精品解析：江苏省南通市2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题

2024~2025学年度第一学则期末学业质量监测试卷 高一数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合集合相等列式求解即可. 【详解】因为集合，且， 则，解得. 故选：A. 2. 若与角终边相同，则是第（ ）象限角 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】C 【解析】 【分析】根据终边相同的角，表示出，得到，即可判断出结果. 【详解】因为与角终边相同，所以，则， 所以是第三象限角； 故选：C 3. 已知函数则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数解析式代入即可求得结果. 【详解】易知，所以. 故选：D 4. 已知扇形的半径为2，面积为4，则圆心角为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形面积公式，由题中条件，即可求解. 【详解】记圆心角为，因为扇形的半径为2，面积为4， 所以，则； 故选：C 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于ACD：举反例说明即可；对于B：根据对数的运算性质分析判断. 【详解】因为的定义域为，可知， 对于选项AD：例如，则，， 即，且，故AD错误； 对于选项C：例如，则，， 即，故C错误； 对于选项B：因为，故B正确； 故选：B. 6. 已知命题，命题，若均为真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据命题的真假以及三角函数值域即可求得结果. 【详解】若命题为真命题，可得即可，即； 若命题为真命题，可得，即可得， 因此若均为真命题，可得, 即实数取值范围为. 故选：B 7. 用总长为的篱笆围成一块矩形菜地，其中一边空出的缺口作为进出通道.若要使菜地的面积最大，则有缺口的一边的篱笆长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设有缺口的一边的篱笆长为米，则矩形的另一边长为米，列出面积的关系式，再利用基本不等式求解得出结论. 【详解】设有缺口的一边的篱笆长为米，则矩形的另一边长为米，菜地的面积为平方米， 则，即，则，， 由基本不等式得， 当且仅当即时，取得最大面积， 所以当有缺口的一边的篱笆长为米时，菜地的面积最大. 故选：C 8. 设为上的奇函数，则当时，“单调递增”是“”的（ ）条件 A. 充要 B. 必要不充分 C. 充分不必要 D. 不充分不必要 【答案】D 【解析】 【分析】利用充分，必要条件的定义举反例求解即可 【详解】若， 如图： 当时，单调递增不能推出； 若 如图： 当时， 不能推出单调递增； 所以“单调递增”是“”的不充分不必要条件， 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列集合表示图中阴影部分的为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由集合的图示表示，再根据集合间的基本关系即可得出结论. 【详解】易知图中的阴影部分表示在集合中去除两集合的交集部分，即可表示为，即A正确； 还可表示为集合的补集与集合的交集，即，即D正确； 也可表示为集合的补集与集合的交集，即,B正确. 故选：ABD 10. 下列结论正确的是（ ） A. 的图象可由的图象向左平移个单位得到 B. 的最小正周期是的2倍 C. 与的单调性一致，且零点相同 D. 正切函数是增函数，且是奇函数 【答案】AC 【解析】 【分析】由平移规则以及诱导公式可得A正确，根据周期公式可得B错误，由余弦函数性质可判断C正确，利用正切函数定义域以及图象可判断D错误. 【详解】对于A，将的图象向左平移个单位可以得到，即A正确； 对于B，的最小正周期是，而的最小正周期是； 因此的最小正周期是的倍，即B错误； 对于C，根据余弦函数图象性质可知与的单调性一致，且零点相同，即C正确； 对于D，正切函数在区间上单调递增，不是增函数， 其图象关于原点对称，是奇函数，因此D错误. 故选：AC 11. 对于函数，下列结论正确的是（ ） A. B. C. ，且 D. ，且 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：根据零点存在性定理分析判断；对于B：根据指数函数、幂函数单调性特征分析判断；对于C：根据单调性的定义分析判断；对于D：根据单调性的性质分析判断. 【详解】因为函数. 对于选项A：因为， 由零点存在性定理可知，故A正确； 对于选项B：根据指数函数、幂函数单调性特征可知：，当时，， 即，当时，， 所以，故B正确； 对于选项C：假设，且，可知在内单调递增， 因为，可知在内不单调， 两者相矛盾，假设不成立，故C错误； 对于选项D：因为在内单调递增，可知在内单调递增， 所以对，且，故D正确； 故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若是奇函数，且当时，，则__________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据奇函数性质以及函数解析式计算可得结果. 详解】由奇函数可得， 又，所以. 故答案：0 13. 已知角的终边经过点，若角与的终边关于__________对称（请在“轴”，“轴”，“原点”中任选一个填写），则__________. 【答案】 ①. 轴或轴或原点（选填其中一个）； ②. （当空1填轴时）；（当空1填轴时）；（当空1填原点时）； 【解析】 【分析】根据三角函数定义计算出的值，再利用诱导公式计算可得结果. 【详解】由角的终边经过点可得； 若选择“轴”， 则可得角的终边经过点，因此可得； 所以； 若选择“轴”， 则可得角的终边经过点，因此可得； 所以； 若选择“原点”， 则可得角的终边经过点，因此可得； 所以； 故答案为：轴，；（或轴，；或原点，） 14. 设.若，则__________.（结果用表示） 【答案】 【解析】 【分析】由指数与对数互化并根据对数运算法则以及换底公式计算可得结果. 【详解】由可得 . 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合，当时，求出集合，利用并集的定义可求得集合； （2）求出集合，由题意可得，利用集合的包含关系可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为或， 当时，， 此时，或. 【小问2详解】 由（1）可得， 因为“”是“”的充分条件，则， 所以，且，则， 因此，实数的取值范围是. 16. 设函数与在区间上的图象交于点. （1）求、； （2）若，求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系可得出关于的方程，由已知可得出，解出的值，可得出的值，进而可得出的值； （2）由已知可得出，利用诱导公式结合同角三角函数的基本关系可求得所求代数式的值. 【小问1详解】 由题意可得，则， 即，整理可得， 即， 因为，则，解得， 所以，，, 【小问2详解】 因为， 所以， . 17. 为了提升某水域的生态环境，科研人员于2020年初在该水域投放一种微生物，投放量为1个单位数量.这种微生物在开始的4年内繁殖速度越来越快，随后越来越慢，设投放年后这种微生物的数量为个单位.已知与的关系拟合后的分段函数的图象如图所示：请从①；②；③中选择合适的两个确定关于的函数解析式，并求该水域生态环境最佳的时长.（注：微生物的数量在个单位之间生态环境最佳） 【答案】解析式为①和②；时长为； 【解析】 【分析】根据函数图象并结合已有模型性质，根据增减性可判断选择①②，再代入点的坐标求得参数值即可得出解析式；再由生态环境最佳的标准得出不等关系解不等式即可得出结论. 【详解】易知模型③在上单调递减，因此可排除； 因为这种微生物在开始的4年内繁殖速度越来越快，根据二次函数性质可得①符合题意； 又随后越来越慢，由幂函数性质可得②符合题意； 因此在时，， 当时，； 结合图象可知经过点； 即，解得，即； 函数经过点， 即，解得，即； 因此符合题意的两函数解析式为①和②； 因为微生物的数量在个单位之间生态环境最佳， 当时，令，解得； 当时，令，解得； 综上可得，当时，满足题意； 因此该水域生态环境最佳的时长为. 18. 对于定义域为A的函数，如果存在，对任意的，都有，那么称函数具有性质. （1）判断函数是否具有性质，并说明理由； （2）若函数具有性质，求证：为定值； （3）若函数具有性质，求的最小值. 【答案】（1）不具有解析 （2）证明见解析 （3）4 【解析】 【分析】（1）结合所给定义计算即可得； （2）结合所给定义计算即可得； （3）结合所给定义计算，然后利用基本不等式求出最值即可 【小问1详解】 假设函数具有性质， 且的定义域为， 又满足存在，对任意的，都有， 所以， 又，所以满足，此方程无解， 所以数不具有性质 【小问2详解】 若函数具有性质，且函数定义域为， 所以存在，对任意的，都有， 即， 所以，故为定值， 【小问3详解】 因为函数具有性质， 定义域为，所以， 所以存在，对任意的，都有， 即， 所以， 即， 所以， 令，所以或， 又，所以，所以， 即，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为4. 19. 