学生的计算能力. 2．（23-24高一下·上海·课后作业）若为象限角，则化简的结果可能值有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】先根据同角三角函数的关系化简得出原式，再讨论的象限求解. 【详解】 . 若为第一象限角，原式 若为第二象限角，原式 若为第三象限角，原式 若为第四象限角，原式， 故化简的结果可能值有4个. 故选：D. 3．（23-24高一下·上海·阶段练习）设是正整数，集合，若集合A有100个元素，则（    ） A．200或198 B．199或200 C．198或197 D．199或198 【答案】D 【分析】原问题等价于单位圆盘n等分后，相应横坐标的所有可能数与n的对应关系，值得注意的是考虑上半圆盘以及即可. 【详解】如果集合A有100个元素，等价于单位圆盘n等分后，即相应横坐标的所有可能数为100， 则可能是和上半圆盘与下半圆盘各99个点的横坐标（它们关于轴对称），即此时 还有一种可能：即和，以及上半圆盘与下半圆盘各98个点的横坐标（它们关于轴对称）， 即此时， 综上所述，若集合A有100个元素，则或． 故选：D 4．（2024高一·全国·竞赛）定义在上的三个函数，其零点分别为，则它们的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由零点存在定理可判定所在区间，再由，所以，可得结果. 【详解】由二分法知. 同理， 又因为当时，， 故的图象在的图象的上方，即， 综上可得. 故选：A 5．（23-24高一·全国·课后作业）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设大正方形的边长为a，则小正方形的边长为，根据已知可得，由同角三角函数关系化简得，结合角的范围求. 【详解】设大正方形的边长为a，则小正方形的边长为， 故，故，即，解得或. 因为，则，故. 故选：A 6．（24-25高一下·上海·课后作业）若，则 . 【答案】1 【分析】根据同角三角函数的平方关系化解得，再将化解为即可. 【详解】因为,且， 所以， 所以. 故答案为：. 7．（23-24高一下·上海·阶段练习）若，则角的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先构造函数，利用定义法证明函数恒单调递增，则将原不等式变形后可得，由单调性可得，则答案可求. 【详解】构造函数，令， 则 ， 所以在R上单调递增， 原式变形得，即 所以，又，则. 故答案为：. 8．（23-24高一下·上海浦东新·期末）下列四个命题：①若，则是第二象限角或第三象限角；②且是为第三象限角的充要条件；③若，则角和角的终边相同；④若，则.其中真命题的序号是 . 【答案】② 【分析】根据三角函数的概念结合象限角、终边相同的角的概念判断每个命题即可. 【详解】当时，，此时不是象限角，则①错； 是第三象限角，则，，所以， 反之，若，则，是第三象限角， 所以且是为第三象限角的充要条件，则②正确； 若满足，但角和角的终边不相同，则③错； 当时，满足，但，不满足，则④错； 所以真命题的序号为②. 故答案为：② 9．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）设，若存在唯一一组使得成立，其中为实数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】用换元法，设，由已知方程有唯一解，故判别式等于零，再结合同角三角函数平方和为解出. 【详解】，设，则 是唯一的， ，与联立得 设，则 在上有唯一解，设， 或（舍）或 当时，最大值为2，符合题意， 当时，取值可能大于2，故舍， 综上， 故答案为：. 10．（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则的值是 ． 【答案】 【分析】由题可得每个直角三角形的长直角边为，短直角边为，可得，由此可求出，即可求出. 【详解】大正方形的面积是1，即大正方形的边长为1， 则由题可得每个直角三角形的长直角边为，短直角边为， 所以小正方形的边长为， 小正方形的面积是，，， ，则， ，则， . 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题考查同角三角函数的关系，解题的关键是根据图形得出，从而根据三角函数关系求出. 11．（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列条件，确定角所属的象限： (1)且； (2)． 【答案】(1)第四象限 (2)第一或四象限 【分析】（1）（2）利用三角函数的象限的符号即可求解. 【详解】（1）且，则为第四象限角； （2）由，可得且，或且， 则为第一或四象限角. 12．（23-24高一·上海·课堂例题）（1）已知，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用商数关系，得到，再由条件，即可求出结果；（2）根据条件及平方关系，得到，即可求出结果. 【详解】（1）因为，又，所以. （2）因为，两边同时平方得到， 整理得到，所以. 13．（2024高一·上海·专题练习）若，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用正切线与余弦线的定义，结合三角形两边之和大于第三边即可得证； （2）利用三角函数线的定义，结合三角形与扇形的面积大小即可得证. 【详解】（1）如图，在平面直角坐标系中作出角，角的正弦线和余弦线.    由，为直角三角形，且，，， 在中，，所以. （2）如图，，分别为角的正弦线和正切线，连结，    由，显然有， 而，， ， 所以，即. 14．（23-24高一下·上海·单元测试）（1）设，请运用任意角的三角函数定义证明：. （2）设，求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）设出角终边上任意一点，然后根据任意角的三角比定义表示出六个三角比，分别计算等式的左右两边，说明左边右边即可完成证明； （2）根据二倍角的正弦公式以及正切、余切的半角公式化简等式的左边，当化简至左边右边即可完成证明. 【详解】（1）设是角终边上任意一点，且， 则由任意角的三角比定义，有，，，，，， ∴左边，右边. ∴左边右边，即原式成立； （2）证法一：左边右边. 证法二：. 15．（23-24高一下·上海黄浦·期中）（1）是否存在实数，使，使，，且是第二象限角？若存在，请求出实数；若不存在，情说明理由. （2）若，，求的值. 【答案】（1）不存在，理由见解析；（2） 【分析】（1）假设存在实数，根据是第二象限角，可得、求出参数的取值范围，再根据平方关系求出参数的值，得出矛盾，即可说明； （2）首先求出，再通分计算可得. 【详解】解：（1）假设存在实数，使，， 因为是第二象限角， 所以，，解得， 又，即，解得， 与矛盾，故不存在实数满足题意； （2）因为，所以， ， ． ． 学科网（北京）股份有限公司 $$