精品解析：天津市五区县重点校2024-2025学年高二上学期期末联考数学试题

2024～2025学年度第一学期期末重点校联考 高二数学 出题学校：静海一中 杨村一中 一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分） 1. 空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（ ） A. B. C. D. 2. 若直线l的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 3. 已知数列的前项和，则等于（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 4. 以直线：恒过的定点为圆心，半径为的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线的两条渐近线之间的夹角小于，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 定义，已知数列为等比数列，且，，则（ ） A. 3 B. ±3 C. 9 D. ±9 7. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的一条渐近线与抛物线交于点，点是抛物线的准线上一点，抛物线的焦点为双曲线的一个焦点，且为等边三角形，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如果数列对任意的，，则称为“速增数列”，若数列为“速增数列”，且任意项，，，，则正整数的最大值为（ ） A. 27 B. 28 C. 29 D. 30 二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，共30分） 10. 两条直线：与：之间的距离为_______. 11. 已知圆：与圆：外切，此时直线：被圆所截的弦长为_______. 12. 如图，在正方体中，M，N分别为DB，的中点，则直线和BN的夹角的余弦值为______ 13. 已知数列满足，，，则_______. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点的直线与的右支相交于、两点，若，点位于第一象限，则双曲线的离心率为_______. 15. 如图，已知抛物线：的焦点为F，过点F且斜率为1的直线交于A，B两点，线段的中点为M，其垂直平分线交x轴于点，轴于点N.若四边形的面积等于，则p的值为______. 三、解答题 16. 设数列是首项为，公比不为1的等比数列，数列满足.已知，，成等差数列. （1）求和的通项公式； （2）求的前项和，的前项和. 17. 如图，在直三棱柱中，，，是中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 18. 已知椭圆：的离心率，点在上. （1）求椭圆的方程； （2）已知椭圆的左顶点为A，过点A作斜率为的直线交椭圆于点P，交y轴于点D，若过原点作直线的平行线交椭圆于点E，求的最小值. 19. 已知椭圆C：的长轴长为4，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆C交于A、B两点，与y轴交于点M，线段的垂直平分线与交于点P，与y轴交于点Q，O为坐标原点，如果，求k的值. 20. 已知等差数列是数列的前项和，满足；数列各项都是正数，且满足，，． （1）求数列和的通项公式； （2）记，数列的前项和为； （3）在和，中插入个相同的数，构成一个新数列：，求的前项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第一学期期末重点校联考 高二数学 出题学校：静海一中 杨村一中 一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分） 1. 空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可知点关于平面的对称点的横坐标和竖坐标不变，纵坐标变为原来的相反数，从而得出答案． 【详解】根据对称点坐标规律，空间直角坐标系中点关于平面的对称点是. 故选：A. 2. 若直线l的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】D 【解析】 【分析】根据方向向量可得斜率，即可根据斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】由于直线l的一个方向向量为，故直线的斜率为， 故倾斜角为150°， 故选：D 3. 已知数列的前项和，则等于（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】根据前项和的性质即可求解. 【详解】因为， 则． 故选：B． 4. 以直线：恒过的定点为圆心，半径为的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先需要求出直线恒过的定点，然后根据圆的标准方程（其中为圆心坐标，为半径）来确定圆的方程. 【详解】将直线的方程变形为 令，解得，. 所以直线恒过定点，即圆心坐标为. 已知半径，所以圆的标准方程. 展开可得，即. 故选：D. 5. 已知双曲线的两条渐近线之间的夹角小于，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分或 两种情况，结合求解. 【详解】解：因为双曲线的两条渐近线之间的夹角小于， 所以或 ， 即 或 ，又 ， 所以， 故选：D 6. 定义，已知数列为等比数列，且，，则（ ） A. 3 B. ±3 C. 9 D. ±9 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据行列式的定义计算出关于等比数列项的等式，再利用等比数列的性质求出的值. 【详解】根据行列式的定义，对于，可得，即. 因为数列是等比数列，根据等比数列的性质：所以. 由，可得，则. 又因为，等比数列奇数项符号相同，所以. 故选：C. 7. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形三边之间的不等关系可得，再结合椭圆的定义将化为，结合以及图形的几何性质即可求得答案. 【详解】由题意知为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点， 故， 故， 当且仅当共线，在线段上时取等号， 所以 ， 当且仅当共线，在线段上时取等号， 而， 故的最小值为， 故选：B. 8. 已知双曲线的一条渐近线与抛物线交于点，点是抛物线的准线上一点，抛物线的焦点为双曲线的一个焦点，且为等边三角形，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得，设，列方程可得点A的坐标，然后求解得，再由，即可求出双曲线的方程. 【详解】由题意，点，抛物线的准线方程为，作，由抛物线的定义可知，，又为等边三角形，所以，所以，即点重合，所以，设，不妨设，则，得，所以，所以，又因为，所以得，所以双曲线的方程为. 故选：A 9. 如果数列对任意的，，则称为“速增数列”，若数列为“速增数列”，且任意项，，，，则正整数的最大值为（ ） A. 27 B. 28 C. 29 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】根据“速增数列”的定义，结合累加法建立不等式并求解即得. 【详解】当时，， 由数列为“速增数列”，则， 又，则、、、， 则， 即，当时，， 当时，，故正整数的最大值为. 故选：C. 