已知函数，其中为自然对数的底数. （1）判断并证明函数在上的单调性； （2）记函数的零点为为函数的图象上横坐标分别为的两点，点，求证： （i）； （ii）. 【答案】（1）函数在上单调递增，证明见详解 （2）（i）证明见详解；（ⅱ）证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据函数单调性定义结合指数函数单调性分析证明； （2）（i）根据题意结合零点存在性定理分析证明；（ⅱ）根据题意分析可得等价于，结合题中的范围以及函数单调性分析证明. 【小问1详解】 因为，函数在上单调递增，证明如下： 任取，令， 则， 因为，则， 可得，即， 所以函数在上单调递增. 【小问2详解】 （i）令， 因为，则，可得， 则， 可知函数在内均有零点， 由题意可知：函数的零点为且， 所以； （ⅱ）由题意可知：， 则，即， 因为，即， 等价于，即， 等价于， 因为，则， 又因为，则， 由（1）可在函数在上单调递增， 可知，即， 所以，即. 【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的方法 1.直接求零点：令，则方程解的个数即为零点的个数； 2.零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在上是连续的曲线，且，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点． 3.数形结合：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第一学则期末学业质量监测试卷 高一数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 0 2. 若与角终边相同，则是第（ ）象限角 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 3. 已知函数则（ ） A. B. C. 0 D. 1 4. 已知扇形的半径为2，面积为4，则圆心角为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 5 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知命题，命题，若均为真命题，则实数的取值范围为（ ） A B. C. D. 7. 用总长为的篱笆围成一块矩形菜地，其中一边空出的缺口作为进出通道.若要使菜地的面积最大，则有缺口的一边的篱笆长为（ ） A B. C. D. 8. 设为上的奇函数，则当时，“单调递增”是“”的（ ）条件 A. 充要 B. 必要不充分 C 充分不必要 D. 不充分不必要 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列集合表示图中阴影部分的为（ ） A. B. C. D. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 的图象可由的图象向左平移个单位得到 B. 的最小正周期是的2倍 C. 与的单调性一致，且零点相同 D. 正切函数是增函数，且是奇函数 11. 对于函数，下列结论正确的是（ ） A. B. C. ，且 D. ，且 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若是奇函数，且当时，，则__________. 13. 已知角的终边经过点，若角与的终边关于__________对称（请在“轴”，“轴”，“原点”中任选一个填写），则__________. 14. 设.若，则__________.（结果用表示） 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 16. 设函数与在区间上的图象交于点. （1）求、； （2）若，求的值. 17. 为了提升某水域的生态环境，科研人员于2020年初在该水域投放一种微生物，投放量为1个单位数量.这种微生物在开始的4年内繁殖速度越来越快，随后越来越慢，设投放年后这种微生物的数量为个单位.已知与的关系拟合后的分段函数的图象如图所示：请从①；②；③中选择合适的两个确定关于的函数解析式，并求该水域生态环境最佳的时长.（注：微生物的数量在个单位之间生态环境最佳） 18. 对于定义域为A的函数，如果存在，对任意的，都有，那么称函数具有性质. （1）判断函数是否具有性质，并说明理由； （2）若函数具有性质，求证：为定值； （3）若函数具有性质，求的最小值. 19. 已知函数，其中为自然对数底数. （1）判断并证明函数在上的单调性； （2）记函数的零点为为函数的图象上横坐标分别为的两点，点，求证： （i）； （ii）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$