二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，共30分） 10. 两条直线：与：之间的距离为_______. 【答案】 【解析】 【分析】将直线化为，再由平行线间的距离公式计算可得. 【详解】直线：即，又直线：， 所两直线间的距离. 故答案为： 11. 已知圆：与圆：外切，此时直线：被圆所截的弦长为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据两圆外切可得，即可根据点到直线的距离公式以及圆的弦长公式求解. 【详解】：的圆心和半径分别为，， ：圆心和半径分别为，， 由于两圆外切，故，解得， 故直线的距离为， 故弦长为， 故答案为： 12. 如图，在正方体中，M，N分别为DB，的中点，则直线和BN的夹角的余弦值为______ 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，求出各点坐标，利用异面直线空间向量夹角公式进行求解. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则， 故和BN的夹角的余弦值为. 故答案为： 13. 已知数列满足，，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出数列的通项，代入后将其拆成，再求和，通过裂项相消法即可求得数列的和. 【详解】由知数列为等差数列，且，公差， 则， 于是 ， 则 . 故答案为：. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点的直线与的右支相交于、两点，若，点位于第一象限，则双曲线的离心率为_______. 【答案】 【解析】 【分析】设，，，易得，令，则，利用双曲线的性质可得，可求出上、，结合勾股定理可求得结果. 【详解】如下图所示： 不妨设，则，，则，所以，， 设，则， 由双曲线的定义可得， 即，解得，所以，，可得， 所以，，， 由勾股定理可得，即，可得， 所以，，故该双曲线的离心率为. 故答案为：. 15. 如图，已知抛物线：的焦点为F，过点F且斜率为1的直线交于A，B两点，线段的中点为M，其垂直平分线交x轴于点，轴于点N.若四边形的面积等于，则p的值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】作出辅助线，根据直线的斜率表达出梯形的上底和下底以及高，列出方程，求出. 【详解】易知，直线的方程为，四边形为梯形，且． 设，，，则， 所以，所以． 作轴于点，则． 因为直线的斜率为1，所以为等腰直角三角形，故， 所以，， 所以四边形的面积为， 解得， 故答案为：3. 三、解答题 16. 设数列是首项为，公比不为1的等比数列，数列满足.已知，，成等差数列. （1）求和的通项公式； （2）求的前项和，的前项和. 【答案】（1），. （2），. 【解析】 【分析】（1）由是首项为的等比数列，结合，，成等差数列求解； （2）由（1）的结论，利用等比数列求和公式和错位相减法求解. 【小问1详解】 是首项为的等比数列， 设其公比为，因为，，成等差数列， 所以，即， 即，解得或（舍）， 故，所以. 【小问2详解】 由（1）可得， ，① 则，② ①-②得：， ， 所以. 17. 如图，在直三棱柱中，，，是中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）在直三棱柱中，连接交于F点，连接， 由侧面是平行四边形，得是的中点，又是中点，则， 而平面，平面，所以平面. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）连接交于F点，利用线面平行的判断推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量法求解. （3）由（2），利用点到平面距离的向量求法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，底面，，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的一个法向量为，则，令，得， 而是平面的一个法向量，设平面与平面所成角为， 则， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）知，， 所以点到平面的距离. 18. 已知椭圆：的离心率，点在上. （1）求椭圆的方程； （2）已知椭圆的左顶点为A，过点A作斜率为的直线交椭圆于点P，交y轴于点D，若过原点作直线的平行线交椭圆于点E，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据离心率可得，将点代入椭圆方程，结合，可求解得的值，进而得标准方程； （2）设直线的方程，与椭圆方程联立，可得点的横坐标；根据平行关系，设直线的方程，与椭圆方程联立，可得点的横坐标，根据直线平行可用四个点的横坐标表示，再利用基本不等式求最值即可. 【小问1详解】 因为椭圆的离心率，且在上 所以，解得，， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为，， 联立，消去，得， 所以，因为，所以直线的方程可设为， 联立，消去，得， 所以点的横坐标为， 由，得 . 当且仅当，即时，等号成立， 由此，当时，有最小值，且最小值为. 19. 已知椭圆C：的长轴长为4，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆C交于A、B两点，与y轴交于点M，线段的垂直平分线与交于点P，与y轴交于点Q，O为坐标原点，如果，求k的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意列出的方程组，求解即得椭圆方程； （2）将直线与椭圆方程联立，列出韦达定理，求出点的坐标，写出直线的方程，求得点的坐标.法一：根据条件推得,计算求得的值；法二：根据条件推得，由求出的值. 【小问1详解】 由题设得，解得，，， 所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 联立，得， 由，得， 设，，则，， 所以点的横坐标，纵坐标为， 所以直线的方程为， 令，则点的纵坐标，则， 因为，所以点、点在原点两侧， 因为，所以， 法一：由上可得， 因为，， 所以，解得， 所以. 法二：因,故有，即， 因为，，所以， 解得，所以. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于结合图形，将相关条件等价转化，再结合韦达定理解决问题. 20. 已知等差数列是数列的前项和，满足；数列各项都是正数，且满足，，． （1）求数列和的通项公式； （2）记，数列的前项和为； （3）在和，中插入个相同的数，构成一个新数列：，求的前项和． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算确定其首项与公差，可得数列的通项公式；先根据等比中项的概念判断数列为等比数列，再求首项与公比，可确定数列的通项公式； （2）分别求前项中奇数项的和与偶数项的和，再相加即可.其中奇数项的和的求法为裂项相加求和法； （3）弄清楚数列的前项的组成，利用分组求和法求其和. 【小问1详解】 等差数列，是数列的前项和，设公差为，由，， 可得，，解得，， 所以； 数列各项都是正数，且满足， ，． 可得数列为等比数列， 所以，解得或舍去， 所以. 【小问2详解】 因为， 设的前项和中，奇数项的和为，偶数项的和为， 所以，， 当为奇数时，， ， 当为偶数时，， 所以， . 【小问3详解】 ：，，，，，，，，，，， 从到共有项， 所以，当时，， 故 ． 【点睛】易错点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $